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第 2 讲 等差数列及其前 n 项和
一、选择题
1.(2016·武汉调研)已知数列{a }是等差数列，a ＋a ＝－8，a ＝2，则数列{a }的
n 1 7 2 n
公差d等于( )
A.－1 B.－2 C.－3 D.－4
解析 法一 由题意可得
解得a ＝5，d＝－3.
1
法二 a ＋a ＝2a ＝－8，∴a ＝－4，
1 7 4 4
∴a －a ＝－4－2＝2d，∴d＝－3.
4 2
答案 C
2.已知等差数列{a }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数
n
项之和为25，则这个数列的项数为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
解析 设项数为2n，则由S －S ＝nd得，25－15＝2n，解得n＝5，故这个数列
偶 奇
的项数为10.
答案 A
3.已知等差数列{a }满足a ＋a ＋a ＋…＋a ＝0，则有( )
n 1 2 3 101
A.a ＋a ＞0 B.a ＋a ＜0
1 101 2 100
C.a ＋a ＝0 D.a ＝51
3 99 51
解析 由题意，得a ＋a ＋a ＋…＋a ＝×101＝0.所以a ＋a ＝a ＋a ＝a
1 2 3 101 1 101 2 100 3
＋a ＝0.
99
答案 C
4.设数列{a }，{b }都是等差数列，且a ＝25，b ＝75，a ＋b ＝100，则a ＋b 等
n n 1 1 2 2 37 37
于( )
A.0 B.37 C.100 D.－37
解析 设{a }，{b }的公差分别为d ，d ，则(a ＋b )－(a ＋b )＝(a －a )＋
n n 1 2 n＋1 n＋1 n n n＋1 n
(b －b )＝d ＋d ，
n＋1 n 1 2
∴{a ＋b }为等差数列，又a ＋b ＝a ＋b ＝100，
n n 1 1 2 2
∴{a ＋b }为常数列，∴a ＋b ＝100.
n n 37 37
答案 C
5.(2017·泰安模拟)设等差数列{a }的前n项和为S ，若a ＝－11，a ＋a ＝－2，
n n 2 5 9
则当S 取最小值时，n＝( )
nA.9 B.8 C.7 D.6
解析 设等差数列{a }的首项为a ，公差为d，由得解得∴a ＝－15＋2n.
n 1 n
由a ＝－15＋2n≤0，解得n≤.又n为正整数，
n
∴当S 取最小值时，n＝7.故选C.
n
答案 C
二、填空题
6.(2016·江苏卷)已知{a }是等差数列，S 是其前n项和.若a ＋a＝－3，S ＝10，
n n 1 5
则a 的值是________.
9
解析 设数列{a }的公差为d，由题设得
n
解得
因此a ＝a ＋8d＝20.
9 1
答案 20
7.正项数列{a }满足a ＝1，a ＝2，2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则a ＝________.
n 1 2 7
解析 由2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，可得数列{a}是等差数列，公差d＝a－a＝3，
首项a＝1，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，∴a ＝，∴a ＝.
n 7
答案
8.设等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝－2，S ＝0，S ＝3，则m＝
n n m－1 m m＋1
________.
解析 法一 由已知得，a ＝S －S ＝2，a ＝S －S ＝3，因为数列{a }为
m m m－1 m＋1 m＋1 m n
等差数列，所以d＝a －a ＝1，又因为S ＝＝0，所以m(a ＋2)＝0，因为
m＋1 m m 1
m≠0，所以a ＝－2，又a ＝a ＋(m－1)d＝2，解得m＝5.
1 m 1
法二 因为S ＝－2，S ＝0，S ＝3，所以a ＝S －S ＝2，a ＝S －S
m－1 m m＋1 m m m－1 m＋1 m＋1 m
＝3，所以公差d＝a －a ＝1，由S ＝na ＋d＝na ＋，
m＋1 m n 1 1
得
由①得a ＝，代入②可得m＝5.
1
法三 因为数列{a }为等差数列，且前n项和为S ，
n n
所以数列也为等差数列.
所以＋＝，即＋＝0，
解得m＝5，经检验为原方程的解.
答案 5
三、解答题
9.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{a }中，a ＋a ＝4，a ＋a ＝6.
n 3 4 5 7(1)求{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝[a ]，求数列{b }的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如
n n n
[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解 (1)设数列{a }首项为a ，公差为d，
n 1
由题意有解得
所以{a }的通项公式为a ＝.
n n
(2)由(1)知，b ＝.
n
当n＝1，2，3时，1≤<2，b ＝1；
n
当n＝4，5时，2≤<3，b ＝2；
n
当n＝6，7，8时，3≤<4，b ＝3；
n
当n＝9，10时，4≤<5，b ＝4.
n
所以数列{b }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
n
10.已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，a ≠0，a a ＝λS －1，其中λ为常数.
n n 1 n n n＋1 n
(1)证明：a －a ＝λ；
n＋2 n
(2)是否存在λ，使得{a }为等差数列？并说明理由.
n
(1)证明 由题设知，a a ＝λS －1，a a ＝λS －1.
n n＋1 n n＋1 n＋2 n＋1
两式相减得a (a －a )＝λa .
n＋1 n＋2 n n＋1
由于a ≠0，所以a －a ＝λ.
n＋1 n＋2 n
(2)解 由题设知，a ＝1，a a ＝λS －1，可得a ＝λ－1.
1 1 2 1 2
由(1)知，a ＝λ＋1.令2a ＝a ＋a ，解得λ＝4.
3 2 1 3
故a －a ＝4，
n＋2 n
由此可得{a }是首项为1，公差为4的等差数列，a ＝4n－3；
2n－1 2n－1
{a }是首项为3，公差为4的等差数列，a ＝4n－1.
2n 2n
所以a ＝2n－1，a －a ＝2.
n n＋1 n
因此存在λ＝4，使得数列{a }为等差数列.
n
11.(2017·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.
书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，
且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. B. C. D.
解析 依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a－2m，a－m，
a，a＋m，a＋2m，则有
解得a＝20，m＝，a－2m＝＝，即其中最小一份为，故选A.答案 A
12.(2017·郑州模拟)已知正项等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝24，则a ·a
n n 12 6 7
的最大值为( )
A.36 B.6 C.4 D.2
解析 在等差数列{a }中，∵S ＝6(a ＋a )＝24，∴a ＋a ＝4，令x>0，y>0，由
n 12 6 7 6 7
基本不等式可得x·y≤，当且仅当x＝y时“＝”成立.又a >0，a >0，∴a ·a ≤
6 7 6 7
＝4，当且仅当a ＝a ＝2时，“＝”成立.即a ·a 的最大值为4，故选C.
6 7 6 7
答案 C
13.设等差数列{a }，{b }的前n项和分别为S ，T ，若对任意自然数n都有＝，则
n n n n
＋的值为________.
解析 ∵{a }，{b }为等差数列，
n n
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，∴＝.
答案
14.在数列{a }中，a ＝－5，a ＝－2，记A(n)＝a ＋a ＋…＋a ，B(n)＝a ＋a ＋…
n 1 2 1 2 n 2 3
＋a ，C(n)＝a ＋a ＋…＋a (n∈N*)，若对于任意n∈N*，A(n)，B(n)，C(n)成
n＋1 3 4 n＋2
等差数列.
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)求数列{|a |}的前n项和.
n
解 (1)根据题意A(n)，B(n)，C(n)成等差数列.
∴A(n)＋C(n)＝2B(n)，
整理得a －a ＝a －a ＝－2＋5＝3，
n＋2 n＋1 2 1
∴数列{a }是首项为－5，公差为3的等差数列，
n
∴a ＝－5＋3(n－1)＝3n－8.
n
(2)|a |＝
n
记数列{|a |}的前n项和为S .
n n
当n≤2时，S ＝＝－＋n；
n
当n≥3时，S ＝7＋＝－n＋14，
n
综上，S ＝
n
