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第 2 讲 空间几何体的表面积与体积
一、选择题
1.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数
学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，
高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆
放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长
为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米
的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A.14斛 B.22斛
C.36斛 D.66斛
解析 设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝.
所以米堆的体积为V＝×π·r2·5＝··5≈(立方尺).
故堆放的米约有÷1.62≈22(斛).
答案 B
2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是(
)
A.2 B. C. D.3
解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S ＝(1＋2)×2＝
底
3.∴V＝x·3＝3，解得x＝3.
答案 D
3.(2017·合肥模拟)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1＋ B.2＋ C.1＋2 D.2
解析 四面体的直观图如图所示.
侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是的等
腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝，AC＝2.
设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，又SO 平面
SAC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
⊂
∴SO⊥平面ABC，又BO 平面ABC，∴SO⊥BO.
又OS＝OB＝1，∴SB＝，
⊂
故△SAB与△SBC均是边长为的正三角形，故该四面体的表面积为2×××＋
2××()2＝2＋.
答案 B
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上
的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
解析 因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－
ABC的体积取得最大值.由×R2×R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR2＝
144π.
答案 C
5.(2017·青岛模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行
四边形，NB＝2PN，则三棱锥N－PAC与三棱锥D－PAC的体
积比为( )
A.1∶2 B.1∶8
C.1∶6 D.1∶3
解析 设点 P，N 在平面 ABCD 内的投影分别为点 P′，N′，则 PP′⊥平面
ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′，
则在△BPP′中，由BN＝2PN得＝.
V ＝V －V
三棱锥N－PAC 三棱锥P－ABC 三棱锥N－ABC
＝S ·PP′－S ·NN′
△ABC △ABC
＝S ·(PP′－NN′)＝S ·PP′
△ABC △ABC
＝S ·PP′，V ＝V ＝S ·PP′，
△ABC 三棱锥D－PAC 三棱锥P－ACD △ACD
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴S ＝S ，
△ABC △ACD
∴＝.故选D.答案 D
二、填空题
6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆
柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新
的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
解析 设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，
解得r＝.
答案
7.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球
的体积为________.
解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，
则2R＝＝2，
解得R＝1，所以V＝R3＝.
答案 π
8.(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.
解析 由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高
为2的圆柱和底面半径为 1，高为1的半圆锥拼成的组合
体.
∴体积V＝π×12×2＋×π×12×1＝π.
答案 π
三、解答题
9.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积；
(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何
体表面上，从P点到Q点的最短路径的长.
解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面
积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.
S ＝(2πa)·(a)＝πa2，
圆锥侧
S ＝(2πa)·(2a)＝4πa2，
圆柱侧
S ＝πa2，
圆柱底
所以S ＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.
表
(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图.
则PQ＝＝＝a，
所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.
10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A B C D 中，AB＝
1 1 1 1
16，BC＝10，AA ＝8，点E，F分别在A B ，D C 上，A E＝D F
1 1 1 1 1 1 1
＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个
正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
解 (1)交线围成的正方形EHGF如图所示.
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A E＝4，EB ＝12，EM＝AA ＝8.
1 1 1因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
故S四边形A EHA＝×(4＋10)×8＝56，
1
S四边形EB BH＝×(12＋6)×8＝72.
1
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为.
11.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该
几何体的俯视图可以是( )
解析 若俯视图为A，则该几何体为正方体，其体积为1，不满足条件.若俯视图
为B，则该几何体为圆柱，其体积为π×1＝，不满足条件.若俯视图为C，则该几
何体为三棱柱，其体积为×1×1×1＝，满足条件.若俯视图为D，则该几何体为
圆柱的，体积为π×1＝，不满足条件.
答案 C
12.(2015·全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几
何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为
16＋20π，则r＝( )
A.1 B.2 C.4 D.8
解析 该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球
的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，如图.
则表面积
S＝×4πr2＋πr2＋(2r)2＋πr·2r＝(5π＋4)r2，又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，解得r＝2.
答案 B
13.圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半
球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示
若r＝1，则该几何体的体积为________.
解析 根据三视图中的正视图和俯视图知，该几何体是由一个半径r＝1的半
球，一个底面半径 r＝1、高2r＝2的圆锥组成的，则其体积为 V＝πr3×＋
πr2×2r×＝.
答案
14.四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体
的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.
(1)求四面体ABCD的体积；
(2)证明：四边形EFGH是矩形.
(1)解 由该四面体的三视图可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，
又BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，
∴四面体ABCD的体积V＝××2×2×1＝.
(2)证明 ∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，
平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，
∴FG∥EH.同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵AD⊥平面BDC，BC 平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH
是矩形.
⊂
