2025年中考押题预测卷（湖南省卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 1 的倒数是（ ）
4
A．1− B． 1 C．4 D． 4
4 4
2．支原体是世界上最小的微−生物，其大小通常在0.1到0.05微米之间，比−细菌还要小很多．1微
米= 0.000001 米，那么0.05微米用科学记数法表示为（ ）
A．0.5 10 6米 B．0.5 10 7米 C．5 10 8米 D．50 10 9米
− − − −
3．我国
×
新能源汽车表现亮眼，连
×
续9年摘得全球产销
×
量第一桂冠，产销量全球
×
占比均超过60%．以
下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算中，计算正确的是（ ）
A． 2+ 3 = 5 B． 2 3 = 6 C． 2 3 = 5 D．( )2 = 2 2
⋅
第 1 页 共 36 页5．如图，已知直线 ∥ ，将含30 角的直角三角板 按如图方式放置，若 1 = 40 ，则 2的度
数为（ ）
° ∠ ° ∠
A．20 B．30 C．40 D．50
6．下列
°
四个选项中，正确的是
°
（ ）
° °
A．云南省位于中国西南部，与越南、老挝、缅甸接壤，边境线全长4060000米，是中国边境线最
长的省份之一．4060000用科学记数法表示为4.06 105
B．8名工人某天生产同一零件，生产的件数是15， ×17，14，10，15，19，17，15，这组数据的众
数和中位数都是15
C．一个数的绝对值是 3，这个数是3
D．甲乙两组同学参加学校知识竞赛，若甲乙两组同学平均成绩相同，甲组同学成绩方差 2 =3.8，
甲
乙组同学成绩的方差 2 =2.75，从两组中选择一组成绩好且发挥稳定的同学参加市上的比 赛，应
乙
该选甲组同学
7．如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点，连接 ， ．若 = 30 ，
则 的度数为（ ）
⊙ ⊥ ⊙ ⊙ ∠ °
∠
A．60 B．30 C．45 D．15
8．如图
°
，取一根长100cm 的
°
匀质木杆，用细绳绑在木
°
杆的中点 并将其吊起
°
来，在距离中点 的
左侧30cm 1 = 30cm 处挂一个重10N 1 = 10N 的物体，在中点 的右侧用一个弹簧秤向下拉 ，
使木杆处于 水平状态，弹簧秤与中点 的 距离 （单位：cm）及弹簧 秤的示数 （单位： ）满足 =
，以 的数值为横坐标， 的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则 关于 的函数图象大致是
1 1
（ ）
第 2 页 共 36 页A． B． C． D．
9．如图，在矩形 中，点 为 上一点，连接 ， ， 的平分线交 于点 ，若点
为 的中点， 平 分 ， 则 的 值为（ ） ∠
∠
A．1 B． 2 C． 3 D． 10
3 4 5 10
2 2
10．定义：若x，y 满足 = ， = （m为常数），则称 , 为“和谐点”．下列说法正确
3 3
− −
的是（ ）
① 2,2 是“和谐点”；②直线 = 2 +5 上有且只有一个“和谐点”；③当 > 2 时，反比例函数 =
的 图象上最多只有两个“和谐 点”−；④ 若二次函数 = 2 + + 的图象上有 3个“和谐点”，则 = 2
或 9． −
4
A．−①③ B．①④ C．②③ D．②④
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24/分）
11．分解因式：6 2 24 = ．
12．今年春节档电
影
−
《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟
龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学
选择观看相同影片的概率为 ．
13．如图， 是 的边 的中点， 平分 ， 于点 ，延长 交 于点 ，已知
= 10， =△15 ， = 3 ，则 的 周长 ∠ 为 ． ⊥
△
14．抛物线 = 1 2 2 3与 轴有两个交点，则 的取值范围是 ．
− − −
第 3 页 共 36 页15．如图，在平面直角坐标系中，点 2,0 ，直线 : = 3 + 3与x轴交于点B，以 为边作等
3 3
边 ，过点 作 轴，交直 线−l 于点 ，以 为 边作等边 ，过点 作
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
轴
△
，交
直
线l 于点
2
，
以
2∥ 2
为边作等边
2 2 3
，以
此
类推…，则点
△ 20 25
的
纵坐标
是
∥
．
△
16．如图，一块正方形工件 如图所示，工件的边长为4m，现在以 为圆心， 为半径作弧交
于 ，以 为圆心， 为半径作弧交 于 ，将图中阴影部分单独切割，则阴影部分工件的面积
为 ．
17．如图，等腰直角 中，斜边 = 4，点 、 分别为线段 和 上的动点 = 2 ，则
△
+ 2 的最小值为 .
18．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在 中， =
= 3，cos = 1，点 、 分别在边 、 上．如果四边形 是“邻补四边形△”， 那 么四 边 形
3
的面积 是 ．
第 4 页 共 36 页三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
19．（6分）计算 3 4 π 0 2sin60 + 1 ．
5
−
− − − − °
2
20．（6分）先化简： + ，然后在0，1，2中选取合适的值代入求值．
1 2 2 +1
− ÷ −
21．（8分）某班级同学对甲、乙两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，从甲、乙两块苹果园
采摘的苹果中各随机选取200个，在技术人员指导下测量每个苹果的直径，将其作为样本数据，并
整理、描述和分析（苹果的直径用 cm 表示，数据分为五组， :5.5 < 6.5， :6.5 < 7.5，
:7.5 < 8.5， :8.5 < 9.5， :9.5 < 10.5），部分信 息如下 ≤ ： ≤
≤ ≤ ≤
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求甲园样本频数分布直方图中 的值．
(2)已知乙园样本数据中， ， ， ，
， 五组数据的平均数分别取为6 cm，7 cm，8 cm，9 cm，10 cm，
计算乙园样本数据的平均数．
(3)下列结论一定正确的有________．（填序号）
①两园样本数据的中位数均在 组；
②两园样本数据的众数均在 组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．
(4)结合市场情况，将 ， 两组的苹果认定为一级， 组的苹果认定为二级，其他组的苹果认定为
三级，其中一级苹果的品质最优，二级次之，三级最次．哪个园的苹果品质更优？请说明理由．
第 5 页 共 36 页22．（8分）如图，在 中， = 6．点 在 的延长线上，连结 ．
△
(1)尺规作图：过点A 求作 的平行线，与 、 的交点分别为 、 ；
(2)在（1）的条件下，若点
是 的中点，
．试求 的长
度．
∥
23．（9分）某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑
售价比去年同期每台降价500元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为90000元，今年销售额
只有80000元．
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
(2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种
电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共
20台，问有几种进货方案？
(3)如果乙种电脑每台售价为3700元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返
还顾客现金 元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？
24．（9分）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆 绕点 匀速旋转，另一曲臂杆
始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图
，
此时
O、A、B在一条直线上．
已
知闸机高度 为1.2m， = = 1.5m， = 0.2m，入口宽度为3m．
第 6 页 共 36 页(1)如图2，因机器故障，曲臂杆 最多可逆时针旋转72 ，求此时点A 到地面的距离．（结果精确
到0.01）
°
(2)在（1）的条件下，一辆宽为2.64m、高为2.2m的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考
数据：sin72 0.95，cos72 0.31，tan72 3.0）
° ≈ ° ≈ ° ≈
25．（10分）二次函数 = 2 + + 2 4 （ 0， ， 为实数）．
4
−
(1)当 = 1， 0时，探 究 发 现二 次 函数的顶 点≠恰好在 直 线 = 上．
1
①直接
写出
的
≠
值为________________；
②若二次函 数与直线 1 有两个交点，设两个交点分别为 ( 1 , 1 )， ( 2 , 2 )，请证明| 1 2 | = 2；
若二次函数与直线 没有两个交点，请说明理由．
1 −
(2)若 > 0，直线 = + 1与二次函数 = 2 + + 2 4 相交于 1 , 和 ( , )两点，其中 0．
2
4
−
①求 的值； ≠
②当 1 3时，求二次函数 = 2 + + 2 4 的最大值．
4
−
≤ ≤
26．（10分）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换
美！
【特例感知】
(1)如图1，纸片 为矩形，且 = 20 厘米， = 10 厘米，点 ， 分别为边 ， 的中点，
沿 将纸片剪成两部分，将纸片 沿纸片 的对角线 方向向上平移．
①当纸片 平移至点 '与 的中点 重合时，两个纸片重叠部分 ' 的面积与原矩形纸片
的面 积 之 比是____ ____ ；
② 当 两个纸片重叠部分 ' 的面积与原矩形纸片 的面积之比是1时，则平移距离 '为_____；
16
【类比探究】
(2)如图2，当纸片 为菱形， = > 2 ， = 60 时，将纸片 沿其对角线 剪开，
∘
将纸片 沿 方 向 向 上平移． 当 两个 纸 片重叠部∠ 分 ' 的面积与纸 片 的面积之比 为 1时，
2
求平移 距 离 '（ 用含 的式子表示）；
第 7 页 共 36 页【拓展延伸】
(3)如图3，在直角三角形纸片 中， = 90 ， = 18 厘米， = 24 厘米，取 ， 中点
∘
， ，将 沿 剪开，得到四边形 和 ，将 绕点 顺时针旋转得到 ．在
△ ∠
旋转一周的过程中，求 面积的最大值．
△ △ △ △
△ △
第 8 页 共 36 页2025年中考押题预测卷（湖南省卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 1 的倒数是（ ）
4
A．1− B． 1 C．4 D． 4
4 4
【答案】C − −
【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题．
根据绝对值的意义和倒数的定义，即可得到答案．
【详解】解： 1 = 1，1的倒数是4；故选：C．
4 4 4
2．支原体是世−界上最小的微生物，其大小通常在0.1到0.05微米之间，比细菌还要小很多．1微
米= 0.000001 米，那么0.05微米用科学记数法表示为（ ）
A．0.5 10 6米 B．0.5 10 7米 C．5 10 8米 D．50 10 9米
− − − −
【答案】 ×C × × ×
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 10 的形式，其中1 < 10，
n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了
多
×
少位，n的绝对值与小
≤
数
点移动
的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进
行求解即可得到答案．
【详解】解：0.05微米= 0.05 10 6 = 5 10 8米，
− −
故选C．
× ×
3．我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以
下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（ ）
第 9 页 共 36 页A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果
旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中
°
心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：A．
4．下列运算中，计算正确的是（ ）
3
A． 2+ 3 = 5 B． 2 3 = 6 C． 2 = 5 D．( )2 = 2 2
【答 案】 D ⋅
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握相关运算法则是解题
关键．根据合并同类项，同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方逐项计算即可．
【详解】解：A、 2和 3不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、 2 3 = 5，原 计算 错误，不符合题意；
C、 2⋅ 3 = 6，原计算错误，不符合题意；
D、( )2 = 2 2，原计算正确，符合题意；故选：D．
5．如 图 ，已 知 直线 ∥ ，将含30 角的直角三角板 按如图方式放置，若 1 = 40 ，则 2的度
数为（ ）
° ∠ ° ∠
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案
°
】A
° ° °
【分析】本题考查了平行线的性质．利用两直线平行，同旁内角互补得到 1+ + + 2 =
180 ，代入数据计算即可求解． ∠ ∠ ∠ ∠
°
第 10 页 共 36 页【详解】解：∵ ∥ ，
∴ 1+ + + 2 = 180 ，
即 ∠40 +∠9 0 +30∠ + 2 =∠180 °
∴ 2°= 20 ° ，故选 ° ： ∠A． °
6．
∠
下列四
°
个选项中，正确的是（ ）
A．云南省位于中国西南部，与越南、老挝、缅甸接壤，边境线全长4060000米，是中国边境线最
长的省份之一．4060000用科学记数法表示为4.06 105
B．8名工人某天生产同一零件，生产的件数是15， ×17，14，10，15，19，17，15，这组数据的众
数和中位数都是15
C．一个数的绝对值是 3，这个数是3
D．甲乙两组同学参加学校知识竞赛，若甲乙两组同学平均成绩相同，甲组同学成绩方差 2 =3.8，
甲
乙组同学成绩的方差 2 =2.75，从两组中选择一组成绩好且发挥稳定的同学参加市上的比 赛，应
乙
该选甲组同学
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法、求众数和中位数、绝对值、方差，熟练掌握相关知识点是解题的
关键．根据科学记数法、求众数和中位数、绝对值、方差等知识点，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A、4060000用科学记数法表示为4.06 106，故此选项不正确，不符合题意；
B、这组数据重新排序得：10，14，15，15，15，17，×17，19．众数是15，中位数是15+15 =15，故
2
此选项正确，符合题意；
C、一个数的绝对值是 3，这个数是3或 3，故此选项不正确，不符合题意；
D、因为 2 > 2 ，所以从两组中选择一−组成绩好且发挥稳定的同学参加市上的比赛，应该选乙组
甲 乙
同学，故 此选项 不正确，不符合题意；故选：B．
7．如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点，连接 ， ．若 = 30 ，
则 的度数为（ ）
⊙ ⊥ ⊙ ⊙ ∠ °
∠
第 11 页 共 36 页A．60 B．30 C．45 D．15
【答案
°
】B
° ° °
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由
= ，可得 = = 30 ，推出 = 120 ，根据垂径定理可得 = = 1 ，推
2
出 = 60 ，∠最 后 根据∠圆 周 角定理°即可求∠解 ． °
【 ∠ 详 解 】解： ° = ，
= ∵ = 30 ，
∴∠ = 1∠8 0 ° = 180 30 30 = 120 ，
交 于点 ，
∴∠ °−∠ −∠ °− °− ° °
∵ =⊥ =⊙1 ，
2
∴ = = 1 = 60 ，
2
∴∠ ∠ ∠ °
= ，
∵ = 1 = 30 ，故选：B．
2
∴8．∠ 如图，∠取 一 根长°100cm 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 并将其吊起来，在距离中点 的
左侧30cm 1 = 30cm 处挂一个重10N 1 = 10N 的物体，在中点 的右侧用一个弹簧秤向下拉 ，
使木杆处于 水平状态，弹簧秤与中点 的 距离 （单位：cm）及弹簧 秤的示数 （单位： ）满足 =
，以 的数值为横坐标， 的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则 关于 的函数图象大致是
1 1
（ ）
A． B．
第 12 页 共 36 页C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是掌握杠杆原理，能得出 与 的函
数关系式. 根据杠杆原理得出 与 的函数关系式，再检验各数对是否满足函数解析式即可
．
【详解】解：根据杠杆原理可 得， = 10 30 = 300，
= 300 0< 50 ， · ×
是 的反比例函数，
∴ · ≤
∴
选
项
A、D不符合题意；
∴ 25 25 = 625 300，15 20 = 300，
∵ 选项 ×C 不符合题 ≠ 意；选项 ×B 符合题意；故选：B．
∴9．如图，在矩形 中，点 为 上一点，连接 ， ， 的平分线交 于点 ，若点
为 的中点， 平 分 ， 则 的 值为（ ） ∠
∠
A．1 B． 2 C． 3 D． 10
3 4 5 10
【答案】A
【分析】利用矩形的性质结合 平分 、 平分 得 = 、 = ，设 = 、 =
= ，可得 = 2 、 = = ∠+ 、 = ∠= +2 ， 利用 勾股 定理 建 立方 程 + 2 +
2 2 = +2 2，得 = 2 ，求 出 = + = 3 ， 即 可求解 的值．
【 详解】 解： 四边形 是矩形 ，
∥ ， ∵ = ， = ， = = = 90 ，
∴ = ， ∠ ∠ ∠ °
平分 ，
∴ ∠ ∠
∵ =∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ． ∠
∴
第 13 页 共 36 页平分 ，
∵ =∠ = 45 ，
∴ ∠ = ∠ = 45° ，
∴ ∠ = ， ∠ °
点 为 的中点，
∴
∵ = ．
∴ 设 = ， = = ，则 = 2 ， = = + = + ， = = = + = +
2 ，
在Rt 中， 2 + 2 = 2，
∵ + △ 2 + 2 2 = + 2 2，
∴ = 2 ，
∴ = + = 3 ，
∴ = = 1 ．故选 ：A．
3 3
∴【 点 睛】 本题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股
定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
2 2
10．定义：若x，y 满足 = ， = （m为常数），则称 , 为“和谐点”．下列说法正确
3 3
− −
的是（ ）
① 2,2 是“和谐点”；②直线 = 2 +5 上有且只有一个“和谐点”；③当 > 2 时，反比例函数 =
的 图象上最多只有两个“和谐 点”−；④ 若二次函数 = 2 + + 的图象上有 3个“和谐点”，则 = 2
或 9． −
4
A．−①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确
2 2
掌握相关性质内容是解题的关键．分别把 2,2 代入 = 和 = ，都求出 = 2，即可判
3 3
− −
−=
2 2
断①；先整理得 = ， = 得 = 或当 , + = 3，再结合 = ，得出 ，则 2
3 3 =
− −
≠ − −
=0，求出 = 4 > 0，此时反比例函数 = 的图象上有两个“和谐点”；同理结合 > 2，得
+ = 3Δ
，得 可以为正数，零，负数，即可判断③；把 = 或当 , + = 3与 = 2 + +
=
−
Δ ≠ −
构建 方 程组，再结合判别式进行分析，即可作答．
第 14 页 共 36 页2
【详解】解：依题意，把 2,2 代入 = ，
3
−
∴2 =
22
，
3
−
∴ = 2；
2
把 2,2−代入把 = ，
3
−
∴
2 =
22
，
3
−
∴ = 2；
∴ 2,2− 是“和谐点”；
故①说法是正确的；
2
依题意，把 = 2 +5 代入 = ，得 = 2 +6 15，
3
−
− 2 −
再把 = 2 +6 15代入 = ，
3
−
得3 2 2 9 +4 0−= 0，
解得 =−8 或 = 5；
3
∴直 线 = 2 +5 上有两个“和谐点”；
故②说法是错误的；
−
2 2
∵ = ， = ，
3 3
− −
∴ 3 = 2 ，3 = 2 ，
则3 3 −= 2 −2 ，
∴3 − = 2− 2，− −
∴ 3 − = − + ，
∴ −= 或 − 当 ,− + = 3，
∵ 反比 例函数 ≠= 的 图 象上−
=
∴依题意，则 ，
=
∴ 2 =0，
则 =− 2 4 = 4 ，
∵ Δ> 2 ， −
∴ = 4 > 0，
此Δ时反比 例函数 = 的图象上有两个“和谐点”；
第 15 页 共 36 页+ = 3
或 ，
=
−
∴ 2+ 3 + =0，
= 9 4 ，
Δ
∵ >−2，
∴ 可以为正数，零，负数，
综Δ上当 > 2 时，反比例函数 = 的图象上最多只有四个“和谐点”；
故③说 法是错误的；
∵二次函数 = 2 + + ，
+ = 3
依题意，则 ，
= 2+ +
−
∴ 2+2 + +3= 0，
= 4 4 1 +3 = 0，
Δ 解得 −= ×2， ×
∴ = 2 −+ + 与 + = 3有一个“和谐点”；
=
∴ ， −
= 2+ +
∴ 2+ =0，
∴ = 0 4 ，
∵ Δ= 2− ，
∴ =−8 > 0，
则 Δ= 与 = 2 + + 有两个“和谐点”；
故 二次 函数 = 2 + + 的图象上有3个“和谐点”，则 = 2；
=
当 ， −
+ = 3
解得 = −= 3，
2
把 3 , 3 代 − 入 = 2 + + ，
2 2
∴ −3 = − 3 2 + 3 + ，
2 2 2
解−得
=
−9， −
4
=
−
此时 ，
= 2+ +
∴ 2+ =0，
∴ = 0 4 = 9 > 0，
Δ −
第 16 页 共 36 页此时有2个“和谐点”，
+ = 3
则 ，
= 2+ +
−
∴ 2+2 + +3= 0，
= 4 4 1 9 +3 = 1 > 0，
4
Δ此时有−2个ד和×谐−点”，
但有一个点是重合的，则二次函数 = 2 + + 的图象上有3个“和谐点”，
综上：二次函数 = 2 + + 的图 象上 有3 个“ 和谐点”，则 = 2或 9．
4
故④说法是正确 的； 故选 ：B ． − −
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24/分）
11．分解因式：6 2 24 = ．
【答案】6 +2 − 2
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．先提取公
−
因式，再套用公式分解即可．
【详解】解：6 2 24
= 6 2 22 −
= 6 +−2 2 ．故答案为：6 +2 2 ．
12．今
年春节
−
档电影《哪吒之魔童
闹海》《
−
封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟
龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学
选择观看相同影片的概率为 ．
【答案】1
4
【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练
掌握用列表法或树状图法求概率．
运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解．
【详解】解：分别记《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟
龙行动》为 、 、 、 ，画树状图如下：
一共有16
种等
可能
的
情况，其中两位同学选择观看相同影片的情况共有4种，
∴这两位同学选择观看相同影片的概率为4
=
1．故答案为：1．
16 4 4
∴ 第 17 页 共 36 页13．如图， 是 的边 的中点， 平分 ， 于点 ，延长 交 于点 ，已知
= 10， =△15 ， = 3 ，则 的 周长 ∠ 为 ． ⊥
△
【答案】41
【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，证明 ，
得到 = = 10， = ，根据三角形中位线定理求出 ，计算即可，掌 △ 握 三 角 ≌ 形 △ 的 中 位 线
平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解： 平分 ， ，
1 = 2, ∵ = ∠ = 90 ， ⊥
1= 2
∴ ∠ ∠ ∠ ∠ °
在 和 中， = ，
∠ = ∠
△ △
ASA ，
∠ ∠
∴△ = ≌△= 1 0， = ，
是 的边 的中点，
∴
是 的中位线，
∵ △
∴ = 2△ = 6，
∴ 的 周 长= + + = + + + = 41，故答案为：41．
∴14△ ． 抛 物线 = 1 2 2 3 与 轴 有 两个 交点 ， 则 的取值范围是 ．
【答案】 > 2且 − 1 − −
3
【分析】本 题考查 抛≠物线与x轴的交点，该抛物线与 轴有两个交点，则方程 1 2 2 3= 0
有两个不相等的实数根，可得 > 0，进而可得答案． − − −
【详解】解：∵抛物线 = Δ 1 2 2 3与 轴有两个交点，
= 2 2 4 1 3 >0
∴ − −， −
1 0
Δ − − × − × −
解得 > 2且 1− ，故 ≠ 答案为： > 2且 1．
3 3
15．如 图，在 ≠ 平面直角坐标系中 ，点 ≠ 2,0 ，直线 : = 3 + 3与x轴交于点B，以 为边作等
3 3
边 ，过点 作 轴，交直 线−l 于点 ，以 为 边作等边 ，过点 作
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
轴
△
，交
直
线l 于点
2
，
以
2∥ 2
为边作等边
2 2 3
，以
此
类推…，则点
△ 20 25
的
纵坐标
是
∥
．
△
第 18 页 共 36 页【答案】 3 22025 1
2
−
【分析】根据 : = 3 + 3求出点B 的坐标，得到 = 1，根据等边三角形的性质，分别求得 、
1 2
3 3
、 的纵坐标，进而得到 的纵坐标，可得点 的纵坐标．本题主要考查了图形规律题，结合
3 2025
一 次函数的性质，等边三角 形的性质求解是解题 的关键．
【详解】解：∵直线 : = 3 + 3与x轴交于点B，
3 3
把 = 0 代入得：0 = 3 + 3 ，
3 3
解 得： = 1，
∴ 1 ,0 − ，
∴ −= 1，
∵ 2,0 ，
∴ −= 2，
∴ = 1，
∵ 是等边三角形，
1
∴△ = 1 + = 1 +1 = 3，
1 2 2 2
− −2 − 2
∴ = 2 1 = 12 1 = 3
1 1 2 2 2
∴ −3 , 3 ， − − − −
1
2 2
把 = −3代入 : = 3 + 3得， = 1，
2 3 3 2
∴ 1 , 3 ，
1
2 2
∴ =2，
1 1
同 理得 1 , 3 3 ，
2
2 2
把 = 3 3代 − 入 : = 3 + 3得， = 7，
2 3 3 2
∴ 7 , 3 3 ，
2
2 2
第 19 页 共 36 页∴ =4，
2 2
∴ 同理 得 3 , 7 3 ，
3
2 2
……，
∴ 的纵坐标为 3 2 1 ，
2
−
∴ 点 的纵坐标是 3 22025 1 ．故答案为： 3 22025 1 ．
2025
2 2
− −
16．如 图，一块正方形工件 如图所示，工件的边长为4m，现在以 为圆心， 为半径作弧交
于 ，以 为圆心， 为半径作弧交 于 ，将图中阴影部分单独切割，则阴影部分工件的面积
为 ．
【答案】 16 4 3 8 cm2
3
π
【分析】本题−考查了−正方形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的
计算是关键．
根据题意， =42 =16m2，以 为圆心， 为半径作弧交 于 ，以 为圆心， 为半径
正方形
作弧交 于 ，如 图 所 示，两弧交于点 ，连接 , ，过点 作 于点 ， 是 等边三
角形， 则 = 1 = 1 4 2 3 =4 3 cm 2 ， = ⊥ = 30 42 △= 4 m 2 ，则
2 2 扇形 扇形 360 3
°×π× π
+ △ = 2 · 4 = 8× m ×2 ，由此即可求解． °
扇形 扇形 3 3
π π
【详 解 】解 ：∵ 四 边形× 是正方形，
∴ =42 =16m 2 ，
正方形
∵ 以 为圆 心 ， 为半径作弧交 于 ，以 为圆心， 为半径作弧交 于 ，如图所示，两弧交
于点 ，连接 , ，过点 作 于点 ，
∴ = = = = = 4 ，⊥
第 20 页 共 36 页∴ 是等边三角形，
∴△ = 1 = 2m, = 3 = 2 3m，
2
∴ = 1 = 1 4 2 3 =4 3 cm2 ，
2 2
∴ △ = · = 60×，则× = = 30 ，
∴∠ =∠ =°30 ∠4 2 = 4 m∠2 ， 则 ° + =2 4 = 8 m2 ，
扇形 扇形 360 3 扇形 扇形 3 3
°×π× π π π
∴ 阴影 部 分的 面积 = 16 4 ° 3 8 cm2 ，故 答案 为 ： 16 4 3 8× cm2 ．
3 3
π π
− − − −
17．如图，等腰直角 中，斜边 = 4，点 、 分别为线段 和 上的动点 = 2 ，则
△
+ 2 的最小值为 .
【答案】2 10
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段的最值问题，解题的关键是熟练掌
握以上性质，并灵活应用．
作 并且使得 = 4，连接 ，证明 ，推出 = 2 ，则 + 2 =
+ ⊥ ， 可得当 、 、 三点共线 时 ， +△ 取 到∽最△小 值 ，此时 + = ，反 向延长 ，
过点 作 于点 ，用勾股定理求解即可．
⊥
【详解】解：作 并且使得 = 4，连接 ，
根据题意可得 = ⊥ = 2 = 2 2 ，
2
∴ = = 2 ，
∴ ，
∴△ = ∽2△ ，
∴ + 2 = + ，
第 21 页 共 36 页当 、 、 三点共线时， + 取到最小值，此时 + = ，
延长 ，过点 作 于点 ，连接 ，
∴ = = 2 =⊥2，
2
在Rt 中，由勾股定理得： = 22 +62 = 2 10，
△
∴ + 2 的最小值为 2 10，故答案为：2 10．
18 ． 我们把 只 有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在 中， =
= 3，cos = 1，点 、 分别在边 、 上．如果四边形 是“邻补四边形△”， 那 么四 边 形
3
的面积 是 ．
【答案】32 2或16
2
25 9
【分析】本题考查了解直角三角形，“邻补四边形”的定义．分四种情况讨论，作 于点 ，
利用四边形 的面积= ，列式计算即可求解．
⊥
【详解】解 ： 作 于点 △ ， − △
∵ = ， ⊥ ，
∴ = ， ⊥
在 R t 中，cos = = 1，
3
∵ △= 3，
∴ = = 1，
∴ = 2 ， = 2 2 = 2 2，
∵ 四 边形 是“ 邻 补−四 边 形”，
分情况讨论，
①当 = 时，
∵ = 3， = 2，
∴这种情况不符合题意，舍去；
②当 = 时，由题意得 + = 180 ，
∴ = 1 80 =∠ ， ∠ °
∠ °−∠ ∠
第 22 页 共 36 页∵ = ，
∴ = ，
∴ ∠ ∠= ，
∴点 和点 重合，
∠ ∠
∴这种情况不符合题意，舍去；
③当 = 时，同②得 = = ，
∴ = ， ∠ ∠ ∠
∴ = = ，
∴ = = = 1 = 1，
2
作 于点 ，
∴ ⊥= ，
∵ co s = c os = = 1，
3
∴ = 1， = 2 = 2，
3 3
∴ = 2 2 = 2 2，
3
∴ 四 边形 − 的 面积是= = 1 2 2 2 1 2 2 2 = 16 2；
2 2 3 3 9
△ − △ × × − × ×
④当 = 时，
同理 = = ，
∴ ∠ = ， ∠ ∠
设 = ， 则 = 2 = 2 ， = = = 3 = 3 2 ，
∵ co s = cos = = 1 ， − −
3
第 23 页 共 36 页∴ = 3 ，即3 2 = 3 ，解得 = 3，
5
则 = 3， = 6， − = 2 2 = 6 2，
5 5 5
∴ 四 边形 的面 积 是= − = 1 2 2 2 1 6 6 2 = 32 2；
2 2 5 5 25
故答案为 ： 3 2 2或16 2． △ − △ × × − × ×
25 9
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
19．（6分）计算 3 4 π 0 2sin60 + 1 ．
5
−
【答案】4 − − − − °
【分析】本题主要考查零指数幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂、实数的运算，熟练掌握各个
运算法则是解题关键．先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减
法即可．
【详解】解：原式= 3 1 2 3 +5，
2
= 3 1 3+5， − − ×
= 4．− −
2
20．（6分）先化简： + ，然后在0，1，2中选取合适的值代入求值．
1 2 2 +1
【答案】 1，1 − ÷ −
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同
−
时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
2
【详解】解： +
1 2 2 +1
2 − ÷ 2−
= +
1 1 1 2
−
÷
2 − −1 2 −
=
1 2
−
= 1，⋅
−
∵
−
0， 1，
∴ x取 ≠ 2， 则 ≠ 原式= 2 1 = 1．
21．（8分）某班级同
−
学对甲、乙两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，从甲、乙两块苹果园
采摘的苹果中各随机选取200个，在技术人员指导下测量每个苹果的直径，将其作为样本数据，并
整理、描述和分析（苹果的直径用 cm 表示，数据分为五组， :5.5 < 6.5， :6.5 < 7.5，
:7.5 < 8.5， :8.5 < 9.5， :9.5 < 10.5），部分信 息如下 ≤ ： ≤
≤ ≤ ≤
第 24 页 共 36 页请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求甲园样本频数分布直方图中 的值．
(2)已知乙园样本数据中， ， ， ，
， 五组数据的平均数分别取为6 cm，7 cm，8 cm，9 cm，10 cm，
计算乙园样本数据的平均数．
(3)下列结论一定正确的有________．（填序号）
①两园样本数据的中位数均在 组；
②两园样本数据的众数均在 组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．
(4)结合市场情况，将 ， 两组的苹果认定为一级， 组的苹果认定为二级，其他组的苹果认定为
三级，其中一级苹果的品质最优，二级次之，三级最次．哪个园的苹果品质更优？请说明理由．
【答案】(1)40；(2)7.9cm；(3)①；(4)乙园的苹果品质更优，理由见解析
【分析】本题主要考查频数分布直方图、加权平均数、中位数、众数等知识点，从统计图中获取所
需信息是解题的关键．
（1）用200分别减去其它各组的频数可得a的值；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）分别根据中位数、众数和极差的定义解答即可；
（4）根据统计图数据求出比例判断即可．
【详解】（1）解： = 200 15 70 50 25 = 40；
（2）解：E组占百分 比为1− 10−% 2−5% −35% 25% = 5%，
6 200 10%+7 200 25%+8 200 35%+9 200 25%+10 200 5%
− − − − =7.9
200
× × × × × × × × × ×
∴乙园样本数据的平均数为7.9cm；
（3）解：由统计图可知，两园样本数据的中位数均在C 组，故①正确；
每一组的数据是一个范围，甲园的众数，乙园的众数是不能确定具体在哪一组，故②结论错误；
两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③结论错误；故答案为：①；
（4）解：乙园的苹果品质更优，
理由如下：由样本数据频数分布直方图可得，
第 25 页 共 36 页甲园一级苹果所占比例为50+40 100% =45%，
200
乙园一级苹果所占比例为35%×+25% = 60%，大于甲园，
因此可以认为乙园的苹果品质更优．
22．（8分）如图，在 中， = 6．点 在 的延长线上，连结 ．
△
(1)尺规作图：过点A 求作 的平行线，与 、 的交点分别为 、 ；
(2)在（1）的条件下，若点
是 的中点，
．试求 的长
度．
【答案】(1)见解析；(2)3
∥
【分析】本题主要考查角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练
掌握角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交 , 于两点，然后再以点A 为圆心，根据角的尺规
作图进行作图即可；
（2）由题意易得四边形 是平行四边形，则有 = ，然后可得 ，
，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
△ ∽△ △ ∽△
【详解】（1）解： 为所求作的线，所作图形如下：
（2）证明：
，
四边形 是平行四边形，
∵ ∥ ∥
∴ = ，
∵ ，
∴
，
∥
∴△ = ∽，△
∴点 是 的中点，
∵ = 1 = 1 ，
2 2
∴ = ，
∴ 第 26 页 共 36 页∥ ，
，
∵
∴△ = ∽=△
1，
2
∴ = 6 ，
∵ = 1 = 3．
2
∴23 ． （9分 ）某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑
售价比去年同期每台降价500元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为90000元，今年销售额
只有80000元．
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
(2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种
电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共
20台，问有几种进货方案？
(3)如果乙种电脑每台售价为3700元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返
还顾客现金 元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？
【答案】(1) 4000元；(2)5种；(3) = 200；甲种电脑8台，乙种电脑12台
【分析】（1）设今年三月份甲种电
脑每台售价 元，则去年每台( +500)元，然后由卖出相同数量
的电脑，而去年销售额为90000元，今年销售额
只有80000元列出
方程求解即可；
（2）设购甲种电脑 台，则乙种电脑 20 台，然后由甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑
每台进价为3000元 ，公司预计用不多于6−60 00元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共 20
台，列出不等式求解即可得到答案；
（3）设甲种电脑 台，总获利为 元，然后根据题意求出关系式，再由使（2）中所有方案获利相
同，求解即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，函数关系式的使用，解题的
关键在于能够准确读懂题意，找到等量关系与不等关系，列出分式方程与不等式求解即可．
【详解】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价 元，则去年每台 +500 元．
依题意，得：90000 80000 =0，解得 = 4000．
+500
检验可知 = 4 000 是−方 程的解，且符 合题意．
答：今年
三月份甲种电脑每台售价4000元．
（2）设购甲种电脑 台，则乙种电脑 20 台．
依题意，得：64000 3500 +3000 20 − 66000，
解得：8 12．
≤ − ≤
≤ ≤
第 27 页 共 36 页∵ 为正整数，
∴ = 8，9，10，11，12
∴
共有5种进货方案．
答：一共有5种进货方案；
（3）设甲种电脑 台，总获利为 元．则：
= 4000 3500 + 3700 30 00 20 = 200 +14000 20 ．
∵要使（2）
−
中所有
方案获利相
−
同，
− − − −
∴ 的结果与 无关，
∴ 200 = 0 ，
∴ −= 200．
∴
购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利
答： 的值为200，购买甲种电脑8台，乙种电脑 12台时对公司更有利．
24．（
9分）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆 绕点 匀速旋转，另一曲臂杆
始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图
，
此时
O、A、B在一条直线上．
已
知闸机高度 为1.2m， = = 1.5m， = 0.2m，入口宽度为3m．
(1)如图2，因机器故障，曲臂杆 最多可逆时针旋转72 ，求此时点A 到地面的距离．（结果精确
到0.01）
°
(2)在（1）的条件下，一辆宽为2.64m、高为2.2m的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考
数据：sin72 0.95，cos72 0.31，tan72 3.0）
【答案】(1)2°.≈43m；(2)不能通
° ≈
过，见解析
° ≈
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
（1）过点A作 ，垂足为F，过点O 作 ，垂足为G，易得四边形 为矩形，得
到 = ，解 R t⊥ ，求出 的长，利用 ⊥+ 求出 的长即可；
（ 2） 当 ， △ 且 = 2.2m 时 ，设 交 于点 P，解直 角三角形求出 的长，进而求出
的长，即可得出结论．
⊥
【详解】（1）解：过点A 作 ，垂足为F，过点O作 ，垂足为G．
⊥ ⊥
第 28 页 共 36 页∴ = = 90 ，
∵ ∠ = 9∠0 ， °
∴四边形 为矩形．
∠ °
∴ = ，
由 题 意， 得 = ， = 72 ， = 0.2m．
在Rt 中 ， =∠1 .5 m ， °
∴ △= sin72 1.5 0.95 = 1.425 m ．
∵ = 1. 2m⋅ ， °=≈0.2m× ，
∴ = = = 1.2 0.2 = 1 m ，
∴ = + =−1 .4 25+1 =−2.425 2.43 m ，
∴
此
时点
A到
地
面的距离约为2.43m．
≈
（2）一辆宽为2.64m、高为2.2m的货车不能顺利通过入口．
理由：如图，当 ，且 = 2.2m 时，设 交 于点P，
由题意，得 = ， = = 1m，
⊥
∴ = = 2.2 1 = 1.2 m ．
在 R t − 中 ， −= 72 ，
∴ △= 1.2 ∠= 0 .4 m ，°
tan72 3
∴ = °=≈0.4m．
∵
入
口宽
度
为 3m，
∴ = = 3 0.4 = 2.6 m ．
∵ 2. 6m < 2.6−4 m ， −
∴一辆宽为2.64m、高为2.2m的货车不能顺利通过入口．
第 29 页 共 36 页25．（10分）二次函数 = 2 + + 2 4 （ 0， ， 为实数）．
4
−
(1)当 = 1， 0时，探 究 发 现二 次 函数的顶 点≠恰好在 直 线 = 上．
1
①直接
写出
的
≠
值为________________；
②若二次函 数与直线 1 有两个交点，设两个交点分别为 ( 1 , 1 )， ( 2 , 2 )，请证明| 1 2 | = 2；
若二次函数与直线 没有两个交点，请说明理由．
1 −
(2)若 > 0，直线 = + 1与二次函数 = 2 + + 2 4 相交于 1 , 和 ( , )两点，其中 0．
2
4
−
①求 的值； ≠
②当 1 3时，求二次函数 = 2 + + 2 4 的最大值．
4
−
【答案】≤( 1)≤①2；②有两个交点 ，证 明 见解 析；
(2)① 的值为4；
②当 > 2且 0时最大值为9 +12；
3
当 2 − 2时 ≠ ，最大值为 4；
3
当−<≤2 时≤−，最大值为 +4．−
【 分析−】 1 ①当 = 1， 0时，二次函数 = 2 + + 2 4 的解析式为 = 2 + + 2 4 ，
4 4
− −
可以求出二次函数 的顶点坐 ≠标为 , ，因 为二 次 函数 的顶点恰好在直线 = 上 ， 可得： =
1
2
− − −
，从而求出 的值；
2
②− 将× = 2 带入 = ，可得： =2 ，因为二次函数与直线 有两个交点，所以方程4 2 +(4
1 1 1
8) + ( 2 4 ) = 0 有 两个不相等 的实 数根，根据一元二次方程 根与系数的关系可得， 1 + 2 =2 −
； =− 2 4 ，再利用| | = ( + )2 4 计算求值即可； −
1 2 4 1 2 1 2 1 2
−
2 ① 根据点 在二次函数 和 − 上，可得 ： + 1− = 1 + + 2 4 ，解方程求出 的值即可；
2
−
②首先根据 的 取值范围求出 不同情况时抛 物线 的 对称 轴， 再根据 1 3与抛物线的对称轴所
在的位置之间的关系，利用二次函数的图象与性质分分情况求解．
≤ ≤
【详解】（1）解：①当 = 1， 0时，
二次函数 = 2 + + 2 4 的解 析≠式为 = 2 + + 2 4 ，
4 4
− −
当 = = 时， = 2 2 + 2 4 = 4 = ，
2 2 4 2 4 4
− −
二 次−函数 的−顶点坐 标为 − , ， −
2
∴又 二次函数的顶点恰好在−直线− = 上，
1
∵
第 30 页 共 36 页= ，解得： = 2，故答案为：2；
2
②∴−将 =−2 带×入 = ，
1
可得 ： 1 =2 ，
又 = 2 + + 2 4 ，
4
−
可 ∵ 得： 2 + + 2 4 =2 ，整理得：4 2 +(4 8) +( 2 4 ) = 0，
4
−
= (4 8 )2 4 4( 2 4 ) = 64 > 0， − −
二次函数与 恒有两个交点，
∴Δ − 1− × −
∴ + =2 ； = 2 4 ，
1 2 1 2
4
−
∴ −
| | = ( + )2 4 = 4 = 2，
1 2 1 2 1 2
∴| − | = 2； −
1 2
∴
（2
）
−
解
：① 在二次函数和
2
上，
+ 1 = ，1∵+ + 2 4 = ，
−
∴ 可得 ： + 1 = 1 + + 2 4 ， 解得： = 0 或 = 4，
−
> 0 ，
∵ = 4，
∴ = 4；
② ∴ 由①知 = 4，
二次函数 的解析式为 = 2 +4 ，
∴抛物线的对称轴 = 4 = 2，
2
∴当 > 0 时，二次函 数−开 口向−上 ，
如下图所示： 对称轴 = 2 < 1，
在1 3时， 随 的增大而增大，
∴ −
∴ 在 =≤3 时 ≤ ， 取最 大值 为9 +12；
∴ 当 < 0 时，二 次函数开口向 下，
Ⅰ 当对称轴 = 2 > 3 时，解得： > 2，
3
− 第− 31 页 共 36 页2 < < 0，
3
∴−
如下图所示：
此时二次函数在1 3上的图象， 随 的增大而增大，
在 = 3 时， 取得 ≤ 最 大 ≤ 值为9 +12；
∴Ⅱ 当1 2 3时，
解得： 2 ≤− ≤ 2，
3
− ≤ ≤−
如下图所示：
此时二次函数在1 3上的图象，当 = 2时 取得最大值 4
Ⅲ当对称轴 2 < ≤ 1 时 ≤ ， − −
解得： < 2−，
−
如下图所示：
此时二次函数在1 3上的图象， 随 的增大而减小，
当 = 1 时，y取最 ≤ 大 值 ≤ 为 +4．
∴综上 所述：当 > 2且 0 时最大值为9 +12；当 2 2时，最大值为 4，当 < 2时，
3 3
最大值为 +4 ． − ≠ − ≤ ≤− − −
第 32 页 共 36 页【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二交函数与一次函数的综合、一元二次方程根与
系数的关系、分类讨论的思想，解决本题的关键是利用分类讨论的思想，分情况求解．
26．（10分）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换
美！
【特例感知】
(1)如图1，纸片 为矩形，且 = 20 厘米， = 10 厘米，点 ， 分别为边 ， 的中点，
沿 将纸片剪成两部分，将纸片 沿纸片 的对角线 方向向上平移．
①当纸片 平移至点 '与 的中点 重合时，两个纸片重叠部分 ' 的面积与原矩形纸片
的面 积 之 比是____ ____ ；
② 当 两个纸片重叠部分 ' 的面积与原矩形纸片 的面积之比是1时，则平移距离 '为_____；
16
【类比探究】
(2)如图2，当纸片 为菱形， = > 2 ， = 60 时，将纸片 沿其对角线 剪开，
∘
将纸片 沿 方 向 向 上平移． 当 两个 纸 片重叠部∠ 分 ' 的面积与纸 片 的面积之比 为 1时，
2
求平移 距 离 '（ 用含 的式子表示）；
【拓展延伸】
(3)如图3，在直角三角形纸片 中， = 90 ， = 18 厘米， = 24 厘米，取 ， 中点
∘
， ，将 沿 剪开，得到四边形 和 ，将 绕点 顺时针旋转得到 ．在
△ ∠
旋转一周的过程中，求 面积的最大值．
△ △ △ △
△ △
【答案】(1)①1；②5 2 5或5 2+5；(2) 2 2 ；(3)144 平方厘米
8 2
−
【分析】（1）①先利用−平移的性质证明四边形 ' 是矩形，再利用等腰直角三角形的性质分别
求出 '和 ' 的长，再利用矩形的面积公式计算 ' 和 的面积，即可求解；②设 ' =
厘米 ， 则 ' = 10 2 厘米，表示出四边形 ' 的面 积 ， 再结合题意列出方程，解出 的值 即
可解答； −
（2）利用平移的性质得到 ' ∥ ，推出 ' ，再利用相似三角形的性质得出 ' =
2 ，即可求解； △ ∽△
2
第 33 页 共 36 页（3）过点 作 于点 ，利用勾股定理求出 = 30 厘米，结合点 ， 是 ， 的中点，
得出 = 1 = 1⊥5 厘 米， = 1 = 12 厘米， = 1 = 9 厘米，利 用旋 转 的 性质 得到 =
2 2 2
= 1 2 厘米 ， = = 9 厘米， 分 析可知当 最 大时 ， 面积最大，结合图形利用线 段的
性质求出 的最大值，即可求出 面积的最大值．
△
【详解】
（
1）解：① 为矩
△
形
，
= = 20 厘米， ∵ = 90 ， ∥ ，
点 ， 分别为边 ， 的中点，
∴ ∠ °
∵ = 1 = 10 厘 米， = 1 = 10 厘米，
2 2
∴ = ，
∴ ∥ ， = 90 ，
四边形 是矩形，
∵ ∠ °
∴ 又 = = 10 厘米，
矩形 是正方形，
∵
∴ = = 45 ， = 90 ， = 2 = 10 2厘米，
∴由∠平 移 的性∠质 得 ， ' '°∥∠ ， ' '∥° ，
∥ ，
' '∥ ，
∵
∴ 又 = 90 ，
四边形 ' 是矩形，
∵ ∠ °
点 '与 的中点 重合，
∴
∵ ' = ' = 1 = 5 2厘米，
2
∴ ' = ' = 90 ， = = 45 ，
' '
∵ ∠ ' 和∠ ' 都是°等腰∠ 直 角 三角∠ 形 ， ' =° = 5 厘米， ' = =5 厘米，
2 2
∴△ △ = ' ' = 25 平方厘米，
矩形 '
∴ ⋅
= = 200 平方厘米，
矩形
∵ ' 的 面积 与 ⋅ 原 矩形纸片 的面积之比是25 = 1．故答案为：1．
200 8 8
∴② 由 ① 中的结论得，四边形 ' 是矩形， ' 和 ' 都是等腰直角三角形，
设 ' = 厘米，则 ' = 10 2 厘米，△ △
' ' −
' = = 厘米， ' = = 10 厘米，
2 2 2 2
∴ −第 34 页 共 36 页= ' ' = 10 ，
矩形 '
2 2
∴ ' 的 面积 与 原⋅ 矩 形纸片 − 的面积之比是1， =200 平方厘米，
16 矩形
∵ 1 0
2 2 = 1，解得： =5 2 5， =5 2+5，
1 1
20−0 16
∴平移距离 '为5 2 5 或5 2+−5．故 答案为：5 2 5或5 2+5．
∴（2）解： 纸 片 −为菱形， = 60 ， −
∘
=∵ = 1 ，∠ 和 为等边三角形，
菱形
2
∴纸 △片 沿 △ 方向向 上 平 移 ，△ △
' ∥ ，
∵
' ，
∴
∴△两个 纸 片∽重△叠 部 分 ' 的面积与纸片 的面积之比为1，
2
∵ '
=
' 2
=
' 2
=
1，
2
△
∴ △ ' = 2 ，
2
∴ ' = ' = 2 = 2 2 ．
2 2
−
∴ − −
（3）解：如图，过点 作 于点 ，
= 90 ， = 18 厘米， = 24 厘米，
⊥
∘
∵ ∠ = 2 + 2 = 182 + 2 42 = 30 厘米，
∴点 ， 是 ， 的中点，
∵ = 1 = 15 厘 米， = 1 = 12 厘米， = 1 = 9 厘米，
2 2 2
∴由 旋 转的 性 质得， = = 12 厘 米， = = 9 厘 米 ，
= 1 = 6 ，
2
∵当 △ 上 的高 线⋅ 最大 时 ，则 面积最大，
，
∴ △
当点 和点 重合时，且 旋转到 外侧时，此时 最大，
∵ ≤
，
∴ △
此时 、 、 三点共线，
∵ ⊥
∴
第 35 页 共 36 页即 = = + = 15+9 = 24 厘米，
= 1 = 1 12 24 = 144 平方厘米，
2 2
∴即 △ 面积 的⋅最 大值为× 144×平方厘米．
△
【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角
形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能
力解决几何难题的学生．
第 36 页 共 36 页
