2025中考数学押题预测卷（甘肃卷）_幼小初教辅资料_中考_2025中考各科押题卷+模拟卷（含全国）

2025年中考押题预测卷（甘肃卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填(涂)写在试卷及答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（ ） 1 1  A．2025 B．2025 C．-2025 D． 2025 2．《哪吒2》（即《哪吒之魔童闹海》）于2025年1月29日在中国大陆上映，随后在北美、欧 洲、港澳及日本等多个地区陆续上映．该电影不仅刷新华语动画电影天花板，更有望成为全球动画 电影票房新标杆．截至2025年3月27日，该电影在中国内地的累计票房已达150.12亿元人民 币．150.12亿用科学记数法表示为（ ） A． 150.12108 B． 1.5012109 C． 1.50121010 D． 1.50121011 3．如图，所示的几何体的俯视图为（ ） A． B． C． D． 4．如图，直线AB∥CD，AB平分EAD，若1100，则2度数是（ ） A．30 B．40 C．35 D．25 5．计算：x  x31  （ ） A．x41 B．x4x C．x41 D．x4x 第 1 页 共 35 页6．交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵 守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通 信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为1 ，遇到黄灯的概率为 1 ，那么他遇到红灯的概率为（ ） 2 5 3 1 2 3 A． B． C． D． 10 3 3 5 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OBCD的OB，OD两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角 线OC，BD相交于点E．若OED60，OD2，则点E的坐标为（ ） A．2,1 B．  3,1  C．1,2 D．  1, 3  8．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去 买一件物品，若每人出8元，则多3元；若每人出7元，则少4元．问有多少人？该物品价值几何？ 设有x人．物品价值y 元，则列方程组为（ ） 8x3x 8x3 y 8y3x 8x3 y A． B． C． D． 7y4x 7y4 y 7y4x 7x4 y 9．如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的倒立，放 大的实像．已知蜡烛的高度AB8cm，物距uOA14cm，焦距 f OF OF 10cm，光线BD通过凸 1 2 透镜的光心O，折射光线BED通过凸透镜的右焦点F ，则像CD的高度为（ ） 2 A．20cm B．22.5cm C．25cm D．30cm x mx2 10．关于x的分式方程 1 无解，则m的值为（ ） x3 9x2 16 16 2 16 2 2 A．3或 B． 或 C．3或 或 D．3或 3 3 3 3 3 3 11．已知y ，y 是关于x的函数，函数y ，y 的图象存在两个或两个以上的公共点，则称函数y 与 1 2 1 2 1 y 具有性质T ，以下函数y 与y 具有性质T 的是（ ） 2 1 2 第 2 页 共 35 页2 2 A．y x22x与y  B．y  x22x与y  1 2 x 1 2 x 1 2 C．y x22x与y  D．y  x22x与y  1 2 2x 1 2 x 12．如图，在菱形ABCD中，ABC 60，AD6，点E在边CD上，且DE 4，F 是边AD上一动点， 将 DEF沿直线EF 折叠，点D落在点N处，当点N 在四边形ABCD内部（含边界）时，DF的长度 的最小值是（ ） A．2 B．2 13 C．4 D． 4 2 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．分解因式 3mn6m2n 的结果是 ． 14．如图，在ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F 在BD上，BE DF，顺次连接A、F、C、 E，添加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可） 15．某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数 据的中位数是 ． 12 16．如图．已知点A3,1、B1,4，将反比例函数y x0的图象向左平移m个单位长度，若 x 使平移后的反比例函数图象和线段AB有交点，则m的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：31   3 2 3 642025π0 3 ． sin30 第 3 页 共 35 页3x12x1  18．（4分） 解不等式组： 3x6 ，并把它的解集在数轴上表示出来．  3x  2  4  x24x4 19．（4分）先化简，再求值：  1 ，其中x 32． x2  x2 k 20．（6分）如图，一次函数yk xb的图像与反比例函数y 2 的图像交于 A 、 B 两点，与x轴交 1 x 于点C，与y轴交于点D，已知点 A 的坐标为m,1，点 B 的坐标为1,n，过点 A 作AH x轴，垂足 为H,HO2AH， (1)求m和n的值 (2)求反比例函数和一次函数的解析式； (3)求△AOB 的面积． 21．（6分）如图，将△AEC绕着点E顺时针旋转得到 BED，点D恰好落在AC边上，AE和BD相 交于点O． (1)求证：12； (2)过点E作EH BD，垂足为 H ，若EH 3，AC5，求△AEC的面积． 第 4 页 共 35 页22．（6分）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用 的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽 为10m．隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请 你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为 了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时 不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 23．（6分）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性 质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在Rt△ABC中，ABC90，BD是斜边AC上的中线． 1 求证：BD AC ． 2 解题思路：如图2，延长BD到点E，使DEBD，连接AE， CE四边形ABCE是平行四边形（依据：______）四边形ABCE是矩形矩形的对角线相等结 论． 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线 第 5 页 共 35 页等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在Rt△ABC中，ABC90，BO是斜边AC上的中线． 1 求证：BO AC 2 证明：过点O作BC边的垂线，垂足为D． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填______；利用尺规在图3中，按照小颗的方法补全图形（保留作图痕 迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线， 并给出解题思路． 24．（6分）电影《哪吒之魔童闹海》上映9天已登顶中国影史票房榜冠军，上映16天全球累计 票房突破100亿，并于3月15日以150.19亿元票房超越《星球大战：原力觉醒》，位列全球影史 票房榜第五位．为了解大家对电影的评价情况，小李同学从某电影院下午、晚上观影后的观众中各 随机抽取了m名观众对这部电影进行评分（十分制），然后对评分进行分组（A：9x10；B：8x9； C：7x8；D：0:x7）．下面是对数据进行整理、描述和分析后的部分信息． 下午 晚上 平均数 9.2 9.2 中位数 n 9.5 众数 9.2 9.5 其中下午评分位于 A 组的有14人，分别为： 10，10，9.8，9.8，9.7，9.6，9.6，9.6，9.5，9.4，9.2，9.2，9.2，9.2 下午、晚上评分的平均数、中位数、众数（单位：分）如上表所示： (1)填空：m_____，n_____：并补全条形统计图； 第 6 页 共 35 页(2)根据以上数据分析，你认为该影院下午、晚上观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请 说明理由（写出一条理由即可）； (3)如果该影院下午和晚上共有3000名观众观看了这部电影，请估计给这部电影评分在9分以上的 观众有多少人？ 25．（6分）某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报 告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： ．．．．．．．．．．．．． 先将无人机从地面的点C 处垂直上升90.7m至点 P ，此时测得书圣阁的顶端 A的俯 测量方案 角为16； 再将无人机从点 P 处向右沿水平方向飞行60m至点D，然后沿垂直方向上升20m 至 点Q，此时测得书圣阁的端A 的俯角EQA45．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结 ． 果 ． 保 ． 留 ． 整 ． 数 ． ，参考数据：sin16 0.28,cos16 0.96,tan16 0.29  第 7 页 共 35 页26．（7分）如图，BD是ABCD的一条对角线，且BDBC，△BCD的外接圆O与AD边交于点E．连 结 ． BE (1)求证：AB是O的切线； (2)求证：△ABE∽△DBC； (3)若O的半径为5，且tanA3，求CD的长． 27．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F 分别是边BC，CD上的点，AE与 BF 交于点P． (1)【特例感知】如图（a），若四边形ABCD是正方形，当APBD时，则线段AE与 BF 的数量关 系是 (2)【深入探究】如图（b），若四边形ABCD是菱形，且APBD，则线段AE与 BF 满足怎样的数 量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在BC边上取一点M使AM  AB, 如图，在CB的延长线上取一点N，使AN  AE， …… …… 第 8 页 共 35 页AE (3)【类比迁移】如图（c），若四边形ABCD是菱形，E 为BC的中点，APBC 60，请求出 BF 的值； 28．（9分）对于平面直角坐标系xOy中的点 P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在 一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称 P 为图形M 的关联点． (1)当O的半径为3时， ① 在点 P  0, 7  ，P 1,0，P  1, 3  中，O的关联点是_______； 1 2 2 3 ② 点 P 在直线yx上，若 P 为O的关联点，直接写出点 P 的横坐标 x的取值范围； (2)C 的圆心在x轴上，半径为3，直线yx2与x轴，y轴分别交于点A、B．若线段AB上的所 有点都是C的关联点，直接写出圆心C的横坐标 x 的取值范围． c 第 9 页 共 35 页2025年中考押题预测卷（甘肃卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（ ） 1 1 A．2025 B． C．-2025 D． 2025 2025 【答案】B 【分析】本题考查的是倒数的含义．根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可． 1 【详解】解：2025的倒数是 ，故选：B． 2025 2．《哪吒2》（即《哪吒之魔童闹海》）于2025年1月29日在中国大陆上映，随后在北美、欧 洲、港澳及日本等多个地区陆续上映．该电影不仅刷新华语动画电影天花板，更有望成为全球动画 电影票房新标杆．截至2025年3月27日，该电影在中国内地的累计票房已达150.12亿元人民 币．150.12亿用科学记数法表示为（ ） A． 150.12108 B． 1.5012109 C． 1.50121010 D． 1.50121011 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中1 a 10，n为整 数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值大于1与小数点移动的 位数相同，据此即可求解． 【详解】解：150.12亿150120000001.50121010，故选：C． 3．如图，所示的几何体的俯视图为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图，从上面看几何体得到的图形就是几何体俯视图． 根据俯视图的定义得到所示的几何体的俯视图，即可得到答案． 【详解】解：几何体的俯视图为 ；故选：C． 4．如图，直线AB∥CD，AB平分EAD，若1100，则2度数是（ ） 第 10 页 共 35 页A．30 B．40 C．35 D．25 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义．根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行 线的性质求解即可． 【详解】解：1100， EAD180180， AB 平分EAD， 1 EABBAD EAD40， 2 AB∥CD， 2EAB40， 故选：B． 5．计算：x  x31  （ ） A．x41 B．x4x C．x41 D．x4x 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一项即可． 【详解】解：x  x31  xx3x1x4x，故选：D． 6．交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵 守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通 信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为1 ，遇到黄灯的概率为 1 ，那么他遇到红灯的概率为（ ） 2 5 3 1 2 3 A． B． C． D． 10 3 3 5 【答案】A 【分析】本题主要查了求概率．用1减去他在路口遇到绿灯和黄灯的概率，即可求解． 1 1 3 【详解】解：1   ， 2 5 10 3 即他遇到红灯的概率为 ．故选：A 10 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OBCD的OB，OD两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角 线OC，BD相交于点E．若OED60，OD2，则点E的坐标为（ ） 第 11 页 共 35 页A．2,1 B．  3,1  C．1,2 D．  1, 3  【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，中点坐标公式，掌握知识 点的应用是解题的关键． 由矩形的性质可得OECEDEBE，DOB90，由OED60，可证ODE是 等边三角形，所 以ODOE DE 2，ODEOED60，然后通过勾股定理求出OB2 3，则有D0,2，B  2 3,0  ， 最后由中点坐标公式即可求解． 【详解】解：∵四边形OBCD是矩形， ∴OECEDEBE，DOB90， ∵OED60， ∴ODE是 等边三角形， ∴ODOE DE 2，ODEOED60， ∴BD4， 由勾股定理得： OB BD2OD2  4222 2 3 ， ∴D0,2，B  2 3,0  ， 02 3 20   ∴E  ,   ，即 3,1 ，故选：B．  2 2  8．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去 买一件物品，若每人出8元，则多3元；若每人出7元，则少4元．问有多少人？该物品价值几何？ 设有x人．物品价值y 元，则列方程组为（ ） 8x3x 8x3 y 8y3x 8x3 y A． B． C． D． 7y4x 7y4 y 7y4x 7x4 y 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意列出 方程组即可． 8x3 y 【详解】解：由题意可得方程组为 ；故选D． 7x4 y 第 12 页 共 35 页9．如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的倒立，放 大的实像．已知蜡烛的高度AB8cm，物距uOA14cm，焦距 f OF OF 10cm，光线BD通过凸 1 2 透镜的光心O，折射光线BED通过凸透镜的右焦点F ，则像CD的高度为（ ） 2 A．20cm B．22.5cm C．25cm D．30cm 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明四边形ABEO是矩形， 可得ABOE8cm，OABE 14cm，再结合ABO∽CDO，VEOF ∽△DCF ，再建立方程组解题即可． 2 2 【详解】解：由题意得，AB∥OE∥CD ，BE∥AO，AOE90， 四边形ABEO是矩形， ABOE8cm，OABE 14cm， ABCD， ABO∽CDO， AB AO   ， CD CO 8 14   ， CD OC CD 4 CD 4   ，即  ①， CO 7 CF 10 7 2 ∵CD∥OE， △EOF ∽△DCF ， 2 2 OE OF   2 ， CD CF 2 8 10   ， CD CF 2 CD 4 ∴  ②， CF 5 2 由①②得：CD20cm，故选：A． x mx2 10．关于x的分式方程 1 无解，则m的值为（ ） x3 9x2 第 13 页 共 35 页16 16 2 16 2 2 A．3或 B． 或 C．3或 或 D．3或 3 3 3 3 3 3 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据分式方程无解的 条件求出x的值，即可得到答案． x mx 2 【详解】解：原分式方程可化为： 1 ， x3 (x3)(x3) 两边同时乘以(x3)(x3)， 得：x(x3)(x3)(x3)(mx2) ， 整理得：(3m)x7， 分式方程无解，， 故①整式方程无解，即3m0， m3； ②分式方程有增根，即x3， 把x3或x3分别代入(3m)x7， 16 2 解得m 或m ， 3 3 16 2 故m的值为3或 或 ，故选C． 3 3 11．已知y ，y 是关于x的函数，函数y ，y 的图象存在两个或两个以上的公共点，则称函数y 与 1 2 1 2 1 y 具有性质T ，以下函数y 与y 具有性质T 的是（ ） 2 1 2 2 2 A．y x22x与y  B．y  x22x与y  1 2 x 1 2 x 1 2 C．y x22x与y  D．y  x22x与y  1 2 2x 1 2 x 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，依次画出图象，即可解答，掌握相关知识 是解题的关键． 【详解】解：A、如图： 2 y x22x与y  只有一个公共点，故选项不符合题意； 1 2 x B、如图： 第 14 页 共 35 页2 y  x22x与y  只有一个公共点，故选项不符合题意； 1 2 x C、如图： 1 y x22x与y  有三个公共点，故选项符合题意； 1 2 2x D、如图： 2 y  x22x与y  只有一个公共点，故选项不符合题意；故选：C． 1 2 x 12．如图，在菱形ABCD中，ABC 60，AD6，点E在边CD上，且DE 4，F 是边AD上一动点， 将 DEF沿直线EF 折叠，点D落在点N处，当点N 在四边形ABCD内部（含边界）时，DF的长度 的最小值是（ ） A．2 B．2 13 C．4 D． 4 2 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并 得出点N 的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点N在以E为圆心，DE长为半径的圆上运动， 1 连接DN，由DFNF DN，即2DF DN ，DF  DN ，然后根据点N 在四边形ABCD内部（含边界）， 2 可推出当点N 正好落在AD边上时，DN最短，此时易证△EDN 是等边三角形，最后根据等边三角 形的性质即可求得DF． 第 15 页 共 35 页【详解】解：根据折叠的性质可知，EN ED4，DF NF ，E为定点， 点N在以E为圆心，DE长为半径的圆上运动，如图所示，连接DN， DF NF DN ，即2DF DN 1 DF  DN 2 点N在四边形ABCD内部（含边界）， 1 当点N正好落在AD边上时，DN最短，此时DF  DN ，DF最短，如图所示， 2 四边形ABCD为菱形，ABC 60， DABC 60， 又 EN ED4， EDN 是等边三角形， DN EN ED 4， 1 1 DF  DN  4 2，故选：A． 2 2 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．分解因式 3mn6m2n 的结果是 ． 【答案】3mn12m 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分 解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到 每个因式都不能再分解为止．用提取公因式法求解即可． 【详解】解：3mn6m2n3mn12m．故答案为：3mn12m． 14．如图，在ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F 在BD上，BE DF，顺次连接A、F、C、 E，添加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可） 第 16 页 共 35 页【答案】EAF 90（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的判定 定理是解题的关键． 【详解】解：添加EAF 90使得四边形AECF是矩形． 四边形ABCD是平行四边形， OAOC，OBOD， BE DF， OEOF， 四边形AECF是平行四边形， EAF 90， 四边形AECF是矩形． 故答案为：EAF 90． 15．某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数 据的中位数是 ． 【答案】6.5 【分析】本题考查了中位数和平均数的求解，根据平均数是6求出x3，可知这组数据为：3，5，6，7，7，8， 即可求出中位数． 56x778 【详解】解：由题意得： 6，解得：x3， 6 67 ∴这组数据为：3，5，6，7，7，8．故中位数为： 6.5，故答案为：6.5． 2 12 16．如图．已知点A3,1、B1,4，将反比例函数y x0的图象向左平移m个单位长度，若 x 使平移后的反比例函数图象和线段AB有交点，则m的取值范围是 ． 【答案】4m15 第 17 页 共 35 页【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确找出两个临界位置是解题关键．先把问题转化 12 为将线段AB向右平移m个单位长度后，与反比例函数y x0的图象有交点，再求出点 A 平移 x 后的坐标为3m,1，点 B 平移后的坐标为1m,4，将这个两个点的坐标代入反比例函数的解析 式，由此即可得． 12 【详解】解：将反比例函数y x0的图象向左平移m个单位长度，使平移后的函数图象和线 x 12 段AB有交点，相当于将线段AB向右平移m个单位长度后，与反比例函数y x0的图象有交点， x ∵A3,1,B1,4， ∴点 A 平移后的坐标为3m,1，点 B 平移后的坐标为1m,4，由题意，有以下两个临界位置： 12 12 ①当反比例函数y x0的图象恰好经过点3m,1时，则 1，解得m15； x 3m 12 12 ②当反比例函数y x0的图象恰好经过点1m,4时，则 4，解得m4； x 1m 所以要使平移后的函数图象和线段AB有交点，则4m15，故答案为：4m15． 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：31   3 2 3 642025π0 3 ． sin30 【答案】2 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简负整数指数幂、乘方、立方根、零次 幂 特殊角的三角函数值，再运算乘除，然后运算加减，即可作答． 【详解】解：31   3 2 3 642025π0 3 sin30 1 3  341 3 1 2 1416 2 3x12x1  18．（4分） 解不等式组： 3x6 ，并把它的解集在数轴上表示出来．  3x  2 【答案】2 x4，数轴见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法 是解题关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 第 18 页 共 35 页3x12x1①  【详解】解： 3x6 ，  3x②  2 解不等式①得，x4， 解不等式②得，x2， ∴不等式组的解集为：2 x4； 在数轴上表示为：  4  x24x4 19．（4分）先化简，再求值：  1 ，其中x 32． x2  x2 1 3 【答案】 ， x2 3 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． 先进行括号内分式的加法运算和括号外面分式的因式分解，然后利用分式的除法法则进行化简，代 入求值即可．  4  x24x4 【详解】解：  1 x2  x2 4x2 x2   x2 x22 x2 x2  x2 x22 1  ， x2 当x 32时，代入上式， 1 3 原式  ． 322 3 k 20．（6分）如图，一次函数yk xb的图像与反比例函数y 2 的图像交于 A 、 B 两点，与x轴交 1 x 于点C，与y轴交于点D，已知点 A 的坐标为m,1，点 B 的坐标为1,n，过点 A 作AH x轴，垂足 为H,HO2AH， (1)求m和n的值 第 19 页 共 35 页(2)求反比例函数和一次函数的解析式； (3)求△AOB 的面积． 2 3 【答案】(1)m2；n2(2)一次函数解析式为y=x1；反比例函数解析式为y (3) x 2 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出两个函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得OH m，AH 1，在由HO2AH可求出m的值，则可求出点A的坐标，再把 点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B 的坐标，即可得到n的 值； （2）根据（1）所求可得反比例函数解析式，再把点A 和点B 坐标代入一次函数解析式中求出一 次函数解析式即可； （3）求出点C 坐标得到OC的长，再根据S  S S 列式求解即可． AOB OAC OBC 【详解】（1）解：∵AH x轴，垂足为 H ，点 A 的坐标为m,1， ∴OH m，AH 1， ∵HO2AH， ∴m2， ∴m2， ∴点 A 的坐标为2,1， k k 把A2,1代入y 2 中得1 2 ，解得k 2， x 2 2 2 ∴反比例函数解析式为y ， x 2 在y 中，当x1时，y2， x ∴点 B 的坐标为1,2， ∴n2； 2 （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为y ，点 A 的坐标为2,1，点 B 的坐标为1,2， x 2k b1 k 1 把点A和点B坐标代入一次函数解析式中得 1 ，解得 1 ， k b2 b1 1 ∴一次函数解析式为y=x1； （3）解：在y=x1中，当yx10时，x1， ∴C1,0， ∴OC1， 第 20 页 共 35 页1 1 3 ∴S S S  11 1 2 ． △AOB △OAC △OBC 2 2 2 21．（6分）如图，将△AEC绕着点E顺时针旋转得到 BED，点D恰好落在AC边上，AE和BD相 交于点O． (1)求证：12； (2)过点E作EH BD，垂足为 H ，若EH 3，AC5，求△AEC的面积． 15 【答案】(1)见解析(2) 2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，平角的定义，熟练掌握 以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，可知△AEC≌△BED，那么EDEC，CEDB，那么EDBEDC ECD，根 据平角的定义，可知，1180EDBEDC，最后由1180EDCECD2 得到结论； BDEH （2）根据题意，可知△AEC≌△BED，那么AC BD=5，从而得到S  ，最后得出答案． BED 2 【详解】（1）证明：将△AEC绕着点E顺时针旋转得到 BED， EDEC，CEDB， EDBEDC ECD， 1180EDBEDC， 1180EDCECD2 ． （2）解：由题意可知，△AEC≌△BED，AC5， AC BD=5， EH BD，垂足为 H ，EH 3， BDEH 53 15 S    ， BED 2 2 2 15 S  ． AEC 2 22．（6分）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用 的过程． 第 21 页 共 35 页(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽 为10m．隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请 你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为 了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时 不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】(1)y0.25x526.25 (2)隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶，理由见解析 【分析】本题主要考查了顶点式求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，将实际问题转化为 数学问题以及数形结合思想成为解题的关键． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当x2时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满 足题意即可解答． 【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为5,6.25，且图象过10,0点， 设抛物线的解析式为：yax526.25， ∴0a10526.25，解得：a0.25， ∴y0.25x526.25． （2）解：隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴10324，422， ∴x2代入解析式得：y0.252526.254； ∴43.50.5， ∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶． 23．（6分）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质， 基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图 1，在Rt△ABC中，ABC90，BD是斜边AC上的中线． 第 22 页 共 35 页1 求证：BD AC． 2 解题思路：如图2，延长BD到点E，使DEBD，连接AE，CE 四边形ABCE是平行四边形（依据：______）四边形ABCE是矩形矩形的对角线相等结论． 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路． 已知：如图 3，在Rt△ABC中，ABC90，BO是斜边AC上的中线． 1 求证：BO AC 2 证明：过点 O作BC边的垂线，垂足为D． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填______；利用尺规在图3中，按照小颗的方法补全图形（保留作图痕 迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线， 并给出解题思路． 【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，图见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行 线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定即可求解，根据作垂线的方法即可作图； OC DC OC DC （2）过点O作BC边的垂线，垂足为D．OD∥AB，则  ，而 1，那么 1，可得OD是 AO BD AO BD 1 BC的垂直平分线，则BOOC，即可证明BO AC； 2 （3）延长BO到点F，使OF OB，连接CF，先证明AOB≌COFSAS，再证明ABC≌FCBSAS， 则BF  AC2OB，即可求证． 第 23 页 共 35 页【详解】（1）解：如图2， ∵BD是斜边AC上的中线， ∴ADCD ∵DEBD， ∴四边形ABCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 补全图形3如下： ；故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）证明：过点O作BC边的垂线，垂足为D． ∵OD  BC， ∴ODC90． 又∵ABC90， ∴OD∥AB． OC DC ∴  ， AO BD ∵BO是斜边AC上的中线， OC ∴ 1． AO DC ∴ 1． BD ∴D是BC边的中点，即OD是BC的垂直平分线． ∴BOOC． 1 ∴BOOC  AC ； 2 （3）解：如解图，延长BO到点F，使OF OB，连接CF， ∵AOCO,AOBCOF ， ∴AOB≌COFSAS， ∴ABCF，F ABO， ∴ABCF ， ∵ABC90， ∴FCB180ABC90ABC， 第 24 页 共 35 页∵BCCB， ∴ABC≌FCBSAS， ∴BF  AC2OB， 1 ∴OB AC． 2 24．（6分）电影《哪吒之魔童闹海》上映9天已登顶中国影史票房榜冠军，上映16天全球累计 票房突破100亿，并于3月15日以150.19亿元票房超越《星球大战：原力觉醒》，位列全球影史 票房榜第五位．为了解大家对电影的评价情况，小李同学从某电影院下午、晚上观影后的观众中各 随机抽取了m名观众对这部电影进行评分（十分制），然后对评分进行分组（A：9x10；B：8x9； C：7x8；D：0:x7）．下面是对数据进行整理、描述和分析后的部分信息． 下午 晚上 平均数 9.2 9.2 中位数 n 9.5 众数 9.2 9.5 其中下午评分位于 A 组的有14人，分别为： 10，10，9.8，9.8，9.7，9.6，9.6，9.6，9.5，9.4，9.2，9.2，9.2，9.2 下午、晚上评分的平均数、中位数、众数（单位：分）如上表所示： (1)填空：m_____，n_____：并补全条形统计图； (2)根据以上数据分析，你认为该影院下午、晚上观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请 说明理由（写出一条理由即可）； (3)如果该影院下午和晚上共有3000名观众观看了这部电影，请估计给这部电影评分在9分以上的 观众有多少人？ 【答案】(1)20，9.3；图见解析 (2)晚上的观众更欢这部电影，理由：调查晚上的观众评分的中位数比下午的观众的评分高 (3)2100 人 第 25 页 共 35 页【分析】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力． （1）下午观众的评分位于A 组有14人，占调查人数的70%，可求出调查人数，即m的值，根据 中位数的意义可求出n的值； （2）根据中位数进行判断即可； （3）求出该影院下午和晚上观众评分高于9分的人数所占的百分比，再乘以总人数3000即可． 【详解】（1）解：m1470%20（人）， 9.29.4 将下午抽出的20名观众的评分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为 9.3， 2 即n9.3， 晚上B组人数为20-14-2-1=3（人）， 补全条形统计图： ；故答案为：20，9.3； （2）解：晚上的观众更喜欢这部电影，理由：调查晚上的观众评分的中位数比下午的观众的评分 高； 14+14 （3）解：3000´ =2100（人）， 20+20 答：估计这3000人中给出这部电影评分在9分以上的观众人数是2100人． 25．（6分）某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报 告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： ．．．．．．．．．．．．． 先将无人机从地面的点C处垂直上升90.7m 至点 P ，此时测得书圣阁的顶端A 的俯角为16； 测量方案 再将无人机从点 P 处向右沿水平方向飞行60m 至点D，然后沿垂直方向上升20m 至点Q， 此时测得书圣阁的端A 的俯角EQA45．| 第 26 页 共 35 页测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结 ． 果 ． 保 ． 留 ． 整 ． 数 ． ，参考数据：sin16 0.28,cos16 0.96,tan16 0.29  【答案】58m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形 的方法是解题的关键．延长BA交QE于M ，延长PD交 MB 于F ，设QM xm，在RtQMA中， AQM 45，可得MAQM  xm，AF (x20)m，在Rt△PFA中，通过AF PFtanAPF ，列出方程 x20(x60)0.29，解方程求得 MA ，最后通过ABPCQDMA，求得AB的值． 【详解】解：如图，延长BA交QE于M ，延长PD交 MB 于F ， 由题易知，四边形QMFD,PCBF为矩形， 则QM DF,MF QD20m, FB  PC 90.7m， 设QM xm，则PF (x60)m， 在RtQMA中，AQM 45， MAQ45MQA， 则MAQM  xm， AF (x20)m， 在Rt△PFA中，APF 16， AF tanAPF  ， PF AF PFtanAPF，即x20(x60)0.29， 解得：x52.68， 则AB90.72052.6858(m)， 答：书圣阁的高度约为58m． 26．（7分）如图，BD是ABCD的一条对角线，且BDBC，△BCD的外接圆O与AD边交于点E．连 结 ． BE (1)求证：AB是O的切线； (2)求证：△ABE∽△DBC； 第 27 页 共 35 页(3)若O的半径为5，且tanA3，求CD的长． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)6 【分析】（1）连接OC、OD，连接BO并延长交CD于点F ，可得 BF 垂直平分CD，则OBC OBD， 由三角形内角和定理得出OBCOCBBOC 180 ，由等边对等角以及圆周角定理得出 OBCBDC90，再根据平行四边形的性质得出BDCABD，进而得出ABO90，进一步即 可得出AB是O的切线． （2）由等边对等角，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质得出AEBACBDC，即可 证明△ABE∽△DBC． 1 （3）连接OC过点B 作BF DC于点F，由等腰三角形三线合一的性质可知CF  CD，由 2 BF tanABCD 3，设CF x，BF 3x，得出OF ，最后根据勾股求解即可． CF 【详解】（1）证明：连接OC、OD，连接BO并延长交CD于点F ， ∵OCOD，BDBC， ∴ BF 垂直平分CD， ∴OBC OBD， ∵OBOC， ∴OBCOCB ， ∵ BC BC ， ∴BOC 2BDC， ∵OBCOCBBOC 180 ， ∴2OBC2BDC180 ， ∴OBCBDC90， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 第 28 页 共 35 页∴BDCABD， ∴OBDABD 90， 即ABO90， ∵BO为O的半径， ∴AB是O的切线． （2）证明：∵BDBC ， ∴BDCBCD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC ， 又∵四边形BCDE是O内接四边形， ∴BEDC180， ∵AEBBED180， ∴AEBC， ∴AEBACBDC． ∴△ABE∽△DBC； （3）解：连接OC、OD，连接BO并延长交CD于点F ， 由（1）可知， BF 垂直平分CD， 1 ∴BF⊥CD，CF  CD， 2 ∵ABCD， BF ∴tanABCD 3， CF ∴设CF x，BF 3x， ∴OF BF OB 3x5， 在Rt△OFC 中，OFC 90， ∴ FC2OF2 OC2， 即x23x52 52， 解得：x0（舍去）或x3， ∴CD2CF 6． 第 29 页 共 35 页27．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F 分别是边BC，CD上的点，AE与 BF 交于点P． (1)【特例感知】如图（a），若四边形ABCD是正方形，当APBD时，则线段AE与 BF 的数量关 系是 (2)【深入探究】如图（b），若四边形ABCD是菱形，且APBD，则线段AE与 BF 满足怎样的数 量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在BC边上取一点M使AM  AB,…… 如图，在CB的延长线上取一点N，使AN  AE，…… AE (3)【类比迁移】如图（c），若四边形ABCD是菱形，E 为BC的中点，APBC 60，请求出 BF 的值； 3 【答案】(1)AE BF(2)猜想AE BF．证明见解析(3) 2 【分析】（1）根据同角的余角相等得BAPEBP．再由ASA证明△ABE≌△BCF 即可得到AE BF； （2）两种方法：通过辅助线构造AEM≌BFCASA证得AE BF，或通过辅助线构造 ABN≌BCFASA证得AN BF，再由AN  AE即可证明结论． AE AG 3 （3）通过延长AB，使BGBE，构造EAG∽FBC，进而得到 = ，结合AG = AB求出答案． BF BC 2 【详解】（1）解：当四边形ABCD是正方形，APBD90， ∴BAPABPABPEBP90， ∴BAPEBP， 第 30 页 共 35 页又∵ABBC，ABC C， ∴ABE≌BCFASA， ∴AE BF；故答案为：AE BF； （2）解：猜想AE BF． 证明：思路一：如图，在BC上取一点M，使AB AM ，则ABM AMB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB=BC= AM ，∠ABM=∠C=180°，DABE， ∵∠AME=∠AMB=180°，∠ABM=∠C=180°， ∴AMEC， ∵∠APB=∠D=∠ABM=∠AMB， ∴FBCAPBAEM AMBAEM EAM ， EAM FBC  在△AEM 和△BFC中，AM BC ，  AMEC ∴AEM≌BFCASA， ∴AE BF； 思路二：如图，在CB延长线上取点N，使AN  AE，则ANBAEB， 根据菱形的性质ABCC180，ABCD， ∴ABN C， 又∵∠BAN=∠ABC=∠ANB，∠APB=∠AEB=∠CBF，且APBDABC， ∴BAN CBF， BAN CBF  在ABN和VBCF 中，ABBC ，  ABN C 第 31 页 共 35 页∴ABN≌BCFASA， ∴AN BF， ∴AE BF； （3）解：如图，延长AB，使BGBE， ∵AB∥CD， ∴GBCC60， ∴△BGE是等边三角形， 1 1 ∴G60，BG= BE = BC = AB， 2 2 ∵BAEBEAGBC，∠PBE=∠BEP=∠APB，APBC 60， ∴BAEPBE ， 在△EAG和FBC中，∠GAE=∠CBF，G C， ∴EAG∽FBC， 1 AB AB ∴ AE AG ABBG 2 3．     BF BC BC AB 2 28．（9分）对于平面直角坐标系xOy中的点 P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在 一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称 P 为图形M 的关联点． (1)当O的半径为3时， 第 32 页 共 35 页① 在点 P  0, 7  ，P 1,0，P  1, 3  中，O的关联点是_______； 1 2 2 3 ② 点 P 在直线yx上，若 P 为O的关联点，直接写出点 P 的横坐标 x的取值范围； (2)C 的圆心在x轴上，半径为3，直线yx2与x轴，y轴分别交于点A、B．若线段AB上的所 有点都是C的关联点，直接写出圆心C的横坐标 x 的取值范围． c 【答案】(1)①P、P ；②2 2x 2 或 2x2 2(2)2x22 2 1 3 【分析】（1）①利用两点间距离公式求出OP、OP、OP，进而根据半径为3求出点P、P、P与O的 1 2 3 1 2 3 最小距离即可判断求解；②根据定义可得，当直线yx上的点 P 到原点的距离在2到4之间时符合 题意，利用两点间距离公式分别求出点 的横坐标即可求解； P （2）分四种情况画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：①∵点 P  0, 7  ，P 1,0，P  1, 3  ， 1 2 2 3 2 ∴ OP  002   7 0    7 ， OP  102002 1 ， OP  102  30 2 2 ， 1 2  2 2 3 7 1 ∴点P与O的最小距离为 3 ，点P 与O的最小距离为312，点P 与O的最小距离为 1 2 2 2 3 321， ∴O的关联点是P、P ，故答案为：P、P ； 1 3 1 3 ②根据定义可得，当直线yx上的点 P 到原点的距离在2到4之间时符合题意， ∴设点 P 的坐标为Px,x， 当OP2时，由距离公式可得， OP x02x02 2 ，解得 x 2 ， 当OP4时，由距离公式可得， OP x02x02 4 ，解得 x2 2 ， 故点 P 的横坐标的取值范围为2 2x 2 或 2x2 2 ； （2）解：∵yx2与x轴、y轴的交点分别为A、B两点， 令y0，得x20，解得x2， 令x0，得y2， 第 33 页 共 35 页∴A2,0，B0,2， 如图1，当圆过点 A 时，CA4，∴点C坐标为C2,0， 如图2，当直线与小圆相切时，切点为D，则CD2 又∵直线AB所在的函数解析式为yx2， ∴直线AB与x轴形成的夹角是45， ∴Rt△ACD中， CA2 2 ，   ∴C点坐标为 22 2,0 ， ∴C点的横坐标的取值范围为2x22 2 ； 如图3，当圆过点 A 时，AC2， ∴ C点坐标为4,0， 此时 BC  2242 2 54 ，不符合题意； 如图4，当圆过点 B 时，连接BC，此时BC 4， ∴在Rt△OCB中，由勾股定理得 OC  4222 2 3 ， 第 34 页 共 35 页  ∴C点坐标为 2 3,0 ， 显然，此时 不符合题意； A ∴该种情况不存在，不合题意； 综上，圆心C的横坐标x 的取值范围为2x22 2 ． c 【点睛】本题考查了两点间距离公式，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，一次函数的性质， 解题的关键是正确地理解新定义，运用分类讨论思想解答． 第 35 页 共 35 页