2025中考数学押题预测卷（福建卷）_幼小初教辅资料_中考_2025中考各科押题卷+模拟卷（含全国）

2025年中考数学押题预测卷（福建卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 3 1．实数 的绝对值是（ ） 2 3 3 2 2 A.  B. C.  D. 2 2 3 3 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3．以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 1，2，3 C.3，4，5 D. 3，4，8 4．已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（ ） A. 89 B. 94 C.95 D. 98 5．下列计算正确的是（ ）  3 A. a3 a3 a6 B. a6 a6 a6 C. a3 a6 D. a12 a2 a10 6．《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？ 设有x辆车，则根据题意可列出方程为（ ） A. 3  x2 2x9 B. 3  x2 2x9 C. 3  x2 2x9 D. 3  x2 2x9 7．在同一平面内，已知O的半径为2，圆心O到直线l 的距离为3，点P 为圆上的一个动点，则 点P到直线l 的最大距离是（ ） A. 2 B. 5 C.6 D. 8 第 1 页 共 30 页8．一个长方体物体的一顶点所在A、B、C 三个面的面积比是3:2:1，如果分别按A、B、C 面朝 上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为P 、P 、P （压强的计算公式为 A B C F P  ），则P :P :P （ ） A B C S A. 2:3:6 B. 6:3:2 C. 1:2:3 D. 3:2:1 9．如图，点A，B，C 在O上，ABC  40，连接OA，OC．若O的半径为3，则扇形AOC（阴 影部分）的面积为（ ） 2 4 A.  B.  C.  D. 2 3 3 10．定义：在平面直角坐标系中，对于点P  x ,y ，当点Q  x ,y 满足2x x  y  y 时，称点 1 1 2 2 1 2 1 2 Q  x ,y 是点P  x ,y 的“倍增点”，已知点P  1,0 ，有下列结论： 2 2 1 1 1 ①点Q 3,8，Q 2,2都是点P的“倍增点”； 1 2 1 ②若直线y  x2上的点A是点P的“倍增点”，则点A的坐标为 2,4 ； 1 ③抛物线 y  x2 2x3上存在两个点是点P的“倍增点”； 1 4 5 ④若点B是点P的“倍增点”，则PB的最小值是 ． 1 1 5 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C.3 D. 4 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．因式分解：x2 16 =__________． 12．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C 三点都在格点上，则sinABC ________． 第 2 页 共 30 页13．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图 案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是 琮琮的概率是___________． 14．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度， CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF 表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF 在同一平面内，点 A、C、E在一条水平直线上．已知AC 20米，CE 10米，CD7米，EF 1.4米，人从点 F远 眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端 D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米． 15．如图，在矩形 ABCD中，AB6，AD8．连接AC ，在 AC 和AD上分别截取 AE，AF ，使 1 AE AF ．分别以点E 和点F为圆心，以大于 EF 的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线AG交 2 CD于点H，则线段DH 的长是______． 16．如图，在V ABC 中，将 AB 绕点 A 顺时针旋转至 AB，将 AC 绕点 A 逆时针旋转至 AC(0180,0180)，得到△ABC，使BACBAC180，我们称△ABC是V ABC 的“旋补三角形”，△ABC的中线AD叫做V ABC 的“旋补中线”，点 A 叫做“旋补中心”．下列结论 正确的有________． 第 3 页 共 30 页①V ABC 与△ABC面积相同； ②BC 2AD； ③若AB  AC ，连接BB和CC，则BBCCCB180； ④若AB  AC ，AB 4，BC 6，则BC10． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：2 221  31  tan45  2x1 3x1 1  ① 18．（8分）解不等式组 2 4  23x4x② 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得： 42  2x1 3x1 第1步 44x23x1 第2步 4x3x142 7x7 第3步 x1 第4步 任务一：该同学的解答过程第____步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_____； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．  x 1  x1 19.（8分）先化简，再求代数式    的值，其中x2cos451． x2 2x1 2x2 4x4 20.（8分）已知：如图，点O为ABCD对角线AC 的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于 点E，F ． 求证：DE BF ． 第 4 页 共 30 页21.（8分）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课，泥塑课， 编织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范 围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图， 其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的20%． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹任课的学生共有多少名． 22．（10分）如图，AB，CD为O的直径，C为O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于 点P，ABC 2BCP，点E是 B  D 的中点，弦CE，BD相交于点F ． （1）求OCB的度数； （2）若EF 3，求O直径的长． 第 5 页 共 30 页23．（10分） 某中学数学兴趣小组的同学们，对函数y a xb c（a，b，c 是常数，a0）的 性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当a 1，bc0时，即y  x ，当x0时，函数化简为y  x；当x0时，函数化简为y  ______． （2）当a2，b1，c0时，即y2 x1． ①该函数自变量x和函数值y 的若干组对应值如下表： x … 2 1 0 1 2 3 4 … y … 6 m 2 0 2 4 6 … 其中m ______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数y2 x1的图象． （3）当a 2,b1,c2时，即 y 2 x12． ①当x1时，函数化简为y  ______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数y 2 x12的图象． （4）请写出函数y a xb c（a，b，c是常数，a0）的一条性质：______．（若所列性质多 于一条，则仅以第一条为准） 第 6 页 共 30 页24．（13分）规定：若函数y 的图像与函数y 的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄 1 2 弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． 3 （1）下列三个函数①yx1；②y  ；③yx2 1，其中与二次函数y 2x2 4x3互为“兄 x 弟函数”的是________（填写序号）； 1 （2）若函数y ax2 5x2  a0 与y   互为“兄弟函数”，x1是其中一个“兄弟点”的横坐标． 1 2 x ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________； 2 （3）若函数y  xm（m为常数）与y  互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x、 1 2 x 1 x 、x ，且x  x  x ，求 x x 2x 2的取值范围． 2 3 1 2 3 2 3 1 25．（13分） 在矩形ABCD中，AB2， AD2 3 ，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋 转90°，交CD延长线于点G ，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG． DG （1）如图1，连接BD，求BDC的度数和 的值； BE （2）如图2，当点F 在射线BD上时，求线段BE 的长； （3）如图3，当EAEC时，在平面内有一动点P，满足PE  EF ，连接PA，PC，求PAPC的 最小值． 第 7 页 共 30 页2025年中考押题预测卷（福建卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 3 1．实数 的绝对值是（ ） 2 3 3 2 2 A.  B. C.  D. 2 2 3 3 【答案】B 【分析】根据绝对值的意义进行求解即可． 3 3 3 3 【详解】解：∵   ，∴实数 的绝对值是 ，故选：B 2 2 2 2 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概 念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转180度后两部分重合． 3．以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 1，2，3 C.3，4，5 D. 3，4，8 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、224，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； B、123，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； C、345，满足三角形的三边关系，能搭成三角形，则此项符合题意； 第 8 页 共 30 页D、348，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和 大于第三边、任意两边之差小于第三边． 4．已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（ ） A. 89 B. 94 C.95 D. 98 【答案】C 【分析】根据中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个 数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据 的平均数就是这组数据的中位数）即可得． 【详解】解：将这组数据按从小到大进行排序为89，92，95，96，98， 则其中位数是95，故选：C． 【点睛】本题考查了中位数，熟记中位数的概念是解题关键． 5．下列计算正确的是（ ）  3 A. a3 a3 a6 B. a6 a6 a6 C. a3 a6 D. a12 a2 a10 【答案】D 【分析】根据整式的加减法计算法则，幂的乘方计算法则及同底数幂除法法则依次计算判断． 【详解】解：A、a3a3 2a3，故错误；B、a6 a6 0，故错误； C、 a33  a9，故错误；D、a12 a2 a122 a10，故正确；故选：D． 【点睛】此题考查了整式的计算法则，熟练掌握整式的加减法计算法则，幂的乘方计算法则及同底 数幂除法法则是解题的关键． 6．《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？ 设有x辆车，则根据题意可列出方程为（ ） A. 3  x2 2x9 B. 3  x2 2x9 C. 3  x2 2x9 D. 3  x2 2x9 【答案】D 【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2 辆车，每2人乘一车，最终剩余9人无车可乘，进而表示 出总人数得出等式即可； 【详解】由题意可列出方程3  x2 2x9，故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 7．在同一平面内，已知O的半径为2，圆心O到直线l 的距离为3，点P 为圆上的一个动点，则 点P到直线l 的最大距离是（ ） 第 9 页 共 30 页A. 2 B. 5 C.6 D. 8 【答案】B 【分析】过点O作OAl于点A，连接OP，判断出当点P为AO的延长线与O的交点时，点P到 直线l的距离最大，由此即可得． 【详解】解：如图，过点O作OAl于点A，连接OP， OA3，OP2， 当点P为AO的延长线与O的交点时，点P到直线l的距离最大，最大距离为PA325， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点P到直线l的距离最大时，点P的位置是解题关键． 8．一个长方体物体的一顶点所在A、B、C 三个面的面积比是3:2:1，如果分别按A、B、C 面朝 上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为P 、P 、P （压强的计算公式为 A B C F P  ），则P :P :P （ ） A B C S A. 2:3:6 B. 6:3:2 C. 1:2:3 D. 3:2:1 【答案】A 【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函 数的性质进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A、B、C 三个面的面积比是3:2:1， ∴长方体物体的A、B、C 三面所对的与水平地面接触的面积比也为3:2:1， F ∵P  ，F 0，且F 一定， S ∴P随S的增大而减小， 1 1 1 ∴P :P :P  : : 2:3:6．故选：A． A B C 3 2 1 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质． 9．如图，点A，B，C 在O上，ABC  40，连接OA，OC．若O的半径为3，则扇形AOC（阴 影部分）的面积为（ ） 第 10 页 共 30 页2 4 A.  B.  C.  D. 2 3 3 【答案】D 【分析】先利用圆周角定理求出AOC的度数，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵ABC  40， ∴AOC  2ABC 80， 又O的半径为3， 8032 ∴扇形AOC（阴影部分）的面积为 2．故选：D． 360 【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角 的一半”是解题的关键． 10．定义：在平面直角坐标系中，对于点P  x ,y ，当点Q  x ,y 满足2x x  y  y 时，称点 1 1 2 2 1 2 1 2 Q  x ,y 是点P  x ,y 的“倍增点”，已知点P  1,0 ，有下列结论： 2 2 1 1 1 ①点Q 3,8，Q 2,2都是点P的“倍增点”； 1 2 1 ②若直线y  x2上的点A是点P的“倍增点”，则点A的坐标为 2,4 ； 1 ③抛物线 y  x2 2x3上存在两个点是点P的“倍增点”； 1 4 5 ④若点B是点P的“倍增点”，则PB的最小值是 ． 1 1 5 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C.3 D. 4 【答案】C 【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证Q,Q 即可；②点A  a,a2 ，根据“倍增点”定义， 1 2   列出方程，求出 a的值，即可判断；③设抛物线上点D t,t2 2t3 是点P的“倍增点”，根据“倍增 1 点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点B  m,n ，根据“倍增点” 定义可得2  m1 n，根据两点间距离公式可得PB2  m1 2 n2，把n2  m1 代入化简并配 1 16 方，即可得出PB2的最小值为 ，即可判断． 1 5 【详解】解：①∵P  1,0 ，Q 3,8， 1 1 ∴2  x x 2 13 8,y  y 088， 1 2 1 2 第 11 页 共 30 页∴2x x  y  y ，则Q 3,8是点P的“倍增点”； 1 2 1 2 1 1 ∵P  1,0 ，Q 2,2， 1 2 ∴2  x x 2 12 2,y  y 022， 1 2 1 2 ∴2x x  y  y ，则Q 2,2是点P的“倍增点”； 1 2 1 2 2 1 故①正确，符合题意； ②设点A  a,a2 ， ∵点A是点P的“倍增点”， 1 ∴2 1a 0a2， 解得：a 0， ∴A  0,2 ， 故②不正确，不符合题意；   ③设抛物线上点D t,t2 2t3 是点P的“倍增点”， 1 ∴2  1t t2 2t3，整理得： t2 4t50 ， ∵ 4 2 415 360， ∴方程有两个不相等实根，即抛物线 y  x2 2x3上存在两个点是点P的“倍增点”； 1 故③正确，符合题意； ④设点B  m,n ， ∵点B是点P的“倍增点”， 1 ∴2  m1 n， ∵B  m,n ，P  1,0 ， 1 ∴PB2  m1 2 n2 1  m1 2 2  m1 2   5m26m5 2  3 16 5m   ，  5 5 ∵50， 第 12 页 共 30 页16 ∴PB2的最小值为 ， 1 5 16 4 5 ∴PB的最小值是  ， 1 5 5 故④正确，符合题意；综上：正确的有①③④，共3个．故选：C． 【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式， 解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．因式分解：x2 16 =__________． 【答案】（x+4）（x-4） 【详解】x2-16=(x+4)(x-4)，故答案为：(x+4)(x-4) 【点睛】本题考查了因式分解的定义，利用平方差公式是解题的关键． 12．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C 三点都在格点上，则sinABC ________． 2 【答案】 2 【分析】取AB的中点D，连接AC,CD，先根据勾股定理可得AC  BC  10,CD  5 ，再根据等 腰三角形的三线合一可得CD AB，然后根据正弦的定义即可得． 【详解】解：如图，取AB的中点D，连接AC,CD， AC  12 32  10,BC  12 32  10,CD  12 22  5 ， AC  BC， 又点D是AB的中点， CD AB， 第 13 页 共 30 页CD 5 2 2 sinABC    ，故答案为： ． BC 10 2 2 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方 法是解题关键． 13．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图 案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是 琮琮的概率是___________． 1 【答案】 3 【分析】根据概率公式即可求解． 【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率 1 1 是 ；故答案为： ． 3 3 【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 14．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度， CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF 表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF 在同一平面内，点 A、C、E在一条水平直线上．已知AC 20米，CE 10米，CD7米，EF 1.4米，人从点 F远 眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端 D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米． 1 【答案】18.2##18 5 【分析】如图，过F 作FQ  AB于Q，交CD于H ，可得DH 71.45.6，证明FDH∽FBQ， DH FH 可得  ，可得QB 16.8，从而可得答案． BQ FQ 【详解】解：如图，过F 作FQ  AB于Q，交CD于H ， 第 14 页 共 30 页则FH CE 10，QH  AC 20，FQ  AE  ACCE  30，EF CH  AQ 1.4， ∴DH 71.45.6， ∵DC∥BA， ∴FDH∽FBQ， DH FH ∴  ， BQ FQ 10 5.6 ∴  ，解得：QB 16.8，经检验符合题意； 30 QB ∴AB  AQQB 1.416.818.2（米）； 故答案为：18.2 【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 15．如图，在矩形 ABCD中，AB6，AD8．连接AC ，在 AC 和AD上分别截取 AE，AF ，使 1 AE AF ．分别以点E 和点F为圆心，以大于 EF 的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线AG交 2 CD于点H，则线段DH 的长是______． 8 2 【答案】 ## 2 3 3 【分析】过H作HQ AC于Q，再根据角平分线的性质和勾股定理列方程求解． 【详解】解：设DH  x， 过H作HQ AC于Q， 第 15 页 共 30 页在矩形ABCD中，BD90， ∴AC 10， 由作图得：AG平分CAD， ∴CAG DAG， ∵DAQH 90，AH  AH ， ∴ADH≌AQH  AAS ， ∴DH HQ  x，AQ QD  8， ∴CQ QCQA2， 在Rt△CHQ中，有CQ2 QH2 CH2 ， 8 8 即：22  x2 6x2，解得：x  ，故答案为： ． 3 3 【点睛】本题考查了基本作图，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 16．如图，在V ABC 中，将 AB 绕点 A 顺时针旋转至 AB，将 AC 绕点 A 逆时针旋转至 AC(0180,0180)，得到△ABC，使BACBAC180，我们称△ABC是V ABC 的“旋补三角形”，△ABC的中线AD叫做V ABC 的“旋补中线”，点 A 叫做“旋补中心”．下列结论 正确的有________． ①V ABC 与△ABC面积相同； ②BC 2AD； ③若AB  AC ，连接BB和CC，则BBCCCB180； ④若AB  AC ，AB 4，BC 6，则BC10． 【答案】①②③ 【分析】延长BA，并截取 AEAB ，连接CE，证明ABC≌AEC，得出BC CE ，S S ， ABC AEC 根据AB  AB，AB  AE ，得出AE  AB，证明S S ，得出S S ，即可判断① ABC AEC △ABC △ABC 1 正确；根据三角形中位线性质得出AD  CE ，根据BC CE ，得出BC 2AD，判断②正确； 2 根据AB  AC 时，AB  AB AC AC， 第 16 页 共 30 页得出ABBABB，ABCACB，ACC ACC，∠ABC ACB，根据四边形内角和 得出 ABBABBABCACBACCACCABCACB 360 ， 求 出 1 BBCCCB180 ，判断③正确；根据②可知， AD BC 3 ，根据勾股定理得出 2 BD  AB2  AD2  42 32  7 ，求出BC2BD 2 7 ，判断④错误． 【详解】解：延长BA，并截取 AEAB ，连接CE，如图所示： ∵BACBAC180， ∴a b 360180180， ∵a BAE 180， ∴BAE ， ∴BACCAE CAEEAC， ∴BAC EAC， 根据旋转可知，AC  AC，AB  AB， ∵AB  AE ， ∴ABC≌AEC， ∴BC CE ，S S ， ABC AEC ∵AB  AB，AB  AE ， ∴AE  AB， ∴S S ， ABC AEC ∴S S ， △ABC △ABC 即V ABC 与△ABC面积相同，故①正确； ∵AE  AB，BDCD， ∴AD是△BCE的中位线， 1 ∴AD  CE ， 2 ∵BC CE ， ∴BC 2AD，故②正确； 第 17 页 共 30 页当AB  AC 时，AB  AB AC AC， ∴ABBABB，ABCACB，ACC ACC，∠ABC ACB， ∵ABBABBABCACBACCACCABCACB 360， ∴ABBABCACBACC ABBACBABCACC180， 即BBCCCB180，故③正确； ∵BC 6， 1 ∴根据②可知，AD BC 3， 2 ∵当AB  AC 时，AB  AB AC AC 4，AD为中线， ∴AD BC， ∴ADB90， ∴ BD  AB2  AD2  42 32  7 ， ∴BC2BD 2 7 ，故④错误；综上分析可知，正确的是①②③． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，勾股定理， 四边形内角和，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明ABC≌AEC． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：2 221  31  tan45 【答案】4 3 【分析】先化简各式，在按照运算顺序进行计算即可． 1 【详解】解：原式4  311 2 2 311 4 3 ． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，实数的混合运算．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值， 掌握相关运算法则，正确的进行计算．  2x1 3x1 1  ① 18．（8分）解不等式组 2 4  23x4x② 第 18 页 共 30 页下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得： 42  2x1 3x1 第1步 44x23x1 第2步 4x3x142 7x7 第3步 x1 第4步 任务一：该同学的解答过程第___步出现了错误，错误原因是______，不等式①的正确解集是_______； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，x1；任务二：x1，1x<1 【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论； 任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可． 【详解】解：任务一：∵7x7， ∴x1； ∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确 解集是x1；故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，x1； 任务二：23x4x， 3xx42， 2x2， x1； 又x1， ∴不等式组的解集为：1x<1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式 的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．  x 1  x1 19.（8分）先化简，再求代数式    的值，其中x2cos451． x2 2x1 2x2 4x4 2 2 【答案】 ， 2 【分析】先根据分式混合运算法则代简，再将x2cos4512 1 21 x1 2 代入代简式计算即可．  x 1  x1 【详解】解：    x2 2x1 2x2 4x4 第 19 页 共 30 页  x 1 x1 =     x1 2 2  x1   4x4   2x x1 x1 =    2  x1 2 2  x1 2  4x4 x1 4  x1  =  2  x1 2 x1 2 = ， x1 2 当x2cos4512 1 21时， 2 2 2 原式=   2 ． 211 2 【点睛】本题考查分式化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握分式混合运算法则 是解题的关键． 20.（8分）已知：如图，点O为ABCD对角线AC 的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于 点E，F ． 求证：DE BF ． 【答案】详见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出 AD BC ， AD∥BC ，进而得出 EAO FCO ， OEAOFC ，再证明△AOE≌△COF ，根据全等三角形的性质得出AE CF ，再利用线段的 差得出ADAE BCCF，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD  BC，AD∥BC， ∴EAO FCO，OEAOFC ， ∵点O为对角线AC 的中点， ∴AO CO， ∴△AOE≌△COF ， ∴AE CF ， ∴ADAE BCCF， 第 20 页 共 30 页∴DE BF ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 21.（8分）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课，泥塑课， 编织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范 围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图， 其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的20%． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹任课的学生共有多少名． 【答案】（1）50 （2）见解析 （3）480 10 【分析】根据最喜欢泥塑课的学生人数为10人，占所调查人数的20%，用 即可求解； 20% （2）根据总人数减去其他类型的人数，即可得出最喜欢编织课的学生人数进而补全统计图； （3）根据最喜欢烹任课的学生的占比乘以1200，即可求解． 【小问1详解】 解：最喜欢泥塑课的学生人数为10人，占所调查人数的20%， 10 ∴这次调查中，一共抽取了 50名学生 20% 【小问2详解】解：最喜欢编织课的学生人数为501510205人， 补全统计图如图所示， 20 【小问3详解】解：估计该中学最喜欢烹任课的学生共有1200 480名 50 第 21 页 共 30 页【点睛】本题考查了条形统计图，样本估计总体，从统计图中获取信息是解题的关键． 22．（10分）如图，AB，CD为O的直径，C为O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于 点P，ABC 2BCP，点E是 B  D 的中点，弦CE，BD相交于点F ． （1）求OCB的度数； （2）若EF 3，求O直径的长． 【答案】（1）60 （2）6 3 【分析】（1）根据切线的性质，得出 OC PC ，再根据直角三角形两锐角互余，得出 OCBBCP90 ，再根据等边对等角，得出 OCB OBC ，再根据等量代换，得出 OCB2BCP，再根据OCBBCP90，得出2BCPBCP 90，即3BCP90，得 出BCP 30，进而计算即可得出答案； （2）连接DE ，根据圆周角定理，得出DEC 90，再根据中点的定义，得出 D  E  E  B ，再根据 1 同弧或同弦所对的圆周角相等，得出DCE ECBFDE  DCB30，再根据正切的定义， 2 得出DE 3 3 ，再根据30角所对的直角边等于斜边的一半，得出CD 2DE 6 3，进而即可得 出答案． 【小问1详解】解：∵PC与O相切于点C， ∴OC PC ， ∴OCBBCP90， ∵OBOC， ∴OCB OBC ， ∵ABC 2BCP， ∴OCB2BCP， ∴2BCPBCP 90，即3BCP90， ∴BCP 30， ∴OCB2BCP60； 【小问2详解】解：如图，连接DE， 第 22 页 共 30 页∵CD是O直径， ∴DEC 90， ∵点E是 B  D 的中点， ∴ D  E  E  B ， 1 ∴DCE ECBFDE  DCB30， 2 在Rt△FDE中， ∵EF 3，FDE 30， EF ∴DE  3 3， tan30 在Rt△DEC中， ∵DCE 30， ∴CD 2DE 6 3， ∴O的直径的长为6 3． 【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆周角定理及其推论、锐 角三角函数、含30角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 23．（10分） 某中学数学兴趣小组的同学们，对函数y a xb c（a，b，c 是常数，a0）的 性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当a 1，bc0时，即y  x ，当x0时，函数化简为y  x；当x0时，函数化简为y  ______． （2）当a2，b1，c0时，即y2 x1． ①该函数自变量x和函数值y 的若干组对应值如下表： x … 2 1 0 1 2 3 4 … y … 6 m 2 0 2 4 6 … 其中m ______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数y2 x1的图象． 第 23 页 共 30 页（3）当a 2,b1,c2时，即 y 2 x12． ①当x1时，函数化简为y  ______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数y 2 x12的图象． （4）请写出函数y a xb c（a，b，c是常数，a0）的一条性质：______．（若所列性质多 于一条，则仅以第一条为准） 【答案】（1）x （2）4，图像见详解； （3）2x4，图像见详解； （4）答案见详解； 【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案； （2）将x1代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案； （3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案； （4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案； 【小问1详解】解：当x0时， y x，故答案为：x； 【小问2详解】解：①当x1时，m2 11 4，故答案为：4； ②根据表格描点再连接起来，如图所示， ； 第 24 页 共 30 页【小问3详解】解：①当x1时，y 2(x1)22x4，故答案为：2x4； ②当x1时， y 2(x1)22x， 当x1时，y 2， 当x0时，y0， 当x2时，y2240， 描点如图所示， ； 【小问4详解】解：由解析式得，当xb时，y axabc， 当a0时，xb时，y随x 增大而增大， 当a 0时，xb时，y随x增大而减小， 当xb时，y axabc， 当a0时，xb时，y随x增大而减小， 当a 0时，xb时，y随x增大而增大， 故答案为：当a0时，xb时，y随x增大而增大，当a 0时，xb时，y随x增大而减小，当 a0时，xb时，y随x 增大而减小，当a 0时，xb时，y随x增大而增大（写其中任意一条 即可）． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式． 24．（13分）规定：若函数y 的图像与函数y 的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄 1 2 弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． 第 25 页 共 30 页3 （1）下列三个函数①yx1；②y  ；③yx2 1，其中与二次函数y 2x2 4x3互为“兄 x 弟函数”的是________（填写序号）； 1 （2）若函数y ax2 5x2  a0 与y   互为“兄弟函数”，x1是其中一个“兄弟点”的横坐标． 1 2 x ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________； 2 （3）若函数y  xm（m为常数）与y  互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x、 1 2 x 1 x 、x ，且x  x  x ，求 x x 2x 2的取值范围． 2 3 1 2 3 2 3 1 【答案】（1）② （2）a2； 3  17 、 3  17 （3） x x 2x 2 16 2 3 1 4 4 4 4 3 【分析】（1）在平面直角坐标系中作出 yx1； y  ； yx2 1； y 2x2 4x3图像，结 x 合“兄弟函数”定义即可得到答案； （2）①根据“兄弟函数”定义，当x1时，求出 y 值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求 解即可得到答案； （3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由 x x 2x 2 m2 8，按照讨论结果求 2 3 1 解，即可得到答案． 3 【小问1详解】解：作出yx1；y  ；yx2 1；y 2x2 4x3图像，如图所示： x 3  y  与y 2x2 4x3图像有三个不同的公共点， x 根据“兄弟函数”定义，与二次函数y 2x2 4x3互为“兄弟函数”的是②，故答案为：②； 1 【小问2详解】解：①函数y ax2 5x2  a0 与y   互为“兄弟函数”，x1是其中一个“兄 1 2 x 弟点”的横坐标， y a3,y 1，则a31，解得a2； 1 2 第 26 页 共 30 页y 2x2 5x2  1 ②联立 1 ，即2x35x2 2x10， y   2 x x1是其中一个解， 因式分解得 x1  2x23x1  0，则2x2 3x10，解得x 3 17 ， 4 3 17 3 17 另外两个“兄弟点”的横坐标是  、  ； 4 4 4 4 2 【小问3详解】解：在平面直角坐标系中作出y  xm （m为常数）与y  图像，如图所示： 1 2 x y  xm  1 2 联立 2 ，即 xm  ， y  x  2 x 2 m m2 8 ①当xm0时，xm ，即x2 mx20，当m2 80时， x ； x 2 2 ②当xm0时， xm  ，即x2 mx20，由①中m2 80，则 m2 80， x m m2 8 x ； 2 由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而x0，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为x、 1 x 、x ，且x  x  x ， 2 3 1 2 3 m m28 m m2 8 m m2 8 x  ， x  ， x  ， 1 2 2 2 3 2 2  m m28 m m28 m m28   x x 2x 2    2  2 3 1  2 2 2    第 27 页 共 30 页 2  mm m28  2  m28 m2 8， 由m2 80得到m2 816，即 x x 2x 2 16． 2 3 1 【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结 合是解决问题的关键． 25．（13分） 在矩形ABCD中，AB2， AD2 3 ，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋 转90°，交CD延长线于点G ，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG． DG （1）如图1，连接BD，求BDC的度数和 的值； BE （2）如图2，当点F 在射线BD上时，求线段BE 的长； （3）如图3，当EAEC时，在平面内有一动点P，满足PE  EF ，连接PA，PC，求PAPC的 最小值． 【答案】（1）BDC 60， 3 ； （2） 3 ； （3）4 3． 【分析】（1）根据矩形的性质得出C 90，CD  AB  2，BC  AD 2 3，进而根据正切函 BC 数得出 tanBDC   3 ，可求出 BDC 60 ，由矩形 ABCD 和矩形 AEFG 可得， DC ABE BADEAGADG90，求出DAGBAE ，证明△ADG∽△ABE ，根据相似 三角形的性质即可得出答案； （2）过点F 作FM CG于点M ，由矩形ABCD和矩形AEFG可得，ABE AGF ADG90， MF AE GF ，证明 △ABE≌△GMF ，进而得出 tanMDF tan60  3 ，设 DM x ，则 MD DG 2x BE  MF  3x，根据  3，得出  3，求出x1，进而可得出答案； BE 3x 第 28 页 共 30 页（3）连接AC ，先证明AGC是等边三角形，AG  AC 4，得出PE  EF  AG4， 将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP，进而求出PAPC ，PEP120， EP  EP4，得出PP 3PE 4 3 ，可得当点P，C，P三点共线时，PAPC的值最小，此 时为PAPC  PP 4 3． 【小问1详解】 解：∵矩形ABCD中，AB2， AD2 3 ， ∴C 90，CD  AB  2，BC  AD 2 3， BC ∴tanBDC   3， DC ∴BDC 60， 由矩形ABCD和矩形AEFG可得，ABE BADEAGADG90， ∴EAGEADBADEAD，即DAGBAE， ∴△ADG∽△ABE， DG AD ∴   3； BE AB 【小问2详解】 解：如答案图1，过点F 作FM CG于点M ， 由矩形ABCD和矩形AEFG可得，ABE AGF ADG90， AE GF ， ∴BAE DAGCGF ，ABE GMF 90， ∴△ABE≌△GMF， ∴BE MF ，ABGM 2， ∴MDF BDC 60，FM CG， MF ∴tanMDF tan60  3， MD ∴MF  3MD， 设DM x，则BE  MF  3x， ∴DGGM MD2x， DG ∵  3， BE 第 29 页 共 30 页2x ∴  3， 3x 解得x1， ∴BE  3x  3 ； 【小问3详解】 解：如答案图2，连接AC ， ∵矩形ABCD中，AD  BC 2 3，AB2， ∴ACB30，AC 2AB4， ∵EAEC， ∴EAC ACE  30，AEC 120， ∴ACGGAC 903060， ∴AGC是等边三角形，AG  AC 4， ∴PE  EF  AG4， 将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP， ∴PAPC ，PEP120，EP  EP4， ∴PP 3PE 4 3 ， ∴当点P，C，P三点共线时，PAPC的值最小，此时为PAPC  PP 4 3． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意 是解题的关键． 第 30 页 共 30 页