文档内容
2025年中考押题预测卷（全国通用卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 2025的倒数是（ ）
A．−2025 B． 2025 C． 1 D． 1
2025 2025
2．垃圾分类功在当代利在千−秋，下列垃圾分类指引−标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形
的是（ ）
A． B． C． D．
3．国产大模型DeepSeek 已经成为全球增长最快的AI工具，其每月新增网站访问量已超过 OpenAI
的ChatGPT．据报道，2025年2月，DeepSeek 访问量达到525000000次，将数字525000000用科
学记数法表示为（ ）
A．5.25 106 B．5.25 108 C．5.25 10 6 D．5.25 10 8
− −
4．如图所
×
示的几何体，其主视图
×
为（ ）
× ×
A． B． C． D．
5．为了让人工智能更好地理解情感，工程师设计了一套包含愤怒、高兴、悲伤、平静4种情绪的
语音数据集．训练阶段，人工智能随机播放一条语音，播放出表达高兴或悲伤情绪语音的概率为
（ ）
第 1 页 共 29 页A．1 B．1 C．3 D．1
4 2 4
6．如图， ，交 于点 ．若 = 130 ，则 的度数为（ ）
∥ ∠ ° ∠
A．40 B．50 C．60 D．130
7．我国
°
古代著作《九章算术》
°
中，一次方程组是由算
°
筹布置而成．如图1，图
°
中各行从左到右列
+4 =10
出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，得到方程组为 ，则根据图
6 +11 =34
2所示的算筹图，列出方程组为（ ）
2 + =7 2 + =12 2 + =7 2 + =12
A． B． C． D．
+3 =11 +3 =11 +3 =6 +3 =6
8．若一元二次方程 2+2 + =0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． 1 B． 1 C． > 1 D． < 1
9．如 图 ≥ ， 是 的直径， ≤ = 55 ，则 的度数为（ ）
∘
⊙ ∠ ∠
A．55 B．70 C．110 D．100
10．小
°
郑在做“小孔成像”实验
°
时，蜡烛到挡板的距离与
°
挡板到屏幕的距离之比
°
是1∶2．若烛焰
的高是4cm，则实像 的高是（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm
第 2 页 共 29 页11．已知二次函数 = 2 + + ( 0)的图象如图所示，以下结论中：① > 0；② 2 4 >0；
③2 = 0；④4 2 + < 0． 正 ≠ 确的是（ ） −
− −
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
12．如图，在正方形 中，点 为 上一点，将正方形沿 所在直线折叠后，点 的对应点
恰好落在 边的垂直 平 分 线 上． 若 = 6，则 的长为（ ）
A．3 3 B．6 3 3 C．6 3 9 D．12 6 3
− 第Ⅱ卷 − −
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．若 2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．在实数 −范围内分解因式：3 2 27 = ．
15．桔棉俗称“吊杆”（如图1），
是我
−
国古代的农用工具，是一种利用杠杆原理工作的取水机械．桔
棉示意图如图2所示， 是垂直于水平地面的支撑杆， 是杠杆， : = 2:1，当点 运动到
点 1 处时，物体 运动到 1 处．若 1 = 3.6m，则 ， 1 两 点之间的距 离 为 m．
16．如图，在 中， = 90 ， 是 的角平分线， 于点E， = 3， = 10，
则 的面积是 ．
△ ∠ ° △ ⊥
△
第 3 页 共 29 页17．化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1 10时，依次用天干甲、乙、
丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则壬烷分
−
子结构式中“H”的个数是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，双曲线 = > 0 上有一动点A，连接 并延长至点B，使得 =
，点C 在x轴上，连接 交双曲线 于点 D ，延长 交x 轴于点E． 若 = ， = 5，
ta n = 3，则k的值为 ． ∠ ∠
4
∠
三、解答题（本大题共8个小题，第19题-第24题每题8分，第25题-第26题每题10分，共 68
分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
19．（8分）（1）计算： 1 π 1 0+ 9；
2
−
（2）解不等式组： 2 +1> 5 ．− −
> 3
− −
20．（8分）如图，在四边形 中，点 为 的中点，连接 ，并延长交 的延长线于点 ，
已知 ．
(1)求
证
：
∥
；
(2)若 △ ， ≌△= 2， 求 的长．
∥
第 4 页 共 29 页21．（8分）【项目背景】
数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史，从《九章算
术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．
【数据搜集与整理】
某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了
数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x 表示，
共分三组：A．90 100，B．80 < 90，C．70 < < 80），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的 ≤ 竞 赛 ≤ 成绩是：76， ≤78 ，80，82，87，87 ，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B 组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 86 87 b
八年级 86 a 90
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： =______， =______， =______；
【数据分析与运用】
（2）请计算扇形统计图中“B 组”所在扇形的圆心角的度数：
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写
出一条理由即可）；
（4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识
为“优秀” 90 的总共有多少人？
≥
22．（8分）某商场将进货价为 30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售
量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增
长率不变.
第 5 页 共 29 页(1)求2，3两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40 元范围
内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加 6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这
种台灯获利4800元？
23．（8分）如题2图、题3图是题1图所示的某公共汽车双开门的俯视示意图， ， ，
是门轴的滑动轨道， = = 90 ，两门 ， 的门轴A，B，C，D都在滑动轨 道 上， 两门 关
闭时（如题2图）， ∠A， D∠ 分 别在E° ，F 处， 门缝 忽略不计（即 B，C 重合）；两门同时开启（如
题3图）时，A，D分别沿E→M，F→N 的方向匀速滑动，带动B，C 滑动，B到达E 时，C恰好
到达F，此时两门完全开启，已知 = = 50cm．
(1)如题3图，当 = 60 时，求门打开的宽度 ；
(2)当门打开的宽 ∠ 度 与 A 向 ° 方向滑动的距离相等 时 ，求此时门打开的宽度 ．
24．（8分）某种装置由两个厚度均为1的圆弧形金属块紧密嵌套而成，其截面示意图如图1所示，
其中 ， 所在圆的圆心均为O，两段优弧所对的圆心角均为240 ， 所在圆的半径为4．将
该装 置 放 置 在 水平桌面 上，与桌面 相切于点P．装置内部存有一° 定 量 的液体，液面记为 ，
已知 ∥ ，外侧金属块固定不动，内侧金属块可转动一定的角度．
第 6 页 共 29 页(1)求优弧 的长；
(2)当内侧 金 属 块转动到如图2所示的位置时，连接 ， ，求证： = ；
(3)已知装置内部液体的液面 = 4 3，当内侧金属 块 转动 到液面的一 端 E 恰 好与点A 重合时，如
图3，求点B到桌面 的距 离 ．
25．（10分）综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境：
在 中， = ， ， =45 ，将 绕点A 逆时针旋转得到 ，点D，E
的
△
对应
点
分别
是
点B
，
C．
≠ ∠ ° △ △
【初探感知】（1）如图1， =____________ ；
【深入领悟】（2）如图2，
∠
当
线段 经过点C° 时，求证： ；
【融会贯通】（3）如图3，在旋转
的
过程中，当点D落在
的
⊥
延
长
线上时，过点E 作 ∥ ，
交 的延长线于点G．请你判断线段 和 的数量关系，
并
说明理由．
26．（10分）综合与探究
【定义】对于 关于 的函数，函数在 < 范围内有最大值 和最小值 ，则
1 2 1 2
称为极差值， 记作 1 , 2 = ． ≤ ≤ −
【示例】如图（a） ， 根 据函数 −= 2 的图象可知，在 1 2范围内，该函数的最大值是4，
最小值为 2，即 1,2 = 4 2 = 6． − ≤ ≤
− − − −
第 7 页 共 29 页请根据以上信息，完成下列问题：
(1)直接写出反比例函数 = 6的 1,3 的值为______；
(2)已知二次函数 = 2 + +5 的图象经过点 2, 3 ．
①求该函数的表达式；
−
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的 1,4 的值．
(3)已知函数 1 =− >0 ，函数 2 = 1 2 4 + 2 1的图象经过点 0,0 ，且两个函数的
0, 3 相等 ，求 的 值 ． − − −
2
第 8 页 共 29 页2025年中考押题预测卷（全国通用卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 2025的倒数是（ ）
A．−2025 B． 2025 C． 1 D． 1
2025 2025
【答案】C − −
【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积互为1的两个数互为倒数，进行作答即可．
【详解】解：∵ 2025 1 = 1
2025
∴ 2025的倒数
−
是
1×
，故
−
选：C
2025
2．−垃圾分类功在当−代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概
念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转 180度，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
第 9 页 共 29 页C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，故选：D．
3．国产大模型DeepSeek 已经成为全球增长最快的AI工具，其每月新增网站访问量已超过 OpenAI
的ChatGPT．据报道，2025年2月，DeepSeek 访问量达到525000000次，将数字525000000用科
学记数法表示为（ ）
A．5.25 106 B．5.25 108 C．5.25 10 6 D．5.25 10 8
− −
【答案】 ×B × × ×
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 10 的形式，其中1 <
10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了
多
×
少位，n的绝对值与
≤
小数
点
移动的位数相同．当原数绝对值 10时，n是正数；当原数的绝对值< 1 时，n是负数．
【详解】解：525000000 = 5.25 ≥108．故选：B．
4．如图所示的几何体，其主视图
×
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关
键．
结合图形，根据主视图的定义即可求得答案．
【详解】解：这个几何体的主视图为： ．故选：C．
5．为了让人工智能更好地理解情感，工程师设计了一套包含愤怒、高兴、悲伤、平静4种情绪的
语音数据集．训练阶段，人工智能随机播放一条语音，播放出表达高兴或悲伤情绪语音的概率为
（ ）
A．1 B．1 C．3 D．1
4 2 4
【答案】B
【分析】本题考查了概率公式，根据愤怒、高兴、悲伤、平静4种情绪的语音数据集，以及播放出
表达高兴或悲伤情绪语音的结果有2种，代入概率公式进行计算，即可作答．
【详解】解：∵工程师设计了一套包含愤怒、高兴、悲伤、平静4种情绪的语音数据集．
∴播放出表达高兴或悲伤情绪语音的概率为2
=
1，故选：B
4 2
第 10 页 共 29 页6．如图， ，交 于点 ．若 = 130 ，则 的度数为（ ）
∥ ∠ ° ∠
A．40 B．50 C．60 D．130
【答案
°
】B
° ° °
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，先求出 = 50 ，然后根据两直线平行，
内错角相等即可求解．
∠ °
【详解】解：∵ = 130 ，
∴ = 180 ∠ = 50° ，
∵ ，
∠ °−∠ °
∴ ∥= = 50 ．故选B．
7．
∠
我
国古
∠
代
著作《
°
九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．如图1，图中各行从左到右列
+4 =10
出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，得到方程组为 ，则根据图
6 +11 =34
2所示的算筹图，列出方程组为（ ）
2 + =7 2 + =12 2 + =7 2 + =12
A． B． C． D．
+3 =11 +3 =11 +3 =6 +3 =6
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推
出图2所示的方程组．
【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，
2 + =7
可推出图2所示的算筹表示的方程组： ．故选：A．
+3 =11
8．若一元二次方程 2+2 + =0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． 1 B． 1 C． > 1 D． < 1
【答
案
≥
】D
≤
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当 2 4 >0 时，方
程有两个不相等的实数根；当 2 4 =0 时，方程有两个相等的实数根；当 2 −4 <0 时，方
程没有实数根．
− −
第 11 页 共 29 页由一元二次方程有两个不相等的实数根可知 = 2 4 > 0，代入解一元一次不等式即可．
【详解】解：由题意得，22 4 1 >0， Δ 解得 −< 1 ， 故选：D．
9．如图， 是 的直径， − × ×= 55 ，则 的度数为（ ）
∘
⊙ ∠ ∠
A．55 B．70 C．110 D．100
【答案
°
】C
° ° °
【分析】本题考查了圆周角定理，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的 2倍，可
知 = 2 ，根据 的度数可求 的度数．
∠ ∠ ∠ ⏜ ∠ ⏜
【详解】解： 是 中 所对的圆周角， 是 中 所对的圆心角，
= 2 = 2 55 = 110 ．故选：C．
∵ ∠ ⊙ ∠ ⊙
∴10∠ ． 小 郑在做 ∠ “小 孔成像 ×”实 ° 验时， ° 蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是1∶2．若烛焰
的高是4cm，则实像 的高是（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据 ∥ 证明 ∽ ，然后利用相似三角形的性质求解即可．
△ △
【详解】解：如图所示： 、 相交于点 O，
∵ 是烛焰的高， 是实 像 的 高 ，
∴ ∥ ，
第 12 页 共 29 页∴ ∽ ，
∵ △ 蜡烛 到 挡板 △ 距 离 与挡板到屏幕距离之比是1∶2， = 4cm，
∴ 4 = 1，解得： = 8cm．故选：B．
2
11 ． 已知二次函数 = 2 + + ( 0)的图象如图所示，以下结论中：① > 0；② 2 4 >0；
③2 = 0；④4 2 + < 0． 正 ≠ 确的是（ ） −
− −
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，需要具备一定的数形结合分析能力，理解抛物线的解析
式中参数a，b，c对图象的影响，综合抛物线的开口方向，对称轴的位置，函数图象与y 轴的交点
位置，与x 轴的交点个数，以及函数图象中一些特殊的值，即可判断各个选项．解题的关键是观察
抛物线与两条坐标轴的交点位置、交点个数以及对称轴的位置．
【详解】解：因为抛物线开口向下，
所以 < 0；
因为
对称轴在y轴左侧，
所以 < 0；
因为
抛物线与y轴交于正半轴，
所以 > 0，
故 > 0，故①正确；
因
为
抛
物线与x轴有两个交点，
所以 2 4 >0，故②正确；
因为 抛物−线 对 称轴为 = = 1，即2 = ，
2
所以2 = 0，故③ 正−确； −
因为抛 物 − 线 对称轴为 = 1，且当 = 1 时， = 0，
所以当 = 3时， = 0− ，
所以 = 2− 时，抛 物线在x轴上方，故 = 4 2 + > 0，故④错误；故选：C．
− −
第 13 页 共 29 页12．如图，在正方形 中，点 为 上一点，将正方形沿 所在直线折叠后，点 的对应点
恰好落在 边的垂直 平 分 线 上． 若 = 6，则 的长为（ ）
A．3 3 B．6 3 3 C．6 3 9 D．12 6 3
【答案】D − − −
【分析】由折叠的性质及三角函数求得 = 30 ，从而求得 求 ；再由折叠的性质及三角函
数求得结果．
∠ °
【详解】解：∵四边形 为正方形，
∴ = = 90 ， = = 6；
∵∠ 垂直∠ 平 分 线段° ，
∴ = 1 = 3， = 90 ；
2
∴ 四 边形 是矩∠形 ， °
∴ = = 6， = 90 ；
由 折 叠知 ， = ∠ = 6， ° = = 90 ， = ；
在Rt 中 ，s in = ∠ = 1，∠ °
2
∴ △ = 30 ， ∠ = cos = 6 3 = 3 3；
2
∴∠
=
°
=
6
3
3；∠ ×
∵ = 3−0 ， −= 90 ，
∴ ∠ = 60° ， ∠ °
∴∠ = =° = 12 6 3，故选：D．
cos
【 点 睛】 本 题考∠查 了 正方形−的性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，锐角三
角函数；熟练掌握这些知识是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．若 2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】 − 2
≥
第 14 页 共 29 页【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．
【详解】解：∵ 2在实数范围内有意义，，
∴ 2 0， −
∴
−
2，
≥
故
答
≥
案为： 2．
14．在实数 范 ≥ 围内分解因式：3 2 27 = ．
【答案】3 +3 3 −
【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，平方差公式因式分解等知识点，解题的关键是掌握
−
因式分解的方法．
先利用提公因式法进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：3 2 27 = 3 2 9 = 3 +3 3 ；故答案为：3 +3 3 ．
15．桔棉俗称“吊 杆−”（如图1 ），−是我国古 代的农 用−工具，是一种利用杠 杆原理工 作−的取水机械．桔
棉示意图如图2所示， 是垂直于水平地面的支撑杆， 是杠杆， : = 2:1，当点 运动到
点 1 处时，物体 运动到 1 处．若 1 = 3.6m，则 ， 1 两 点之间的距 离 为 m．
【答案】1.8
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
证明 即可得解．
1 1
△ ∽△
【详解】解：连接 ， ，
1 1
由题意可知： = ， = ，
1 1
= 1，
1
∴又 = ，
1 1
，
∵ ∠ 1 ∠ 1
∴△ ∽△
第 15 页 共 29 页1 = = 2，
1 1
∴又 = 3.6m，
1
1 = 1.8m，故答案为：1.8．
∴16 ． 如图，在 中， = 90 ， 是 的角平分线， 于点E， = 3， = 10，
则 的面积是 ．
△ ∠ ° △ ⊥
△
【答案】15
【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出 ，再根据三角形面积公式计
算即可．
【详解】解：∵ 是 的角平分线， = 90 ， ，
∴ = = 3， △ ∠ ° ⊥
∴ = 1 = 1 10 3= 15，故答案为：15．
2 2
17 ．△化 学 中直 链 ⋅烷 烃 的名×称用ד碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1 10时，依次用天干甲、乙、
丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则壬烷分
−
子结构式中“H”的个数是 ．
【答案】20
【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结归纳出图形变化规律．根据题意，得到氢原
子的数目与碳原子数的规律，即可解答．
【详解】解：观察，发现规律：
甲烷：碳原子的数目 = 1，氢原子的数目 = 4，4 = 2 1+2；
乙烷：碳原子的数目 = 2，氢原子的数目 = 6，6 = 2×2+2；
丙烷：碳原子的数目 = 3，氢原子的数目 = 8，8 = 2×3+2；
..．
×
与 之间的关系式为 = 2 +2；
∴
第 16 页 共 29 页则壬烷分子结构式中“ ”的个数：2 9+2 = 20，故答案为：20．
18．如图，在平面直角坐 标系中，双曲×线 = > 0 上有一动点A，连接 并延长至点B，使得 =
，点C 在x轴上，连接 交双曲线 于点 D ，延长 交x 轴于点E． 若 = ， = 5，
ta n = 3，则k的值为 ． ∠ ∠
4
∠
【答案】18
【分析】取 中点 ，连接 ，由中位线定理可得 = 1 = 5， ，进而可得 = ，
2 2
结合题意得 = ， 则 = ，进而得 = = ∥ ，则 = ∠ = 5， ∠ 过 点
2
作 ， ∠ 过 点 作 ∠ ， tan = 3，则 ∠ = 3 ∠ ， 可 得 ∠ = = 5 ，co s = 4，
4 5
sin ⊥ = 3，再通 过解 直 ⊥ 角 三 角形求 ∠ 得 +3,3 + 3 ， 5+ , 3 ， 可 得 +3 3 ∠ + 3 = 5+
5 2 2
3∠ = ，解得： = 1，即可求解．
【详解】解：取 中点 ，连接 ，
∵ = ，即 为 的 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ △ ， = 1 = 5，
2 2
∴ ∥ = ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，则 = ，
∴∠ = ∠ = ， 则 = = 5，
2
∠ ∠ ∠
过点 作 ，过点 作 ，
⊥ ⊥
第 17 页 共 29 页∵tan = 3，设 = 3 ，
4
∴ ∠ = 4 ，则 = = 2 + 2 = 5 ，cos = 4，sin = 3，
5 5
∴ = = ， 则 = 5+ ， = +∠ = 5+5 ，∠
∴ 5+ ,3− ，
∵ = + = 5 +5 ，
2
∴ = s in = 3 5 + 5 = 3 + 3，
5 2 2
= co ⋅ s ∠ = 4 5 + 5 = 4 + 2，
5 2
则 = ⋅ ∠ = 5+5 4 + 2 = +3，
∴ + 3 ,3−+ 3 ， −
2
∵ +3,3 + 3 ， 5+ ,3 在 = > 0 上，
2
∴ + 3 3 + 3 = 5+ 3 = ， 解得 ： = 1，
2
∴ = 5+1 3 = 18， 故答 案为 ：18．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题-第24题每题8分，第25题-第26题每题10分，共 68
×
分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算： 1 1 π 1 0+ 9； （2）解不等式组： 2 +1> 5 ．
2 > 3
−
【答案】（1）4；（2）2 < <−3 −
− −
【分析】本题主要考查实数混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和确定不等式组解
集的方法是解答本题关键．
（1）原式分别计算负整数指数幂、零次幂和算术平方根，然后计算加减法即可；；
（2）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
1
【详解】解：（1） 1 π 1 0+ 9
2
−
= 2 1+3 − −
= 4−
2 +1> 5①
（2） ，
> 3②
由①得−> 2，−
由②得 < 3，
∴不等 式组的解集为2 < < 3．
第 18 页 共 29 页20．（8分）如图，在四边形 中，点 为 的中点，连接 ，并延长交 的延长线于点 ，
已知 ．
∥
(1)求证： ；
(2)若 △ ， ≌△= 2， 求 的长．
【答案 】 ∥(1 )见 详 解 ；(2)4
【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边
形的判定方法是解题的关键．
（1）由点 为 的中点可得 = ，由两直线平行，内错角相等，得出 = ，利用AAS
即可证明；
∠ ∠
（2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形 是平行四边形，从而得到 =
，由点 为 的中点可得 = 2 = 4，即可求得 的长．
【
详解】（
1）
证
明： 点 为
的中
点，
= ， ∵
，
∴
∵ ∥ = ，
=
∴∠ ∠
在 和 中， = ，
∠ = ∠
△ △ ∠ ∠
AAS ；
∴
（ △2）
解
：
≌△
， ，
四边形 是平行四边形，
∵ ∥ ∥
∴ = ，
∴ 点 为 的中点， = 2，
∵ = 2 = 4，
∴ = = 4．
∴21．
（8
分
）【项目背景】
数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史，从《九章算
术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．
【数据搜集与整理】
第 19 页 共 29 页某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了
数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x 表示，
共分三组：A．90 100，B．80 < 90，C．70 < < 80），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的 ≤ 竞 赛 ≤ 成绩是：76， ≤78 ，80，82，87，87 ，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B 组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 86 87 b
八年级 86 a 90
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： =______， =______， =______；
【数据分析与运用】
（2）请计算扇形统计图中“B 组”所在扇形的圆心角的度数：
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写
出一条理由即可）；
（4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识
为“优秀” 90 的总共有多少人？
【答案】（ 1≥ ）88，87，40；（2）144 ；（3）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析；（4）
640人
°
【分析】本题考查了中位数、众数、求扇形圆心角度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义计算即可得解；
（2）用360 乘以“B组”所占的比例计算即可得解；
（3）根据中
°
位数和众数分析即可得解；
（4）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解．
【详解】解：（1）八年级 组的人数为10 20% = 2 人，而八年级 组有4人，
则把八年级10名学生的成
绩按照从低到高排
×
列，
第 20 页 共 29 页处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分，
∴八年级学生成绩的中位数 = 88+88 = 88，
2
∵七年级10名学生成绩中， 得分为87分的人数最多，
∴七年级的众数 = 87，
由题意可得： % = 10 4 10 20% 100% = 40%，
10
− − ×
∴ = 40； ×
故
答案为：88，87，40；
（2）扇形统计图中“B 组”所在扇形的圆心角的度数为 360 1 20% 40% = 144 ；
（3）八年级学生数学文化知识较好，
°× − − °
理由如下：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但八年级抽取的学生的竞赛成绩的中位
数和众数均高于七年级，故八年级学生数学文化知识较好；
（4）该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀” 90 的总共有800 3 +1000 40% = 240+
10
400 = 640（人）． ≥ × ×
答：该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀” 90 的总共有640人.
22．（8分）某商场将进货价为 30元的台灯以40元
售
≥
出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售
量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增
长率不变.
(1)求2，3两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40 元范围
内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加 6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这
种台灯获利4800元？
【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为20%
(2)该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为 ，利用三月份的销售量=一月份的销售量 (1+
月均增长率)2，即可得出关于 的一元二次方程，解
之取其正值即可得出结论；
×
（2）设每台售价定为 元，则 每台的销售利润为( 30)元，四月份可售出 576+ 6 40 台，
0.5
利用总利润=每台的销 售利润 四月份的销售量，即 −可得出关于 的一元二次方程，解之取−其 正值即
可得出结论．
×
【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为 ，
依题意，得：400(1+ )2 = 576，
第 21 页 共 29 页解得： =0.2= 20%， = 2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：2，
3两个月的销售量
月
−
平均增长率为20%．
（2）设这种台灯售价定为 元时，商场四月份销售这种台灯获利 4800元，
依题意，得： 30 576 + 6 40 =4800，
0.5
整理，得 2 1 18− +3040= 0， −
解得 1 = 38， − 2 = 80（不符合题意，舍去）．
答：
该种台灯售
价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．
23．（8分）如题2图、题3图是题1图所示的某公共汽车双开门的俯视示意图， ， ，
是门轴的滑动轨道， = = 90 ，两门 ， 的门轴A，B，C，D都在滑动轨 道 上， 两门 关
闭时（如题2图）， ∠A， D∠ 分 别在E° ，F 处， 门缝 忽略不计（即 B，C 重合）；两门同时开启（如
题3图）时，A，D分别沿E→M，F→N 的方向匀速滑动，带动B，C 滑动，B到达E 时，C恰好
到达F，此时两门完全开启，已知 = = 50cm．
(1)如题3图，当 = 60 时，求门打开的宽度 ；
(2)当门打开的宽 ∠ 度 与 A 向 ° 方向滑动的距离相等 时 ，求此时门打开的宽度 ．
【答案】(1)50cm；(2)40cm
【分析】此题考查了含30 角的直角三角形的性质、勾股定理等知识的应用，读懂题意是关键．
（1）根据含30 角的直角三° 角形的性质得到 = 1 = 25cm，则 = = 25cm，即可得到门
2
打开的宽度 ；°
（2）设 = ，则 = = ,在Rt 中， 2 + 2 = 2，据此列方程即可求出答案．
【详解】 （ 1） 解：在 Rt 中， △ = 60 ，
∴ = 30 ， △ ∠ °
∵ ∠ = =°50cm．
∴ = 1 = 25cm, = + = 100cm，
2
∴ = = 25cm，
∴ = = 100 25 25 = 50cm，答：门打开的宽度 为50cm；
（ 2） 设 −= ， − − −
第 22 页 共 29 页∵ = ，
∴ = = ,
在 R t 中 ，
2 +△ 2 = 2，
∵ = 1 100 ，
2
∴ 1 100 2− + 2 =502，
2
解得 = 0−（ 不合题 意，舍去）或 = 40，
答：
当门打开的宽度与A 向 方
向滑动的距离相等时，求此时门打开的宽度40cm．
24．（8分）某种装置由两个
厚
度均为1的圆弧形金属块紧密嵌套而成，其截面示意图如图1所示，
其中 ， 所在圆的圆心均为O，两段优弧所对的圆心角均为240 ， 所在圆的半径为4．将
该装 置 放 置 在 水平桌面 上，与桌面 相切于点P．装置内部存有一° 定 量 的液体，液面记为 ，
已知 ∥ ，外侧金属块固定不动，内侧金属块可转动一定的角度．
(1)求优弧 的长；
(2)当内侧 金 属 块转动到如图2所示的位置时，连接 ， ，求证： = ；
(3)已知装置内部液体的液面 = 4 3，当内侧金属 块 转动 到液面的一 端 E 恰 好与点A 重合时，如
图3，求点B到桌面 的距 离 ．
【答案】(1)8 ；(2)见
解
析；(3)10
【分析】本题考查了圆的切线的性质，弧长公式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰
三角形的性质．
（1）由已知可得优弧 在圆的半径为6，所对的圆心角为240 ，根据弧长公式计算即可；
（2）连接 ， ， ， ，由题意知 = ，再证明° SAS 即可；
（3）连接 ，交 于 点 G， 连 接 ， ，∠ ， 由 题意∠ 知 ，△∥ ≌，△进 而 得 = = 2 3，
解直角三角 形得 s in = = 3， = 60 ， ⊥ = 12 0 ， 推出 + = 180 ，证
2
明点B，O，G，P在∠ 同 一 条直 线上，点∠ B 到桌面° ∠的 距 离即为° 的长∠度 ， 即可∠求 解 ． °
第 23 页 共 29 页【详解】（1）解： 所在圆的半径为4，圆弧形金属块的厚度均为1，
∵
所在圆的半径为 6，
∴
∵优弧 所对的圆心角为240 ，
= 24 0 6 = 8 ； °
180
×
∴
（2）解：连接 ， ， ， ，如图，
由题意 = = 360 240 = 120 ，
∠ ∠ = °− ， ° °
∴ 即 ∠ −=∠ ， ∠ −∠
又 ∠ = ∠ ， = ，
∵ SA S ，
∴△ = ≌△ ；
∴
（3）解：连接 ，交 于点G，连接 ， ， ，如图，
由题意， ， ∥ ，
，
⊥
∴ =⊥ = 2 3，
∴ 在 Rt 中，sin = = 3，
2
∴ △= 6 0 ， ∠
∴ ∠ = ° = 60 ， = 120 ，
∴ ∠ 所 对∠的 圆 心角为°24∠0 ， °
∵ = 240 120 = 12°0 ，
∴ ∠ °− ° °
第 24 页 共 29 页+ = 180 ，
∴ 点 ∠ B ， O， ∠G ， P在同一 ° 条直线上，
∴ 点B到桌面 的距离即为 = 4 2+2 = 10．
∴25．（10分）
综
合与实践
×
【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境：
在 中， = ， ， =45 ，将 绕点A 逆时针旋转得到 ，点D，E
的
△
对应
点
分别
是
点B
，
C．
≠ ∠ ° △ △
【初探感知】（1）如图1， =____________ ；
【深入领悟】（2）如图2，
∠
当
线段 经过点C° 时，求证： ；
【融会贯通】（3）如图3，在旋转
的
过程中，当点D落在
的
⊥
延
长
线上时，过点E 作 ∥ ，
交 的延长线于点G．请你判断线段 和 的数量关系，
并
说明理由．
【 答 案】（1）67.5；（2）见解析；（ 3 ） = ，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理．
（1）根据旋转的性质得到 = ，由 是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据旋转的性质得到 ∠ = ∠ , △ = = 67.5 , = = 45 ，进而得到 =
= 67.5 ，由平角的定义 即 可计 算出 ∠ ∠= 90 ，即 ° 可 ∠ 得 出 结论 ∠ ； ° ∠
∠ （ 3）延长 ° , 交于点 H，由旋转的性 ∠ 质 得 ， °= = = ， = = 45 , =
= 6 7. 5 ， 进而得到 = ，推出 = ， 根 据 ∥ ，推 ∠ 出 =∠ , ° ∠ =
∠ ° = 22.5 ，得 到 = ，即 可 证明 结论． ∠ ∠ ∠
∠ 【 详 解 − 】 ∠ 解 ： （1）根 ° 据旋转的 性质 得 到 = ，
= ， =45 ， ∠ ∠
∵ = = 1 ∠ 8 0 =° 67.5 ；
2
°−∠
∴（∠2 ）证∠明 ：由旋转的性质得°： = , = = 67.5 , = = 45 ，
∴ = = 67.5 ， ∠ ∠ ° ∠ ∠ °
∴ ∠ = 1∠3 5 ， °
∴ ∠ = ° = 135 45 = 90 ，
∴ ；
∠ ∠ −∠ °− ° °
⊥
第 25 页 共 29 页（3） = ，
理由：如图3，延长 , 交于点 H，
由旋转的性质得， = = = ， = = 45 , = = 67.5 ，
∴ = = 45 ， ∠ ∠ ° ∠ ∠ °
∴ ∠ = 9∠0 ， °
∴ ∠ = 45 =° , = = 22.5 ，
∴ ∠ = ° ， ∠ ∠ ∠ −∠ °
∴ = 即 = ，
∵ ∥ ，
− −
∴ = = 45 ，
∴ ∠ = ∠ , =° = 22.5 ，
∴ ∠ = ∠ , ∠ = ∠ ， −∠ °
∴ = ， ∠ ∠
∴ = ．
26 ． （1 0 分）综合与探究
【定义】对于 关于 的函数，函数在 < 范围内有最大值 和最小值 ，则
1 2 1 2
称为极差值， 记作 1 , 2 = ． ≤ ≤ −
【示例】如图（a） ， 根 据函数 −= 2 的图象可知，在 1 2范围内，该函数的最大值是4，
最小值为 2，即 1,2 = 4 2 = 6． − ≤ ≤
− − − −
第 26 页 共 29 页请根据以上信息，完成下列问题：
(1)直接写出反比例函数 = 6的 1,3 的值为______；
(2)已知二次函数 = 2 + +5 的图象经过点 2, 3 ．
①求该函数的表达式；
−
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的 1,4 的值．
(3)已知函数 1 =− >0 ，函数 2 = 1 2 4 + 2 1的图象经过点 0,0 ，且两个函数的
0, 3 相等 ，求 的 值 ． − − −
2
【答案 】(1)4；(2 )① = 2 6 +5；②见解析；③16；(3) = 4 或3
【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数的增减性，画二次函数图象，待定系数法求解析式，
−
正确理解新定义是解题的关键．
（1）先判断出反比例函数的增减性，再分别求出自变量为1和3时的函数值，从而得到当1 3
时，2 6，据此根据极差值的定义求解即可；
≤ ≤
（2）①
≤
利
用
≤
待定系数法求解即可；②根据①所求利用描点法画函数图象即可；③根据解析式判断
出函数的增减性，进而求出当 1 4时函数值的取值范围即可得到答案；
（3）先判断出 = >0 的−增≤减 性≤，进而求出 的最大值和最小值，则可得到 0, 3 的值，再
1 1
2
利用待定系数法 求出 的 解析式，根据 的 0, 3 等于 的 0, 3 求解即可．
2 2 1
2 2
【详解】（1）解：∵ 反比例函数解析式 为 = 6， 6 > 0，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每 个象 限内y随x 增大而减小，
当 = 1 时， = 6，当 = 3 时， = 2，
∴
当1
3时，2
6，
∴ 1,3≤= 4≤ ； ≤ ≤
（ 2）解：①∵二次函数 = 2 + +5 的图象经过点 2, 3 ，
∴ 3 = 22 +2 +5， −
∴ −= 6，
∴ 二次 − 函数解析式为 = 2 6 +5；
②如图所示函数图象即为所求；
−
第 27 页 共 29 页③∵二次函数解析式为 = 2 6 +5 = 3 2 4，
∴二次函数开口向上， 对称 轴 − 为直 线 = 3 ， − 顶点坐 − 标为 3, 4
∴离对称轴越远函数值越大，
−
∵3 1 = 4 > 4 3 = 1，
∴当 − 1− 4 时， − 函数值在 = 1时取得最大值，最大值为 = 1 3 2 4 = 12，
∴当 −1 ≤ ≤ 4 时， 4 12， − − − −
∴ −1,4≤ =≤12 4−=≤16 ； ≤
（ 3） − 解：∵函数 − 1−= >0 的图象经过点 0,0 ，
∴函数 的图象经过第一、三象限， 随 的增大而增大，
1
∴当0 3时，当 = 0 时， 有 最小 值，最小为0， = 3时， 有最大值，最大值为 3 = 3
1 1
2 2 2 2
∴函数 ≤ 的 ≤ 极差 值为： 0, 3 = 3； ·
1
2 2
∵函数 = 1 2 4 + 2 1的图象经过点 0,0 ，
2
∴ 2 1= 0， − − −
解 得， − = 1，
当 = 1 时 ± ， 2 = 4 ，
∴函数 的图象经过第二、四象限， 随 的增大而减小，
2 −
∴当0 3中，当 = 0 时， 有 最大 值，最大为0， = 3时有最小值，最小值为 4 3 = 6，
2
2 2 2
∴函数 ≤ 的 ≤ 极差 值为 0, 3 = 0 6 = 6， − ⋅ −
2
2
∵两个 函数的 0, 3 相等， − −
2
∴6
=
3，
2
解 得， = 4；
第 28 页 共 29 页当 = 1时， = 2 2+4 = 2 1 2+2，
2
∴ 二次 − 函数 2 的 图象 − 开 口向下 ， − 对称 轴 − 直线为 = 1，顶点坐标为 1,2 ，
∴当 = 1 时 ，二次函数有最大值，最大值为 1 ，当 1时， 随 的增大而增大，
当0 3时，函数 = 4 2+4 的最小值为0， ≤
2
2
∵函数 ≤ ≤ = >0 的 极差 − 值 0, 3 = 3，两个函数的 0, 3 相等，
1
2 2 2
∴ 的最 大值 为 3，
2
2
∴ 0 < 3 < 1
2
当 2 2 +4 = 3，
2
解 − 得， = 1， = 3（舍去）
1 2
2 2
∴ = 1 ，
2
∴ 3 = 1，
2 2
解得 ， = 3，
综上所
述， 的值为3或4．
第 29 页 共 29 页
