2025中考数学押题预测卷（上海卷）_幼小初教辅资料_中考_2025中考各科押题卷+模拟卷（含全国）

2025年中考押题预测卷（上海卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:(本大题共 6题，每题 4分，共 24分) 1．如果ab，那么下列不等式一定成立的是（ ） a b A．a3b3 B．3a3b C．  D．ab0 3 3 x2 2．对于函数 y 自变量x的取值范围是（ ） x A．x2 B．x0 C．x2且x0 D．x2且x0 3．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A． x22x10 B． x2  x C． x210 D． x232x 4．甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射靶5次．射击成绩统计如下：从射击成 绩的平均数评价甲、乙两人的射击水平，则（ ） 命中环数（单位：环） 7 8 9 10 甲命中相应环数的次数 2 2 0 1 乙命中相应环数的次数 1 3 1 0 A．甲比乙高 B．甲、乙一样 C．乙比甲高 D．不能确定 5．尺规作图：已知MON0MON 180具体步骤如下：①在射线OM 、ON上分别截取OA、OB， 1 使OAOB；②分别以点 A 、 B 为圆心，大于 AB的同一长度为半径作弧，两弧交于MON 内的一 2 点 P ，作射线OP；③以点 A 为圆心，OA为半径作弧，交射线OP于点C，联结AC、CB．那么所作 的四边形AOBC一定是（ ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 6．在Rt△ABC中，CAB90，AB5，AC12，以点 A ，点 B ，点C为圆心的A,B,C的半径 分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（ ） 第 1 页 共 23 页A．点 B 在A上 B．A与B内切 C．A与C有两个公共点 D．直线BC与A相切 第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共 12题，每题 4分，共 48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．计算： 3a2b 3  . 8．计算：3a2b23a2b2  ． 9．如果实数 满足y= x1 1x1，那么 x3 y的值是 10．当我们购买硬盘时，制造商通常采用十进制单位标注产品容量．数据的存储单位一般用 KB、MB、GB、TB来表示，其中 1MB210KB ， 1GB210MB ．一个硬盘的容量是900GB，可用科 学记数法表示为 MB． 11．已知直线ykxb经过第一、二、四象限，点A(1,a)与点B(3,b)在此直线上，则a b（填>、 =或<）． 12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果ADB40，那么AOB的度数为 ． 13．某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品 都能全部售完，图中的线段AB、OC分别表示该工作室每天的成本y （元）、收入y （元）与销售 1 2 x（个）之间的函数关系，当成本和收入相差 120元时，工艺品生产的个数是 个． 14．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价30元，羽毛球每只定价5元．该店还制定了 两种优惠方法： 第 2 页 共 23 页①买一副球拍赠送一只羽毛球； ②按总价的90%付款． 某人计划购买4副球拍，n只羽毛球（n4）， 此人通过计算发现：用方法①所需费用不超过方法②，那么此人最多买了 只羽毛球． ．．．      15．如图，在V ABC中，AB AC，ADBC，垂足为点D．设 AB=a ， BC=b ，那么 AD  （结   果用 、 的式子表示）． a b 16．为了了解某校某年级 1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳 次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a，b满 足关系式2a3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．如果一 分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优 秀的人数大约是 人．（：该年级共1000名学生） 17．定义：抛物线C 上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的k倍后得到新的抛物线C ，C 叫C 的 1 2 2 1 “k倍衍生抛物线”．例如：求抛物线L :y3x22的“5倍衍生抛物线L ”．设抛物线L 上一点Px, y， 1 2 2 x y y x 2 则点P在抛物线L 1 上的对应点为因为点P 5 , 5   ，因为点 P 在抛物线L 1 上，所以 5 3 5   2，整理 3 3 得到y x210，即抛物线L 的表达式为y x210．参考上述方法，抛物线yax2bxca0的 5 2 5 “k倍衍生抛物线”的表达式为 ． 第 3 页 共 23 页18．在Rt△ABC中，C90，AC 6，BC8，V ABC重心为点G，直线l经过边AB的中点，将V ABC 沿直线l翻折得到 DEF （点 A 、 B 、C分别与点D、E、F 对应）， DEF 的重心点 P 在V ABC的内 部．若点 P 到AB的距离与点G到AB的距离相等，那么D到直线l的距离为 ． 三、解答题:(本大题共 7题，共 78分) 1 1 2  1  12 13 22  2    19．(本题满分10分)计算：  3  4 8 ．  4x2y2 0 ①  20．(本题满分10分)解方程组：x22xyy2 1② 21．(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分) 某商场购进一批进货价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价 格．调查发现，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能 卖210件，假定每月销售量y（件）是销售价格x（元/件）的一次函数． (1)求y与x之间的关系式； (2)销售价定为多少元时，该商场每月获得利润最大？最大利润是多少？ 22．(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分) 为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要 求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求 三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直 接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，V ABC是一个等腰三角形的花圃，经测量AB AC13m，BC 24m，半圆形步道 的圆心在边BC上； 第 4 页 共 23 页花圃二：如图2，四边形DEFG是一个梯形的花圃，DG∥EF，经测量DG9m，EF 27m，E 45， tanF 2，半圆形步道的圆心在边EF上．（结果保留根号） 23．(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分) 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCD，BDBC ，DBC的平分线交AD延长线于点 E， 交CD于点F． (1)求证：四边形BCED是菱形； (2)连接AC交 BF 于点 G，如果AC  CE，求证： AB2  AGAC ． 24．(本题满分12分，第(1)小题满分2分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分) 1 已知，抛物线y x2bxc 经过点3,7和3,2． 2 (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点 B 的左侧），与y轴交于点C， 第 5 页 共 23 页（ⅰ）如图 1，求证：V ABC是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，点 P 是抛物线对称轴上的一动点，若以点O，D， P 为顶点的三角形与V ABC相似，求点 P 的坐标． 25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分) 3 已知在V ABC中，CACB,AB6,cosCAB ，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作O， 5 交边AC于点D（点 D不与点A、C 重合）． (1)当 AD4 时，判断点B与O的位置关系，并说明理由； (2)过点C 作CEOD，交OD延长线于点E．以点E 为圆心，EC为半径作E，延长CE，交E于点 C． ①如图1，如果O与E的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长； ②连接AC、OC，如果AC与 BOC的一条边平行，求E的半径长． 第 6 页 共 23 页2025年中考押题预测卷（上海卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题:(本大题共 6题，每题 4分，共 24分) 1．如果ab，那么下列不等式一定成立的是（ ） a b A．a3b3 B．3a3b C．  D．ab0 3 3 【答案】A 【详解】解：A、∵ab，∴a3b3，故此选项符合题意； B、∵ab，∴3a3b，故此选项不符合题意； a b C、∵ab，∴  ，故此选项不符合题意； 3 3 D、∵ab，∴ab>0，故此选项不符合题意；故选：A． x2 2．对于函数 y 自变量x的取值范围是（ ） x A．x2 B．x0 C．x2且x0 D．x2且x0 【答案】C 【详解】解：由题意得：x20且x0，解得：x2且x0，故选：C． 3．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A． x22x10 B． x2  x C． x210 D． x232x 【答案】B 【详解】A.方程 x22x10 中， 224110 ，故方程有两个相等的实数根，不符合题意， B.方程 x2  x 中， 1241010，故方程有两个不相等的实数根，符合题意， C.方程 x210 可变形为 x2 10 ，故方程没有实数根，不符合题意， D.方程 x232x 中，2241380 ，故方程没有实数根，不符合题意，故选：B． 4．甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射靶5次．射击成绩统计如下：从射击成 绩的平均数评价甲、乙两人的射击水平，则（ ） 命中环数（单位：环） 7 8 9 10 甲命中相应环数的次数 2 2 0 1 乙命中相应环数的次数 1 3 1 0 A．甲比乙高 B．甲、乙一样 C．乙比甲高 D．不能确定 【答案】B 第 7 页 共 23 页728210 【详解】由题意知，甲的平均数= =8环， 221 7839 乙的平均数= =8 环， 131 所以从平均数看两个一样，故选：B. 5．尺规作图：已知MON0MON 180具体步骤如下：①在射线OM 、ON上分别截取OA、OB， 1 使OAOB；②分别以点 A 、 B 为圆心，大于 AB的同一长度为半径作弧，两弧交于MON 内的一 2 点 P ，作射线OP；③以点 A 为圆心，OA为半径作弧，交射线OP于点C，联结AC、CB．那么所作 的四边形AOBC一定是（ ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】A 【详解】解：由作图可知，OC平分MON ，OAOB AC， ∴AOCBOCACO， ∴AC∥OB， ∴四边形AOBC是平行四边形， ∵OAOB， ∴四边形AOBC是菱形．故选：A． 6．在Rt△ABC中，CAB90，AB5，AC12，以点 A ，点 B ，点C为圆心的A,B,C的半径 分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（ ） A．点 B 在A上 B．A与B内切 C．A与C有两个公共点 D．直线BC与A相切 【答案】D 【详解】解：∵CAB 90,AB5,AC12 ， ∴ BC  AB2AC2  52122 13 ， ∵AB5，A的半径为5， ∴点 B 在A上，选项A正确，不符合题意； ∵A,B的半径分别为5、10，且AB1055， ∴A与B内切，选项B正确，不符合题意； ∵AC125813， 第 8 页 共 23 页∴A与C相交，有两个公共点，选项 C 正确，不符合题意； 如下图，过点 A 作ADBC于点D， 1 1 ∵S  ACAB BCAD， ABC 2 2 ∴1 125 1 13AD ，解得AD 60 ， 2 2 13 60 ∵AD 5， 13 ∴直线BC与A相交，选项D错误，符合题意．故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共 12题，每题 4分，共 48分) 7．计算： 3a2b 3  . 【答案】27a6b3 【详解】解： 3a2b 3 33  a2 3 b327a6b3 . 8．计算：3a2b23a2b2  ． 【答案】 81a472a2b216b4 【详解】解：3a2b23a2b2   3a2b3a2b  2 3a22b22     9a2 4b22 81a472a2b216b4 故答案为： 81a472a2b216b4· 9．如果实数 满足y= x1 1x1，那么 x3 y的值是 【答案】2 【详解】根据二次根式有意义的条件确定x的值，进而求得y的值，然后代入求解． 解：根据题意，得 x-1≥0，1-x≥0， ∴x=1． 把x=1 代入已知等式，得y=1． 第 9 页 共 23 页∴ x+3 y =1+1=2．故填2． 10．当我们购买硬盘时，制造商通常采用十进制单位标注产品容量．数据的存储单位一般用 KB、MB、GB、TB来表示，其中 1MB210KB ， 1GB210MB ．一个硬盘的容量是900GB，可用科 学记数法表示为 MB． 【答案】 9.216105 【详解】解：∵ 1GB210MB ， ∴ 900GB900210MB=9.216105MB ，故答案为： 9.216105． 11．已知直线ykxb经过第一、二、四象限，点A(1,a)与点B(3,b)在此直线上，则a b（填>、 =或<）． 【答案】 【详解】解：∵直线ykxb经过第一、二、四象限， ∴y随着x的增加而减小， ∵13， ∴ab， 故答案为：． 12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果ADB40，那么AOB的度数为 ． 【答案】80 【详解】解：∵ABCD是矩形， ∴DAB90，ACBD，OAOC，OBOD， ∴OAOB， ∵ADB40， ∴ABD90ADB50， ∴BACABD 50 ， ∴AOB180505080． 故答案为：80． 13．某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品 都能全部售完，图中的线段AB、OC分别表示该工作室每天的成本y （元）、收入y （元）与销售 1 2 x（个）之间的函数关系，当成本和收入相差 120元时，工艺品生产的个数是 个． 第 10 页 共 23 页【答案】15或45 【详解】解：根据题意：可设AB段的解析式为：y k xb， 1 1  240b  k 4 且经过点A0,240，B60,480，∴ ，解得： 1 ， 48060k b b240 1 AB段的解析式为：y 4x240； 1 设OC段的解析式为：y k x， 2 2 且经过点C60,720， 72060k ，解得：k 12， 2 2 OC段的解析式为：y 12x． 2 ∵该工作室某一天中成本和收入相差120元，即y y 120或y y 120， 2 1 1 2 12x4x240120或4x24012x120，解得：x45或x15． 所以这天的产量是45千克或者15千克．故答案为：15或45. 14．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价30元，羽毛球每只定价5元．该店还制定了 两种优惠方法： ①买一副球拍赠送一只羽毛球； ②按总价的90%付款． 某人计划购买4副球拍，n只羽毛球（n4）， 此人通过计算发现：用方法①所需费用不超过方法②，那么此人最多买了 只羽毛球． ．．． 【答案】16 【详解】解：方法①需要付款：3045x45x100（元）； 第 11 页 共 23 页方法②需要付款：3045x90%1084.5x（元）． ∵方法①所需费用不超过方法②， ．．． ∴5x1001084.5x， 解得x16， 那么此人最多买了16只羽毛球．故答案为：16．      15．如图，在V ABC中，AB AC，ADBC，垂足为点D．设 AB=a ， BC=b ，那么 AD  （结   果用 、 的式子表示）． a b  1 【答案】a b 2 【详解】解：∵在V ABC中，AB AC，ADBC，垂足为点D． 1 ∴BD BC， 2     ∵ AB=a ， BC=b ，   1 ∴ADa b， 2  1 故答案为：a b． 2 16．为了了解某校某年级 1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳 次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a，b满 足关系式2a3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．如果一 分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优 秀的人数大约是 人．（：该年级共1000名学生） 【答案】200 【详解】1000名学生一分钟的跳绳次数是总体，∴样本容量是40； 由题意所给数据可知：50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人， 第 12 页 共 23 页∴a＋b＝40−4−16＝20， ∵2a＝3b， ∴解得a＝12，b＝8， 8 ∴1000× ＝200（人）， 40 故估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．故答案为：200． 17．定义：抛物线C 上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的k倍后得到新的抛物线C ，C 叫C 的 1 2 2 1 “k倍衍生抛物线”．例如：求抛物线L :y3x22的“5倍衍生抛物线L ”．设抛物线L 上一点Px, y， 1 2 2 x y y x 2 则点P在抛物线L 1 上的对应点为因为点P 5 , 5   ，因为点 P 在抛物线L 1 上，所以 5 3 5   2，整理 3 3 得到y x210，即抛物线L 的表达式为y x210．参考上述方法，抛物线yax2bxca0的 5 2 5 “k倍衍生抛物线”的表达式为 ． a 【答案】y x2bxck k x y 【详解】解：由题意，设抛物线L 上一点Px, y，则点P在抛物线yax2bxc上的对应点为P ,  ， 2 k k  2 y x x ∴ a  b c， k k k a ∴y x2bxck ， k a 故答案为：y x2bxck ， k 18．在Rt△ABC中，C90，AC 6，BC8，V ABC重心为点G，直线l经过边AB的中点，将V ABC 沿直线l翻折得到 DEF （点 A 、 B 、C分别与点D、E、F 对应）， DEF 的重心点 P 在V ABC的内 部．若点 P 到AB的距离与点G到AB的距离相等，那么D到直线l的距离为 ． 24 【答案】 或5 5 【详解】解：∵C90，AC 6，BC8， ∴ AB 6282 10 ， ∵点 P 到AB的距离与点G到AB的距离相等，V ABC重心为点G， DEF的重心为点 P ， 故分为以下两种情况： （1）直线l垂直平分AB，此时D点与 B 点重合，G点与 P 点关于直线l对称， 第 13 页 共 23 页根据折叠可得点 P 到AB的距离与点G到AB的距离相等， 1 故点D到直线l的距离是 AB5； 2 （2）直线l过C(F)点，此时C点与F 点重合，D到直线l的距离是DOF的OF 边上的高DK， 1 ∵S  6824， VDEF 2 1 ∴S  S 12， VDOF 2 VDEF 根据折叠可得∠C DCF 90，DE  AB10， 1 ∴OF  DE 5， 2 1 ∴S  5DK 12， VDOF 2 24 ∴DK  ， 5 24 故答案为： 或 5． 5 三、解答题:(本大题共 7题，共 78分) 19．(本题满分10分) 1 1 2 计算： 22   1    2 1  2    1  3．  3  4 8 1 1 2 【详解】解： 22   1    2 1  2    1  3  3  4 8 3 1 49  2 2 491 4． 第 14 页 共 23 页20．(本题满分10分)  4x2y2 0 ① 解方程组： x22xyy2 1② 【详解】解：由①，得（2x+y）（2x-y）=0， 即2x+y=0 或2x-y=0； 由②得出（x+y）2=1，即x+y=1 或x+y=-1； 2xy0 2xy0 2xy0 2xy0 所以，原方程组可化为 ， ， ， ，  xy1 xy1  xy1 xy1  1  1 x  x  x 1  x 1   3 3   4 3 解得： 1 ， 2 ， ， ．  y 1 2 y 2 2  y  2  y  2  3 3  4 3 21．(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分) 某商场购进一批进货价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价 格．调查发现，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能 卖210件，假定每月销售量y（件）是销售价格x（元/件）的一次函数． (1)求y与x之间的关系式； (2)销售价定为多少元时，该商场每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）解：（1）设y与x之间的关系式为ykxb， 20kb360 k 30 根据题意得： ，解得： ， 25kb210 b960 则y与x之间的函数关系式为y30x960； （2）设利润w元，则w与x的函数关系式是： w30x960x1630x21440x1536030x2421920， 300， 当x24时，w有最大值，最大值为1920， 销售价定为24元时，该商场每月获得利润最大，最大利润是1920元； 22．(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分) 为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要 求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求 三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直 接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 第 15 页 共 23 页花圃一：如图1，V ABC是一个等腰三角形的花圃，经测量AB AC13m，BC 24m，半圆形步道 的圆心在边BC上； 花圃二：如图2，四边形DEFG是一个梯形的花圃，DG∥EF，经测量DG9m，EF 27m，E 45， tanF 2，半圆形步道的圆心在边EF上．（结果保留根号） 【详解】花圃一：根据题意得，当半圆与AB，AC相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点D即为所求作的圆心； 过点D作DEAB于点E，故DE为半圆的半径 ∵AB AC13m，BC 24m 由作图得，AD垂直平分BC 1 ∴BD BC 12cm 2 ∴AD AB2BD2 5cm 1 1 ∴S  ADBD ABDE ABD 2 2 1 1 ∴ 512 13DE 2 2 60 ∴DE  cm 13 60 ∴半圆形步道的半径为 cm； 13 花圃二：根据题意得，当半圆与DE，GF 相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点A即为所求作的圆心； 过点A作AN HF于点N，过点A 作AM HE于点M 第 16 页 共 23 页∴AM  AN ，且AM ，AN为半圆的半径 ∵E 45 ∴ MEA是等腰直角三角形 AN ∵tanF  2 FN ∴设FN x，则AM  AN 2x ∴ EA2 2x ， AF  AN2NF2  5x ∵EF EAAF 27m ∴2 2x 5x27 解得x18 29 5 ∴AM AN  2x36 218 5   ∴半圆的半径为 36 218 5 cm ． 23．(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分) 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCD，BDBC ，DBC的平分线交AD延长线于点 E， 交CD于点F． (1)求证：四边形BCED是菱形； (2)连接AC交 BF 于点 G，如果AC  CE，求证： AB2  AGAC ． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴AEBCBE ， ∵DBC的平分线交AD延长线于点E，交CD于点F． ∴DBECBE ， ∴AEBDBE ， ∴DBDE， ∵BDBC ， ∴DEBC，而DE∥BC， ∴四边形DBCE是平行四边形， 第 17 页 共 23 页∵DBDE， ∴四边形DBCE是菱形； （2）如图，连接AC交 BF 于点G，交BD于K， ∵在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCD， ∴梯形ABCD是等腰梯形， ∴ABCDCB，ACBD， ∵菱形BCED， ∴BD∥CE，BDCE DE，DBCDEC ， ∴ACCE，EDCECD， ∵AC  CE， ∴CAECEA 45，ACBD， ∴DBC DEC ACB45，EDC ECD67.5， ∴ACD9067.522.5， ∴ABDABC45DCB4522.5， ∵ BE 平分DBC， ∴DBF CBF 22.5， ∴ABGACB45， ∵BAGCAB， ∴△ABG∽△ACB， AB AG ∴  ， AC AB ∴ AB2  AGAC ． 24．(本题满分12分，第(1)小题满分2分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分) 1 已知，抛物线y x2bxc 经过点3,7和3,2． 2 第 18 页 共 23 页(1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点 B 的左侧），与y轴交于点C， （ⅰ）如图 1，求证：V ABC是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，点 P 是抛物线对称轴上的一动点，若以点O，D， P 为顶点的三角形与V ABC相似，求点 P 的坐标． 1 【详解】（1）解：∵抛物线y x2bxc 经过点3,7和3,2， 2  1  32 3bc 7  3   2 b  ，解得 2   1 32 3bc 2  c2  2 1 3 抛物线的函数表达式为y  x2 x 2； 2 2 1 3 （2）解：（ⅰ）y  x2 x 2， 2 2 当x0时，y2， 点C坐标为0,2， 1 3 当y0时， x2  x2 0， 2 2 解得x1或x4， 点A在点 B 的左侧， 点A坐标为1,0，点 B 坐标为4,0， AB 14 5， AC 12 22  5 ， BC 2242 2 5 ， AC2BC2   5 2   2 5 2  25， AB2 52 25 ， AC2BC2 AB2 ， ABC 是直角三角形； 2 1 3 1 3 25 （ⅱ）y x2 x2 x   ， 2 2 2 2 8 3 抛物线的对称轴是直线x ， 2 3  3  点D坐标为  ,0 ，设点 P 坐标为  ,m ， 2  2  OD PD 分两种情况：①当△ODP∽△ACB 时，  ， AC BC 3 即 2 m ，  5 2 5 解得m3， 第 19 页 共 23 页3  3  此时点 P 的坐标为  ,3 或  ,3 ； 2  2  3 OD PD 3 ②当△ODP∽△BCA时，  ，即 2 m ，解得m ，  BC AC 4 2 5 5 3 3 3 3 此时点 P 的坐标为  ,  或  ,  ； 2 4 2 4 3  3  3 3 3 3 综上，点 P 坐标为  ,3 或  ,3 或  ,  或  ,  ． 2  2  2 4 2 4 25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分) 3 已知在V ABC中，CACB,AB6,cosCAB ，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作O， 5 交边AC于点D（点 D不与点A、C 重合）． (1)当 AD4 时，判断点B与O的位置关系，并说明理由； (2)过点C 作CEOD，交OD延长线于点E．以点E 为圆心，EC为半径作E，延长CE，交E于点 C． ①如图1，如果O与E的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长； ②连接AC、OC，如果AC与 BOC的一条边平行，求E的半径长． 【详解】（1）解：过点O作OH  AC，垂足为点H， ∵OH 过圆心，OH AD， 1 ∴AH DH  AD2 ， 2 ∵OH  AC， AHO90， AH 3 ∴在Rt△AOH 中，cosA  ， AO 5 10 ∴AO ， 3 第 20 页 共 23 页∵AB6， 8 ∴OB ， 3 ∴OB AO， ∴点B在O内． （2）解：过点C 作CM  AB，垂足为M， ∵ACBC,CM  AB， 1 ∴AM  AB3， 2 AM 3 ∵在RtACM 中，cosCAM   ， AC 5 ∴AC5， OAOD, CABODA， 又∵ODACDE, CABCDE ， 3 ∵cosCAB ， 5 DE 3 ∴在Rt△CDE中，CED 90，cosCDE  ， DC 5 设DE 3k,CD5k ，则 CE CD2DE2 4k ， ∴AD5k， ①两圆的交点记为P、Q，连接PE,PO， ∵O与E相交，PQ是公共弦， ∴OE垂直平分PQ，即OEPQ， 第 21 页 共 23 页∵PQ经过OE的中点， ∴PQ垂直平分OE， ∴PEPO，即CEAO， 1 1 ∴AH  AD 55k， 2 2 在RtAHO中，AHO90， AH 3 ∴cosHAO  ， AO 5 5 ∴AO 55k， 6 5 25 ∴4k  55k，解得k  ， 6 49 125 ∴CD5k  ； 49 ②由于点A在直线AB上， ∴AC不可能与OB平行， 则当AC∥CB时，过点C作CN  AD， AC CB, CABB, CABBACB180, ACB1802CAB， ∵AC∥CB， CADACB1802CAB， DE CC,CE CE, DCDC, CDECDE， ∵CDACDECDE 180, CDA1802CDE， ∵CABCDE, CADCDA， ∵CN  AD, 1 1 ND AD 55k, 2 2 第 22 页 共 23 页1 CN 5k 55k， 2 CN 4 在Rt△CNC 中，cosCCN   ， CC 5 1 5k 55k ∴ 2 4  , 8k 5 25 k  , 39 100 CE 4k  ； 39 当AC∥OC，延长OE交AC延长线于点F， ACOC, OE CE   1, EF CE OE EF, 5 ∵ODOA 55k,DE 3k, 6 5 OE 3k 55k， 6 5 ∴EF 3k 55k, 6 5 DF 6k 55k， 6 ∵ACOC, OD CD   , DF AD 5 55k  6  5k ， 6k 5 55k 55k 6 5 解得k  或5（舍去）， 14 10 ∴CE 4k  ， 7 100 10 综上：CE  或 ． 39 7 第 23 页 共 23 页