连云港市 2016 年高中段学校招生统一文化考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.有理数-1,-2,0,3中,最小的数是( )
A.-1 B.-2 C.0 D.3
2.据市统计局调查数据显示,我市目前常住人口约为4 470 000人.数据“4 470 000”用科
学记数法可表示为( )
A.4.47×106 B.4.47×107 C.0.447×107 D.447×104
3.下图是一个正方体的平面展开图,把展开图折叠成正方体后,“美”字一面相对面上的字是(
)
A.丽B.连C.云D.港
4.计算:5x-3x=( )
A.2x B.2x2 C.-2x D.-2
x-1
5.若分式 的值为0,则( )
x+2
A.x=-2 B.x=0 C.x=1 D.x=1或-2
6.姜老师给出一个函数表达式,甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质.甲:
函数图象经过第一象限;乙:函数图象经过第三象限;丙:在每一个象限内,y值随x值的增大而
减小.根据他们的叙述,姜老师给出的这个函数表达式可能是( )
3 1
A.y=3x B.y= C.y=- D.y=x2
x x
7.如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S 、S 、S ;如图2,分别
1 2 3
以直角三角形三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角都相等的扇形,面积分别为S 、
4
S 、S .其中S =16,S =45,S =11,S =14,则S +S =( )
5 6 1 2 5 6 3 4
A.86 B.64 C.54 D.48
8.如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点).如
果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A 外 恰好有3个在圆内,则r的取值范围
····为( )
A.2√2<r<√17 B.√17<r<3√2
C.√17<r<5 D.5<r<√29
第Ⅱ卷(非选择题,共126分)
二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程)
9.化简:√38= .
10.分解因式:x2-36= .
11.在新年晚会的投飞镖游戏环节中,7名同学投掷的成绩(单位:环)分别是7,9,9,4,9,8,8,则这组
数据的众数是 .
12.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD.若∠1=54°,则∠2= °.
13.已知关于x的方程x2+x+2a-1=0的一个根是0,则a= .
14.如图,正十二边形A A …A ,连接A A 、A A ,则∠A A A = °.
1 2 12 3 7 7 10 3 7 10
15.如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次,使
点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为M,EM交AB于N.若AD=2,则MN= .
16.如图,☉P的半径为5,A、B是圆上任意两点,且AB=6,以AB为边作正方形ABCD(点D、P
在直线AB两侧).若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为 .三、解答题(本大题共11小题,共102分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分6分)
计算(-1)2 016-(2-√3)0+√25.
18.(本题满分6分)
2 1
解方程 - =0.
x 1+x
19.(本题满分6分)
1+x
解不等式 <x-1,并将解集在数轴上表示出来.
3
20.(本题满分8分)
某自行车公司调查阳光中学学生对其产品的了解情况,随机抽取部分学生进行问卷调查,结果
分“非常了解”“比较了解”“一般了解”“不了解”四种类型,分别记为A、B、C、D,根
据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.(1)本次问卷共随机调查了 名学生,扇形统计图中m= ;
(2)请根据数据信息补全条形统计图;
(3)若该校有1 000名学生,估计选择“非常了解”“比较了解”的学生共约有多少人.
21.(本题满分10分)
甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教.
(1)若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名,则所选的2名教师性别相同的概率为
;
(2)若从报名的4名教师中随机选2名,用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所
学校的概率.
22.(本题满分10分)
四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若AC与BD相交于点O,求证:AO=CO.
23.(本题满分10分)
某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中.
一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人
无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.
(1)求该店有客房多少间,房客多少人;(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多
入住4人.一次性定客房18间以上(含18间),房价按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,
他们如何定房更合算?
24.(本题满分10分)
环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓
度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整
改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示.其中线段AB
表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式;
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度,能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L?为什么?
25.(本题满分10分)
1
如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tan B= .
8
(1)求BC的长;
(2)利用此图形求tan 15°的值.(精确到0.1,参考数据:√2≈1.4,√3≈1.7,√5≈2.2)26.(本题满分12分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx经过两点A(-1,1)、B(2,2),过点B作BC∥x
轴,交抛物线于点C,交y轴于点D.
(1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标;
7
(2)若抛物线上存在点M,使得△BCM的面积为 ,求出点M的坐标;
2
(3)连接OA、OB、OC、AC,在坐标平面内,求使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对
····
应)的点N的坐标.
27.(本题满分14分)
我们知道,光反射时,反射光线、入射光线和法线在同一平面内,反射光线、入射光线分居法
线两侧,反射角等于入射角.如图,AO为入射光线,入射点为O,ON为法线(过入射点O并垂直
于镜面的直线),OB为反射光线,此时反射角∠BON等于入射角∠AON.
问题思考:
(1)如图1,一束光线从点A处入射到平面镜上,反射后恰好过点B,请在图中确定平面镜上的入
射点P.保留作图痕迹,并简要说明理由;
(2)如图2,两平面镜OM、ON交于点O,且OM⊥ON.一束光线从点A出发,经过平面镜反射
后,恰好经过点B.小昕说,光线可以只经过平面镜OM反射后过点B,也可以只经过平面镜ON
反射后过点B.除了小昕的两种做法外,你还有其他做法吗?如果有,请在图中画出光线的行进
路线.保留作图痕迹,并简要说明作法.
问题拓展:
(3)如图3,两平面镜OM、ON交于点O,且∠MON=30°,一束光线从点S出发,且平行于平面
镜OM,第一次在点A处反射,经过若干次反射后又回到了点S.如果SA和AO的长均为1 m,
求这束光线经过的路程;
(4)如图4,两平面镜OM、ON交于点O,且∠MON=15°,一束光线从点P出发,经过若干次反
射后,最后反射出去时,光线平行于平面镜 OM.设光线出发时与射线 PM 的夹角为θ(0°<θ<180°),请直接写出满足条件的所有θ的度数(注:OM、ON足够长).
答案全解全析
一、选择题
1.B 正数和0都比负数大,两个负数,绝对值大的反而小.
因为|-2|>|-1|,所以-2<-1,故选B.
2.A 4 470 000用科学记数法表示为4.47×106,故选A.
3.D 将展开图折成正方体后,“美”字一面相对面上的字是“港”.故选D.
4.A 5x-3x=(5-3)x=2x,故选A.
{x+2≠0,
5.C 要使分式的值为0,只需分母不为0且分子等于0即可,所以 故x=1.所以选C.
x-1=0,
3
6.B y= 的图象过第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小.所以选B.
x
7.C 设面积为S 、S 、S 的三个等边三角形的边长分别为a 、a 、a ,面积为S 、S 、S 的
1 2 3 1 2 3 4 5 6
扇形对应的半径分别为r 、r 、r ,每个扇形的圆心角为x°.
4 5 6
√3 √3 √3
∵S = a2,S = a2,S = a2,且a2+a2=a2,
1 4 1 2 4 2 3 4 3 1 3 2
∴S +S =S ,∴S =S -S =45-16=29,
1 3 2 3 2 1
x x x
∵S = πr2,S = πr2,S = πr2,且r2+r2=r2,
4 360 4 5 360 5 6 360 6 5 6 4
∴S +S =S ,
5 6 4
∴S =S +S =11+14=25,∴S +S =29+25=54.故选C.
4 5 6 3 4
评析 本题主要考查的是等边三角形的面积公式、扇形的面积公式以及勾股定理的应用.解
题的关键是用直角三角形的边长先表示出各等边三角形和扇形的面积,再根据直角三角形的
三边关系把相应图形的面积联系起来.
8.B 如图,连接P A,P A,…,P A.
1 2 8
根据勾股定理得P A=5,P A=3√2,P A=√17,P A=5,P A=√29,P A=√17,P A=5,P A=2√2.
1 2 3 4 5 6 7 8∴P A<P A=P A<P A<P A=P A=P A<P A,
8 3 6 2 1 4 7 5
∵除点A外恰好有三个格点在圆内,∴这三个格点为P 、P 、P ,∴√17<r<3√2.
3 6 8
评析 本题主要考查点与圆的位置关系及无理数的大小比较.根据8个格点到A点的距离判
断出除A点外的三个在圆内的格点,从而确定半径r的范围.属于中档题.
二、填空题
9.答案 2
解析 因为23=8,所以√38=2.
10.答案 (x+6)(x-6)
解析 根据平方差公式,得x2-36=x2-62=(x+6)(x-6).
11.答案 9
解析 众数是一组数据中出现次数最多的数,所以这组数据的众数是9.
12.答案 72
解析 如图.
∵CD∥AB,∴∠CBA=∠1=54°.
∵BC平分∠ABD,∴∠ABD=2∠CBA=108°.
∵CD∥AB,∴∠2=∠DBE=180°-108°=72°.
评析 本题考查了平行线的性质和角平分线的性质,属于基础题.
1
13.答案
2
解析 由x=0是方程x2+x+2a-1=0的根,得2a-1=0,
1
∴a= .
2
14.答案 75
解析 由题意知:在正十二边形A A …A 的外接圆上, ⏜ = ⏜ =…= ⏜ = ⏜ ,且
1 2 12 A A A A A A A A
1 2 2 3 11 12 12 1
每段弧所对应的圆心角为30°,所以 ⏜ 所对应的圆心角为150°,所以∠A A A =75°.
A A 3 7 10
10 3
1
15.答案
3
解析 设DH=x,则HC=2-x,又由第二次折叠知EH=HC,
∴EH=2-x.
在Rt△DEH中,(2-x)2-x2=12,
3
解得x= ,
4
由第二次折叠知∠MEH=∠C=90°,
所以∠DEH+∠AEN=90°.
因为∠AEN+∠ANE=90°,
所以∠DEH=∠ANE.
又因为∠A=∠D=90°,3
AE DH 1 4 5
所以△AEN∽△DHE,所以 = ,即 = ,解得EN= ,
EN EH EN 3 3
2-
4
5 1
所以MN=EM-EN=2- = .
3 3
16.答案 9π
解析 CD边扫过的区域如图阴影部分所示.作PF⊥AB(垂足为F)并延长交DC于E,连接PC.
易知四边形BFEC为矩形.
1
∵FP⊥AB,∴FB= AB=3,∴EC=3.
2
S =πPC2-πPE2=πEC2=9π.
阴影
评析 本题考查了垂径定理、正方形的性质、勾股定理等知识.解题的关键是弄清CD绕点
P旋转一周所形成的图形的形状.
三、解答题
17.解析 原式=1-1+5=5.(6分)
2 1
18.解析 移项得 = ,(2分)
x 1+x
去分母得2x+2=x,
解得x=-2.(5分)
经检验,原方程的解为x=-2.(6分)
19.解析 去分母得1+x<3x-3,
整理得-2x<-4,(3分)
所以x>2.(4分)
解集在数轴上表示如图.
(6分)
20.解析 (1)50;32.(4分)
(2)图略(B的人数为20).(6分)
(3)1 000×(16%+40%)=560(人).(8分)
1
21.解析 (1) .(3分)
2
(2)将甲、乙两校报名的教师分别记为甲 1、甲2、乙1、乙2(注:1表示男教师,2表示女教
师).树状图如图所示:(8分)
4 1
所以P(两名教师来自同一所学校)= = .(10分)
12 3
22.证明 (1)四边形ABCD中,AD=BC,
∵BE=DF,
∴BE-EF=DF-EF,即BF=DE.(3分)
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AED=∠CFB=90°.(4分)
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL).(6分)
(2)∵Rt△ADE≌Rt△CBF,∴AE=CF.(7分)
又∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF.(8分)
∴四边形AECF为平行四边形.(9分)
∴AO=CO(平行四边形对角线互相平分).(10分)
23.解析 (1)设该店有客房x间,房客y人,(1分)
{ 7x+7= y,
根据题意得 (5分)
9(x-1)= y,
{ x=8,
解得
y=63.
答:该店有客房8间,房客63人.(7分)
(2)若每间客房住4人,则63名客人至少需房16间,则需付费20×16=320钱.
若一次性定客房18间,则需付费20×18×0.8=288钱<320钱.
答:上述客人应选择一次性定客房18间.(10分)
24.解析 (1)当0≤x≤3时,设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0).(1分)
{ b=10, {k=-2,
把A(0,10)、B(3,4)代入得 解得 (3分)
3k+b=4, b=10.
所以y=-2x+10.(4分)
m
当x≥3时,设y= (m≠0).(5分)
x
m
把B(3,4)代入得 =4.
312
∴m=12.∴y= .
x
{
-2x+10,0≤x≤3,
综上所述,y= (7分)
12
,x>3.
x
12
(2)能.令y= =1,则x=12<15.
x
所以该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天内达标.(10分)
25.解析 (1)如图,过A作AD⊥BC,交BC的延长线于D,
在Rt△ADC中,AC=4,∠ACD=30°,
1 √3
∴AD= AC=2,CD=AC·cos 30°=4× =2√3.(2分)
2 2
AD 2 1
在Rt△ABD中,tan B= = = ,
BD BD 8
∴BD=16.(4分)
∴BC=BD-CD=16-2√3.(5分)
(2)如图,在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM.
∵∠ACB=150°,∴∠AMD=∠MAC=15°.
AD 2 1 1
∴tan 15°=tan∠AMD= = = ≈ ≈0.3.(10分)
MD 4+2√3 2+√3 2+1.7
26.解析 (1)把A(-1,1)、B(2,2)代入y=ax2+bx中得
2
{ a= ,
{ 1=a-b, 解得 3
2=4a+2b, 1
b=- .
3
2 1
∴所求函数表达式为y= x2- x.(2分)
3 3
∵BC∥x轴,
∴设C点坐标为(x ,2).
0
2 1 3
∴ x2- x =2,解得x =- 或x =2.
3 0 3 0 0 2 0
由题意知x
0
<0,∴x
0
=-3.即C(
-
3
,2
).(4分)
2 2
(2)设△BCM边BC上的高为h.7 1 7 7
∵BC= ,∴S = × ×h= .
△BCM
2 2 2 2
∴h=2,点M即为抛物线上到BC的距离为2的点,
∴点M的纵坐标为0或4.
2 1 1
令y= x2- x=0,解得x =0,x = ,
1 2
3 3 2
∴M
1
(0,0),M 2(1
,0
).(6分)
2
2 1
令y= x2- x=4,
3 3
1+√97 1-√97
解得x = ,x = .
3 4
4 4
∴M (1+√97 ),M (1-√97 ).
3 ,4 4 ,4
4 4
综上所述,点M的坐标为(0,0)、(1 )、(1+√97 )、(1-√97 ).(8分)
,0 ,4 ,4
2 4 4
(3)∵A(-1,1),B(2,2),C( 3 ),D(0,2),
- ,2
2
5 3
∴易求得OB=2√2,OA=√2,OC= ,∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD= .
2 4
AO OC
①如图1,当△AOC∽△BON时, = ,∠AOC=∠BON.
BO ON
∴ON=2OC=5.
过点N作NE⊥x轴于点E,
∵∠COD=45°-∠AOC=45°-∠BON=∠NOE.
3
∴在Rt△NOE中,tan∠NOE=tan∠COD= .
4
∴OE=4,NE=3.
∴点N的坐标为(4,3).同理可得,点N的坐标也可为(3,4).
AO OC
②如图2,当△AOC∽△OBN时, = ,∠AOC=∠OBN,
OB BN
∴BN=2OC=5.
过点B作BG⊥x轴于点G,过点N作x轴的平行线交BG的延长线于点F,∴NF⊥BF.
∵∠COD=45°-∠AOC=45°-∠OBN=∠NBF,3
∴在Rt△BFN中,tan∠NBF=tan∠COD= .
4
∴NF=3,BF=4.
∴易求得点N的坐标为(-1,-2).
同理可得,点N的坐标也可为(-2,-1).
综上所述,点N的坐标为(3,4)、(4,3)、(-2,-1)、(-1,-2).(12分)
评析 本题是二次函数的综合应用.考查了二次函数的性质、相似三角形的性质,也考查了分
类讨论思想.
27.解析 (1)如图,作A关于镜面的对称点A',连接A'B交镜面ML于点P,则P即为所求.
证明:如图,作PN⊥ML,
记∠A'PM=∠1,∠APM=∠2,∠APN=∠3,∠BPN=∠4.
∵A与A'关于ML对称,∴∠1=∠2.
∵∠2+∠3=90°,∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠1+∠4=90°,
∴∠3=∠4.
∴AP是入射光线,PB是反射光线,P为入射点.(3分)
(2)有.如图,作A关于镜面OM的对称点A',作B关于镜面ON的对称点B'.连接A'B',分别交镜
面OM、ON于点P、Q.则光线的行进路线为A→P→Q→B.
(6分)
(3)如图,光线的行进路线为S→A→B→C→B→A→S,
易知∠SAN=∠OAB=∠MON=30°.∴OB=BA.
1 1
又∵BC⊥ON,∴CA= OA= .
2 2
√3 √3
∴易求得AB= ,BC= .
3 6
∴这束光线经过路程为:SA+AB+BC+CB+BA+AS=( √3 √3)×2=2+ m.(9分)
1+ + √3
3 6
(4)θ=30°,60°,90°,120°,150°.(14分)
(备注:各题如有其他解法,只要正确,均可参照给分)
