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江苏省连云港市 2018 年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. ﹣8 的相反数是（ ）
A. 8 B. C. D. －8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
【详解】-8的相反数是8，
故选A．
【点睛】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. x﹣2x=﹣x B. 2x﹣y=xy C. x2+x2=x4 D. （x﹣1）2=x2﹣1
【答案】A
【解析】
分析：根据整式的运算法则即可求出答案．
详解：A. x﹣2x=﹣x,故该选项正确；
B.2x-y无法计算，故该选项错误；
C.原式=2x2，故该选项错误；
D.原式=x2-2x+1，故该选项错误.
故选A．
点睛：本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3. 地球上陆地的面积约为150 000 000km2．把“150 000 000”用科学记数法表示为（ ）
A. 1.5×108 B. 1.5×107 C. 1.5×109 D. 1.5×106
【答案】A
【解析】
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成
a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原
数的绝对值＜1时，n是负数．详解：150 000 000=1.5×108，
故选A．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，
表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 一组数据2，1，2，5，3，2的众数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】B
【解析】
详解：在数据2，1，2，5，3，2中2出现3次，次数最多，
所以众数为2，
故选B．
点睛：此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
5. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生
的概率．
详解：∵共6个数，大于3的有3个，
∴P（大于3）= .
故选D．
点睛：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m
种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
6. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
详解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，
故选A．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
7. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列
说法中正确的是( )
A. 点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B. 点火后24 s火箭落于地面
C. 点火后10 s的升空高度为139 m
D. 火箭升空的最大高度为145 m
【答案】D
【解析】
分析：分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选
项．
详解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项
错误；
B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、当t=10时h=141m，此选项错误；
D、由h=-t2+24t+1=-（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
故选D．
点睛：本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．8. 如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y= 的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标
原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（ ）
A. ﹣5 B. ﹣4 C. ﹣3 D. ﹣2
【答案】C
【解析】
分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（1，1），
∴OA= ，
∴BO= ，
∵直线AC的解析式为y=x，
∴直线BD的解析式为y=-x，
∵OB= ，
∴点B的坐标为（− ， ），
∵点B在反比例函数y= 的图象上，
∴ ，解得，k=-3，
故选C．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例
函数的性质解答．
二、填空题（本大题共8小题，毎小题3分，共24分,不需要写出解答过程，请把答案直接填
写在答题卡相应位置上）
9. 使 有意义的x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须
．
10. 分解因式：16﹣x2=__________．
【答案】（4+x）（4﹣x）
【解析】
分析：16和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式进行因式分解
即可．
详解：16-x2=（4+x）（4-x）．
点睛：本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
11. 如图， ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则 ADE与 ABC的面积的比
为_______△___． △ △
【答案】1：9
【解析】
分析：根据DE∥BC得到 ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9，问题
得解． △
详解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S ：S =1：9．
ADE ABC
△ △
故答案为1：9．
点睛：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的
关键．
12. 已知A（﹣4，y），B（﹣1，y）是反比例函数y=﹣ 图象上的两个点，则y 与y 的大小关系为
1 2 1 2
__________．
【答案】y＜y
1 2
【解析】
分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y 与y 的大小，从而可以解答本题．
1 2
详解：∵反比例函数y=- ，-4＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（-4，y），B（-1，y）是反比例函数y=- 图象上的两个点，-4＜-1，
1 2
∴y＜y，
1 2
故答案为y＜y．
1 2
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的
思想解答．
13. 一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm．
【答案】2π
【解析】
分析：根据弧长公式可得结论．
详解：根据题意，扇形的弧长为 =2π，
故答案为2π
点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
14. 如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
【答案】44°
【解析】
【分析】
首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利
用等腰三角形的性质解答即可．
【详解】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为44°
【点睛】此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程
思想的应用．
15. 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，⊙O经过A，B两点，已知AB=2，则 的值为__________．
【答案】
【解析】
分析：由图形可知： OAB是等腰直角三角形，AB=2，可得A，B两点坐标，利用待定系数法可求k和b
的值，进而得到答案．△
详解：由图形可知： OAB是等腰直角三角形，OA=OB
∵AB=2，OA2+OB2=A△B2，
∴OA=OB= ，
∴A点坐标是（ ，0），B点坐标是（0， ），
∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴将A，B两点坐标带入y=kx+b，得k=-1，b= ，
∴ =- .
故答案为- .
点睛：本题主要考查图形的分析运用和待定系数法求解析，找出A，B两点的坐标对解题是关键之举．
16. 如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，
GF．已知AG⊥GF，AC= ，则AB的长为__________．【答案】2
【解析】
分析：连接BD．由 ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，可得 ，推出 ，可得b=
△
a，在Rt GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；
△
详解：如图，连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠DCB=90°，AC=BD= ，
∵CG=DG，CF=FB，
∴GF= BD= ，
∵AG⊥FG，
∴∠AGF=90°，
∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°，
∴∠DAG=∠CGF，
∴△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，
∴ ，
∴ ，∴b2=2a2，
∵a＞0．b＞0，
∴b= a，
在Rt GCF中，3a2= ，
△
∴a= ，
∴AB=2b=2．
故答案为2．
点睛：本题考查中点四边形、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：（﹣2）2+20180﹣
【答案】﹣1
【解析】
分析：首先计算乘方、零次幂和开平方，然后再计算加减即可．
详解：原式=4+1-6=-1．
点睛：此题主要考查了实数的运算，关键是掌握乘方的意义、零次幂计算公式和二次根式的性质．
18. 解方程： ﹣ =0
【答案】x=-2
【解析】
分析：根据等式的性质去分母，可得整式方程，然后解这个整式方程，最后检验可得答案．
详解：方程两边同乘以x（x-1），去分母得，
3x-2（x-1）=0，
解得x=-2，
经检验：x=-2是原分式方程的解．点睛：本题考查了解分式方程，利用等式 的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键，要检验方程的根．
19. 解不等式组：
【答案】﹣3≤x＜2
【解析】
分析：首先求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，可得答案．
详解： ，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥-3，
不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图
，
原不等式组的解集为-3≤x＜2．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．
20. 随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高．某社区为了了解家庭对于文化教育的
消费悄况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的文化教育年消费金额进行问卷调查，根据调查结果绘制成两
幅不完整的统计图表．
请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
组别 家庭年文化教育消费金额x（元） 户数
A x≤5000 36
B 5000＜x≤10000 m
C 10000＜x≤15000 27
D 15000＜x≤20000 15
E x＞20000 30（1）本次被调查的家庭有__________户，表中m=__________；
（2）本次调查数据的中位数出现在__________组．扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角是__________
度；
（3）这个社区有2500户家庭，请你估计家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有多少户？
【答案】（1）150，42；（2）B，36；（3）1200户
【解析】
分析：（1）依据A组或E组数据，即可得到样本容量，进而得出m的值；
（2）依据中位数为第75和76个数据的平均数，即可得到中位数的位置，利用圆心角计算公式，即可得到
D组所在扇形的圆心角；
（3）依据家庭年文化教育消费10000元以上的家庭所占的比例，即可得到家庭年文化教育消费10000元以
上的家庭的数量．
详解：（1）样本容量为：36÷24%=150，
m=150-36-27-15-30=42；
（2）中位数为第75和76个数据的平均数，而36+42=78＞76，
∴中位数落在B组，
D组所在扇形的圆心角为360°× =36°；
（3）家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有2500× =1200（户）．
点睛：本题考查扇形统计图、用样本估计总体以及中位数的运用，解题的关键是明确题意，找出所求问题
需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
21. 汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，
五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．
（1）若前四局双方战成2：2，那么甲队最终获胜的概率是__________；
（2）现甲队在前两局比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？【答案】（1） ；（2）
【解析】
分析：（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求．
详解：（1）甲队最终获胜的概率是 ；
（2）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，
所以甲队最终获胜的概率= ．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合
事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【解析】
分析：（1）利用矩形的性质，即可判定 FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四
边形ACDF是平行四边形； △（2）先判定 CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据
AD=BC，即可△得到BC=2CD．
详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠ CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角
相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是
平行四边形达到上述目的．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A（4，﹣2）、B
1
（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k，n的值；
2（2）请直接写出不等式kx+b< 的解集；
1
（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B，A′C，求 A′BC的面积．
△
【答案】（1）k=﹣8，n=4；（2）﹣2＜x＜0或x＞4；（3）8
2
【解析】
分析：（1）将A点坐标代入y= 求出k=-8，得到反比例函数的解析式y=- ，再把B点坐标代入y=-
2
得n=4;
（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
（3）求出对称点坐标，求面积．
详解：（1）将A（4，-2）代入y= ，得k=-8．
2
∴y=- ,
将（-2，n）代入y=- ，得n=4．
∴k=-8，n=4
2
（2）根据函数图象可知：
-2＜x＜0或x＞4
（3）将A（4，-2），B（-2，4）代入y=kx+b，得k=-1，b=2
1 1
∴一次函数的关系式为y=-x+2
与x轴交于点C（2，0）
∴图象沿x轴翻折后，得A′（4，2），
S =（4+2）×（4+2）× - ×4×4- ×2×2=8
A'BC
△∴△A'BC的面积为8．
点睛：本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．
24. 某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调
查．获取信息如下：
购买数量低于5000 购买数量不低于5000
块 块
红色地砖 原价销售 以八折销售
蓝色地砖 原价销售 以九折销售
如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10000块，蓝色地砖
3500块，需付款99000元．
（1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000
块，如何购买付款最少？请说明理由．
【答案】（1）红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元；（2）购买蓝色地砖5000块，红色地砖7000块，
费用最少，最少费用为89800元．
【解析】
分析：（1）根据题意结合表格中数据，购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；购买
红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元，分别得出方程得出答案；
（2）利用已知得出x的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．
详解：（1）设红色地砖每块a元，蓝色地砖每块b元，由题意可得：
解得： ，
答：红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元；
（2）设购置蓝色地砖x块，则购置红色地砖（12000-x）块，所需的总费用为y元，
由题意可得：x≥ （12000-x），
解得：x≥4000，
又x≤6000，所以蓝砖块数x的取值范围：4000≤x≤6000，
当4000≤x＜5000时，
y=10x+8×0.8（12000-x）
=76800+3.6x，
所以x=4000时，y有最小值91200，
当5000≤x≤6000时，y=0.9×10x+8×0.8（12000-x）=2.6x+76800，
所以x=5000时，y有最小值89800，
∵89800＜91200，
∴购买蓝色地砖5000块，红色地砖7000块，费用最少，最少费用为89800元．
点睛：此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
25. 如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）
为1：0.5，坝底AB=14m．
（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底间时拓宽加固，使得
AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
【答案】（1）6m；（2）（2 ﹣7）m
【解析】
分析：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．由题意：tan∠DAB= =2，设AM=x，则DM=2x，在
Rt BCN中，求出BN，构建方程即可解决问题；
（△2）作FH⊥AB于H．设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y-y=3+y，BH=14+2y-（3+y）=11+y，由EFH∽△FBH，可得 ，即 ，求出y即可；
△
详解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N．
由题意：tan∠DAB= =2，设AM=x，则DM=2x，
∵四边形DMNC是矩形，
∴DM=CN=2x，
在Rt NBC中，tan37°= ，
△
∴BN= x，
∵x+3+ x=14，
∴x=3，
∴DM=6，
答：坝高为6m．
（2）作FH⊥AB于H．设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y-y=3+y，BH=14+2y-（3+y）=11+y，
由 EFH∽△FBH，可得 ，
△
即 ，
解得y=-7+2 或-7-2 （舍弃），
∴DF=2 -7，答：DF的长为（2 -7）m．
点睛：本题考查了坡度坡角的求解，考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中运用，
解题的关键是学会理由参数构建方程解决问题．
26. 如图1，图形ABCD是由两个二次函数y=kx2+m（k＜0）与y=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图
1 2
形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得 BDC与 ADE相似（其中点C与点E是对应顶
点）的点E的坐标 △ △
【答案】（1）y=﹣x2+1，y=3x2﹣3；（2）存在，理由见解析；（3）（0，﹣ ）或（ ，﹣1）或
1 2
（1，﹣ ）或（﹣ ，﹣2）．
【解析】
分析：（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出MM'=（1-m2）-（3m2-3）=4-4m2，进而建立方程2m=4-4m2，即可得出结论；
（3）先利用勾股定理求出AD= ，同理：CD= ，BC= ，再分两种情况：①如图1，当△DBC∽△DAE时，得出 ，进而求出DE= ，即可得出E（0，- ），
再判断出△DEF∽△DAO，得出 ，求出DF= ，EF= ，再用面积法求出E'M=
，即可得出结论；
②如图2，当△DBC∽△ADE时，得出 ，求出AE= ，
当E在直线AD左侧时，先利用勾股定理求出PA= ，PO= ，进而得出PE= ，再判断出 ，
即可得出点E坐标，当E'在直线DA右侧时，即可得出结论．
详解：（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y=kx2+m（k＜0）的图象上，
1
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为y=-x2+1，
1
∵点A（1，0），D（0，-3）在二次函数y=ax2+b（a＞0）的图象上，
2
∴ ，
∴ ，
∴二次函数y=3x2-3；
2
（2）设M（m，-m2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M'（m，3m2-3）为第四象限的图形上一点，
∴MM'=（1-m2）-（3m2-3）=4-4m2，
由抛物线的对称性知，若有内接正方形，
∴2m=4-4m2，∴m= 或m= （舍），
∵0＜ ＜1，
∴存在内接正方形，此时其边长为 ；
（3）在Rt△AOD中，OA=1，OD=3，
∴AD= ，
同理：CD= ，
在Rt△BOC中，OB=OC=1，
∴BC= ，
①如图1，当△DBC∽△DAE时，
∵∠CDB=∠ADO，
∴在y轴上存在E，由 ，
∴ ，
∴DE= ，∵D（0，-3），
∴E（0，- ），
由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，
连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D，
∵E，E'关于DA对称，
∴DF垂直平分EE'，
∴△DEF∽△DAO，
∴ ，
∴ ，
∴DF= ，EF= ，
∵S '= DE•E'M=EF×DF= ，
DEE
△
∴E'M= ，
∵DE'=DE= ，
在Rt△DE'M中，DM= ，
∴OM=1，
∴E'（ ，-1），
②如图2，当△DBC∽△ADE时，有∠BDC=∠DAE， ，
∴ ，
∴AE= ，
当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q，
∵∠BDC=∠DAE=∠ODA，
∴PD=PA，
设PD=n，
∴PO=3-n，PA=n，
在Rt△AOP中，PA2=OA2+OP2，
∴n2=（3-n）2+1，
∴n= ，
∴PA= ，PO= ，
∵AE= ，∴PE= ，
在AEQ中，OP∥EQ，
∴ ，
∴OQ= ，
∵ ，
∴QE=2，
∴E（- ，-2），
当E'在直线DA右侧时，
根据勾股定理得，AE= ，
∴AE'=
∵∠DAE'=∠BDC，∠BDC=∠BDA，
∴∠BDA=∠DAE'，
∴AE'∥OD，
∴E'（1，- ），
综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，
即：（0，- ）或（ ，-1）或（1，- ）或（- ，-2）．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，对称性，
正确作出辅助线和用分类讨论的思想是解本题的关键．27. 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． ABC是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮
以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．△
（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，
并证明．
（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC 的面积为 ，求AE的长．
（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求 ECD的面积S 与 DBF的
1
面积S 之间的数量关系．并说明理由． △ △
2
（4）如图2，当 ECD的面积S= 时，求AE的长．
1
△
【答案】（1） ABE≌△CBF，证明见解析；（2） ；（3）S﹣S= ，证明见解析；（4）3
2 1
△
【解析】
分析：（1）结论：△ABE≌△CBF．理由等边三角形的性质，根据SAS即可证明；
（2）由△ABE≌△CBF，推出S =S ，推出S =S +s =S +S =S = ，由S
ABE BCF 四边形BECF BEC BCF BCE ABE ABC 四边形
△ △ △ △ △ △ △
= ，推出S = ，再利用三角形的面积公式求出AE即可；
ABCF ABE
△
（3）结论：S-S = ．利用全等三角形的性质即可证明；
2 1
（4）首先求出△BDF的面积，由CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为 ，可得DF= ，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+ ，推出CD=x- ，由CD∥AB，可得 ，即 ，求出x即可；
详解：（1）结论： ABE≌△CBF．
理由：如图1中， △
∵△ABC， BEF都是等边三角形，
∴BA=BC，△BE=BF，∠ABC=∠EBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF．
（2）如图1中，∵△ABE≌△CBF，
∴S =S ，
ABE BCF
△ △
∴S =S +s =S +S =S = ，
四边形BECF BEC BCF BCE ABE ABC
△ △ △ △ △
∵S = ，
四边形ABCF
∴S = ，
ABE
△
∴ •AE•AB•siin60°= ，
∴AE= ．
（3）结论：S-S = ．
2 1
理由：如图2中，∵△ABC， BEF都是等边三角形，
∴BA=BC，△BE=BF，∠ABC=∠EBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF，
∴S =S ，
ABE BCF
△ △
∵S -S =S -S ，
BCF BCE 2 1
△ △
∴S-S =S -S =S = ．
2 1 ABE BCE ABC
△ △ △
（4）由（3）可知：S -S = ，
BDF ECD
△ △
∵S = ，
ECD
△
∴S = ，
BDF
△
∵△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，
∴∠ABC=∠DCB，
∴CF∥AB，则 BDF的BF边上的高为 ，可得DF= ，
△
设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+ ，
∴CD=x- ，
∵CD∥AB，∴ ，即 ，
化简得：3x2-x-2=0，
解得x=1或 （舍弃），
∴CE=1，AE=3．
点睛：本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、解直角三角形等知识，
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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