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宁波市 2013 年初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:130分 时间:120分钟)
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为( b 4ac-b2 ).
- ,
2a 4a
第Ⅰ卷(选择题,共 36 分)
一、选择题(每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.-5的绝对值为( )
1 1
A.-5 B.5 C.- D.
5 5
2.下列计算正确的是( )
A.a2+a2=a4 B.2a-a=2
C.(ab)2=a2b2 D.(a2)3=a5
3.下列电视台的台标,是中心对称图形的是( )
4.在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球,它们除颜色不同外,其余均相同.从中随机
摸出一个球,摸到红球的概率是( )
1 1 3 5
A. B. C. D.
5 3 8 8
5.备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在2012年12月29日建成通车,此项目总投资约77
亿元,77亿元用科学记数法表示为( )
A.7.7×109元 B.7.7×1010元
C.0.77×1010元 D.0.77×1011元
6.一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.两个圆的半径分别为2和3,当圆心距d=5时,这两个圆的位置关系是( )
A.内含 B.内切 C.相交 D.外切
8.如果三角形的两条边长分别为4和6,那么连结该三角形三边中点所得的三角形的周长可
能是下列数据中的( )
A.6 B.8 C.10 D.12
9.下列四张正方形硬纸片,剪去阴影部分后,如果沿虚线折叠,可以围成一个封闭的长方体包装
盒的是( )10.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,对称轴为直线x=1,图象经过(3,0).下列结论中,
正确的一项是( )
A.abc<0 B.2a+b<0
C.a-b+c<0 D.4ac-b2<0
5
11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB= ,BC=4,连结BD,∠BAD的平分线交BD于点E,且
2
AE∥CD,则AD的长为( )
4 3 5
A. B. C. D.2
3 2 3
12.7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD
内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示,设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S.当
BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足( )
5
A.a= b B.a=3b
2
7
C.a= b D.a=4b
2
第Ⅱ卷(非选择题,共 94 分)
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.实数-8的立方根是 .
14.因式分解:x2-4= .
6
15.已知一个函数的图象与y= 的图象关于y轴成轴对称,则该函数的解析式为 .
x
16.数据-2,-1,0,3,5的方差是 .17.如图,AE是半圆O的直径,弦AB=BC=4√2,弦CD=DE=4,连结OB,OD,则图中两个阴影部
分的面积和为 .
3
18.如图,等腰直角三角形ABC顶点A,C在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2√2,反比例函数y=
x
(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E,连结DE.当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为 .
三、解答题(本大题有8小题,共76分)
19.(本题6分)先化简,再求值:(1+a)(1-a)+(a-2)2,其中a=-3.
3 x
20.(本题7分)解方程: = -5.
1-x x-121.(本题7分)天封塔历史悠久,是宁波著名的文化古迹.如图,从位于天封塔的观测点C测得
两建筑物底部A,B的俯角分别为45°和60°.若此观测点离地面的高度CD为51米,A,B在CD
的两侧,且点A,D,B在同一水平直线上,求A,B两点之间的距离(结果保留根号).
22.(本题9分)2013年5月7日浙江省11个城市的空气质量指数(AQI)如图所示:
(1)这11个城市当天的空气质量指数的极差、众数和中位数分别是多少?
(2)当0≤AQI≤50时,空气质量为优,求这11个城市当天的空气质量为优的频率;
(3)求宁波、嘉兴、舟山、绍兴、台州五个城市当天的空气质量指数的平均数.
23.(本题9分)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线
的解析式.24.(本题12分)某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机,这两种手机的进价和售价如下表所示:
甲 乙
进价(元/部) 4 000 2 500
售价(元/部) 4 300 3 000
该商场计划购进两种手机若干部,共需15.5万元,预计全部销售后可获毛利润共2.1万元.(毛
利润=(售价-进价)×销售量)
(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的
购进数量.已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍,而且用于购进这两种手机
的总资金不超过16万元.该商场怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大?并求出最大毛利
润.
25.(本题12分)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线
叫做这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.
(1)如图 1,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD 平分∠ABC.求证:BD 是梯形
ABCD的和谐线;
(2)如图2,在12×16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC,点A,B,C均在格
点上,请在答题卷给出的两个网格图上各找出一个点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形的两
条对角线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形;
(3)四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四边形ABCD的和谐线.求∠BCD的度数.图1
图2
26.(本题14分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为
(4,0),点C的坐标为(-4,0),点P在射线AB上运动,连结CP与y轴交于点D,连结BD.过P,D,B
三点作☉Q,与y轴的另一个交点为E,延长DQ交☉Q于点F,连结EF,BF.
(1)求直线AB的函数解析式.
(2)当点P在线段AB(不包括A,B两点)上时,
①求证:∠BDE=∠ADP;
②设DE=x,DF=y,请求出y关于x的函数解析式.
(3)请你探究:点P在运动过程中,是否存在以B,D,F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之
比为2∶1?如果存在,求出此时点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
备用图
答案全解全析：
1.B 因为|-5|=5,故选B.
2.C (ab)2=a2b2,故选C.
3.D 由中心对称的知识可知选D.
5 5
4.D P= = ,故选D.
3+5 8
5.A 因为7 700 000 000=7.7×109,所以选A.
6.A 因为正多边形的外角和是360°,所以360°÷72°=5,故选A.
7.D 因为d=3+2=5,所以两圆外切.故选D.
8.B 设第三边长为x,则20,b<0,c<0,所以abc>0,2a+b=0,a-b+c=0,故A、B、C均错.
而抛物线与x轴有两个交点,所以4ac-b2<0,故选D.
11.B 延长 AE 交 BC 于点 F,因为 AE∥CD,AD∥BC,所以四边形 AFCD 是平行四边形,所以
AD=CF,因为 AD∥BC,所以∠ DAF=∠AFB.又 AF 平分∠ BAD,所以∠ BAF=∠DAF,所以
5 5 3
∠BAF=∠AFB,所以三角形ABF是等腰三角形,AB=BF= ,所以AD=CF=BC-BF=4- = ,故选B.
2 2 2
12.B 设BC=x,左上角的阴影部分的面积为 S,右下角的阴影部分的面积为 S,则S=S-
1 2 1
S=3b(x-a)-a(x-4b)=(3b-a)x+ab,因为S与BC的长度无关,所以3b-a=0,即a=3b,故选B.
2
13.答案 -2
解析 因为(-2)3=-8,所以-8的立方根是-2.
14.答案 (x+2)(x-2)
解析 由平方差公式知x2-4=(x+2)(x-2).
6
15.答案 y=-
x
解析 关于y轴对称的两个图象的横坐标互为相反数,纵坐标不变,所以该函数的解析式为
6
y=- .
x
34
16.答案
5
-2-1+0+3+5 1 34
解析 x= =1,s2= ×[(-2-1)2+(-1-1)2+(0-1)2+(3-1)2+(5-1)2]= .
5 5 5
17.答案 10π
解析 因为弦AB=BC,弦CD=DE,所以弧BD等于半圆周长的一半,所以∠BOD=90°.延长BC,并
作DF⊥BC于点 F,设圆的半径为 r,则BD=√2r,∠BCD=135°,所以△CDF是等腰直角三角形.CF=DF=2√2,则BF=6√2,在Rt△BDF中,(√2r)2=(2√2)2+(6√2)2,解得r2=40,所以阴影部
1
分的面积= πr2=10π.
4
18.答案 (3 )
√2,√2
2
解析 设 BD=a,由△BDE∽△BCA 可知∠BDE=90°,则 BE=√2a,所以点 D 的坐标是
( 3 √2a √2a),k=( 3 √2a)( √2a)=3,解得 a=1,所
- ,2√2- - 2√2-
2√2-√2a 2 2 2√2-√2a 2 2
以点E的坐标是(3√2 ).
,√2
2
评析 此题是函数与直角三角形以及相似三角形的综合应用,既考查了数形结合,又考查了
方程.
19.解析 原式=1-a2+a2-4a+4(2分)
=-4a+5,(4分)
当a=-3时,原式=-4×(-3)+5=17.(6分)
20.解析 方程两边同乘(x-1),得-3=x-5(x-1),(2分)
去括号,得-3=x-5x+5,(4分)
移项,合并同类项得4x=8,(5分)
∴x=2.(6分)
经检验x=2是原分式方程的根.(7分)
21.解析 由题意得,∠ECA=45°,∠FCB=60°.
∵EF∥AB,∴∠CAD=∠ECA=45°,∠CBD=∠FCB=60°.(2分)
∵∠ADC=90°,
∴∠ACD=∠CAD=45°,
∴AD=CD=51米.(4分)
CD
在Rt△BCD中,tan∠CBD= ,
BD
51
∴BD= =17√3米,
tan60°
∴AB=AD+BD=(51+17√3)米,(6分)
∴A,B之间的距离为(51+17√3)米.(7分)
22.解析 (1)极差:80-37=43,众数:50,中位数:50.(4分)
(2)∵这11个城市中当天的空气质量为优的有6个,
6
∴这11个城市当天的空气质量为优的频率为 .(6分)
11
1
(3)x= ×(50+60+57+37+55)=51.8.(9分)
5
23.解析 (1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),
可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3),
把点C的坐标(0,-3)代入,得3a=-3,
∴a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)(x-3),
即y=-x2+4x-3.(3分)
∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴抛物线的顶点坐标为(2,1).(5分)
(2)(答案不唯一,合理即正确)
如先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,(7分)
得到的抛物线的解析式为y=-x2.(9分)24.解析 (1)设该商场计划购进甲种手机x部,乙种手机y部,由题意得,
{0.4x+0.25 y=15.5,
(3分)
0.03x+0.05 y=2.1,
{x=20,
解得 (5分)
y=30.
答:该商场计划购进甲种手机20部,乙种手机30部.
(2)设甲种手机减少的数量为a部,
则乙种手机增加的数量为2a部,
由题意得,0.4(20-a)+0.25(30+2a)≤16,(7分)
解得a≤5.(8分)
设全部销售后获得的毛利润为W万元,
则W=0.03(20-a)+0.05(30+2a)=0.07a+2.1.(9分)
∵W随着a的增大而增大,
∴当a=5时,W有最大值,此时W=0.07×5+2.1=2.45.(10分)
答:当该商场购进甲种手机15部,乙种手机40部时,全部销售后获利最大,最大毛利润是
2.45万元.(12分)
25.解析 (1)证明:∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,∠ADB=∠DBC,
∵∠BAD=120°,
∴∠ABC=60°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=30°,
∴∠ABD=∠ADB,∴△ABD为等腰三角形.(2分)
在△BCD中,∠C=75°,∠DBC=30°,
∴∠BDC=75°=∠C,∴△BCD为等腰三角形.(3分)
∴BD是梯形ABCD的和谐线.(2)
(5分)
(7分)
(3)∵AC是四边形ABCD的和谐线,
∴△ACD是等腰三角形.
当AD=AC时,△ABC是正三角形,
则∠BAC=∠BCA=60°,∠CAD=30°,
180°-30°
∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=60°+ =135°.(8分)
2
当AD=CD时,AB=AD=BC=CD,∠BAD=90°,
∴四边形ABCD为正方形,∴∠BCD=90°,(9分)
当AC=CD时,过点C作CE⊥AD于点E,过点B作BF⊥CE于点F,∵AC=CD,CE⊥AD,
1
∴AE= AD,∠ACE=∠DCE.
2
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,
∴四边形ABFE是矩形,∴BF=AE.
1
∵AB=AD=BC,∴BF= CB,∴∠BCF=30°.(10分)
2
∵AB=CB,∴∠ACB=∠BAC.
∵AB∥CE,∴∠BAC=∠ACE,
1
∴∠ACB=∠ACE= ×30°=15°,(11分)
2
∴∠BCD=15°×3=45°.(12分)
26.解析 (1)设直线AB的函数解析式为y=kx+4,(1分)
把B(4,0)代入得,4k+4=0,
∴k=-1,(2分)
∴直线AB的函数解析式为y=-x+4.(3分)
(2)①证明:由已知得:
OB=OC,∠BOD=∠COD=90°,
又∵OD=OD,
∴△BOD≌△COD,(4分)
∴∠BDO=∠CDO.(5分)
∵∠CDO=∠ADP,
∴∠BDE=∠ADP.(6分)②连结PE,
∵∠ADP是△DPE的一个外角,
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE.
∵∠BDE是△ABD的一个外角,
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB.(7分)
∵∠ADP=∠BDE,∠DEP=∠ABD,
∴∠DPE=∠OAB.(8分)
∵OA=OB=4,∠AOB=90°,
∴∠OAB=45°,∴∠DPE=45°,(9分)
∴∠DFE=∠DPE=45°.
∵DF是☉Q的直径,
∴∠DEF=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∴DF=√2DE,即y=√2x.(10分)
(3)当BD∶BF=2∶1时,过点F作FH⊥OB于点H,
∵∠DBO+∠OBF=90°,∠OBF+∠BFH=90°,
∴∠DBO=∠BFH.
又∵∠DOB=∠BHF=90°,∴△BOD∽△FHB,OB OD BD
∴ = = =2,
HF HB FB
∴FH=2,OD=2BH.
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°,
∴四边形OEFH是矩形.
∴OE=FH=2,(11分)
1
∴EF=OH=4- OD.
2
1
∵DE=EF,∴2+OD=4- OD,
2
解得OD=4,即点D的坐标为( 4),
0,
3 3
1 4
直线CD的解析式为y= x+ ,
3 3
{ 1 4
联立 y= x+ ,解得{x=2,
3 3
y=2.
y=-x+4,
∴点P的坐标为(2,2).(12分)
当BD∶BF=1∶2时,
连结EB,同(2)①可得,∠ADB=∠EDP,
而∠ADB=∠DEB+∠DBE,∠EDP=∠DAP+∠DPA,
又∵∠DEB=∠DPA,∴∠DBE=∠DAP=45°,
∴△DEF是等腰直角三角形.
过点F作FG⊥OB于点G,易证△BOD∽△FGB,OB OD BD 1 1
∴ = = = ,∴FG=8,OD= BG.
GF GB FB 2 2
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°,
∴四边形OEFG是矩形,
∴OE=FG=8,(13分)
∴EF=OG=4+2OD.
∵DE=EF,∴8-OD=4+2OD.
解得OD=4,即点D的坐标为( 4).
0,-
3 3
1 4
直线CD的解析式为y=- x- ,
3 3
{ 1 4
联立 y=- x- ,
3 3
y=-x+4,
{ x=8,
解得
y=-4.
∴点P坐标为(8,-4).(14分)
综上所述,点P的坐标为(2,2)或(8,-4).
