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浙江省宁波市 2018 年中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1. 在 ， ，0，1这四个数中，最小的数是
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，即可得答案．
【详解】由正数大于零，零大于负数，得
，
最小的数是 ，
故选A．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，利用好“正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的
反而小”是解题关键．
2. 2018中国 宁波 特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕 本次博览会为期四天，参
观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数 确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值 时，n是正数；当
原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】55万=550000，550000的小数点向左移动5位得到5.5，
所以55万用科学记数法表示为 ，
故选B.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列计算正确的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方的运
算方法，逐项判定即可．
【详解】 ， 选项A符合题意；
， 选项B不符合题意；
， 选项C不符合题意；
， 选项D不符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，
以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确： 底数 ，因为0不能做
除数； 单独的一个字母，其指数是1，而不是0； 应用同底数幂除法的法则时，底数a可是
单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
4. 有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随
机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】正面的数字是偶数的情况数是2，总的情况数是5，用概率公式进行计算即可得.
【详解】 从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这
2种结果，
正面的数字是偶数的概率为 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概
率=所求情况数与总情况数之比．
5. 已知正多边形的一个外角等于 ，那么这个正多边形的边数为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．
【详解】正多边形的一个外角等于 ，且外角和为 ，
则这个正多边形的边数是： ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关
键．
6. 如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图
【答案】C
【解析】
【分析】根据所得到的主视图、俯视图、左视图结合中心对称图形的定义进行判断即可.【详解】观察几何体，可得三视图如图所示：
可知俯视图是中心对称图形，
故选C.
【点睛】本题考查了三视图、中心对称图形，正确得到三视图是解决问题的关键.
7. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结 若 ，
，则 的度数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用三角形内角和定理得出 的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得
出答案．
【详解】 ， ，
，
▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
是 的中位线，
，
，故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是 的中
位线是解题关键．
8. 若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为
A. 7 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念进行求解即可.
【详解】 数据4，1，7，x，5的平均数为4，
，
解得： ，
则将数据重新排列为1、3、4、5、7，
所以这组数据的中位数为4，
故选C．
【点睛】本题考查了平均数和中位数，熟知平均数和中位数的求解方法是解题的关键.将一组数据
按照从小到大 或从大到小 的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这
组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9. 如图，在 中， ， ， ，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB
于点D，则 的长为
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】先根据 ， ， ，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧
CD的长．
【详解】 ， ， ，
， ，
的长为 ，
故选C．
【点睛】本题考查了弧长公式的运用和含30度角的直角三角形性质，熟练掌握弧长公式是解题
的关键.弧长公式： 弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为 ．
10. 如图，平行于x轴的直线与函数 ， 的图象分别相交于
A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若 的面积为4，则 的值为
A. 8 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ， ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 ， 根据三角形
的面积公式得到 ，即可求出 ．【详解】 轴，
，B两点纵坐标相同，
设 ， ，则 ， ，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，
则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.
11. 如图，二次函数 的图象开口向下，且经过第三象限的点 ，若点P的横坐标为 ，则一
次函数 的图象大致是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象可以判断a、b、 的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各
选项即可得答案．
【详解】由二次函数的图象可知，
， ，当 时， ，
的图象经过二、三、四象限，
观察可得D选项的图象符合，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结
合思想解答问题是关键.
12. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和 的正方形纸片按图1，图2两种方式放置 图1，图2
中两张正方形纸片均有部分重叠 ，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影
部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 当 时， 的值为
.
A 2a B. 2b C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用面积的和差分别表示出 和 ，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】 ，
，
，
，
，，
，
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时
采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常
要用括号括起来.
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13. 计算： ______．
【答案】2018
【解析】
【分析】利用绝对值的定义进行求解即可得.
【详解】|-2018|表示求-2018的绝对值，
-2018的绝对值是2018，
所以，|-2018|=2018，
故答案为2018.
【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的概念与性质是解题的关键.
14. 要使分式 有意义，x的取值应满足______．
【答案】x≠1
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件——分母不为0进行求解即可得.
【详解】要使分式 有意义，则： ，
解得： ，
故x的取值应满足： ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键.
15. 已知x，y满足方程组 ，则 的值为______．【答案】-15
【解析】
【分析】观察所求的式子以及所给的方程组，可知利用平方差公式进行求解即可得.
【详解】∵ ，
∴ =（x+2y）（x-2y）=-3×5=-15，
故答案为-15.
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到二元一次方程组、平方差公式因式分解，根据代数式的结
构特征选用恰当的方法进行解题是关键.
16. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角
分别为 和 若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度
AB为______米 结果保留根号 ．
【答案】
【解析】
【分析】在 和 中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB
的长．
【详解】由于 ，
， ，
在 中， ，
米，在 ， ，
米 ，
米，
故答案为 .
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键
是用含CH的式子表示出AH和BH．
17. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，
PM长为半径作 当 与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．
【答案】3或
【解析】
【分析】分两种情况： 与直线CD相切、 与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得.
【详解】如图1中，当 与直线CD相切时，设 ，
在 中， ，，
，
， ；
如图2中当 与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则 ，四边形PKDC是矩形，
，
， ，
在 中， ，
综上所述，BP的长为3或 ．
【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，
会利用参数构建方程解决问题是关键．
18. 如图，在菱形ABCD中， ， 是锐角， 于点E，M是AB的中点，连结MD，
若 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】【分析】延长DM交CB的延长线于点 首先证明 ，设 ，利用勾股定理构建方程求出x
即可解决问题．
【详解】延长DM交CB的延长线于点H，
四边形ABCD是菱形，
， ，
，
， ，
≌ ，
，
，
，设 ，
，
，
，
，
，
或 舍弃 ，
，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性
质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键.三、计算题（本大题共1小题，共6分）
19. 已知抛物线 经过点 ，
求该抛物线的函数表达式；
将抛物线 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表
达式．
【答案】 抛物线解析式为 ； 具体见解析.
【解析】
【分析】 把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；
指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．
【详解】 把 ， 代入抛物线解析式得： ，
解得： ，
则抛物线解析式为 ；
抛物线解析式为 ，
将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
四、解答题（本大题共7小题，共72分）
20. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则进行展开，然后合并同类项，最后把数值代入进行计
算即可得.
【详解】
=
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算--化简求值，熟练掌握整式混合运算的运算顺序以及运算法
则是解题的关键．
21. 在 的方格纸中， 的三个顶点都在格点上．
在图1中画出线段BD，使 ，其中D是格点；
在图2中画出线段BE，使 ，其中E是格点．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析.
【解析】
【分析】 将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；利用 的长方形的对角线，即可得到线段 ．
【详解】 如图所示，线段BD即为所求；
如图所示，线段BE即为所求．
【点睛】本题考查了作图以及平行四边形的性质，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结
合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图是关键．
22. 在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间 用t表示，单位：小时 ，
采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按 ， ， ， 分为四个等级，
并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图
中给出的信息解答下列问题：
求本次调查的学生人数；
求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足 的人数．
【答案】 本次调查的学生人数为200人； B所在扇形的圆心角为 ，补全条形图见解析； 全校每周课外阅读时间满足 的约有360人．
【解析】
【分析】 根据等级A的人数及所占百分比即可得出调查学生人数；
先计算出C在扇形图中的百分比，用 在扇形图中的百分比 可计算出B在扇
形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角；
总人数 课外阅读时间满足 的百分比即得所求．
【详解】 由条形图知，A级的人数为20人，
由扇形图知：A级人数占总调查人数的 ，
所以： 人 ，
即本次调查的学生人数为200人；
由条形图知：C级的人数为60人，
所以C级所占的百分比为： ，
B级所占的百分比为： ，
B级的人数为 人 ，
D级的人数为： 人 ，
B所在扇形的圆心角为： ，
补全条形图如图所示：；
因为C级所占的百分比为 ，
所以全校每周课外阅读时间满足 的人数为： 人 ，
答：全校每周课外阅读时间满足 的约有360人．
【点睛】本题考查了扇形图和条形图的相关知识，从统计图中找到必要的信息进行解题是关键.扇
形图中某项的百分比 ，扇形图中某项圆心角的度数 该项在扇形图
中的百分比．
23. 如图，在 中， ， ，D是AB边上一点 点D与A，B不重合 ，连结
CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转 得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
求证： ≌ ；
当 时，求 的度数．
【答案】 证明见解析； .
【解析】
【分析】 由题意可知： ， ，由于 ，从而可得 ，根据SAS即可证明 ≌ ；
由 ≌ 可知： ， ，从而可求出 的
度数．
【详解】 由题意可知： ， ，
，
，
，
，
在 与 中，
，
≌ ；
， ，
，
由 可知： ，
，
，
.
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质
以及全等三角形的判定与性质．
24. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元 已知乙种商品每件进
价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．求甲、乙两种商品的每件进价；
该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88
元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销
售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变 要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种
商品按原销售单价至少销售多少件？
【答案】 甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元； 甲种商品按原销售单价至
少销售20件．
【解析】
【分析】 设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）)元 根据“某商场购进甲、乙两
种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元 购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进
行求解即可；
设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不
等式进行求解即可．
【详解】 设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为 元，
根据题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
甲乙两种商品的销售量为 ，
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
，
解得 ，答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方
程，找出不等关系列出不等式是解题的关键.
25. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
已知 是比例三角形， ， ，请直接写出所有满足条件的AC的长；
如图1，在四边形ABCD中， ，对角线BD平分 ， 求证：
是比例三角形．
如图2，在 的条件下，当 时，求 的值．
【答案】 当 或 或 时， 是比例三角形； 证明见解析； ．
【解析】
【分析】 根据比例三角形的定义分 、 、 三种情况分别
代入计算可得；
先证 ∽ 得 ，再由 知
即可得；
作 ，由 知 ，再证 ∽ 得 ，
即 ，结合 知 ，据此可得答案．
【详解】 是比例三角形，且 、 ，当 时，得： ，解得： ；
当 时，得： ，解得： ；
当 时，得： ，解得： 负值舍去 ；
所以当 或 或 时， 是比例三角形；
，
，
又 ，
∽ ，
，即 ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
是比例三角形；
如图，过点A作 于点H，，
，
， ，
，
，
又 ，
∽ ，
，即 ，
，
又 ，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角
形的判定与性质是解题的关键．
26. 如图1，直线l： 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作 交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延
长交 于点F．
求直线l的函数表达式和 的值；
如图2，连结CE，当 时，
求证： ∽ ；
求点E的坐标；
当点C在线段OA上运动时，求 的最大值．
【答案】（1）直线l的函数表达式 ， ； 证明见解析； E
； 最大值为 ．
【解析】
【分析】 利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；
先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论；
设出 ， ，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据 的相似得
出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；
利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．【详解】（1） 直线l： 与x轴交于点 ，
，
，
直线l的函数表达式 ，
，
， ，
在中， ；
如图2，连接DF， ，
，
，
，
，
四边形CEFD是 的圆内接四边形，
，
，
，
∽ ，过点 于M，
由 知， ，
设 ，则 ，
， ，
， ，
，
由 知， ∽ ，
，
，
，
，
，
舍 或 ，
， ，
；如图，设 的半径为r，过点O作 于G，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
连接FH，
是 直径，
， ，
，
∽ ，
，，
时， 最大值为 ．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，
勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，运用数理结合思想，正
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