文档文本内容
2018 年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1.在0，1，﹣ ，﹣1四个数中，最小的数是（ ）
A. 0 B. 1 C. D. ﹣1
【答案】D
【解析】
分析：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对
值大的反而小）比较即可．
详解：∵-1＜- ＜0＜1，
∴最小的数是-1，
故选D．
点睛：本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大
于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
2.计算(-a)3÷a结果正确的是
A. a2 B. -a2 C. -a3 D. -a4
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则分别化简求出答案
【详解】（-a）3÷a=-a3÷a=-a3-1=-a2，
故选B．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3.如图，∠B的同位角可以是A. ∠1 B. ∠2 C. ∠3 D. ∠4
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案．
【详解】∠B的同位角可以是：∠4．
故选D．
【点睛】此题主要考查了同位角的定义，正确把握定义是解题关键．
4.若分式 的值为0，则x的值为
A. 3 B. C. 3或 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】由分式的值为零的条件得x-3=0，且x+3≠0，
解得x=3．
故选A．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺
一不可．
5.一个几何体的三视图如图所示，该几何体是A. 直三棱柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 立方体
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图的形状可判断几何体的形状．
【详解】观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．
故选A．
本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键．
6.如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 ， ， ．让转盘自由转动，
指针停止后落在黄色区域的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为 ，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是 ，
故选B．
【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯
依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．
用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
7.小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面
直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点 的坐标表示正确的是
A. (5，30) B. (8，10) C. (9，10) D. (10，10)
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标．
【详解】如图，
过点C作CD⊥y轴于D，
∴BD=5，CD=50÷2-16=9，
OA=OD-AD=40-30=10，
∴P（9，10）；
故选C．
【点睛】此题考查了坐标确定位置，根据题意确定出DC=9，AO=10是解本题的关键．8.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC= ，∠ADC= ，则竹竿AB与AD的长度之比为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；
【详解】在Rt ABC中，AB= ，
△
在Rt ACD中，AD= ，
△
∴AB：AD= ： = ，
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
9.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则
∠ADC的度数是A 55° B. 60° C. 65° D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】∵将 ABC绕点C顺时针旋转90°得到 EDC．
∴∠DCE=∠A△CB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，A△C=CE，
∴∠ACD=90°-20°=70°，
∵点A，D，E 同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，
∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°
在 ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
即△45°+70°+∠ADC=180°，
解得：∠ADC=65°，
故选C．
【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
10.某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元 与上网
时间x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是
A. 每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱 B. 每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比
A方式多
C. 每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱 D. 每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱
【答案】D【解析】
【分析】
A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；
B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；
C、利用待定系数法求出：当x≥25时，y 与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可
A
求出当x=35时y 的值，将其与50比较后即可得出结论C正确；
A
D、利用待定系数法求出：当x≥50时，y 与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可
B
求出当x=70时y 的值，将其与120比较后即可得出结论D错误．
B
综上即可得出结论．
【详解】A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；
B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；
C、设当x≥25时，y =kx+b，
A
将（25，30）、（55，120）代入y =kx+b，得：
A
，解得： ，
∴y =3x-45（x≥25），
A
当x=35时，y =3x-45=60＞50，
A
∴每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱，结论C正确；
D、设当x≥50时，y =mx+n，
B
将（50，50）、（55，65）代入y =mx+n，得：
B
，
解得： ，
∴y =3x-100（x≥50），
B
当x=70时，y =3x-100=110＜120，
B
∴结论D错误．
故选D．
【点睛】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察
函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.化简(x-1)(x+1)的结果是____．
【答案】x2-1
【解析】
【分析】
原式利用平方差公式计算即可得到结果．
【详解】原式=x2-1，
故答案为x2-1
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及
辅助线），你添加的条件是_____．
【答案】AC=BC
【解析】
【分析】
添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC
可利用AAS判定 ADC≌△BEC．
【详解】添加AC△=BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
在 ADC和 BEC中
△ △
，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
故答案为AC=BC．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对
应相等时，角必须是两边的夹角．
13.如图是我国 年国内生产总值增长速度统计图，则这5年增长速度的众数是_____．
【答案】6.9％
【解析】
分析】
根据众数的概念判断即可．
【详解】这5年增长速度分别是7.8%、7.3%、6.9%、6.7%、6.9%，
则这5年增长速度的众数是6.9%，
故答案为6.9%．
【点睛】本题考查的是众数的确定，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键．
14.对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算： ．若 ，则 的值是__．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据新定义的运算法则即可求出答案．
【详解】∵1*（-1）=2，
∴ ，即a-b=2
∴原式= =− （a-b）=-1
故答案为-1.
【点睛】本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想.15.如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边
AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则 的值是__．
【答案】
【解析】
【分析】
设七巧板的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出AB，BC，进一步求出 的值．
【详解】设七巧板的边长为x，则
AB= x+ x，
BC= x+x+ x=2x，
= .
故答案为 ．
【点睛】考查了矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出AB，BC的长．
16.如图1是小明制作 一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉
动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点
D 时，有AD=30cm，∠BDC=120°．
1 1 1 1 1
（1）图2中，弓臂两端B，C 的距离为______cm．
1 1（2）如图3，将弓箭继续拉到点D，使弓臂BAC 为半圆，则DD 的长为____cm．
2 2 2 1 2
【答案】 (1). 30 (2). 10 -10
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接B C 交DD 于H．解直角三角形求出B H，再根据垂径定理即可解决问题；
1 1 1 1
（2）如图3中，连接B C 交DD 于H，连接B C 交DD 于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；
1 1 1 2 2 2
【详解】（1）如图2中，连接B C 交DD 于H．
1 1 1
∵DA=DB =30
1 1 1
∴D 是 的圆心，
1
∵AD ⊥B C ，
1 1 1
∴B H=C H=30×sin60°=15 ，
1 1
∴B C =30
1 1
∴弓臂两端B ，C 的距离为30
1 1
（2）如图3中，连接B C 交DD 于H，连接B C 交DD 于G．
1 1 1 2 2 2设半圆的半径为r，则πr= ，
∴r=20，
∴AG=GB =20，GD =30-20=10，
2 1
在Rt GB D 中，GD =
2 2 2
△
∴DD=10 -10．
1 2
故答案为30 ，10 -10.
【点睛】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构
造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17.计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算．
【详解】原式
，
．
【点睛】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、
减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
18.解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组的解集为 ．
【点睛】此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小找不到．
19.为了解朝阳社区 岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随
机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中
信息解答下列问题：
（1）求参与问卷调查的总人数．
（2）补全条形统计图．
（3）该社区中 岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．
【答案】（1）参与问卷调查的总人数为500人；（2）补全条形统计图见解析；（3）这些人中最喜欢微信
支付方式的人数约为2800人．
【解析】
【分析】
（1）根据喜欢支付宝支付的人数÷其所占各种支付方式的比例=参与问卷调查的总人数，即可求出结论；
（2）根据喜欢现金支付的人数（41～60岁）=参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比
例-15，即可求出喜欢现金支付的人数（41～60岁），再将条形统计图补充完整即可得出结论；
（3）根据喜欢微信支付方式的人数=社区居民人数×微信支付所占各种支付方式的比例，即可求出结论．
【详解】（1） （人 ．答：参与问卷调查的总人数为500人．
（2） （人 ．
补全条形统计图，如图所示．
（3） （人 ．
答：这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是：（1）观察统计图找
出数据，再列式计算；（2）通过计算求出喜欢现金支付的人数（41～60岁）；（3）根据样本的比例×总
人数，估算出喜欢微信支付方式的人数．
20.如图，在 的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格
中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．
【答案】符合条件的图形如图所示见解析.
【解析】
【分析】
利用数形结合的思想解决问题即可.
【详解】符合条件的图形如图所示：【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，
E，连结AD．已知∠CAD=∠B,
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB= ，求⊙O 的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，
求出∠4为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方
程的解即可得到结果．
【详解】（1）证明：连接 ，，
，
，
，
在 中， ，
，
，
则 为圆 的切线；
（2）设圆 的半径为 ，
在 中， ，
根据勾股定理得： ，
，
在 中， ，
，
根据勾股定理得： ，
在 中， ，即 ，解得： ．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
22.如图，抛物线y=ax2+bx(a＜0）过点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），
点C，D在抛物线上．设A(t,0)，当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且
直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】（1） ；（2）当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为 ；（3）
抛物线向右平移的距离是4个单位．
【解析】
【分析】
（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2，4）代入计算可得；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，据此知AB=10-2t，再由x=t时AD= ，根据矩形的周长公
式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）由t=2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点
P，根据AB∥CD知线段OD平移后得到的线段是GH，由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是
OBD中位线，据此可得．
△
【详解】（1）设抛物线解析式为 ，
当 时， ，点 的坐标为 ，
将点 坐标代入解析式得 ，
解得： ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）由抛物线的对称性得 ，
，
当 时， ，
矩形 的周长
，
，
，
，
当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ；
（3）如图，当 时，点 、 、 、 的坐标分别为 、 、 、 ，
矩形 对角线的交点 的坐标为 ，
直线 平分矩形 面积，
点 是 和 的中点，
，
由平移知，
是 的中位线，
，
所以抛物线向右平移的距离是4个单位．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性
质及平移变换的性质等知识点．
23.如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数 与 (x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线
BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．【答案】（1）① ；②四边形 是菱形，理由见解析；（2）四边形 能是正方形，
理由见解析，m+n=32.
【解析】
【分析】
（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；
（2）先确定出B（4， ），D（4， ），进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC=BD，
即可得出结论．
【详解】（1）①如图1，
，
反比例函数为 ，当 时， ，
，
当 时，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ；
②四边形 是菱形，
理由如下：如图2，
由①知， ，轴，
，
点 是线段 的中点，
，
当 时，由 得， ，
由 得， ，
， ，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 是菱形；
（2）四边形 能是正方形，
理由：当四边形 是正方形，记 ， 的交点为 ，
,
当 时， ，
， ，，
， ， ，
，
，
.
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正
方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．
24.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线
CE，DE的交点分别为F，G，
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．
①若点G为DE的中点，求FG的长．
②若DG=GF，求BC的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说
明理由．
【答案】（1）① ,②12 ；（2）等腰 的腰长为4或20或 或 ．理
由见解析.
【解析】
【分析】
（1）①只要证明 ACF∽△GEF，推出 ，即可解决问题；②如图 1 中，想办法证明
△∠1=∠2=30°即可解决问题；
（2）分四种情形：①如图2中，当点D在线段BC上时，此时只有GF=GD，②如图3中，当点D在线段
BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，
③如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，如
图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，分别求解即可解决问题．
【详解】（1）①在正方形 中， ，
在 中， ，
，
，
，
，
,
②如图1中，
正方形 中， ， ，
，
，
，设 ，，
，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，
，
在 中， ．
（2）在 中， ，
如图2中，
当点 在线段 上时，此时只有 ，
，
，
设 ，则 ， ，
，则 ，，
，
，
，
整理得： ，
解得 或5（舍弃）
腰长 ．
如图3中，
当点 在线段 的延长线上，且直线 ， 的交点中 上方时，此时只有 ，设
，则 ， ，
，
，
，
，，
解得 或 （舍弃），
腰长 ．
如图4中，
当点 在线段 的延长线上，且直线 ， 的交点中 下方时，此时只有 ，过点 作
．
设 ，则 ， ， ，
，
，
，
，
，，
，
解得 或 （舍弃）
腰长 ，
如图5中，
当点 在线段 的延长线上时，此时只有 ，作 于 ．
设 ，则 ， ， ，
，
，
，
，
，，
，
解得 或 （舍弃），
腰长 ，
综上所述，等腰 的腰长为4或20或 或 ．
【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、
平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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