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浙江省 2013 年初中毕业生学业考试绍兴市试卷
数学试题（含答案全解全析）
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、选择题(本大题有10小题,每小题4分,共40分)
1.-2的绝对值是( )
1
A.2 B.-2 C.0 D.
2
2.计算3a·2b的结果是( )
A.3ab B.6a C.6ab D.5ab
3.地球半径约为6 400 000米,则此数用科学记数法表示为( )
A.0.64×107 B.6.4×106
C.6.4×105 D.64×105
4.由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是( )
5.一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球,这些球除颜色可以不同外其他完全
相同.则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
4 3 6 2
6.绍兴是著名的桥乡.如图,圆拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m,桥拱半径OC为5 m,则水
面宽AB为( )
A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m
7.若圆锥的轴截面为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥.则正圆锥侧面展开图的圆心角是(
)
A.90° B.120° C.150° D.180°
8.如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图,在壶内盛一定量的水,水从壶底的小孔漏出,壶壁
内画有刻度.人们根据壶中水面的位置计时.用x表示时间,y表示壶底到水面的高度,则y与x
的函数关系的图象是( )9.小敏在作☉O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:
(1)作☉O的两条互相垂直的直径;再作OA的垂直平分线交OA于点M,如图1.
(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连结BD,如图2.
若☉O的半径为1,则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是( )
√5-1 √5+1
A.BD2= OD B.BD2= OD C.BD2=√5OD D.BD2=
2 2
1
√5OD
2
10.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序:开机加热时每分钟上升10 ℃,加热到100 ℃,停
止加热,水温开始下降,此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系,直至水温降至30 ℃,饮
水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序,若在水温为30 ℃时,接通电源后,
水温y(℃)和时间x(min)的关系如图.为了在上午第一节下课时(8:45)能喝到不超过50 ℃的水,
则接通电源的时间可以是当天上午的( )
A.7:20 B.7:30 C.7:45 D.7:50
第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题(本大题有6小题,每小题5分,共30分)
11.分解因式:x2-y2= .
2x
12.分式方程 =3的解是 .
x-1
13.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题:今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问鸡
兔各几何?此题的答案是:鸡有23只,兔有12只.现在小敏将此题改编为:今有鸡兔同笼,上有
33头,下有88足,问鸡兔各几何?则此时的答案是:鸡有 只,兔有 只.
14.在平面直角坐标系中,O是原点,A是x轴上的点,将射线OA绕点O旋转,使点A与双曲线
√3
y= 上的点B重合.若点B的纵坐标是1,则点A的横坐标是 .
x
15.如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架.若AP =P P=P P=…=P P =P A,则∠A的
1 1 2 2 3 13 14 14
度数是 .16.矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P,Q是对角线BD上不重合的两点,点P关于直线AD,AB的对
称点分别是点E,F,点Q关于直线BC,CD的对称点分别是点G,H.若由点E,F,G,H构成的四边
形恰好为菱形,则PQ的长为 .
三、解答题(本大题有8小题,第17~20小题每小题8分,第21小题10分,第22,23小题每小题
12分,第24小题14分,共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
x+1 x-1
17.(1)化简:(a-1)2+2(a+1);(2)解不等式: + ≤1.
2 3
18.某市出租车计费方法如图所示,x(km)表示行驶里程,y(元)表示车费,请根据图象回答下面
的问题:
(1)出租车的起步价是多少元?当x>3时,求y关于x的函数解析式;
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元,求这位乘客乘车的里程.
19.如图,矩形ABCD中,AB=6.第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得
到矩形AB C D;第2次平移将矩形AB C D 沿AB 的方向向右平移5个单位,得到矩形
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
AB C D;…;第n次平移将矩形A B C D 沿A B 的方向向右平移5个单位,得到矩形
2 2 2 2 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1
AB C D(n≥2).
n n n n
(1)求AB 和AB 的长;
1 2
(2)若AB 的长为56,求n.
n20.某校体育组为了了解学生喜欢的体育项目,从全校同学中随机抽取了若干名同学进行调查,
每位同学从乒乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜欢的项目,并将调查的结果
绘制成如下的两幅统计图.
根据以上统计图,解答下列问题:
(1)这次被调查的共有多少名同学?并补全条形统计图;
(2)若全校有1 200名同学,估计全校最喜欢篮球和排球的共有多少名同学?
21.如图,伞不论张开还是收紧,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC.当伞收
紧时,动点D与点M重合,且点A,E,D在同一条直线上,已知部分伞架的长度如下:(单位:cm)
伞架 DE DF AE AF AB AC
长度 36 36 36 36 86 86
(1)求AM的长;
(2)当∠BAC=104°时,求AD的长(精确到1 cm).
备用数据:sin 52°=0.788 0,cos 52°=0.615 7,tan 52°=1.279 9.
22.若一个矩形的一边是另一边的两倍,则称这个矩形为方形.如图1,矩形ABCD中,BC=2AB,
则称ABCD为方形.
(1)设a,b是方形的一组邻边长,写出a,b的值(一组即可);
(2)在△ABC中,将AB,AC分别五等分,连结两边对应的等分点,以这些连结线为一边作矩形,使
这些矩形的边B C ,B C ,B C ,B C 的对边分别在B C ,B C ,B C ,BC上,如图2所示.
1 1 2 2 3 3 4 4 2 2 3 3 4 4
①若BC=25,BC边上的高为20,判断以B C 为一边的矩形是不是方形?为什么?
4 4
②若以B C 为一边的矩形为方形,求BC与BC边上的高之比.
3 3图1
图2
23.在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC
上.
(1)如图1,AC∶AB=1∶2,EF⊥CB,求证:EF=CD;
(2)如图2,AC∶AB=1∶√3,EF⊥CE,求EF∶EG的值.
图1 图2
24.抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.
(1)求点B及点D的坐标;
(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.
①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标;
②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.
备用图
答案全解全析：1.A 因为|-2|=2,故选A.
2.C 因为3a·2b=6ab,故选C.
3.B 因为6 400 000=6.4×1 000 000=6.4×106,故选B.
4.C 由主视图的定义可以直接分析得到C.
2 1
5.B P= = ,故选B.
3+2+1 3
6.D 根据垂径定理,连结AO,构成Rt△AOD,∴AB=2AD=2 =8(m),故选D.
√52-32
πl 1
7.D ∵轴截面为等边三角形,∴圆锥的母线长和底面直径相等,设为l,θ= ×360°=
2πl 2
×360°=180°,故选D.
8.C 随着时间的增加水越来越少,直至为0,故选C.
1 √5 √5-1
9.C 由作图可知OM= ,OB=1,所以MB=MD= ,则OD= .
2 2 2
所以在 Rt△BOD 中,BD2=OB2+OD2=12+(√5-1) 2 =4+6-2√5=5-√5= ×√5-1= OD,故
√5 √5
2 4 2 2
选C.
10.A 由题意可知开机后,水温每分钟上升10 ℃,∴由30 ℃上升到100 ℃需7 min.∴图
象中第一个拐点C的坐标为(7,100).又∵加热到100 ℃后水温开始下降,水温与时间成反
k k
比例关系,设解析式为y= (k≠0).∵拐点C在此函数图象上,∴代入此解析式得100=
x 7
700 700
,k=700,解析式为y= .可求得当水温降为30 ℃时所需时间为t= ≈23.3(min).当水
1
x 30
700
温降为 50 ℃时所需时间为 t= =14(min).∴能喝到不超过 50 ℃水所需时间为
2
5014≤t<23.3.A选项7:20到8:45共85分钟,经过三个循环后剩下15.1 min,刚好在此时间
范围内,符合题意.同理可排除B、C、D选项,故选A.
11.答案 (x-y)(x+y)
解析 x2-y2=(x-y)(x+y).
12.答案 x=3
解析 去分母得2x=3(x-1),解得x=3.经检验x=3是原方程的解.
13.答案 22;11
{ x+ y=33, {x=22,
解析 设有鸡x只,有兔y只,则 解这个方程组得
2x+4 y=88, y=11.
14.答案 2或-2
√3
解析 y=1,代入y= 得x=√3,
B B
x
∵旋转后A与B重合,
∴OA=OB= =2,则点A的横坐标是2或-2.
√(√3)2+12
15.答案 12°
解析 设∠A=x°,由图形的对称性和线段长度相等从而角相等可推出题图中△APP 的两个
7 8
外角都是8x°,所以有x+360-16x=180, 解得x=12.∴∠A的度数是12°.
16.答案 2.8
解析 如图,要使四边形EFGH为菱形,首先要保证EH=FG.
由于EH=ED+DH=DP+DQ=2DP+PQ,同理FG=FB+BG=BP+BQ=2BQ+PQ,
所以由EH=FG得2BQ+PQ=2DP+PQ,
所以BQ=DP保证了EH=FG,由题意知EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形,
现在设BQ=DP=x,则DE=x,DH=DQ=5-x,所以EH=ED+DH=5,
EP DE 8x
易知△DEP∽△DNB,∴ = ,EP= ,
NB DN 5
PF BF 6(5-x)
易知△BPF∽△BDM,∴ = ,PF= .
DM BM 5
四边形EFGH是菱形,则EF=EH,
在Rt△EPF中,由勾股定理EP2+PF2=EF2=EH2,得(8 ) 2 +[6(5-x)] 2 =25,
x
5 5
解方程得x=2.5或1.1.
当x=2.5时,PQ=0,不合意题,舍去,所以x=1.1,PQ=5-2x=2.8.
评析 本题是特殊四边形和轴对称的性质、直角三角形、相似三角形的综合应用.
17.解析 (1)原式=a2-2a+1+2a+2=a2+3.
(2)3(x+1)+2(x-1)≤6,3x+3+2x-2≤6.
∴x≤1.
18.解析 (1)8元;y=2x+2.
(2)把y=32代入y=2x+2,得x=15.
答:这位乘客乘车的里程是15 km.
19.解析 (1)AB=11,AB=16.
1 2
(2)5n+6=56,n=10.
20.解析 (1)30÷15%=200(名),
补全统计图(见下图).40+12
(2)1 200× =312(名).
200
答:估计全校最喜欢篮球和排球的同学共有312名.
21.解析 (1)AM=AE+DE=36+36=72(cm).
(2)AD=2×36cos 52°=2×36×0.615 7≈44(cm).
22.解析 (1)不唯一,如a=3,b=6.
B C 16 16
(2)①由题意,可知 4 4= ,BC=25× =20,
BC 20 4 4 20
∵20÷4=5≠2,∴此矩形不是方形.
②设BC边上的高为h,
B C
BC 3 3
由题意可知, = 3 ,
h h
5
1 BC 2
若BC=2× h,∴ = ,
3 3
5 h 3
1 1 BC 1
若BC= × h,∴ = .
3 3
2 5 h 6
2 1
综上所述,BC与BC边上高的长度之比为 或 .
3 623.解析 (1)证明:∵AC∶AB=1∶2,点E为AB的中点,
∴AC=BE,
∵∠CAB=90°,AD⊥BC,
∴∠ACB+∠B=90°,
∠ACB+∠DAC=90 °,
∴∠B=∠DAC,
∵AD⊥BC,EF⊥CB,∴∠CDA=∠EFB=90°,
∴△EFB≌△CDA,∴EF=CD.
(2)过点E作EM⊥BD,EN⊥AD,
∵AD⊥BC,∴∠NEM=90°,∠NEG+∠CEM=90°,
∵CE⊥EF,∴∠MEF+∠CEM=90°,∴∠NEG=∠MEF,
EF EM
∵∠ENG=∠EMF=90°,∴△EMF∽△ENG,∴ = ,
EG EN
√3 1
∵AD⊥BC,AC∶AB=1∶√3,∴∠NAE=60°,∠B=30°,∴EN= AE,同理可得EM= BE,
2 2
1
BE
EF EM 2 √3
∵点E为AB的中点,∴AE=BE,∴ = = = .
EG EN √3 3
AE
2
24.解析 (1)B(3,0),D(1,-4).(2)①C(0,-3),E(1,0),连结BC,
过点C作CH⊥DE,交DE于点H,∴H(1,-3),∴CH=DH=1,∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°,
∴CD=√2,CB=3√2,△BCD为直角三角形.
分别延长PC,DC与x轴交于点Q,R,
则∠BDE=∠DCP=∠QCR,
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP,
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP,
OC CD 1
∴∠CDB=∠QCO,∴△BCD∽△QOC,∴ = = ,
OQ CB 3
∴OQ=9,即Q(-9,0),
1
∴直线CQ解析式为y=- x-3,
3
直线BD解析式为y=2x-6,
9
{ 1 { x= ,
由方程组 y=- x-3,解得 7 ∴P(9 24).
3 ,-
24 7 7
y=2x-6 y=- ,
7
图1
②(i)当点M在对称轴右侧时,若点N在射线CD上,如图2,图2
延长MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴,
∵∠CMN=∠BDE,∴△MCN∽△DBE,
CN BE 1
∴ = = ,∴MN=2CN,
MN DE 2
设CN=a,则MN=2a,
∵∠CDE=∠DCF=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形,
∴NF=a,CF=√2a,
∴MF=MN+NF=3a,
3a 3√2
∴MG=FG= = a,
√2 2
3√2 √2
∴CG=FG-FC= a-√2a= a,
2 2
∴M(3√2 √2 ),
a,-3+ a
2 2
7√2
代入抛物线y=(x-3)(x+1),解得a= ,
9
∴M(7 20).
,-
3 9
若点N在射线DC上,如图3,图3
MN交y轴于点F,
过点M作MG⊥y轴,交y轴于点G,
∵∠CMN=∠BDE,∴△MCN∽△DBE,
CN BE 1
∴ = = ,∴MN=2CN,
MN DE 2
设CN=a,则MN=2a,
∵∠CDE=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形,
∴NF=a,CF=√2a,
∴MF=MN-NF=a,
a √2
∴MG=FG= = a,
√2 2
√2 3√2
∴CG=FG+FC= a+√2a= a,
2 2
∴M(√2 3√2 ),
a,-3+ a
2 2
代入抛物线y=(x-3)(x+1),解得a=5√2,
∴M(5,12).
(ii)当点M在对称轴左侧时,∵∠CMN=∠BDE<45°,∴∠MCN>45°,
而抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,∴点M不存在.
综上所述,点M坐标为(7 20),(5,12).
,-
3 9
