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浙江省绍兴市 2019 年初中学业水平数学试题卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合题意
的选项，不选、多选、错选均不给分）
1. 一5的绝对值是（ ）
A. 5 B. C. D. －5
【答案】A
【解析】
试题分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣5到原点的距离
是5，所以﹣5的绝对值是5，故选A．
2.某市决定为全市中小学生教室安装空调，今年预计投入资金126 000 000元，其中数字126 000 000用
科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝
对值＜1时，n是负数．
【详解】数字126000000科学记数法可表示为1.26×108元．
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.如图的几何体由6个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【详解】从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故
A符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
4.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高 （ ）统
计如下：
组别（ ）
人数 5 38 42 15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他 身高不低于 的概率是（ ）
A. 0.85 B. 0.57 C. 0.42 D. 0.15
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】样本中身高不低于180cm的频率= =0.15，
所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．
故选D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
5.如图，墙上钉着三根木条 ，量得 ， ，那么木条 所在直线所夹的锐角是（
）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对顶角相等求出∠3，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】如图，
∠3=∠2=100°，
∴木条a，b所在直线所夹的锐角=180°-100°-70°=10°，
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、对顶角的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
6.若三点 ， ， 在同一直线上，则 的值等于（ ）
A. -1 B. 0 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用（1，4），（2，7）两点求出所在的直线解析式，再将点（a，10）代入解析式即可.
【详解】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b，
∴
∴ ，
∴y=3x+1，将点（a，10）代入解析式，则a=3；
故选C．
【点睛】本题考查一次函数上点的特点；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键．
7.在平面直角坐标系中，抛物线 经过变换后得到抛物线 ，则这个变换
可以是（ ）
A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位
C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．
y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．
所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），
故选B．
【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8.如图， 内接于圆 ， ， ，若 ，则弧 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OB，OC．首先证明 OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．
【详解】连接OB，OC．△∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°，
∴∠BOC=90°，
∵BC=2 ，
∴OB=OC=2，
∴ 的长为 =π，
故选A．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本
知识
9.正方形 的边 上有一动点 ，以 为边作矩形 ，且边 过点 ，在点 从点 移
动到点 的过程中，矩形 的面积（ ）
A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 一直变大 D. 保持不变
【答案】D
【解析】
【分析】
连接DE， CDE的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，则矩形与正方形面积相等．
【详解】连△接DE，∵S ＝ S ，
CDE 四边形CEGF
△
S ＝ S ，
CDE 正方形ABCD
△
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
故选D．
【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接DE由面积关系进行转化是解题的关键．
10.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面
一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设DE=x，则AD=8-x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出 DE，再由勾股定理求出CD，过点
C作CF⊥BG于F，由 CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．
【详解】过点C作CF⊥△BG于F，如图所示：设DE=x，则AD=8-x，
根据题意得： （8-x+8）×3×3=3×3×6，
解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
由勾股定理得：CD= ，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△BCF，
∴ ，
即 ，
∴CF= ．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长
方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题5分，共30分）
11.因式分解：x2﹣1＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
原式利用平方差公式分解即可．【详解】x2﹣1
=(x+1)(x﹣1)，
故答案为(x+1)(x﹣1).
【点睛】本题考查了因式分解 运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12.不等式 的解为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
【详解】移项得，3x≥4+2，
合并同类项得，3x≥6，
把x的系数化为1得，x≥2．
故答案为x≥2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
13.我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入 的方格中，使三行、三
列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母 所表示的数是______.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可．
【详解】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之
和都等于15，
∴第一列第三个数为：15-2-5=8，
∴m=15-8-3=4．
故答案为4
【点睛】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关
键．14.如图，在直线 上方有一个正方形 ， ，以点 为圆心， 为半径作弧，与
交于点 ，分别以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ，连结 ，则 的
度数为______.
【答案】 或
【解析】
分析】
分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况，根据正方形
的性质、等腰三角形的性质解答．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAM=180°-90°-30°=60°，AD=AB，
如图，
当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，
∴∠ADE=45°，
当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A=E′M，
∴△AE′M为等边三角形，
∴∠E′AM=60°，
∴∠DAE′=360°-120°-90°=150°，
∵AD=AE′，
∴∠ADE′=15°，故答案为15°或45°．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、灵活运用分情况讨
论思想是解题的关键．
15.如图，矩形 的顶点 都在曲线 （常数 ， ）上，若顶点 的坐标为 ，
则直线 的函数表达式是_.
【答案】
【解析】
【分析】
利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到 A（ ，3），C（5， ），所以B（ ， ），
然后利用待定系数法求直线BD的解析式．
【详解】∵D（5，3），
∴A（ ，3），C（5， ），
∴B（ ， ），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
把D（5，3），B（ ， ）代入得，解得 ，
∴直线BD的解析式为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲
线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了矩形的性质．
16.把边长为2的正方形纸片 分割成如图的四块，其中点 为正方形的中心，点 分别是 ，
的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形 （要求这四块纸片不重叠无缝隙），
则四边形 的周长是______.
【答案】10或 或
【解析】
【分析】
先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解．
【详解】如图所示：图1的周长为1+2+3+2 =6+2 ；
图2的周长为1+4+1+4=10；
图3的周长为3+5+ + =8+2 ．
故四边形MNPQ的周长是6+2 或10或8+2 ．
故答案为6+2 或10或8+2 ．
【点睛】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重
叠无缝隙）的各种情况．
三、解答题（本大题有8小题，17～20题每小题8分，第21题10分，第22，23小题每小题
12分，第24小题14分，共80分，解答需要写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17.（1）计算： ；（2） 为何值时，两个代数式 ， 的
值相等？
【答案】（1）-3；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）根据实数运算法则解答；
（2）利用题意得到x2+1=4x+1，利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）原式 .
（2） ， ， ， ， .【点睛】考查了实数的运算，因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把
左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个
一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了
（数学转化思想）．
18.如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量 （千瓦时）关于已行驶路程 （千米）
的函数图象.
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程，当 时，求1千瓦
时的电量汽车能行驶的路程；
（2）当 时求 关于 的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量.
【答案】（1）1千瓦时可行驶6千米；（2）当 时，函数表达式为 ，当汽
车行驶180千米时，蓄电池剩余电量为20千瓦时.
【解析】
【分析】
（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量
汽车能行驶的路程；
（2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x=180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄
电池的剩余电量．
【详解】（1）由图像可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车行驶了150千米.
1千瓦时可行驶 千米.
（2）设 ，把点 ， 代入，得 ，∴ ，∴ .
当 时， .
答：当 时，函数表达式为 ，当汽车行驶180千米时，蓄电池剩余电量为20
千瓦时.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余
油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代
表的意义．
19.小明、小聪参加了 跑的5期集训，每期集训结束市进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘
制成如下两个统计图：
根据图中信息，解答下列问题：
（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？
（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法.
【答案】（1）这5期的集训共56天，小聪5次测试的平均成绩是11.68秒；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据图中的信息可以求得这5期的集训共有多少天和小聪5次测试的平均成绩；
（2）根据图中的信心和题意，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可．
【详解】（1）这5期的集训共有：5+7+10+14+20=56（天），
小聪5次测试的平均成绩是：（11.88+11.76+11.61+11.53+11.62）÷5=11.68（秒），答：这5期的集训共有56天，小聪5次测试的平均成绩是11.68秒；
（2）从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，如图中第4
期与前面两期相比；
从测试成绩看，两人的最好成绩是都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．
【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答．
20.如图1，为放置在水平桌面 上的台灯，底座的高 为 .长度均为 的连杆 ， 与
始终在同一水平面上.
（1）旋转连杆 ， ，使 成平角， ，如图2，求连杆端点 离桌面 的高度
.
（2）将（1）中的连杆 绕点 逆时针旋转，使 ，如图3，问此时连杆端点 离桌面
的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到 ，参考数据： ， ）
【答案】（1） ；（2）下降了，约 .
【解析】
【分析】
（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG 矩形，求出DF，再
求出DF-DE即可解决问题．
【详解】（1）过点 作 ，垂足为 ，如图2，则四边形 是矩形， ，
∴ ，
∴ .
（2）下降了.
如图3，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作
于点 ，则四边形 为矩形，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴
.
∴下降高度：.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21.如图， 内接于圆 ，直径 的长为2，过点 的切线交 的延长线于点 .张老师要求添
加条件后，编制一道题目，并解答.
（1）在添加条件 ，求 的长，请你解答.
（2）以下是小明，小聪的对话：
小明：我加的条件是 ，就可以求出 的长.
小聪：你这样太简单了，我加的条件是 ，连结 ，就可以证明 与 全等.参考此
对话，在内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答.
【答案】（1） ，见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD=90°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到
OD=2，然后计算OA+OD即可；
（2）添加∠DCB=30°，求AC的长，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明∠A=∠DCB=30°，然后根
据含30度的直角三角形三边的关系求AC的长．
【详解】（1）连接OC，如图，
∵CD为切线，∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴OD=2OC=2，
∴AD=AO+OD=1+2=3；
（2）添加∠DCB=30°，求AC的长，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠DCB=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∵∠ACO=∠A，
∴∠A=∠DCB=30°，
在Rt ACB中，BC= AB=1，
△
∴AC= BC= ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，
构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
22.有一块形状如图的五边形余料 ， ， ， ， ，
.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在 上，并使所截矩形的面积尽可能大.
（1）若所截矩形材料的一条边是 或 ，求矩形材料的面积；
（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请
说明理由.
【答案】（1）S=30；（2）能， 的最大值为30.25.
【解析】【分析】
（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于F，得出S=AB•BC=6×5=30；
1
②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于
H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出 CHF为等腰三角形，得出AE=FG=6，
HG=BC=5，BG=CH=FH，求出BG=CH=FH=FG-HG=1，A△G=AB-BG=5，得出S=AE•AG=6×5=30；
2
（2）在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM
为矩形，四边形BCGM为矩形，证出 CGF为等腰三角形，得出MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，设
AM=x，则BM=6-x，FM=GM+FG=GM△+CG=BC+BM=11-x，得出S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x，由二次
函数的性质即可得出结果．
【详解】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：
过点C作CF⊥AE于F，S=AB•BC=6×5=30；
1
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：
过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∵∠C=135°，
∴∠FCH=45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，
∴BG=CH=FH=FG-HG=6-5=1，∴AG=AB-BG=6-1=5，
∴S=AE•AG=6×5=30；
2
（2）能；理由如下：
在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，
则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，
∵∠C=135°，
∴∠FCG=45°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，
设AM=x，则BM=6-x，
∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，
∴S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x=-（x-5.5）2+30.25，
∴当x=5.5时，S的最大值为30.25．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知
识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键．
23.如图1是实验室中的一种摆动装置， 在地面上，支架 是底边为 的等腰直角三角形，摆动
臂长 可绕点 旋转，摆动臂 可绕点 旋转， ， .
（1）在旋转过程中：①当 三点在同一直线上时，求 的长；
②当 三点在同一直角三角形的顶点时，求 的长.
（2）若摆动臂 顺时针旋转 ，点 的位置由 外的点 转到其内的点 处，连结 ，
如图2，此时 ， ，求 的长.
【答案】（1）① ，或 ；② 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）①分两种情形分别求解即可．
②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2=AD2-DM2，计算即可，当∠ADM=90°时，根
据AM2=AD2+DM2，计算即可．
（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD，再利用全等三角形的性质证明BD=CD 即可．
1 2 1
【详解】（1）① ，或 .
②显然 不能为直角，
当 为直角时，
，∴ .
当 为直角时，
，∴ .
（2）连结 ，
由题意得 ， ，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 .
又∵ ， ，∴ ，
∴
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24.如图，矩形 中， ， ，点 分别在边 ， 上，点 分别在 ，
上， ， 交于点 ，记 .
（1）若 的值是1，当 时，求 的值.
（2）若 的值是 ，求 的最大值和最小值.
（3）若 的值是3，当点 是矩形的顶点， ， 时，求 的值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 ，最小值为 ；（3） 的值为 或 .
【解析】【分析】
（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．证明 FHE≌△MQN（ASA），即可解决问
题． △
（2）由题意：2a≤MN≤ a，a≤EF≤ a，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大，最大值=
，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为 ．
（3）连接FN，ME．由k=3，MP=EF=3PE，推出 ，推出 ，由
PNF∽△PME，推出 =2，ME∥NF，设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m，接下来分两
△
种情形①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．②如图3中，当点N与C重合，分别求
解即可．
【详解】（1）作 ， ，如图1.
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ .（2）∵ ，∴ .
由题意得， ， ，
当 取最长时， 可取到最短，此时 的值最大，最大值为 ，
当 取最短时， 可取到最长，此时 的值最小，最小值为 .
（3）连结 ， ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， .
设 ，则 ， ， .
①当点 与点 重合时， 如图2，点 恰好与点 重合，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ .
②当点 与点 重合时，如图3，过点 作 于点 ，则 ， ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ .
综上所述， 的值为 或 .
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三
角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨
论的思想思考问题.本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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