2013 年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分,考试时间100分钟)
参考公式:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为( b 4ac-b2 ).
- ,
2a 4a
第Ⅰ卷(选择题,共 24 分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母填入题后括号内.
1.-2的相反数是( )
1 1
A.2 B.-|-2| C. D.-
2 2
2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
3.方程(x-2)(x+3)=0的解是( )
A.x=2 B.x=-3
C.x =-2,x=3 D.x =2,x=-3
1 2 1 2
4.在一次体育测试中,小芳所在小组8人的成绩分别是:46,47,48,48,49,49,49,50.则这8人体育
成绩的中位数是( )
A.47 B.48 C.48.5 D.49
5.如图是正方体的一种展开图,其每个面上都标有一个数字.那么在原正方体中,与数字“2”相
对的面上的数字是( )
A.1 B.4 C.5 D.6
{x≤2,
6.不等式组 的最小整数解为( )
x+2>1
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于点G,直线EF与☉O相切于点D,则下列结论中不一定
正确的是( )A.AG=BG
B.AB∥EF
C.AD∥BC
D.∠ABC=∠ADC
8.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是( )
A.x<1 B.x>1 C.x<-1 D.x>-1
第Ⅱ卷(非选择题,共 96 分)
二、填空题(每小题3分,共21分)
9.计算:|-3|-√4= .
10.将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°,∠F=45°),使点E落在AC边上,且
ED∥BC,则∠CEF的度数为 .
1 1
11.化简: + = .
x x(x-1)
12.已知扇形的半径为4 cm,圆心角为120°,则此扇形的弧长是 cm.
13.现有四张完全相同的卡片,上面分别标有数字-1,-2,3,4.把卡片背面朝上洗匀,然后从中随机
抽取两张,则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是 .
14.如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动
到点P'(2,-2),点A的对应点为A',则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为 .
15.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连结AE,把∠B沿AE折叠,使点B
落在点B'处.当△CEB'为直角三角形时,BE的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值:
(x+2)2+(2x+1)(2x-1)-4x(x+1),其中x=-√2.17.(9分)从2013年1月7日起,中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气.某市记者为了了解
“雾霾天气的主要成因”,随机调查了该市部分市民,并对调查结果进行整理,绘制了如下尚
不完整的统计图表.
组别 观点 频数(人数)
A 大气气压低,空气不流动 80
B 地面灰尘大,空气湿度低 m
C 汽车尾气排放 n
D 工厂造成的污染 120
E 其他 60
请根据图表中提供的信息解答下列问题:
(1)填空:m= ,n= ,扇形统计图中E组所占的百分比为 %;
(2)若该市人口约有100万人,请你估计其中持D组“观点”的市民人数;
(3)若在这次接受调查的市民中,随机抽查一人,则此人持C组“观点”的概率是多少?
18.(9分)如图,在等边三角形ABC中,BC=6 cm.射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1
cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)连结EF,当EF经过AC边的中点D时,求证:△ADE≌△CDF;
(2)填空:①当t为 s时,四边形ACFE是菱形;
②当t为 s时,以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形.19.(9分)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混
凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位.如图是某一段坝体加高
工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡
坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC(结果精确到0.1米.参考
数据:sin 68°≈0.93,cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.50,√3≈1.73).
k
20.(9分)如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3).双曲线y=
x
(x>0)的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E,连结DE.
(1)求k的值及点E的坐标;
(2)若点F是OC边上一点,且△FBC∽△DEB,求直线FB的解析式.21.(10分)某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器,购买2个A品牌和3个B品
牌的计算器共需156元;购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元.
(1)求这两种品牌计算器的单价;
(2)学校开学前夕,该商店对这两种计算器开展了促销活动,具体办法如下:A品牌计算器按原
价的八折销售,B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售.设购买x个A品牌的计算
器需要y 元,购买x个B品牌的计算器需要y 元,分别求出y、y 关于x的函数关系式;
1 2 1 2
(3)小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器,若购买计算器的数量超过5个,购买
哪种品牌的计算器更合算?请说明理由.
22.(10分)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中
∠C=90°,∠B=∠E=30°.
图1 图2
(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是 ;
②设△BDC的面积为S,△AEC的面积为S,则S 与S 的数量关系是 .
1 2 1 2
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S 与S 的数量关系仍然成立,并尝
1 2
试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.图3
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射
线BA上存在点F,使S =S ,请直接写出相应的BF的长.
△DCF △BDE
图4
1
23.(11分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线y= x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D
2
的坐标为( 7).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.
3,
2
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说
明理由;(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.
答案全解全析：
1.A 只有符号不同的两个数是互为相反数,所以-2的相反数为2,故选A.
2.D 选项A既不是中心对称图形,也不是轴对称图形;选项B只是轴对称图形;选项C只是
中心对称图形;选项D既是中心对称图形又是轴对称图形.故选D.
3.D 由(x-2)(x+3)=0得x-2=0或x+3=0,所以x=2或x=-3.故选D.
4.C 8人的成绩从小到大排列,中间的两个数分别是48和49,所以这8人体育成绩的中位
48+49
数是 =48.5,故选C.
2
5.B 根据正方体的平面展开图特点,相对的两个面中间一定隔着一个小正方形,且没有公共
的顶点,结合展开图很容易找到与“2”相对的面上的数字是“4”.
6.B 解此不等式组得-1<x≤2,所以最小整数解为0,故选B.
7.C CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于点G,由垂径定理得AG=BG,直线EF与☉O相切于点D,所
以EF⊥CD,则AB∥EF,因为同弧所对的圆周角相等,所以∠ABC=∠ADC,因为∠C与∠ADC不一
定相等,所以选项C不一定正确.故选C.
评析 本题考查垂径定理、平行线的判定定理、圆周角定理,属基础题.
8.A 根据解析式可求抛物线的对称轴为直线x=1,又a=-1,所以抛物线开口向下,在对称轴
左侧y随x的增大而增大,故选A.9.答案 1
解析 原式=3-2=1.
10.答案 15°
解析 ∵∠A=60°,∴∠ACB=30°,∵ED∥BC,∴∠DEC=∠ACB=30°,
∴∠CEF=∠DEF-∠DEC=45°-30°=15°.
1
11.答案
x-1
x-1+1 x 1
解析 原式= = = .
x(x-1) x(x-1) x-1
8π
12.答案
3
120π×4 8π
解析 由弧长计算公式得此扇形的弧长= = cm.
180 3
2
13.答案
3
解析 列表或画树状图可得,本次试验结果共有 12种,两张卡片数字之积为负数的结果:
(-1,3),
(-1,4),(-2,3),(-2,4),(3,-1),(3,-2),(4,-1),(4,-2),共有8种,所以两张卡片上的数字
2
之积为负数的概率是 .
3
14.答案 12
解析 连结AP,A'P',AP',由平移的性质可得四边形APP'A'为平行四边形,根据割补的原理
1 1
可知阴影部分的面积即为平行四边形APP'A'的面积,又S = OA·(x -x)= ×3×4=6,
△APP' P' P
2 2
所以平行四边形APP'A'的面积为2S =6×2=12,即抛物线上PA段扫过的区域的面积为
△APP'
12.评析 本题是以二次函数图象的平移为背景的求阴影部分面积的题目,依据平移的性质及割
补方法确定平行四边形是关键,求平行四边形APP'A'的面积是难点,突破难点的方法是通过
求S 再结合平行四边形的性质求面积,本题技巧性强,属中等难度题目.
△APP'
3
15.答案 或3
2
解析 在△CEB'中,显然∠B'CE不可能为直角,所以(1)当∠B'EC=90°时,在矩形ABCD中,
四边形AB'EB为正方形,所以BE=AB=3.
(2)当∠EB'C=90°时,由对称性得∠AB'E=90°,所以点A、B'、C三点共线,
在Rt△ADC中AC= =5,
√AD2+CD2
B'C=AC-AB'=2,设BE=x,则CE=4-x.
3
在Rt△B'EC中,B'C2+B'E2=CE2,即x2+4=(4-x)2,解得x= .
2
3
所以满足条件的BE的长为3或 .
2
评析 本题通过矩形的折叠,考查了轴对称的性质、矩形的性质、勾股定理等知识,依据题
意画出图形并分类讨论是解题的基本思想方法,本题属易错题.
16.解析 原式=x2+4x+4+4x2-1-4x2-4x(4分)
=x2+3.(6分)
∴当x=-√2时,原式=(-√2)2+3=5.(8分)17.解析 (1)40;100;15.(3分)
(2)持D组“观点”的市民人数约为
120
100× =30(万人).(6分)
80+40+100+120+60
100 1
(3)持C组“观点”的概率为 = .(9分)
400 4
18.解析 (1)证明:∵D为AC中点,∴AD=DC.(1分)
∵AG∥BC,∴∠EAC=∠ACF,∠AEF=∠EFC.
∴△ADE≌△CDF.(5分)
(2)①6;(7分)
3
② .(9分)
2
19.解析 在Rt△BAE中,∠BAE=68°,BE=162米,
BE 162
∴AE= ≈ =64.80(米).(3分)
tan∠BAE 2.50
在Rt△DCE中,∠DCE=60°,DE=176.6米,
DE 176.6
∴CE= = ≈102.08(米).(6分)
tan∠DCE √3
∴AC=CE-AE≈102.08-64.80=37.28≈37.3(米),
即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.(9分)
【说明:AC的计算结果在37.0至37.6之间均可】
20.解析 (1)在矩形OABC中,
∵点B坐标为(2,3),∴BC边中点D的坐标为(1,3).
k
又∵双曲线y= 经过点D(1,3),
x
k 3
∴3= ,∴k=3,∴y= .
1 x
∵点E在AB上,∴点E的横坐标为2.3
又∵双曲线y= 经过点E,
x
3
∴点E纵坐标为 ,
2
∴点E坐标为( 3).
2,
2
3
(2)由(1)得BD=1,BE= ,CB=2.
2
3
BD BE 1
∵△FBC∽△DEB,∴ = ,即 =2.
CF CB CF
2
∴CF=4,∴OF=5,即点F的坐标为( 5).
0,
3 3 3
设直线FB的解析式为y=k
1
x+b,而直线FB经过B(2,3),F(
0,
5),
3
{3=2k +b,
∴ 1 ∴k=2,b=5.
5 1
=b, 3 3
3
2 5
∴直线FB的解析式为y= x+ .
3 3
21.解析 (1)设A品牌计算器的单价为x元,B品牌计算器的单价为y元,则有
{2x+3 y=156, {x=30,
∴
3x+ y=122. y=32.
即A、B两种品牌计算器的单价分别为30元和32元.(4分)
(2)根据题意得:y=0.8×30x,即y=24x.(5分)
1 1
当0≤x≤5时,y=32x;(6分)
2
当x>5时,y=32×5+32(x-5)×0.7,即y=22.4x+48.(7分)
2 2
【说明:若把“0≤x≤5”写为“x≤5”,不扣分】(3)当购买数量超过5个时,y=22.4x+48.
2
①当y<y 时,24x<22.4x+48,∴x<30.
1 2
即当购买数量超过5个而不足30个时,购买A品牌的计算器更合算;(8分)
②当y=y 时,24x=22.4x+48,∴x=30.
1 2
即当购买数量为30个时,购买A品牌与B品牌的计算器花费相同;(9分)
③当y>y 时,24x>22.4x+48,∴x>30.
1 2
即当购买数量超过30个时,购买B品牌的计算器更合算.(10分)
22.解析 (1)①DE∥AC;②S=S.(2分)
1 2
(2)证明:∵∠DCE=∠ACB=90°,∴∠DCM+∠ACE=180°.
又∵∠ACN+∠ACE=180°,∴∠ACN=∠DCM.(4分)
又∵∠CNA=∠CMD=90°,AC=CD,
∴△ANC≌△DMC.(6分)
∴AN=DM.又∵CE=CB,∴S=S.(8分)
1 2
4√3 8√3
(3) 或 .(10分)
3 3
【提示】如图所示,作DF∥BC交BA于点F;
1 1
作DF⊥BD交BA于点F.BF、BF 即为所求.
2 2 1 2
评析 本题考查了含30°角的直角三角形的性质、三角形全等的判定、平行线间的距离等
知识点,综合分析“猜想论证”中提示的方法,进行类比探究解题,掌握一些常见的数学模型
也是提高解答此类题目能力的方法.
1
23.解析 (1)∵直线y= x+2经过点C,∴C(0,2).
2∵抛物线y=-x2+bx+c经过点C(0,2)和D( 7),
3,
2
{
2=c, {c=2,
∴ ∴
7 7
=-32+3b+c. b= .
2 2
7
∴抛物线的解析式为y=-x2+ x+2.(3分)
2
(2)∵P点横坐标为m,
∴P(
m,-m2+
7
m+2
),F(
m,
1
m+2
).
2 2
∵PF∥CO,∴当PF=CO时,以O、C、P、F为顶点的四边形为平行四边形.
①当0<m<3时,PF=-m2+7m+2-(1 )
m+2
2 2
=-m2+3m.
∴-m2+3m=2,解得:m=1,m=2.
1 2
即当m=1或2时,四边形OCPF是平行四边形;(7分)
②当m≥3时,PF=(1
m+2
)-(
-m2+
7
m+2
)=m2-3m.
2 2
3+√17 3-√17
∴m2-3m=2,解得:m= ,m= (舍去).
1 2
2 2
3+√17
即当m= 时,四边形OCFP是平行四边形.(9分)
2
(3)点P的坐标为P 1(1
,
7),P 2(23
,
13).(11分)
2 2 6 18【提示】如图,当点P在CD上方且∠PCF=45°时,作PM⊥CD,CN⊥PF,则△PMF∽△CNF,从而
m
PM CN
= =1 =2.
MF FN m
2
∴PM=CM=2CF.
√5 5 5
∴PF=√5FM=√5CF=√5× CN= CN= m.
2 2 2
又∵PF=-m2+3m,
5
∴-m2+3m= m.
2
解得:m
1
=1,m
2
=0(舍去),∴P(1
,
7).
2 2 2
同理可得,另一点为P(23 13).
,
6 18
评析 本题将二次函数、一次函数与平行四边形、直角三角形等知识相结合,考查了待定系
数法求二次函数解析式,二次函数的图象和性质,属难题.
