南充市二二一年初中学业水平考试
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分)
每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项,其中只有一个是正确的.
1.满足x≤3的最大整数x是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等,则m为( )
A.-2B.2 C.1 D.-1
3.如图,点O是▱ABCD对角线的交点,EF过点O分别交AD,BC于点E,F,下列结论成立的是(
)
A.OE=OF B.AE=BF
C.∠DOC=∠OCD D.∠CFE=∠DEF
4.据统计,某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为5,5,6,6,6,7,7.下列说法错
误的是( )
A.该组数据的中位数是6 B.该组数据的众数是6
C.该组数据的平均数是6 D.该组数据的方差是6
5.端午节买粽子,每个肉粽比素粽多1元,购买10个肉粽和5个素粽共用去70元,设每个肉粽
x元,则可列方程为( )
A.10x+5(x-1)=70 B.10x+5(x+1)=70
C.10(x-1)+5x=70 D.10(x+1)+5x=70
6.下列运算正确的是( )
3b 2a b 1 2b2 b3
A. · = B. ÷ =
4a 9b2 6 3ab 3a 2
1 1 2 1 1 2
C. + = D. - =
2a a 3a a-1 a+1 a2-1
7.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,CD=2OE,则∠BCD的度数为( )
A.15° B.22.5° C.30° D.45°8.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E,F分别在边AB,BC上,AE=BF=2,△DEF的周长为3√6,
则AD的长为( )
A.√6 B.2√3 C.√3+1 D.2√3-1
2 021
9.已知方程x2-2 021x+1=0的两根分别为x,x,则x2 - 的值为( )
1 2 1 x
2
A.1 B.-1C.2 021 D.-2 021
10.如图,在矩形ABCD中,AB=15,BC=20,把边AB沿对角线BD平移,点A',B'分别对应点A,B.
给出下列结论:
①顺次连接点A',B',C,D的图形是平行四边形;
②点C到它关于直线AA'的对称点的距离为48;
③A'C-B'C的最大值为15;
④A'C+B'C的最小值为9√17.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)
11.如果x2=4,则x= .
12.在-2,-1,1,2这四个数中随机取出一个数,其倒数等于本身的概率是 .
13.如图,点E是矩形ABCD边AD上一点,点F,G,H分别是BE,BC,CE的中点,AF=3,则GH的
长为 .
14.若n+m=3,则m2 +n2
= .
n-m n2 m2
15.如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC=√3AB=3BD,则AD∶AC的值为 .16.关于抛物线y=ax2-2x+1(a≠0),给出下列结论:
①当a<0时,抛物线与直线y=2x+2没有交点;
②若抛物线与x轴有两个交点,则其中一定有一个交点在点(0,0)与(1,0)之间;
③若抛物线的顶点在点(0,0),(2,0),(0,2)所围成的三角形区域内(包括边界),则a≥1.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题(本大题共9个小题,共86分)
解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(8分)
先化简,再求值:(2x+1)(2x-1)-(2x-3)2,其中x=-1.
18.(8分)
如图,∠BAC=90°,AD是∠BAC内部一条射线,若AB=AC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F.求
证:AF=BE.
19.(8分)
某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球,每个考生任选一项作为自选考试项目.
(1)求考生小红和小强自选项目相同的概率;
(2)除自选项目之外,长跑和掷实心球为必考项目.小红和小强的体育中考各项成绩(百分制)的
统计图表如下:
考生 自选项目 长跑 掷实心球
小红 95 90 95
小强 90 95 95①补全条形统计图;
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩(百分制),分别
计算小红和小强的体育中考成绩.
20.(10分)
已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求证:无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根;
x
(2)如果方程的两个实数根分别为x
1
,x
2
,且k与 1都为整数,求k所有可能的值.
x
2
21.(10分)
如图,反比例函数的图象与过点A(0,-1),B(4,1)的直线交于点B和C.
(1)求直线AB和反比例函数的解析式;
(2)已知点D(-1,0),直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E,直接写出点E的坐标,
并求△BCE的面积.22.(10分)
如图,A,B是☉O上两点,且AB=OA,连接OB并延长到点C,使BC=OB,连接AC.
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)点D,E分别是AC,OA的中点,DE所在直线交☉O于点F,G,OA=4,求GF的长.
23.(10分)
超市购进某种苹果,如果进价增加2元/千克要用300元,如果进价减少2元/千克,同样数量的
苹果只用200元.
(1)求苹果的进价;
(2)如果购进这种苹果不超过100千克,就按原价购进;如果购进苹果超过100千克,超过部分
购进价格减少2元/千克,写出购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式;(3)超市一天购进苹果数量不超过300千克,且购进苹果当天全部销售完,据统计,销售单价
1
z(元/千克)与一天销售数量x(千克)的关系为z=- x+12.在(2)的条件下,要使超市销售苹果
100
利润w(元)最大,求一天购进苹果数量.(利润=销售收入-购进支出)
24.(10分)
如图,点E在正方形ABCD边AD上,点F是线段AB上的动点(不与点A重合),DF交AC于点
1
G,GH⊥AD于点H,AB=1,DE= .
3
(1)求tan∠ACE;
(2)设AF=x,GH=y,试探究y与x的函数关系式(写出x的取值范围);
(3)当∠ADF=∠ACE时,判断EG与AC的位置关系并说明理由.
25.(12分)
如图,已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴交于点C,对称轴为直线
5
x= .
2
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线
于点Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时,判断四边形OCPQ的形状并说明理由;(3)如图2,在(2)的条件下,D是OC的中点,过点Q的直线与抛物线交于点E,且
∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F,使得△BEF为等腰三角形?若存在,求点F的坐标;若不
存在,请说明理由.
图1
图2
29 南充市二〇二一年初中学业水平考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D A D A D B C B C
1.C 满足x≤3的最大整数是3.
2.D 由题意得|m|=|m+2|,∵m+2>m,∴m+2=-m,∴m=-1.
AO EO
3.A ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴ = ,∵点O是AC的中点,∴OE=OF,所
OC OF
以A项中结论成立.故选A.
5+5+6+6+6+7+7
4.D 由中位数和众数的定义,易知A、B说法正确;平均数= =6,C项说
7
1 4
法正确;方差s2= ×(1+1+1+1)= ≠6,所以D项说法错误.故选D.
7 7
5.A 10个肉粽共用去10x元,5个素粽共用去5(x-1)元,所以10个肉粽和5个素粽共用去
[10x+5(x-1)]元,即10x+5(x-1)=70.故选A.
3b 2a 1 1 2b2 1 1 1 3
6.D A项, · = ,故A不正确;B项, ÷ = ,故B不正确;C项, + = ,故
4a 9b2 6b 3ab 3a 2b3 2a a 2a
1 1 a+1-a+1 2
C不正确;D项, - = = ,D正确,故选D.
a-1 a+1 a2-1 a2-1
7.B 连接OD,由垂径定理可得OE垂直平分CD,又CD=2OE,∴OE=DE,∴∠DOE=45°,由圆周
1
角定理可得∠BCD= ∠BOD=22.5°.故选B.
28.C 如图,连接BD,在菱形ABCD中,BC=CD,∠A=∠C=60°,∴△BCD是等边三角
形,∴DC=DB,∵AE=BF,∴BE=FC,又
∠EBD=∠C=60°,∴△DBE≌△DCF,∴DE=DF,∠EDB=∠CDF,∴∠EDF=∠BDC=60°,∴△DEF为等
边三角形,∵△DEF的周长为3√6,∴DE=√6,过点D作DM⊥AB于M点,设AD=x(x>0),则
DM=AD·sin 60°=√3x,AM=x,∴ME=2-x,在Rt△DME中,DM2+ME2=DE2,∴(√3 ) 2 +
x
2 2 2 2
( 2- x) 2= (√6)2 ,化简得x2-2x-2=0,解得x=1± √3 ,∵x>0,∴x=1+ √3 .故选C.
2
9.B 由根与系数的关系可得xx=1,将x 代入方程可得 -2 021x+1=0,则 =2 021x-1,∴原
1 2 1 x2 1 x2 1
1 1
式=2 021x
1
-1-2 021= 2 021x
1
x
2
-2 021 -1=-1.故选B.
x x
2 2
10.C 特殊情况:当B'移动到D点时,A'、B'、C、D四点共线,不是平行四边形,故①错误;
当CA'⊥BD时,平行四边形A'B'CD为菱形,在Rt△BCD中,sin∠BDC=BC= 20 =20=
BD √152+202 25
4 OC OC 4
,设CA'与BD的交点为O,则sin∠ODC= = = ,∴OC=12,∴CA'=2OC=24,则点C到它
5 CD 15 5
关于直线AA'的对称点的距离为24×2=48,故②正确;
∵A'D=B'C,∴CA'-CB'≤CD,当B'移动到D点时CA'-CB'取得最大值,最大值为30-15=15,故③正
确;
设点C关于直线AA'的对称点为C',连接A'C',则A'C'=CA',∵A'D=B'C,∴C'、A'、D三点共线
时A'C+B'C取得最小值,最小值为C'D的长,由②可求OD= =
√CD2-OC2 √152-122
=9,OC'=48-12=36,∴C'D= = =9 ,故④正确,故选C.
√OD2+OC'2 √362+92 √17
二、填空题
11.答案 ±2
解析 x=±√4=±2.
1
12.答案
22 1
解析 共有4种等可能结果,其中倒数等于本身的结果有两种:-1,1,所以所求概率是 = .
4 2
13.答案 3
1
解析 在Rt△ABE中,点F是BE的中点,∴AF= BE=3,∴BE=6,∵G、H分别是BC、CE的中
2
1
点,∴GH= BE=3.
2
17
14.答案
4
解析 ∵n+m=3,∴n=2m,∴m2 +n2 = m2 +(2m)2 =17.
n-m n2 m2 (2m)2 m2 4
√3
15.答案
3
BC AB AD AB √3
解析 ∵BC=√3AB=3BD,∴ = =√3,又∠B=∠B,∴△ABC∽△DBA,∴ = = .
AB BD AC BC 3
16.答案 ②③
解析 当a<0时,由ax2-2x+1=2x+2可得ax2-4x-1=0,∵Δ=16+4a,∴当-4≤a<0时,Δ=16+4a≥0,抛物
线与直线有交点,故①错;
∵抛物线与x轴有两个交点,∴Δ=4-4a>0,即a<1,设x,x 是方程ax2-2x+1=0的两根,则
1 2
2
{x +x = ,
1 2 a ∴x+x=2xx,即 1 + 1 =2,当0<a<1时,x>0,x>0,xx>1,如果x>1且x>1,则 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 x x x
x ·x = , 1 2 1
1 2 a
1
+ =2不成立,如果x=1,则x=1,不符合题意,∴必有一个根在0~1之间,当a<0时,xx<0,则必
x 1 2 1 2
2
1 1 1 1
有一个根为负,假设x<0,由 + =2可得 >2,∴0<x < ,即必有一个根在0~1之间,故②正
1 x x x 2 2
1 2 2
确;
1
抛物线的对称轴为直线x= ,且过定点(0,1),
a
当a<0时,抛物线开口向下,对称轴在y轴的左侧,∴其顶点必在第二象限,不在三角形区域
内,∴a>0,y=a( 1) 2 +1-1,要使抛物线顶点落在三角形区域内,则1-1≥0且1≤2,解得a≥1,故
x-
a a a a
③正确.
三、解答题
17.解析 原式=(4x2-1)-(4x2-12x+9)(2分)
=4x2-1-4x2+12x-9(4分)
=12x-10,(6分)
当x=-1时,原式=12×(-1)-10=-22.(8分)
18.证明 ∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BEA=90°,∠AFC=90°,(1分)
∴∠BEA=∠AFC.(2分)
∵∠BAE+∠CAF=90°,∠C+∠CAF=90°,
∴∠BAE=∠C,(5分){
∠BAE=∠C,
在△ABE和△CAF中, ∠BEA=∠AFC,
AB=CA,
∴△ABE≌△CAF,(7分)
∴AF=BE.(8分)
19.解析 (1)根据题意,可以画出树状图如下.
(2分)
小红和小强自选项目的所有可能出现的结果共有9种,并且它们出现的可能性相等,其中小红
和小强自选项目相同的情况有3种,
3 1
则小红和小强自选项目相同的概率P= = .(4分)
9 3
(2)①如图.(5分)
②小红的体育中考成绩为95×50%+90×30%+95×20%=93.5,(7分)
小强的体育中考成绩为90×50%+95×30%+95×20%=92.5.(8分)
20.解析 (1)证明:∵Δ=[-(2k+1)]2-4(k2+k)(2分)
=4k2+4k+1-4k2-4k=1>0.(4分)
∴无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根.(5分)
(2)方程x2-(2k+1)x+k2+k=0的两个实数根分别为k,k+1.(7分)
∴ x =k+1=1+1或 x = k =1- 1 ,(8分)
1 1
x k k x k+1 k+1
2 2
1
如果1+ 为整数,则k为1的约数,∴k=±1;(9分)
k
1
如果1- 为整数,则k+1为1的约数,
k+1
∴k+1=±1,则k=0或-2,
∴整数k的所有可能取值为±1,0或-2.(10分)
m
21.解析 (1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0),反比例函数的解析式为y=
x
(m≠0).(2分)
∵点A(0,-1),B(4,1)在直线AB上,
{b=-1,
∴{ b=-1, ∴ (3分)
1
4k+b=1, k= ,
2
1
∴直线AB的解析式为y= x-1.(4分)
2
m
∵B(4,1)在反比例函数图象上,∴ =1,(5分)
44
∴m=4,即反比例函数的解析式为y= .(6分)
x
1 4
(2)∵点C是直线y= x-1与反比例函数y= 的图象在第三象限的交点,
2 x
4 1
∴ = x-1,∵x<0,∴x=-2,则C(-2,-2).(7分)
x 2
设直线CD的解析式为y=k 1 x+b 1 (k 1
≠0),∴{-2=-2k
1
+b
1
,
0=-k +b ,
1 1
解得{k
1
=2,
∴直线CD的解析式为y=2x+2,
b =2,
1
4 4
令2x+2= ,∵x>0,∴x=1,∴y= =4,
x 1
得E(1,4),(8分)
过E作EF⊥x轴交直线AB于点F,得F( 1),EF=9,(9分)
1,-
2 2
1 9 27
∴S =S +S = × ×(3+3)= .(10分)
△BCE △BEF △CEF
2 2 2
22.解析 (1)证明:∵AB=OA=OB,∴△OAB是等边三角形.(1分)
∴∠AOB=∠OBA=∠OAB=60°.(2分)
∵BC=OB,∴BC=AB,∴∠BAC=∠C,
∵∠OBA=∠BAC+∠C=60°,∴∠BAC=∠C=30°,(3分)
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°,(4分)
∴OA⊥AC,∵点A在☉O上,∴AC是☉O的切线.(5分)
(2)如图,过点O作OH⊥GF于点H,连接OF.(6分)
∴GF=2HF,∠OHE=∠OHF=90°.
∵点D,E分别是AC,OA的中点,
1 1
∴OE=AE= OA= ×4=2,DE∥OC,(7分)
2 2
∴∠OEH=∠AOB=60°,OH=OEsin∠OEH=√3.(8分)
∴HF= = = .(9分)
√OF2-OH2 √42-(√3)2 √13
∴GF=2HF=2√13.(10分)300 200
23.解析 (1)设苹果的进价为m元/千克,根据题意,得 = .(2分)
m+2 m-2
解得m=10.经检验,m=10是原方程的解.
所以苹果的进价为10元/千克.(3分)
(2)根据题意,当0≤x≤100时,y=10x;(4分)
当x>100时,y=100×10+(10-2)(x-100)=8x+200.
∴超市购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系是
{10x,0≤x≤100,
y= (6分)
8x+200,x>100.
(3)根据题意,购进苹果数量与销售数量都为x千克,且购进数量不超过300千克.
①当0≤x≤100时,w=xz-y=( 1 )x-10x
- x+12
100
1 1
=- x2+2x=- (x-100)2+100,(8分)
100 100
当x=100时,w的最大值为100.
②当100<x≤300时,w=xz-y=( 1 )x-(8x+200)=- 1 x2+4x-200=- 1 (x-200)2+200.(9
- x+12
100 100 100
分)
当x=200时,w的最大值为200.
综上可知,要使超市销售苹果利润最大,苹果的购进数量为200千克.(10分)
24.解析 (1)如图,过点E作EM⊥AC于点M.
∴∠AME=∠EMC=90°.(1分)
∵四边形ABCD是边长为1的正方形,∴∠CAD=45°.
∴EM=AM=AEsin∠CAD=( 1)×√2=√2.(2分)
1-
3 2 3
2√2 EM 1
∴CM=AC-AM= ,∴tan∠ACE= = .
3 CM 2
(2)∵GH⊥AD,AB⊥AD,∴GH∥AB,(4分)
HG DH
∴△DHG∽△DAF.∴ = .(5分)
AF DA
y 1- y x
∴ = ,∴y=x-xy,∴y= (0<x≤1).(6分)
x 1 x+1
(3)当∠ADF=∠ACE时,EG⊥AC.(7分)
1 AF x 1
理由如下:∵tan∠ADF=tan∠ACE= ,∴ = = ,
2 AD 1 2
1 1
∴x= ,y= .(8分)
2 3
1 1
∴HA=GH= ,∴EH=AD-DE-HA= ,
3 3√2
∴EG=√GH2+EH2= ,(9分)
3
∴EG=EM,又∵EM⊥AC,∴点G与点M重合,∴EG⊥AC.(10分)
{a+b+4=0,
25.解析 (1)根据题意,得 (2分)
b 5
- = ,
2a 2
解得a=1,b=-5,∴抛物线的解析式为y=x2-5x+4.(3分)
(2)四边形OCPQ是平行四边形.理由如下:
易知B(4,0),C(0,4),∴直线BC的解析式为y=-x+4.(4分)
∵点P在线段BC上,∴设P(t,-t+4)(0<t<4),
又PQ∥y轴,∴Q(t,t2-5t+4)(0<t<4).(5分)
∴PQ=(-t+4)-(t2-5t+4)=-t2+4t=-(t-2)2+4.
当t=2时,线段PQ最长,为4.(6分)
∵OC=4,∴OC=PQ.
∵OC∥PQ,∴四边形OCPQ是平行四边形.(7分)
(3)在y轴上存在点F,使得△BEF为等腰三角形.理由如下:
∵C(0,4),D是OC的中点,∴D(0,2).
由(2)知Q(2,-2),P(2,2),
∵PQ∥OC,∴∠ODQ=∠PQD.
∵∠DQE=2∠ODQ=2∠PQD,∴∠PQD=∠PQE.
∴点D(0,2)关于PQ的对称点为M(4,2).(8分)
直线QE过点M(4,2)和Q(2,-2),∴直线QE的解析式为y=2x-6.
∵点E是直线QE与抛物线y=x2-5x+4的交点,
∴E(5,4).(9分)
假设存在y轴上的点F(0,m),使△BEF为等腰三角形.
①若BF=EF,即BF2=EF2,则42+m2=52+(4-m)2,解得m=25,∴F( 25).(10分)
0,
8 8
②若BF=BE,即BF2=BE2,则42+m2=(5-4)2+42,解得m=±1,∴F(0,1)或F(0,-1).(11分)
③若EF=BE,即EF2=BE2,
则52+(4-m)2=(5-4)2+42,
化简得m2-8m+24=0,Δ=-32<0.
∴方程无解,因此在y轴上不存在点F,使EF=BE.
综上所述,在y轴上存在点F,使得△BEF为等腰三角形.点F的坐标为( 25)或(0,1)或(0,-1).
0,
8
(12分)
