2021年江苏连云港高级中等学校招生考试
33
数学试题
(满分:150分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共24分)
一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C B A D A B
1.(2021江苏连云港,1,3分)-3的相反数是 ( )
1 1
A.3 B. C.-3 D.-
3 3
1.A 互为相反数的两个数绝对值相等,符号相反,所以-3的相反数是3.
2.(2021江苏连云港,2,3分)下列运算正确的是 ( )
A.3a+2b=5ab B.5a2-2b2=3
C.7a+a=7a2 D.(x-1)2=x2+1-2x
2.D A.3a和2b不是同类项,不能合并,故A项错误;
B.5a2和-2b2不是同类项,不能合并,故B项错误;
C.7a+a=8a≠7a2,故C项错误;
D.(x-1)2=x2-2x+1=x2+1-2x,故D项正确,故选D.
3.(2021江苏连云港,3,3分)2021年5月18日上午,江苏省人民政府召开新闻发布会,公布了全省最新人口数据,其中
连云港市的常住人口约为4 600 000人.把“4 600 000”用科学记数法表示为 ( )
A.0.46×107 B.4.6×107
C.4.6×106 D.46×105
3.C 4 600 000=4.6×106,故选C.
4.(2021江苏连云港,4,3分)正五边形的内角和是 ( )
A.360° B.540° C.720° D.900°
4.B 五边形的内角和为(5-2)×180°=3×180°=540°,故选B.
5.(2021江苏连云港,5,3分)如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点D、C分别落在点D、C 的位置,ED 的延长线
1 1 1
交BC于点G,若∠EFG=64°,则∠EGB等于 ( )
A.128° B.130° C.132° D.136°
5.A ∵∠DEF由∠DEF折叠所得,
1
∴∠DEF=∠DEF,
1
∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC.
∵∠EFG=64°,∴∠DEF=∠EFG=64°,
∴∠DEF=∠DEF=64°,
1∴∠DEG=∠DEF+∠DEF=64°+64°=128°,
1
∴∠EGB=∠DEG=128°.
故选A.
6.(2021江苏连云港,6,3分)关于某个函数表达式,甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征.
甲:函数图象经过点(-1,1);
乙:函数图象经过第四象限;
丙:当x>0时,y随x的增大而增大.
则这个函数表达式可能是 ( )
1 1
A.y=-x B.y= C.y=x2 D.y=-
x x
1
6.D 函数y=-x在x>0时,y随x的增大而减小,不符合丙同学说的函数特征;函数y= 的图象不经过点(-1,1),不符合
x
1
甲同学说的函数特征;函数y=x2的图象不经过第四象限,不符合乙同学说的函数特征;函数y=- ,易知其图象经过点
x
(-1,1),且该函数图象经过第四象限,当x>0时,y随x的增大而增大,故选D.
4
7.(2021江苏连云港,7,3分)如图,△ABC中,BD⊥AB,BD、AC相交于点D,AD= AC,AB=2,∠ABC=150°,则△DBC的
7
面积是 ( )
3√3 9√3 3√3 6√3
A. B. C. D.
14 14 7 7
7.A 如图,过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E.
∵CE⊥BD,BD⊥AB,∴∠CED=∠DBA=90°,
CE DE CD
∵∠ADB=∠EDC,∴△ADB∽△CDE,∴ = = ,
AB DB AD
4 3 CE DE 3
∵AD= AC,∴CD= AC,∴ = = ,
7 7 AB DB 4
3 3
∵AB=2,∴CE= AB= ,
4 2
∵∠ABC=150°,∴∠CBE=150°-90°=60°,
3
CE CE √3
∴tan∠CBE=tan 60°= =√3,∴EB= = 2 = ,
EB √3 2
√3
4 4 √3 2√3
∴BD= EB= × = ,
7 7 2 7
1 1 2√3 3 3√3
∴S = BD·CE= × × = .
△BCD 2 2 7 2 14
故选A.疑难突破 通过过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E,构造出△CED∽△ABD、含60°的Rt△CEB,再根据相似的性质,
解直角三角形求出BD、CE的长度,便可求出△CBD的面积.
8.(2021江苏连云港,8,3分)如图,正方形ABCD内接于☉O,线段MN在对角线BD上运动,若☉O的面积为2π,MN=1,
则△AMN周长的最小值是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.B 如图,连接AC,过点C作CA'∥BD,且使CA'=MN=1,连接AA'交BD于点N,则CM=A'N,此时AM+AN取得最小值.
∵S =πr2=2π,∴r=√2,∴AC=2r=2√2,
☉O
∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD,∴∠AOD=90°.
∵BD∥A'C,∴∠A'CA=∠AOD=90°,
∴AA'= =3,∴AM+AN的最小值为3,
√(2√2)2+12
∵△AMN周长=AN+AM+MN,
∴△AMN周长的最小值为4.
故选B.
第Ⅱ卷 非选择题(共126分)
二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分,不需要写出解答过程)
9.(2021江苏连云港,9,3分)一组数据2,1,3,1,2,4的中位数是 .
9.答案 2
解析 将这组数据从小到大进行排列为1,1,2,2,3,4.由于这组数据有偶数个,所以其中位数为中间两个数的平均数,
2+2
最中间的两个数分别为2,2,所以 =2,所以这组数据的中位数为2.
2
10.(2021江苏连云港,10,3分)计算: = .
√(-5)2
10.答案 5
解析 = =5.
√(-5)2 √25
{
a(a>0),
方法总结
√a2=|a|= 0(a=0),
-a(a<0).
11.(2021江苏连云港,11,3分)分解因式:9x2+6x+1= .
11.答案 (3x+1)2
解析 9x2+6x+1=(3x)2+2·3x·1+12=(3x+1)2.
12.(2021江苏连云港,12,3分)若关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根,则k= .9
12.答案
4
解析 ∵x2-3x+k=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-3)2-4×1·k=0,即9-4k=0,
9
解得k= .
4
方法总结 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
Δ=b2-4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根,
Δ=b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根,
Δ=b2-4ac<0⇔方程没有实数根.
13.(2021江苏连云港,13,3分)如图,OA、OB是☉O的半径,点C在☉O上,∠AOB=30°,∠OBC=40°,则∠OAC=
°.
13.答案 25
解析 解法一:如图,连接OC.
∵OC=OB,∠OBC=40°,∴∠OCB=∠OBC=40°.
1 1
∵∠AOB=30°,∴∠ACB= ∠AOB= ×30°=15°,
2 2
∴∠OCA=∠OCB-∠ACB=40°-15°=25°.
∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA=25°.
解法二:如图.
1
∵∠AOB=30°,∴∠ACB= ∠AOB=15°.
2
∵∠OBC=40°,
∴∠1=180°-∠OBC-∠ACB=180°-40°-15°=125°,
∴∠2=∠1=125°,
∴∠OAC=180°-∠2-∠AOB=180°-125°-30°=25°.
14.(2021江苏连云港,14,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE⊥AD,垂足为E,AC=8,BD=6,则
OE的长为 .12
14.答案
5
解析 ∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,且OA=OC,OB=OD.
∵AC=8,BD=6,
1 1
∴OA= AC=4,OD= BD=3.
2 2
在Rt△AOD中,
AD= = =5.
√OA2+OD2 √42+32
∵OE⊥AD,
1 1
∴S = AD·OE= OA·OD,
△AOD
2 2
1 1
即 ×5×OE= ×4×3,
2 2
12
∴OE= .
5
15.(2021江苏连云港,15,3分)某快餐店销售A、B两种快餐,每份的利润分别为12元、8元,每天卖出的份数分别为
40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定
范围内,A种快餐每份利润每降1元可多卖2份,B种快餐每份利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售
总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是 元.
15.答案 1 264
解析 设A种快餐每份降低x元,两种快餐一天的总利润为W元,由题意可得B种快餐每份提高x元,则W=(12-x)
(40+2x)+(8+x)(80-2x)
=-4x2+48x+1 120
=-4(x-6)2+1 264,
所以当x=6时,W取得最大值,为1 264.
疑难突破 解题的关键是通过“A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份,两种快
餐每天销售总份数不变”推知,A种快餐每份降低的价钱等于B种快餐每份提高的价钱.
BD
16.(2021江苏连云港,16,3分)如图,BE是△ABC的中线,点F在BE上,延长AF交BC于点D.若BF=3FE,则 =
DC
.
3
16.答案
2解析 如图,过点E作EG∥BC交AD于点G.
GE EF 1
∵EG∥BC,∴△EGF∽△BDF,∴ = = ,
BD BF 3
∴BD=3GE.
EG EA
∵EG∥BC,∴△AGE∽△ADC,∴ = .
CD CA
EG EA 1
∵点E为AC的中点,∴CA=2EA,∴ = = ,
CD CA 2
BD 3GE 3
∴CD=2EG,∴ = = .
CD 2GE 2
GE EF 1
思路分析 过点E作EG∥BC,由△EGF∽△BDF,得出 = = ,得出BD=3GE,由△AGE∽△ADC,得出CD=2GE,最终
BD BF 3
BD 3
得出 = .
CD 2
三、解答题(本题共11小题,共102分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(2021江苏连云港,17,6分)计算:√3 8+|-6|-22.
17.解析 原式=2+6-4=4. (6分)
{3x-1≥x+1,
18.(2021江苏连云港,18,6分)解不等式组:
x+4<4x-2.
18.解析 解不等式3x-1≥x+1,得x≥1, (2分)
解不等式x+4<4x-2,得x>2, (4分)
∴不等式组的解集为x>2.(6分)
x+1 4
19.(2021江苏连云港,19,6分)解方程: - =1.
x-1 x2-1
19.解析 去分母,得(x+1)2-4=x2-1, (2分)
解得x=1,
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
所以x=1是增根,原方程无解. (6分)
20.(2021江苏连云港,20,8分)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、
C、D四种粽子的喜爱情况,在端午节前对某小区居民进行抽样调查(每人只选一种粽子),并将调查情况绘制成如下
两幅尚不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图;(2)扇形统计图中,D种粽子所在扇形的圆心角是 °;
(3)这个小区有2 500人,请你估计爱吃B种粽子的人数为 .
20.解析 (1)补全条形统计图如图所示:
(3分)
详解:选择A种粽子的人数为240,占总人数的40%,所以总人数为240÷40%=600,则选择B种粽子的人数为600-
(240+60+180)=120.
(2)108. (5分)
180
详解:选择D种粽子的人数占总人数的 ×100%=30%,则D种粽子所在扇形的圆心角是360°×30%=108°.
600
(3)500. (8分)
120 1 1
详解:由题意知,选择B种粽子占比为 = ,则可估计爱吃B种粽子的人数为2 500× =500.
600 5 5
21.(2021江苏连云港,21,10分)为了参加全市中学生“党史知识竞赛”,某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男
生中任选2人代表学校参加比赛.
(1)如果已经确定女生甲参加,再从其余的候选人中随机选择1人,则女生乙被选中的概率是 ;
(2)求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率.
1
21.解析 (1) . (3分)
3
(2)画树状图如下:
由图知,共有12种等可能的结果,其中所选代表恰好为1名女生和1名男生的结果有8种,
8 2
∴P(1女1男)= = .
12 3
2
答:所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是 . (10分)
3
22.(2021江苏连云港,22,10分)如图,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.
22.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC.
∵点C是BE的中点,∴BC=CE,∴AD=CE.∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形. (4分)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,
∵AB=AE,∴DC=AE.
∵四边形ACED是平行四边形,
∴四边形ACED是矩形. (10分)
23.(2021江苏连云港,23,10分)为了做好防疫工作,学校准备购进一批消毒液,已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒
液共需41元,5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元.
(1)这两种消毒液的单价各是多少元?
1
(2)学校准备购进这两种消毒液共90瓶,且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的 ,请设计出最省钱的购买方
3
案,并求出最少费用.
23.解析 (1)设A型消毒液的单价是x元,B型消毒液的单价是y元.
{2x+3 y=41, {x=7,
由题意得 解得
5x+2y=53, y=9.
答:A型消毒液的单价是7元,B型消毒液的单价是9元.(4分)
(2)设购进A型消毒液a瓶,购买费用为W元,则购进B型消毒液(90-a)瓶.
∴W=7a+9(90-a)=-2a+810,
∵k=-2<0,
∴W随着a的增大而减小,当a最大时,W有最小值.
1
又90-a≥ a,∴a≤67.5.
3
由于a是整数,∴a的最大值为67,
即当a=67时,最省钱,最少费用为810-2×67=676元.此时,90-67=23.
最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶,购进B型消毒液23瓶.(10分)
24.(2021江苏连云港,24,10分)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以点C为圆心,CB的长为半径作☉C,D为☉C上一点,连
接AD、CD,AB=AD,AC平分∠BAD.
(1)求证:AD是☉C的切线;
(2)延长AD、BC相交于点E,若S =2S ,求tan∠BAC的值.
△EDC △ABC
24.解析 (1)证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC.
∵AB=AD,AC=AC,∴△BAC≌△DAC,
∴∠ADC=∠ABC=90°,
∴CD⊥AD.
∵CD为☉C的半径,∴AD是☉C的切线. (4分)
(2)由(1)可知,∠EDC=∠ABC=90°,
又∠E=∠E,∴△EDC∽△EBA.
∵S =2S ,且△BAC≌△DAC,
△EDC △ABC
∴S ∶S =1∶2,∴DC∶BA=1∶√2.
△EDC △EBA
∵DC=CB,∴CB∶BA=1∶√2,CB √2
∴tan∠BAC= = . (10分)
BA 2
25.(2021江苏连云港,25,10分)我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去前三岛钓鱼,将鱼竿AB摆
成如图1所示.已知AB=4.8 m,鱼竿尾端A离岸边0.4 m,即AD=0.4 m.海面与地面AD平行且相距1.2 m,即DH=1.2 m.
(1)如图1,在无鱼上钩时,海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH=37°,海面下方的鱼线CO与海面HC垂直,鱼
竿AB与地面AD的夹角∠BAD=22°.求点O到岸边DH的距离;
(2)如图2,在有鱼上钩时,鱼竿与地面的夹角∠BAD=53°,此时鱼线被拉直,鱼线BO=5.46 m,点O恰好位于海面.求点
O到岸边DH的距离.
参考数据:sin 37°=cos 53°≈ 3,cos 37°=sin 53°≈ 4,tan 37°≈ 3,sin 22°≈ 3,cos 22°≈ 15,tan 22°≈ 2
5 5 4 8 16 5
图1
图2
25.解析 (1)如图,过点B作BF⊥CH,垂足为F,延长AD交BF于点E,则AE⊥BF,垂足为E,则EF=DH=1.2,DE=HF,
AE AE
由cos∠BAE= ,得cos 22°= ,
AB 4.8
15 AE
∴ = ,即AE=4.5,
16 4.8
∴DE=AE-AD=4.5-0.4=4.1,
BE BE
由sin∠BAE= ,得sin 22°= ,
AB 4.8
3 BE
∴ = ,即BE=1.8,∴BF=BE+EF=1.8+1.2=3.
8 4.8
BF 3 3 3
又tan∠BCF= ,∴tan 37°= ,∴ = ,即CF=4,
CF CF 4 CF
∴CH=CF+HF=CF+DE=4+4.1=8.1,
