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2019 年江苏省连云港初中毕业升学考试数学试题
一、选择题
1.﹣2的绝对值是（ ）
A. ﹣2 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义求解.
【详解】因为负数 绝对值等于它的相反数,所以﹣2的绝对值是2,故选C.
【点睛】本题主要考查绝对值的性质,解决本题的关键是要熟练掌握绝对值的性质.
2.要使 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x≥1 B. x≥0 C. x≥﹣1 D. x≤0
【答案】A
【解析】
【分析】
二次根式要有意义，被开方数必须是非负数.
【详解】要使 有意义，则x-1≥0,解得x≥1
故选：A
【点睛】考核知识点：二次根式要有意义条件.
3.计算下列代数式，结果为 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 1根据整式运算法则逐个分析.
【详解】A. ，不是同类项，不能合并 ；
B. =
C. ，不是同类项，不能合并 ；
D. =
故选：D
【点睛】考核知识点：整式运算法则.
4.一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据展开图推出几何体，再提出视图.
【详解】根据展开图推出几何体是四棱柱，底面是四边形.
故选：B
【点睛】考核知识点：几何体的三视图.
5.一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是（ ）
A. 3，2 B. 3，3 C. 4，2 D. 4，3
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查统计 有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均
数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 2【详解】这组数据已经按从小到大的顺序进行了排列，出现次数最多的数是2，则众数为2；这组数据一共有5
个数，中间一个为3，所以这组数据的中位数为3．
故选A．
【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概
念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数
和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平
均数．
6.在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,
能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）
A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处
【答案】B
【解析】
【分析】
确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定
第三个顶点的位置即可．
【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为 ；
“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为 ，“车”②之间的距离为2 ，
∵
∴马应该落在②的位置，
故选：B
【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．
7.如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 3该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A. 18m2 B. m2 C. m2 D. m2
【答案】C
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则
∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，由直角三角形的，性质得出 得出
，又梯形面积公式求出梯形
ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解.
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°， 则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，
在Rt CBE中，∵∠CEB=90°，
△
∴梯形ABCD面积
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 4∴当x=4时，S最大=24 ．
即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24 m2；
故选：C．
【点睛】此题考查了梯性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次面数的运
用,利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键
8.如图，在矩形ABCD中，AD＝ AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为
E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结
论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝ MP；④BP＝ AB；⑤点F是
CMP外接圆的圆心．其中正确的个数为（ ）
△
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，于是得到∠PME+∠CME＝ ×180°＝90°，求得
CMP是直角三角形；故①正确；根据平角的定义得到点C、E、G在同一条直线上，故②错误；设AB＝x，则
△
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 5AD＝2 x，得到DM＝ AD＝ x，根据勾股定理得到CM＝ ＝ x，根据射影定理得
到CP x，得到PC＝MP，故③错误；求得PB＝AB，故④，根据平行线等分线段定理得到CF＝PF，
求得点F是 CMP外接圆的圆心，故⑤正确．
【详解】解△：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠DMC＝∠EMC，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠AMP＝∠EMP，
∵∠AMD＝180°，
∴∠PME+∠CME＝180°＝90°，
∴△CMP是直角三角形；故①正确；
∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠D＝∠MEC＝90°，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠MEG＝∠A＝90°，
∴∠GEC＝180°，
∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；
∵AD＝2AB，
∴设AB＝x，则AD＝2x，
∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；
∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，
∴CM2＝CN•CP，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 6，
故③错误；
故④，
∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，
∴CE＝EG，
∵∠CEM＝∠G＝90°，
∴FE∥PG，
∴CF＝PF，
∵∠PMC＝90°，
∴CF＝PF＝MF，
∴点F是 CMP外接圆的圆心，故⑤正确；
故选：B．△
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的识别
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 7图形是解题的关键．
二、填空题
9.64的立方根是_______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据立方根的定义即可求解.
【详解】∵43=64，
∴64的立方根是4
故答案为：4
【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.
10.计算 ＝_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据完全平方公式展开3项即可．
【详解】解：（2﹣x）2＝22﹣2×2x+x2＝4﹣4x+x2．
故答案为：4﹣4x+x2
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，需要注意完全平方公式与平方差公式的区别．
11.连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元．数据“46400000000”用科学记数法可表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用科学记数法的表示即可．
【详解】科学记数法表示：46400000000＝4.64×1010
故答案为：4.64×1010
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 8【点睛】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤a＜10，n为整数），
这种记数法叫做科学记数法．
12.一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇
形的面积公式求解．
【详解】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．
故答案为：6π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的
半径等于圆锥的母线长．
13.如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为_______．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
【详解】解：连接OB,OC
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 9故答案为：6．
【点睛】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
14.已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值等于_______．
【答案】2.
【解析】
【分析】
根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c
的等式，整理后即可得到的答案．
【详解】解：根据题意得：
＝4﹣4a（2﹣c）＝0，
△整理得：4ac﹣8a＝﹣4，
4a（c﹣2）＝﹣4，
∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式两边同时除以4a得： ，
则 ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
15.如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、
4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角
形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示
（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(4，1，3)，按此方法，
则点C的坐标可表示为_______．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 10【答案】
【解析】
【分析】
根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形
三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【详解】解：根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着
等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，所以点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
16.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作OC与直线BD相切，点P是OC上一个动点，连
接AP交BD于点T，则 的最大值是_______．
【答案】3.
【解析】
【分析】
先判断出 最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进而判断出HM最大时，BE最大，
而点M在⊙C上时，HM最大，即可HP'，即可得出结论．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 11【详解】解：如图，
过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，
∴∠AEP＝∠ABD， APE∽△ATB，
△
∴BE最大时， 最大，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，
过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，
∵BD是⊙C的切线，
∴∠GME＝90°，
在Rt BCD中，BD＝ =5，
△
∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，
∴△BHC∽△BCD，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 12∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，
∴△BHG∽△BAD，
在Rt GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝ ，
△
而BE＝GE﹣BG＝GE ，
∴GE最大时，BE最大，
∴GM最大时，BE最大，
∵GM＝HG+HM＝ +HM，
即：HM最大时，BE最大，
延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝ ，
∴GP'＝HP'+HG＝ ，
过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，
∴BE最大时，点E落在点F处，
即：BE最大＝BF，
在Rt GP'F中，FG＝ ，
△
∴BF＝FG﹣BG＝8，
∴ 最大值为1+ ＝3，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 13故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的性质，构造出相似三角形是解本题的关
键．
三、解答题
17.计算： ．
【答案】3.
【解析】
【分析】
分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数指数幂化简即可求解．
【详解】解：原式 .
【点睛】本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及负整数指
数幂．
18.解不等式组： ．
【答案】 .
【解析】
【分析】
先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【详解】解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
所以原不等式组的解集是 .
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口
诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 1419.化简： ．
【答案】 .
【解析】
【分析】
先做括号里面，再把除法转化成乘法，计算得结果．
【详解】原式
.
【点睛】本题考查了分式的混合运算．解决本题的关键是掌握分式的运算顺序和分式加减乘除的运算法则．
20.为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时
长分为四类：2小时以内，2~4小时(含2小时)，4~6小时(含4小时)，6小时及以上，并绘制了如图所示尚不
完整的统计图．
（1）本次调查共随机抽取了 名中学生，其中课外阅读时长“2~4小时”的有 人；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4~6小时”对应的圆心角度数为 °；
（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数 ．
【答案】（1）200，40；（2）144；（3）13000人.
【解析】
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 15【分析】
（1）利用课外阅读时长在6小时及以上的人数除以其所占的百分比，即可求得本次调查随机抽取的人数；利
用本次调查随机抽取的人数乘以课外阅读时长“2~4小时”的人数所占的百分比，即可求得课外阅读时长
“2~4小时”的人数；（2）利用360°乘以课外阅读时长“4~6小时”的人数所占的百分比，即可求得扇形统
计图中课外阅读时长“4~6小时”对应的圆心角度数；（3）用20000乘以课外阅读时长不少于4小时的人数
所占的百分比即可解答.
【详解】（1）50÷25%=200（人），200×20%=40（人），
故答案为：200，40；
（2）课外阅读时长“4~6小时”的人数所占的百分比为：
1- -25%-20%=40%，
360°×40%=144°，
故答案为：144；
（3） （人）.
答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的约有13000人.
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的应用，从条形统计图、扇形统计图中获取必要的信息是解决问
题的关键．
21.现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒
中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球．
（1）从A盒中摸出红球的概率为；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．
【答案】（1）从 盒子中摸出红球的概率为 ；（2）摸出的三个球中至少有一个红球的概率是 .
【解析】
【分析】
（1）从A盒中摸出红球的结果有一个，由概率公式即可得出结果；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，由概率公式
即可得出结果．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 16【详解】（1）根据概率公式，从 盒子中摸出红球的概率为 ；
（2）列出树状图如图所示：
由图可知，共有12种等可能结果，其中至少有一个红球的结果有10种.
所以， （摸出的三个球中至少有一个红球） .
答：摸出的三个球中至少有一个红球的概率是 .
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事
件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22.如图，在 ABC中，AB＝AC．将 ABC沿着BC方向平移得到 DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交
于点O． △ △ △
（1）求证： OEC为等腰三角形；
（2）连接AE△、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）当 为 中点时，四边形 为矩形. 见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B＝∠DEC，再求出∠ACB＝
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 17∠DEC即可；
（2）求出四边形AECD是平行四边形，再由 ，求出四边形AECD是矩形即可．
【详解】（1）∵ ，∴ .
∴ 平移得到 ，∴ .
∴ ，∴ .
即 为等腰三角形.
（2）当 为 中点时，四边形 为矩形.
∵ ，且 为 中点.
∴ .
∵ 平移得到 ，
∴ .
∴ .
又∵ ，∴四边形 为矩形.
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综
合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23.某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可
获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 18（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得
的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
【答案】（1） ；（2）工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润.
【解析】
【分析】
（1）利润y（元）＝生产甲产品 利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润＝生产1吨甲产品的利润0.3
万元×甲产品的吨数x，即0.3x万元，生产乙产品的利润＝生产1吨乙产品的利润0.4万元×乙产品的吨数
（2500﹣x），即0.4（2500﹣x）万元．
（2）由（1）得y是x的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量x的取值范围再确定当x取何值时，利润y
最大．
【详解】（1） .
（2）由题意得： ，解得 .
又因为 ，所以 .
由（1）可知， ，所以 的值随着 的增加而减小.
所以当 时， 取最大值，此时生产乙种产品 （吨）.
答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨，时，能获得最大利润.
【点睛】这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利润y与甲产品
生产的吨数x的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最值．也
是常考内容之一．
24.如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一
走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°
的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 19（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）
【答案】（1）观察哨所 与走私船所在的位置 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时 海里的速度
行驶时，恰好在 处成功拦截.
【解析】
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线△上．解Rt AMC，求出CM、AM．解Rt AMD中，
求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私△船行驶CD所用的时间等于缉△私艇行驶
AD所用的时间列出方程，解方程即可．
【详解】（1）在 中， .
在 中， ，所以 （海里）.
答：观察哨所 与走私船所在的位置 的距离为15海里.
（2）过点 作 ，垂足为 ，由题意易知， 在一条直线上.
在 中， ， .
在 中， ，
所以 .
所以 .
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 20设缉私艇的速度为 海里/小时，则有 ，解得 .
经检验， 是原方程的解.
答：当缉私艇以每小时 海里的速度行驶时，恰好在 处成功拦截.
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知
识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 的图像与函数 (x＜0)的图像相交于点A(﹣1，6)，
并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点， ODC与 OAC的面积比为2：3．
（1）k＝ ，b＝ ； △ △
（2）求点D的坐标；
（3）若将 ODC绕点O逆时针旋转，得到 OD′C′，其中点D′落在x轴负半轴上，判断点C′是否落在函数
△ △
(x＜0)的图像上，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）点 的坐标为 ；（3）点 不在函数 的图像上.理由见解析.
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 21【解析】
【分析】
（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b可求出b的值；将A（﹣1，6）代入y＝ 可求出k的值；
（2）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，由 ODC与 OAC的面积比为2：3，可
△ △
推出 ，由点A的坐标可知AN＝6，进一步求出DM＝4，即为点D的纵坐标，把y＝4代入y＝﹣x+5
中，可求出点D坐标；
（3）过点C'作C'G⊥x轴，垂足为G，由题意可知，OD'＝OD＝ ，由旋转可知S ODC＝
△
S OD'C'，可求出C'G＝ ，在Rt OC'G中，通过勾股定理求出OG的长度，即可写出点C'的坐标，将其
△ △
坐标代入y＝﹣ 可知没有落在函数y＝ （x＜0）的图象上．
【详解】（1） ；
（2）如图1，过点 用 轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为 .
因为 ，
所以 .
又因为点 的坐标为 ，所以 ，
所以 ，即点 的纵坐标为4.
把 代入 中得 .
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 22所以点 的坐标为 .
（3）由题意可知， .
如图2，经过点 作 轴，垂足为 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，所以 .
在 中，因为 ，
所以点 的坐标为 .
因为 ，所以点 不在函数 的图像上.
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 23【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够
熟练运用反比例函数的性质．
26.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L： 过点C(0，﹣3)，与抛物线L：
1 2
的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L、抛物线L 上的动点．
1 2
（1）求抛物线L 对应的函数表达式；
1
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L 上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q 坐标．
1
【答案】（1）抛物线 对应的函数表达式为 ；（2）点 的坐标为 或 或
或 ；（3）点 坐标为 或 .
【解析】
【分析】
（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；
（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），分两种情况讨论：AC为平行四边形的一条边，AC为平行四边形的一条
对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线 中，列出方程求得解便可；
（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在
CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，设
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 24点P坐标为（x， ），点R坐标为（x， ），证明 PSC∽△RTC，由相似比得到x+x＝
1 2 1 2
△
4，进而得tan∠PRH的值，过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m， ），由tan∠QOK
＝tan∠PRH，移出m的方程，求得m便可．
【详解】（1）将 代入 ，得 ，故点 的坐标为 .
将 代入 ，
得 ，解得 .
所以抛物线 对应的函数表达式为 .
（2）设点 的坐标为 .
第一种情况： 为平行四边形的一条边.
①当点 在点 右侧时，则点 的坐标为 .
将 代入 ，得
，
整理得 ，解得 .
因为 时，点 与点 重合，不符合题意，所以舍去，
此时点 的坐标为 .
②当点 在点 左侧时，则点 的坐标为 .
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 25将 代入 ，得
，
整理得 ，解得 .
此时点 的坐标为 或 .
第二种情况：当 为平行四边形的一条对角线时.
由 的中点坐标为 ，得 的中点坐标为 ，
故点 的坐标为 .
将 代入 ，得
，
整理得 ，解得 .
因为 时，点 与点 重合，不符合题意，所以舍去，
此时点 的坐标为 .
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 .
（3）当点 在 轴左侧时，抛物线 不存在动点 使得 平分 .
当点 在 轴右侧时，不妨设点 在 的上方，点 在 的下方，
过点 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 26过点 作 ，垂足为 ，则有 .
由 平分 ，得 ，则 ，
故 ，所以 .
设点 坐标为 ，
点 坐标为 ，
所以有 ，
整理得 .
在 中， .
过点 作 轴，垂足为 .设点 坐标为 .
若 ，则需 .所以 .
所以 .解得 .
所以点 坐标为 或 .
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 27【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，解直角三角
形的应用，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，动点问题探究，突破第（2）题的方法是分情况讨论；
突破第（3）的方法是作直角三角形，构造相似三角形，用相似三角形的相似比列方程．
27.问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN
分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．
问题探究：在“问题情境”的基础上，
（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF
的度数；
（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将 APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．
若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值． △
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着
MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 28分别为G、H．若AG＝ ，请直接写出FH的长．
【答案】问题情境： .理由见解析；问题探究：（1） ；（2） 的最小值为 ；问
题拓展： .
【解析】
【分析】
问题情境：过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，证出四边形MBFN为平行四边形，得出NF＝MB，
证明 ABE≌△BCF得出BE＝CF，即可得出结论；
问题△探究：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，证出 DHQ是等腰直角三角形，HD＝
HQ，AH＝QI，证明Rt AHQ≌Rt QIE得出∠AQH＝∠QEI，得出 AQE是△等腰直角三角形，得出∠EAQ＝
∠AEQ＝45°，即可得出△结论； △ △
（2）连接AC交BD于点O，则 APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；
设点P与点O重合时，则点P′△的落点为O′，由等腰直角三角形的性质得出∠ODA＝∠ADO′＝45°，当点P在
线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，证明
APB≌△CPB得出∠BAP＝∠BCP，证明Rt PGN≌Rt NHP'得出PG＝NH，GN＝P'H，由正方形的性质得
△出∠PDG＝45°，易得出PG＝GD，得出GN＝D△H，DH＝P△'H，得出∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，点P'在线段
DO'上运动；过点S作SK⊥DO'，垂足为K，即可得出结果；
问题拓展：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，则EG＝AG＝ ，PH＝FH，得出
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 29AE＝5，由勾股定理得出BE＝ ＝3，得出CE＝BC﹣BE＝1，证明 ABE∽△QCE，得出QE＝
△
AE＝ ，AQ＝AE+QE＝ ，证明 AGM∽△ABE，得出AM＝ ，由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，
△
∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，求出B'M＝ ，AC'＝1，证明 AFC'∽△MAB'，得出
△
AF＝ ，证明 DFP∽△DAQ，得出FP＝ ，得出FH＝FP＝ ．
△
【详解】问题情境：因为四边形 是正方形，
所以 .
过点 作 分别交 于点 .
所以四边形 为平行四边形.
所以 .所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 . ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
问题探究：
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 30（1）连接 ，过点 作 ，分别交 于点 .易得四边形 矩形.
所以 且 .
因为 是正方形 的对角线，所以 .
所以 是等腰直角三角形， .所以 .
因为 是 的垂直平分线，所以 .
所以 .所以 .
所以 .所以 .
所以 是等腰直角三角形， ，即 .
（2）如图所示，连接 交 于点 ，由题意易得 的直角顶点 在 上运动.
设点 与点 重合，则点 与点 重合；
设 与点 重合，则点 的落点为 .易知 .
当点 在线段 上运动时，
过点 作 的垂线，垂足为 ，
过点 作 ，垂足为点 .
易证： ，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 31所以 ，
因为 是正方形 的对角线，
所以 ，易得 ，所以 .
所以 .
所以 ，故 .
所以点 在线段 上运动.
过点 作 ，垂足为 ，因为点 为 的中点，
所以 ，则 的最小值为 .
问题拓展：
解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 32则EG＝AG＝ ，PH＝FH，
∴AE＝5，
在Rt△ABE中，BE＝ ＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，
∴△ABE∽△QCE，
∴
∵AG⊥MN，
∴∠AGM＝90°＝∠B，
∵∠MAG＝∠EAB，
∴△AGM∽△ABE，
∴ ，即 ，
解得： ，
由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 33∴B'M＝ ，
∵∠BAD＝90°，
∴∠B'AM＝∠C'FA，
∴△AFC'∽△MAB'，
∴ ，
解得：
∵AG⊥MN，FH⊥MN，
∴AG∥FH，
∴AQ∥FP，
∴△DFP∽△DAQ，
∴ ，即 ，
解得：FP＝ ，
∴FH＝ ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定
与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明
三角形全等和三角形相似是解题的关键．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 34汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 35汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 36
