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江苏省常州市 2014 年中考数学试卷
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。）
1.（2014江苏省常州市，1，2分） 的相反数是（ ）
A. B. C.－2 D.2
【答案】A
2. （2014江苏省常州市，2，2分）下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3. （2014江苏省常州市，3，2分）下列立体图形中,侧面展开图是扇形的是（ ）
【答案】B
4. （2014江苏省常州市，4，分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环,方差分别
为 =0.56, =0.60, =0.50, =0.45,则成绩最稳定的是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】D
5. （2014江苏省常州市，5，2分）已知两圆半径分别为3 ,5 ,圆心距为7 ,则这两圆的位置关系为（
）
A. 相交 B.外切 C.内切 D.外离
【答案】A
6. （2014江苏省常州市，6，2分）已知反比例函数 的图像经过P（－1,2）,则这个函数的图像位于
（ ）
A.第二,三象限 B.第一,三象限 C.第三,四象限 D.第二,四象限
【答案】D
7. （2014江苏省常州市，7，分）甲,乙两人以相同路线前往距离单位10 的培训中心参加学习.图中 , 分别表示甲,乙两人前往目的地所走的路程 随时间(分)变化的函数图象.以下说法:①乙比甲提前12分钟到达;②
甲的平均速度为15千米/小时;③乙走了8 后遇到甲;④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有(
)
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
【答案】B
8（. 2014江苏省常州市，8，分）在平面直角坐标系 中，直线经过点A（－3，0），点B（0， ），点P的坐标为
（1，0），与 轴相切于点O，若将⊙P沿 轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交
时，横坐标为整数的点P′共有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
9.（2014江苏省常州市，9，4分）计算: = , = , = , = .
【答案】1，－4，9，－2
10.（2014江苏省常州市，10，2分）已知P（1,－2）,则点P关于 轴的对称点的坐标是 .
【答案】（1,2）
11.（2014江苏省常州市，11，2分）若∠ =30°,则∠ 的余角等于 度, 的值为 .
【答案】60°，
12. （2014江苏省常州市，12，2分）已知扇形的半径为3 ,此扇形的弧长是 ,则此扇形的圆心角等于
度,扇形的面积是 .(结果保留 )
【答案】120，3
13. （2014江苏省常州市，13，2分）已知反比例函数 ,则自变量 的取值范围是 ;若式子 的
值为0,则 =
【答案】 ≠0，3
14. （2014江苏省常州市，14，2分）已知关于 的方程 的一个根是1,则 = ,另一个根为
.
【答案】2，2
15. （2014江苏省常州市，15，2分）因式分解: = .
【答案】16. （2014江苏省常州市，16，2分）在平面直角坐标系 中,一次函数 的图像与函数
的图像相交于点A,B,设点A的坐标为（ , ）,那么长为 ,宽为 的矩形的面积为 ,周长为 .
【答案】6，20
17（. 2014江苏省常州市，17，2分）在平面直角坐标系 中,已知一次函数 的图像经过点P（1,1）,与
轴交于点A,与 轴交于点B,且 ∠ABO=3,那么A点的坐标是 .
【答案】（－2，0）或（4，0）
三、解答题（本大题共2小题，满分18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.（2014江苏省常州市，18，8分）计算与化简:
[来源:学.科.网]
（1）
解：原式=2－1+2=－1
（2）
解：原式=
【答案】
19. （2014江苏省常州市，19，10分）解不等式组和分式方程:
（1）
（2）
【答案】解：（1）解不等式①，得：
解不等式②，得：
∴不等式组的解集为：
（2）
四.解答题:
20. （2014江苏省常州市，20，7分）为迎接“六一”儿童节的到来,某校学生参加献爱心捐款活动,随机抽取该校部
分学生的捐款数进行统计分析,相应数据的统计图如下:
（1）该校本的容量是 ,样本中捐款15元的学生有 人;
（2）若该校一共有500名学生,据此样本估计该校学生的捐款总数.【答案】（1）50，10；
（2）平均每人的捐款数为： ，9．5×500=4750（元）
21（. 2014江苏省常州市，21，8分）一只不透明的箱子里共有3个球,把它们的分别编号为1,2,3,这些球除编号不同
外其余都相同.
（1）从箱子中随机摸出一个球,求摸出的球是编号为1的球的概率;
（2）从箱子中随机摸出一个球,记录下编号后将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球并记录下编号,求两次摸出的球都
是编号为3的球的概率.
【答案】解：（1）从箱子中随机摸出一个球,摸出的球是编号为1的球的概率为： ；
（2）画树状图如下：
共有9种可能的结果，两次摸出的球都是编号为3的球的概率为 .
五.解答题（本大题共2小题,共12分,请在答题卡指定区域内作答,解答应写出证明过程）
22.（2014江苏省常州市，22，5分）已知：如图,点C为AB中点,CD=BE,CD∥BE.求证:△ACD≌△CBE.
【答案】证明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B
[来源:学科网]
∵点C为AB中点,∴AC=CB
又∵CD=BE, ∴△ACD≌△CBE（S.A.S.）.
23. （2014江苏省常州市，23，7分）已知:如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,连接
DE,DF,BE,BF.四边形DEBF为平行四边形.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【答案】证明：连结BD交AC于点O∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD=OB，OE=OF，
∵AF=CE,∴AF－EF=CE－EF，即AE=CF，∴AE＋OE=CF＋OF，即OA=OC
∴四边形ABCD是平行四边形.
六.画图与应用（本大题共2小题,请在答题卡指定区域内作答,共14分）
24. （2014江苏省常州市，24，7分）在平面直角坐标系 中,如图,已知 △DOE,∠DOE=90°,OD=3,点D在 轴
上,点E在 轴上,在△ABC中,点A,C在 轴上,AC=5. ∠ACB+∠ODE=180°, ∠ABC=∠OED,BC=DE.按下列要求画
图（保留作图痕迹）:
（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M,点E的对应点为点N）,画出
△OMN;
（2）将△ABC沿 轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A,B,C的对应点分别为点A′,B′,C′）,使得B′C′与
（1）中的 △OMN的边NM重合;
（3）求OE的长.
【答案】解：（1）、（2）画图如下：
（3）解：设OE= ，则ON= ，作MF⊥A′B′于点F，
由作图可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O B′，∴B′F= B′O=OE= ，F C′=O C′=OD=3，
∵A′C′=AC=5，∴A′F= ，∴A′B′= ＋4，A′O=5+3=8，
∴ ，解得： ，∴OE=6.25. （2014江苏省常州市，25，7分）某小商场以每件20元的价格购进一种服装,先试销一周,试销期间每天的销量
（件）与每件的销售价 （元/件）如下表所示:
假定试销中每天的销售号 (件)与销售价 （元/件）之间满足一次函数.
（1）试求与 之间的函数关系式;
（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下,每件服装的销售定价为多少时,该小商场销售这种服装每天获得的
毛利润最大?每天的最大毛利润是多少?（注:每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价－每件服装的进货价）
[来源:学科网ZXXK]
【答案】解：（1）设与 之间的函数关系式为： ，因为其经过（38，4）和（36，8）两点，∴
，解得： ，故 .
（2）设每天的毛利润为 元，每件服装销售的毛利润为（ －20）元，每天售出（80－2 ）件，则
= ，当 =30时，获得的毛利润最大，最大毛利润
为200元.
26. （2014江苏省常州市，26，8分）我们用 表示不大于 的最大整数,例如: , , ;用
表示大于 的最小整数,例如: , , .解决下列问题:
（1） = , = .
（2）若 =2,则 的取值范围是 ;若 =－1,则 的取值范围是 .
（3）已知 , 满足方程组 ,求 , 的取值范围.
【答案】解：（1）－5，4；
（2）∵ =2,∴则 的取值范围是 ；∵ =－1,∴ 的取值范围是 .
（3） ，解之得： ，∴ , 的取值范围分别为 ， .
27. （2014江苏省常州市，27，10分）在平面直角坐标系 中,二次函数 的图像与 轴交于
点 A,B（点 B 在点 A 的左侧）,与 轴交于点 C.过动点 H（0, ）作平行于 轴的直线,直线与二次函数的图像相交于点D,E.
（1）写出点A,点B的坐标;
（2）若 ,以DE为直径作⊙Q,当⊙Q与 轴相切时,求 的值;
（3）直线上是否存在一点F,使得△ACF是等腰直角三角形?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】解：（1）当 =0时，有 ，解之得： ， ，∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（－
1，0）.
（2）∵⊙Q与 轴相切，且与 交于D、E两点，
∴圆心O位于直线与抛物线对称轴的交点处，且⊙Q的半径为H点的纵坐标 （ ）
∵抛物线的对称轴为 ，
∴D、E两点的坐标分别为：（ － ， ），（ ＋ ， ）且均在二次函数 的图像上，
∵ ，解得 或 （不合题意，舍去）
（3）存在.
[来源:Z|xx|k.Com]
①当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥ 轴于G，∴∠AOC=∠CGF=90°，
∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG，∴△ACO≌△∠CFG，∴CG=AO=4，
∵CO=2，∴ =OG=2+4=6；
②当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥ 轴于P，∴∠AOC=∠APF=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP，∴△ACO≌△∠FAP，∴FP =AO=4，
∴ =FP =4；
③当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时 =3或 =128（. 2014江苏省常州市，28，10分）在平面直角坐标系 中,点M（ , ）,以点M为圆心,OM长为半径作⊙M
. 使⊙M与直线OM的另一交点为点B,与 轴, 轴的另一交点分别为点D,A（如图）,连接AM.点P是 上的动
点.
（1）写出∠AMB的度数;
（2）点Q在射线OP上,且OP·OQ=20,过点Q作QC垂直于直线OM,垂足为C,直线QC交 轴于点E.
①当动点P与点B重合时,求点E的坐标;
②连接QD,设点Q的纵坐标为,△QOD的面积为S.求S与的函数关系式及S的取值范围.
【答案】解：（1）90°；
（2）①由题意，易知：OM=2，OD=2 ，∴OB=4，
当动点P与点B重合时,∵OP·OQ=20，∴OQ=5，
∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=5 ，∴E点坐标为（5 ，0）
②∵OD=2 ，Q的纵坐标为,∴S= .
当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥ 轴，垂足为F点，∵OP=4，OP·OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴= ，此时S= ；
当动点P与A点重合时，Q点在 轴上，∴OP=2 ，∵ OP·OQ=20，∴ =OQ=5 ，此时S= ；
∴S的取值范围为 .
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
