2022 年江苏南通初中学业水平考试
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,
恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置
上.)
1.(2022江苏南通,1,3分)若气温零上2 ℃记作+2 ℃,则气温零下3 ℃记作 (
)
A.-3 ℃ B.-1 ℃ C.+1 ℃D.+5 ℃
2.(2022江苏南通,2,3分)下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中,
可看作轴对称图形的是 ( )
A B
C D
3.(2022江苏南通,3,3分)沪渝蓉高铁是国家中长期铁路网规划“八纵八横”之
沿江高铁通道的主通道,其中南通段总投资约39 000 000 000元,将39 000 000
000用科学记数法表示为 ( )
A.3.9×1011 B.0.39×1011
C.3.9×1010 D.39×109
4.(2022江苏南通,4,3分)用一根小木棒与两根长分别为3 cm,6 cm的小木棒组
成三角形,则这根小木棒的长度可以为 ( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
5.(2022江苏南通,5,3分)如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形,则它的
主视图为 ( )
A B
C D6.(2022江苏南通,6,3分)李师傅家的超市今年1月盈利3 000元,3月盈利3
630元.若从1月到3月,每月盈利的平均增长率都相同,则这个平均增长率是 (
)
A.10.5%B.10% C.20% D.21%
7.(2022江苏南通,7,3分)如图,a∥b,∠3=80°,∠1-∠2=20°,则∠1的度数是
( )
A.30° B.40° C.50° D.80°
8.(2022江苏南通,8,3分)根据图象,可得关于x的不等式kx>-x+3的解集是 (
)
A.x<2 B.x>2
C.x<1 D.x>1
9.(2022江苏南通,9,3分)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点
O,AC⊥BC,BC=4,∠ABC=60°.若EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E,F,设
BE=x,OE2=y,则y关于x的函数图象大致为 ( )
A BC D
10.(2022江苏南通,10,3分)已知实数m,n满足m2+n2=2+mn,则(2m-3n)2+
(m+2n)(m-2n)的最大值为 ( )
44 16
A.24 B. C. D.-4
3 3
二、填空题(本大题共8小题,第11~12题每小题3分,第13~18题每小题4分,
共30分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11.(2022江苏南通,11,3分)为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作
业的时间情况,比较适合的调查方式是 (填 “全面调查”或“抽样调
查”).
2
12.(2022江苏南通,12,3分)分式 有意义,则x应满足的条件是 .
x-2
13.(2022江苏南通,13,4分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足
四十五;人出七,余三,问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每
人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,多余3钱.问人数、羊价各是多少?若设人数
为x,则可列方程为 .
14.(2022江苏南通,14,4分)如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,
要使△ABC≌△DEF,只需添加一个条件,则这个条件可以是 .
15.(2022江苏南通,15,4分)根据物理学规律,如果不考虑空气阻力,以40 m/s
的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行
时间t(单位:s)之间的函数关系是h=-5t2+20t,当飞行时间t为 s时,小
球达到最高点.
16.(2022江苏南通,16,4分)如图,B为地面上一点,测得B到树底部C的距离为
10 m,在B处放置1 m高的测角仪BD,测得树顶A的仰角为60°,则树高AC为
m(结果保留根号).17.(2022江苏南通,17,4分)平面直角坐标系xOy中,已知点
k
A(m,6m),B(3m,2n) ,C(-3m,-2n)是函数y= (k≠0)图象上的三点.若
x
S =2,则k的值为 .
△ABC
18.(2022江苏南通,18,4分)如图,点O是正方形ABCD的中心,AB=3√2.Rt△BEF
中,∠BEF=90°,EF过点D,BE,BF分别交AD,CD于点G,M,连接OE,OM,EM.若
1
BG=DF,tan∠ABG= ,则△OEM的周长为 .
3
三、解答题(本大题共8小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤)
2a a-2 a
19.(2022江苏南通,19,12分)(1)计算: · + ;
a2-4 a a+2
{2x-1>x+1,
(2)解不等式组:
4x-1≥x+8.
20.(2022江苏南通,20,10分)为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的
天数情况,A,B两个县区分别随机抽查了200名八年级学生,根据调查结果绘制
了统计图表,部分图表如下:
A县区统计图
A,B两个县区的统计表
众
平均数 中位数
数A县区 3.85 3 3
B县区 3.85 4 2.5
(1)若A县区八年级共有约5 000名学生,估计该县区八年级学生参加社会实践
活动不少于3天的学生为 名;
(2)请对A,B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较,作出
判断,并说明理由.
21.(2022江苏南通,21,10分)【阅读材料】
老师的问题:
已知:如图,AE∥BF.
求作:菱形 ABCD,使点 C,D 分别在
BF,AE上.
小明的作法:
(1)以A为圆心,AB长为半径画弧,交AE
于点D;
(2)以B为圆心,AB长为半径画弧,交BF
于点C;
(3)连接CD.
四边形ABCD就是所求作的菱形.
【解答问题】
请根据材料中的信息,证明四边形ABCD是菱形.
22.(2022江苏南通,22,10分)不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个,这
些球除颜色外无其他差别.
(1)从袋子中随机摸出一个球,摸到蓝球的概率是 ;
(2)从袋子中随机摸出一个球后,放回并摇匀,再随机摸出一个球.求两次摸到的
球的颜色为“一红一黄”的概率.
23.(2022江苏南通,23,10分)如图,四边形ABCD内接于☉O,BD为☉O的直径,
AC平分∠BAD,CD=2√2,点E在BC的延长线上,连接DE.
(1)求直径BD的长;
(2)若BE=5√2,计算图中阴影部分的面积.24.(2022江苏南通,24,12分)某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/
kg、12元/kg,这两种苹果的销售额y(单位:元)与销售量x(单位:kg)之间的关系
如图所示.
(1)写出图中点B表示的实际意义;
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y(单位:元)与销售量x(单位:kg)之间的函数
解析式,并写出x的取值范围;
(3)若不计损耗等因素,当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时,它们的利润和
为1 500元.求a的值.
25.(2022江苏南通,25,13分)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点E在折线
BCD上运动,将AE绕点A顺时针旋转得到AF,旋转角等于∠BAC,连接CF.
(1)当点E在BC上时,作FM⊥AC,垂足为M,求证AM=AB;
(2)当AE=3√2时,求CF的长;
(3)连接DF,点E从点B运动到点D的过程中,试探究DF的最小值.
备用图
26.(2022江苏南通,26,13分)定义:函数图象上到两坐标轴的距离都不大于
n(n≥0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”.例如,点(1 1)是函数y=x图象
,
3 3
1 2
的“ 阶方点”;点(2,1)是函数y= 图象的“2阶方点”.
2 x(1)在①( 1) ;②(-1,-1);③(1,1)三点中,是反比例函数y=1图象的“1阶
-2,-
2 x
方点”的有 (填序号);
(2)若y关于x的一次函数y=ax-3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个,求a的
值;
(3)若y关于x的二次函数y=-(x-n)2-2n+1图象的“n阶方点”一定存在,请直
接写出n的取值范围.2022 年江苏南通初中学业水平考试
1.考点:实数的相关概念
A 根据正负数的意义,气温零下3 ℃记作-3 ℃,故选A.
2.考点:图形的轴对称
D
3.考点:科学记数法
C 39 000 000 000=3.9×1010,故选C.
4.考点:三角形的相关概念
D 设小木棒的长度为x cm,根据三角形的三边关系可得6-3<x<6+3,即3<x<9,选项D符合题
意.
5.考点:三视图
A
6.考点:一元二次方程的应用
B 设从1月到3月每月盈利的平均增长率为x,
∵1月盈利3 000元,∴2月的盈利为3 000(1+x),3月的盈利为3 000(1+x)2,根据3月的盈利为
3 630元,可得3 000(1+x)2=3 630.解得x=0.1或x=-2.1(舍去),故选B.
7.考点:相交线和平行线
C 如图.∵a∥b,∴∠1=∠4.∵∠3=80°,∴∠2+∠4=80°,∴∠2+∠1=80°.
∵∠1-∠2=20°,∴∠1=50°,故选C.
8.考点:一次函数与方程、不等式之间的联系
D 观察题图可知当x>1时,直线y=kx在直线y=-x+3的上方,即kx>-x+3.所以不等式kx>-x+3
的解集为x>1.故选D.
9.考点:函数图象的识别
BC
C ∵∠ABC=60°,BC=4,AC⊥BC,∴AC=BC·tan 60°=4√3,AB= =8.
cos60°
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC=2√3.
∴OB= = =2 .
√BC2+OC2 √42+(2√3) 2 √7
过O作OE'⊥AB于点E',则△AOE'∽△ABC,
OE' OA OE' 2√3
∴ = ,∴ = ,
BC AB 4 8
∴OE'=√3,OE'2=3.在点E从点B到点A的移动过程中,OE2的变化为28→3→12,故排除选项
B,D.
AE' OA
∵△AOE'∽△ABC,∴ = ,
AC AB
AE' 2√3
∴ = ,∴AE'=3,∴BE'=8-3=5.
4√3 8
在Rt△OEE'中,OE2=OE'2+EE'2,∴y=(√3)2+(5-x)2=x2-10x+28,函数图象为抛物线,故选C.10.考点:乘法公式
B (2m-3n)2+(m+2n)(m-2n)
=4m2-12mn+9n2+m2-4n2
=5m2-12mn+5n2
=5(m2+n2)-12mn.
∵m2+n2=2+mn,
∴原式=5(2+mn)-12mn=10-7mn.
∵m2+n2=2+mn,
∴m2+n2+2mn=2+3mn,
即(m+n)2=2+3mn.∵(m+n)2≥0,
2
∴2+3mn≥0,∴mn≥- .
3
∴当mn=-2时,10-7mn有最大值,最大值为10-7×( 2)=44.
-
3 3 3
故选B.
11.考点:调查方式
答案 抽样调查
解析 调查全国中小学生完成课后作业的时间情况,调查范围广,工作量巨大,不适合采用全面调
查,适合采用抽样调查.
12.考点:分式的有关概念与基本性质
答案 x≠2
解析 分式有意义,则分母的值不能为0,即x-2≠0,所以x≠2.
13.考点:一元一次方程及其应用
答案 5x+45=7x-3
解析 设人数为x,根据“若每人出5钱,还差45钱”可得羊价为5x+45.根据“若每人出7钱,
多余3钱”可得羊价为7x-3.故可列方程为5x+45=7x-3.
14.考点:全等三角形的判定
答案 AB=DE(答案不唯一)
解析 因为AB∥ED,AC∥FD,所以∠B=∠E,∠ACB=∠EFD.要使△ABC≌△DEF,需添加一组对
应边相等.若添加AB=DE,则根据AAS可判定△ABC≌△DEF.
15.考点:二次函数的应用
答案 2
解析 h=-5t2+20t=-5(t2-4t)=-5(t-2)2+20,当t=2 s时,小球达到最高点,此时h=20 m.
16.考点:锐角三角函数的应用
答案 (10√3+1)
解析 如图.∵∠ADE=60°,DE=BC=10 m,∴AE=DE·tan∠ADE=10·tan 60°=10√3
m.∵BD=CE=1 m,∴AC=AE+CE=(10√3+1)m.17.考点:反比例函数的图象与性质
3
答案
4
解析 不妨设m>0.如图.连接AO.
∵B(3m,2n),C(-3m,-2n),∴点B、点C关于原点对称,
∴OB=OC.∵S =2,∴S =1.
△ABC △AOB
k
∵点A(m,6m),B(3m,2n)在y= 的图象上,
x
∴k=m·6m=3m·2n,∴m=n,k=6m2.
过点A作y轴的垂线,过点B作x轴的垂线,垂足分别为E、F,直线AE与直线BF交于点D.
∴点E坐标为(0,6m),点D坐标为(3m,6m),点F坐标为(3m,0).
1
∵S =S -S -S -S =3m·6m-3m2-3m2- ·2m·(6m-2m)=8m2=1,
△AOB 矩形OFDE △AOE △BOF △ABD
2
1 3
∴m2= ,∴k=6m2= .
8 4
18.考点:(正方形)(直角三角形)(全等三角形)
答案 3+3√5
解析 如图,连接BD,过点F作FH⊥CD,垂足为点H.
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=3√2,∠A=90°,∴BD=6.
AG 1
∵tan∠ABG= = ,AB=3√2,
AB 3∴AG=√2,
∴BG= =2 .
√AB2+AG2 √5
∵∠ADC=90°,∴∠EDG+∠FDH=90°.
∵∠BEF=90°,
∴∠EGD+∠EDG=90°.∴∠EGD=∠FDH.又∵∠AGB=∠EGD,∴∠AGB=∠FDH.
∵∠BAG=∠DHF=90°,BG=DF,
∴△ABG≌△HFD(AAS),
∴AB=FH=3√2,AG=DH=√2.
∵FH⊥CD,BC⊥CD,∴FH∥BC,∴∠CBM=∠MFH,又∵∠C=∠FHM=90°,BC=FH=3√2,
∴△BCM≌△FHM,∴CM=HM=√2,BM=FM.
在Rt△BCM中,BM= =2 .
√BC2+CM2 √5
在Rt△BED中,OB=OD,
1
∴OE= BD=3.
2
在Rt△BEF中,BM=FM,
1
∴EM= BF=BM=2√5.
2
1
∵OB=OD,BM=FM,∴OM= DF=√5,
2
∴△OEM的周长=OE+OM+EM=3+√5+2√5=3+3√5.
19.考点:
2a a-2 a
解析 (1)原式= · +
(a-2)(a+2) a a+2
2 a
= +
a+2 a+2
=1.
(2)解不等式①,得x>2.
解不等式②,得x≥3.
∴不等式组的解集为x≥3.
20.考点:
解析 (1) 3 750.
(2)答案不唯一,如:
从A,B两个县区抽查的八年级学生社会实践活动的天数的平均数看,因为两个县区平均数相同,
所以两个县区一样好.
从A,B两个县区抽查的八年级学生社会实践活动的天数的中位数看,因为A县区的中位数高于B
县区,所以A县区更好.
从A,B两个县区抽查的八年级学生社会实践活动的天数的众数看,因为B县区的众数高于A县
区,所以B县区更好.
21.考点:
证明 ∵AD=AB,BC=AB,
∴AD=BC.
∵AE∥BF,∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD=AB,
∴四边形ABCD是菱形.
22.考点:
1
解析 (1) .
3
(2)根据题意,可以画出如下的树状图:
由树状图知,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等.
两次摸到的球的颜色为“一红一黄”(记为事件A)的结果有2种,
2
∴P(A)= .
9
23.考点:
解析 (1)连接OC,
∵BD为☉O的直径,
∴∠BCD=∠BAD=90°.
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=45°.
∴∠BOC=∠DOC=90°.
∴B´C=D´C,
BC=DC=2√2.
在Rt△BCD中,
BD= = =4.
√CD2+BC2 √8+8
(2)解法一:如图,记两阴影部分面积分别为S,S,弦DC与D´C围成的图形的面积为S.
1 2 3
∵∠BOC=∠DOC=90°,OB=OD,
∴S =S ,S =S .∴S -S =S -S ,即S=S.
扇形OBC 扇形OCD △OBC △OCD 扇形OBC △OBC 扇形OCD △OCD 1 3
∵BE=5√2,BC=2√2,
∴CE=BE-BC=3√2.
∵∠DCE=∠BCD=90°,
1 1
∴S
△CDE
= CD·CE= ×2√2×3√2=6.
2 2
∴S =S+S=S+S=S =6.
阴影 1 2 3 2 △CDE
解法二:如图,记两阴影部分面积分别为S,S,弦DC与D´C围成的图形的面积为S.
1 2 3
∵BD=4,∴OB=OC=OD=2.
∵∠BOC=∠DOC=90°,
90π×22
∴S =S = =π,
扇形OBC 扇形OCD
360
S =S =2.
△OBC △OCD
∴S=S -S =π-2,S=S -S =π-2.
1 扇形OBC △OBC 3 扇形OCD △OCD
∵BE=5√2,BC=2√2,
∴CE=BE-BC=3√2.
∵∠DCE=∠BCD=90°,
1 1
∴S
△DCE
= CD·CE= ×2√2×3√2=6.
2 2
∴S=S -S=6-(π-2)=8-π.
2 △CDE 3
∴S =S+S=π-2+8-π=6.
阴影 1 2
24.考点:
解析 (1)两种苹果销售量都是60 kg时,销售额相同,均为1 200元.
(2)设甲种苹果销售额y 与销售量x之间的函数解析式为y =kx(k≠0).
甲 甲 1 1
∵y =kx的图象过点(60,1 200).
甲 1
∴60k= 1 200.解得k=20.
1 1
∴甲种苹果销售额y 与销售量x的函数解析式为y =20x(0≤x≤120).
甲 甲
当0≤x≤30时,
设乙种苹果销售额y 与销售量x之间的函数解析式为y =kx(k≠0).
乙 乙 2 2
∵y =kx的图象过点(30,750),
乙 2
∴30k=750.解得k=25.
2 2
∴y =25x(0≤x≤30).
乙
当30<x≤120时,
设乙种苹果销售额y 与销售量x之间的函数解析式为y =kx+b(k≠0).
乙 乙 3 3
∵y =kx+b的图象过点(30,750),(60,1 200),
乙 3
∴{ 30k
3
+b=750, 解得{k
3
=15,
60k +b=1 200. b=300.
3
∴y =15x+300(30<x≤120).
乙
∴乙种苹果销售额y 与销售量x之间的函数解析式为
乙
y ={ 25x(0≤x≤30),
乙
15x+300(30<x≤120).
(3)①当0≤a≤30时,由题意得20a-8a+25a-12a=1 500.
解得a=60.不合题意,舍去,
②当30<a≤120时,由题意得20a-8a+15a+300-12a=1 500.
解得a=80.
∴a的值为80.
25.考点:
解析 (1)证明:由旋转的性质得AF=AE,∠EAF=∠BAC,
∴∠MAF=∠BAE.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°.∵FM⊥AC,
∴∠AMF=∠B=90°.
∴△AMF≌△ABE.
∴AM=AB.
(2)①如图,当E在BC上时,过点F作FM⊥AC于点M.
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=3.
在Rt△ABC中,AC= =5.
√AB2+BC2
由(1)可知△AMF≌△ABE,
∴AM=AB=4.∴MC=AC-AM=1.
在Rt△AMF中,MF= = .
√AF2-AM2 √2
在Rt△CMF中,CF= = .
√M F2+MC2 √3
②如图,当E在CD上时,过点F作FM⊥AC于M,
∴∠AMF=∠CMF=∠D=90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD.∴∠BAE=∠AED.
由旋转的性质得,AF=AE,∠EAF=∠BAC,
∴∠BAE=∠MAF=∠AED.
∴△FAM≌△AED,∴FM=AD=3.
在Rt△AMF中,AM= =3.
√AF2-FM2
∴CM=AC-AM=2.
在Rt△CMF中,CF= = .
√CM2+FM2 √13
综上所述,CF的长为√3或√13.
(3)过点F作FM⊥AC于点M.
①如图,当E在BC上时,由(2)中①知,点F在过点M与AC垂直的线段PM上,且PM=3,当DF⊥PM时,FM<3,点F在线
段PM上,此时DF的值最小.
∵∠CMN=∠CDA=90°,
CM CD 4
∴cos∠MCN= = = .
CN CA 5
5 5 11
∴CN= CM= .∴DN=CD-CN= .
4 4 4
∵∠CMN=∠DFN=90°,∠CNM=∠DNF,
∴sin∠CNM=sin∠DNF.
CM DF 4
∴ = = ,
CN DN 5
4 11
∴DF= DN= .
5 5
②如图,当E在CD上时,
由(2)中②知,点F在AC下方且到AC的距离等于3的线段PQ上,当M,D,F三点共线时,DF的
值最小.
∵∠AMD=∠ADC=90°,
DM CD 4
∴sin∠DAM= = = .
AD CA 5
4 12
∴DM= AD= .
5 5
3
∴DF=FM-DM= .
5
3
综上所述,DF的最小值为 .
5
26.考点:
解析 (1)②③.
(2)根据定义得,函数图象的“2阶方点”落在以(2,2),(-2,2),(-2,-2),(2,-2)为顶点的正方形
区域(含边界)内.
∵y=ax-3a+1=a(x-3)+1,∴一次函数y=ax-3a+1的图象过定点(3,1).
①当函数y=ax-3a+1的图象过(2,2)时,其“2阶方点”有且只有一个,
∴2a-3a+1=2.
∴a=-1.
②当函数y=ax-3a+1的图象过(2,-2)时,其“2阶方点”有且只有一个,
∴2a-3a+1=-2.
∴a=3.
∴a的值为-1或3.
1
(3) ≤n≤1.
4
详解:根据定义得,函数图象的“n阶方点”落在以(n,n),(-n,n),(-n,-n),(n,-n)为顶点的正
方形区域(含边界)内.
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当二次函数y=-(x-n)2-2n+1的图象经过点(-n,n)时,-(-n-n)2-2n+1=n,解得n=-1(舍)或n=
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当二次函数y=-(x-n)2-2n+1的图象经过点(n,-n)时,-2n+1=-n,解得n=1.
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∴当二次函数y=-(x-n)2-2n+1图象的“n阶方点”一定存在时,n的取值范围为 ≤n≤1.
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