2022 年常德市初中学业水平考试
一、选择题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)
33
1.(2022湖南常德,1,3分)在 ,√3,-√38,π,2 022这五个数中,无理数的个数为
17
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2022湖南常德,2,3分)国际数学家大会每四年举行一届,下面四届国际数学
家大会会标中是中心对称图形的是 ( )
A B
C D
3.(2022湖南常德,3,3分)计算x4·4x3的结果是 ( )
A.xB.4xC.4x7 D.x11
4.(2022湖南常德,4,3分)下列说法正确的是 ( )
A.为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势,采用扇形统计图最合适
B.“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C.一组数据的中位数可能有两个
D.为了解我省中学生的睡眠情况,应采用抽样调查的方式
5.(2022湖南常德,5,3分)从1,2,3,4,5这五个数中任选两个数,其和为偶数的
概率为 ( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
6.(2022湖南常德,6,3分)关于x的一元二次方程x2-4x+k=0无实数解,则k的取
值范围是 ( )
A.k>4 B.k<4 C.k<-4 D.k>1
7.(2022湖南常德,7,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将
△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别是D,E,点F是边
AC的中点,连接BF,BE,FD,FD与CE交于点G.则下列结论错误的是 ( )A.BE=BC B.BF∥DE,BF=DE
C.∠DFC=90° D.DG=3GF
8.(2022湖南常德,8,3分)我们发现:√6+3=3,√6+√6+3=3,√6+√6+√6+3
⏟ √ 6+√ 6+√6+…+√6+√6+3
=3,……, =3,一般地,对于正整数a,b,如果满足
n个根号
⏟ √ b+√ b+√b+…+√b+√b+a =a,那么称(a,b)为一组完美方根数对.如上面(3,6)
n个根号
是一组完美方根数对.则下面4个结论:①(4,12)是完美方根数对;②(9,91)是完
美方根数对;③若(a,380)是完美方根数对,则a=20;④若(x,y)是完美方根数对,
则点P(x,y)在抛物线y=x2-x上.其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)
9.(2022湖南常德,9,3分)|-6|= .
10.(2022湖南常德,10,3分)分解因式:x3-9xy2= .
x
11.(2022湖南常德,11,3分)要使代数式 有意义,则x的取值范围为
√x-4
.
2 1 5
12.(2022湖南常德,12,3分)方程 + = 的解为 .
x x(x-2) 2x
13.(2022湖南常德,13,3分)如图是一个正方体的展开图,将它拼成正方体后,
“神”字对面的字是 .
神
十四六
月五
14.(2022湖南常德,14,3分)今年4月23日是第27个世界读书日,某校举行了
演讲大赛,演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风
度”占10%、“整体效果”占10%进行计算,小芳这四项的得分依次为
85,88,92,90,则她的最后得分是 分.15.(2022湖南常德,15,3分)如图,已知F是△ABC内的一点,FD∥BC,FE∥AB,
1 1
若▱BDFE的面积为2,BD= BA,BE= BC,则△ABC的面积是 .
3 4
16.(2022湖南常德,16,3分)剪纸片:有一张长方形的纸片,用剪刀沿一条不过任
何顶点的直线将其剪成了2张纸片;从这2张中任选一张,再用剪刀沿一条不过
任何顶点的直线将其剪成了2张纸片,这样共有3张纸片;从这3张中任选一张,
再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片,这样共有4张纸片;
……;如此下去,若最后得到10张纸片,其中有1张五边形纸片,3张三角形纸片,5
张四边形纸片,则还有一张多边形纸片的边数为 .
三、(本大题2个小题,每小题5分,满分10分)
(1) -2
17.(2022湖南常德,17,5分)计算:30- sin30°+√8cos45°.
2
{5x-1>3x-4,
18.(2022湖南常德,18,5分)解不等式组 1 2
- x≤ -x.
3 3
四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)
(
a+3) a2-1
19.(2022湖南常德,19,6分)化简: a-1+ ÷ .
a+2 a+2
20.(2022湖南常德,20,6分)小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家,匀速行
1
驶需要4小时.某天,他们以平常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨,立即将车
2
速减少了20千米/小时,到达奶奶家时共用了5小时,问小强家到他奶奶家的距
离是多少千米?
五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分)
21.(2022湖南常德,21,7分)如图,已知正比例函数y=x与反比例函数y的图象
1 2
交于A(2,2),B两点.
(1)求y的解析式并直接写出y<y时x的取值范围;
2 1 2(2)以AB为一条对角线作菱形,它的周长为4√10,在此菱形的四条边中任选一条,
求其所在直线的解析式.
22.(2022湖南常德,22,7分)2020年7月,教育部印发的《大中小学劳动教育指
导纲要(试行)》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时,初中生平
均每周劳动时间不少于3小时.某初级中学为了解学生劳动教育的情况,从本校
学生中随机抽取了500名进行问卷调查.下图是根据此次调查结果得到的统计图.
请根据统计图回答下列问题:
(1)本次调查中,平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分
比为多少?
(2)若该校有2 000名学生,请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人;
(3)请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议.
六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)
23.(2022湖南常德,23,8分)第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20
日在北京举行,我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌,为祖国赢得
了荣誉,激起了国人对冰雪运动的热情.某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪
大跳台(如图1),它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.图2是
其示意图,已知:助滑坡道AF=50米,弧形跳台的跨度FG=7米,顶端E到BD的距离为40米,HG∥BC,∠AFH=40°,∠EFG=25°,∠ECB=36°.求此大跳台最高点A
距地面BD的距离是多少米(结果保留整数).
(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,sin 25°≈0.42,cos
25°≈0.91,tan 25°≈0.47,sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73)
图1
图2
24.(2022湖南常德,24,8分)如图,已知AB是☉O的直径,BC⊥AB于B,E是OA
上的一点,ED∥BC交☉O于D,OC∥AD,连接AC交ED于F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若AB=8,AE=1,求ED、EF的长.
七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)
25.(2022湖南常德,25,10分)如图,已知抛物线经过点O(0,0),A(5,5),且它的
对称轴为直线x=2.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限,当△OAB的面积为15
时,求B的坐标;
(3)在(2)的条件下,若P是抛物线上的动点,当PA-PB的值最大时,求P的坐标
以及PA-PB的最大值.26.(2022湖南常德,26,10分)在四边形ABCD中,∠BAD的平分线AF交BC于F,
延长AB到E使BE=FC,G是AF的中点,GE交BC于O,连接GD.
(1)当四边形ABCD是矩形时,如图1,求证:①GE=GD;②BO·GD=GO·FC;
(2)当四边形ABCD是平行四边形时,如图2,(1)中的结论都成立,请给出结论②
的证明.
图1
图22022 年常德市初中学业水平考试
1.
A 本题考查了实数中无理数的概念,初中范围内学习的无理数有:π、2π,开方开不尽的数的方
根,以及像0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数依次增加1)的数.注意:-√38=-2是有理数.
2.
B
3.
C 本题考查了单项式乘单项式,解答的关键是熟练掌握相应的运算法则.x4·4x3=4x4+3=4x7.故选C.
4.
D 本题考查了统计图的选择,随机事件,中位数,全面调查与抽样调查,熟练掌握这些数学概念
是解题的关键.
5.
B 本题考查的是随机事件概率的求法.如果一个事件有n种可能的结果,而且这些结果发生的可
m
能性相同,其中事件A包含m种结果,那么事件A发生的概率P(A)= .
n
列表如下:
12345
1 3456
23 567
345 78
4567 9
56789
8 2
由表可知,P(两数和为偶数)= = .故选B.
20 5
6.
A 本题考查了根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系:当
Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实
数根.
根据题意得 Δ=16-4k<0,解得k>4.故选A.
7.
D 本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,直角三角形的
性质等知识,灵活运用这些知识进行推理是解答本题的关键.
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,
∴∠BCE=60°,CB=CE,
∴△BCE是等边三角形,
∴BE=BC,故选项A正确;∵点F是边AC的中点,
1
∴CF=BF=AF= AC,
2
∵∠BCA=30°,
1
∴BA= AC,∠FCB=∠FBC=30°,
2
∴BF=AB=AF=CF,
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,
∴AB=DE,∠DEC=∠ABC=90°,
∴DE=BF,
延长BF交CE于点H,
则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°,
∴∠BHE=∠DEC,
∴BF∥ED,
故选项B正确;
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,
∴CA=CD,∠ACD=60°,
又∵AB=CF,∠A=60°,
∴△ABC≌△CFD(SAS),
∴∠CFD=∠ABC=90°,
故选项C正确;
在Rt△CFG中,∠FCG=30°,
∴CF=√3FG,
同理在Rt△CDF中,∠CDF=30°,
∴DF=√3CF,
∴DF=3GF,即DG=2GF,
故选项D错误.
8.
C ∵√12+4=4,√12+√12+4=4,……,
∴(4,12)是完美方根数对,∴①正确;
∵√91+9=10≠9,∴(9,91)不是完美方根数对,∴②不正确;
若(a,380)是完美方根数对,
则√380+a=a,即a2=380+a,
解得a=20或a=-19,
∵a是正整数,
∴a=20,∴③正确;
若(x,y)是完美方根数对,则√y+x=x,
∴y+x=x2,即y=x2-x,∴④正确.
故选C.
9.
答案 6
解析 此题考查了绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,
0的绝对值是0.
10.
答案 x(x+3y)(x-3y)
解析 此题考查了提公因式法和公式法分解因式,正确运用公式法分解因式是解题关键.
x3-9xy2=x(x2-9y2)=x(x+3y)(x-3y).
11.
答案 x>4
解析 由题意得x-4>0,
解得x>4,
故答案为x>4.
易错警示
本题易忽略x-4≠0而出错,注意当分母中含有字母时,字母的取值要使分母不等于
0.
12.
答案 x=4
解析 两边同乘2x(x-2)得4(x-2)+2=5(x-2),
所以x=4,
经检验,x=4是分式方程的解.
解后反思
解分式方程利用了转化的思想,将分式方程通过去分母化为一元一次方程,注意要检
验.
13.
答案 月
解析 根据“隔一相对,Z端对面”可知,“神”字对面的字是月.
解后反思
解决找正方体相对面的题目,一般有两种方法:(1)根据口诀“隔一相对,Z端对面”确定;
(2)动手操作,剪出题中模型进行拼接.14.
答案 87.4
解析 本题考查的是加权平均数的求法.本题易出现的错误是求85,88,92,90 这四个数的平均
数.
根据题意得85×40%+88×40%+92×10%+90×10%
=34+35.2+9.2+9=87.4(分).
15.
答案 12
解析 如图,分别过点A、D作△ABC的高AH,平行四边形BDFE中BE边上的高DG,则有
DG∥AH,
∴△ABH∽△DBG,
DG BD 1
∴ = = ,∴AH=3DG,
AH AB 3
又BC=4BE,S =BE·DG=2,
▱BDFE
1 1
∴S = BC·AH= ×4BE×3DG=6BE·DG=12.
△ABC
2 2
16.
答案 6
解析 解法一:当一个多边形不过任何顶点剪一刀得到两个多边形时,其边数会增加4.比如:一个
四边形,不过任何顶点剪一刀得到两个四边形时,边数为4+4=8,或者得到一个三角形和一个五
边形时,边数同样是5+3=8.已知题目中,每次选一个多边形进行操作,得到10张多边形纸片时,
一共剪了9刀,那么10个多边形的边数和为4+9×4=40,其中1张五边形纸片,3张三角形纸片,5
张四边形纸片,一共有5+3×3+5×4=34条边,剩下的一个多边形的边数就是40-34=6.
解法二:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,多边形的边数增加4.
第一次,将其中两个边分成四条边,且剪刀所在那条直线增加两条边,边数即为
2+2×2+1×2=8=4+4×1,分成两个图形;
第二次,边数为8-2+2×2+2×1=12=4+4×2,分成三个图形;……;
第n次,边数为4+4n,分成(n+1)个图形.
∵最后得到10张纸片,∴n+1=10,∴n=9,
设还有一张多边形纸片的边数为m,
则4+4×9=5+3×3+5×4+m,解得m=6.
17.
1 √2
解析 原式=1-4× +2√2× =1-2+2=1.
2 2
18.{5x-1>3x-4①,
解析
1 2
- x≤ -x②,
3 3
3
解不等式①,得x>- ,
2
解不等式②,得x≤1,
3
∴所求不等式组的解集是- <x≤1.
2
19.
解析 原式=[(a-1)(a+2) a+3]· a+2
+
a+2 a+2 a2-1
=(a2+a-2 a+3)· a+2
+
a+2 a+2 a2-1
a2+2a+1 a+2
= ·
a+2 a2-1
(a+1) 2 a+2
= ·
a+2 (a+1)(a-1)
a+1
= .
a-1
易错警示
注意运算的结果要化成最简分式或整
式.
20.
解析 本题主要考查了列一元一次方程解应用题,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出
的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
设小强到他奶奶家的路程是x千米,则平常的车速是x km/h,遇到暴雨后的车速是(x )
-20
4 4
km/h,根据遇到暴雨后的车速乘遇到暴雨后行驶的时间等于遇到暴雨后的行驶路程,列方程得
(x )×( 1 )=1x,
-20 5- ×4
4 2 2
解得x=240.
答:小强家到他奶奶家的距离是240千米.
解后反思根据等量关系列方程时一定要注意,行驶了一半路程以后,再降低速度行驶了剩下的一半路
程.
21.
k 4
解析 (1)设反比例函数的表达式是y= (k≠0),由反比例函数的图象过点(2,2),易得y= ,
2 2
x x
又正比例函数与反比例函数的图象都是关于原点成中心对称的,所以点B的坐标是(-2,-2),
从图象上可以观察得到:当y<y时,0<x<2或x<-2.
1 2
(2)菱形的周长是4√10,则边长是√10,由菱形的对角线互相垂直平分,可以得到菱形的两条对
角线的一半与其一条边可以构成一个直角三角形.
如图,Rt△AOC中,∠AOC=90°,AO=2√2,AC=√10,则OC=√2,可以求得点C的坐标是(-1,1),
根据对称性知点D 的坐标是(1,-1).此时可以任选一条边求其所在直线的表达式.
1 4
直线AC的表达式是y= x+ ,
3 3
1 4
直线BD的表达式是y= x- ,
3 3
直线AD的表达式是y=3x-4,
直线BC的表达式是y=3x+4.
解后反思
本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题,菱形的性质,勾股定理,待定系数法求函
数表达式等,函数图象关于坐标原点成中心对称的特征,数形结合是解题的关键.
22.
解析 (1)500-(130+180+85+85)=20(人),(85+20)÷500×100%=21%,即平均每周劳动时间符
合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为21%.
(2)1-(40%+27%+10%+7%)=16%,2 000×16%=320(人),故估计最喜欢的劳动课程为木工的有320
人.
(3)建议合理即可.如:鼓励该中学学生积极参加劳动,建议学校适当丰富劳动教育课程,对于学生
喜爱的劳动课程可以多开一些.
解题关键
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映
部分占总体的百分比大小.
23.
解析 在Rt△AHF中,AF=50,∠AFH=40°,则AH=50×sin 40°≈50×0.64=32,
∵HG∥BC,∴∠EGF=∠ECB=36°,
在△EFG中,∠EFG=25°,∠EGF=36°,FG=7,
过点E作EM⊥FG于点M,
EM EM
则FG= + =7,
tan25° tan36°
7tan25°·tan36°
∴EM= ≈2.
tan25°+tan36°
∴点A距地面BD的距离是32+40-2=70(米).
疑难点拨
本题以“测量高度”的实际问题为背景考查了用锐角三角函数解直角三角形,能否结合具
体图形和已知条件进行求解是关键.对于较复杂的情境,学会分段处理很重要.
24.
解析 (1)证明:如图,连接OD.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵OC∥AD,
∴∠OAD=∠BOC,∠ODA=∠DOC,
∴∠BOC=∠DOC.
在△OBC和△ODC中,
{
OC=OC,
∠BOC=∠DOC,
OB=OD,∴△OBC≌△ODC(SAS),
∴∠OBC=∠ODC,
∵BC⊥AB,
∴∠ABC=90°,
∴∠ODC=90°,
∴CD是☉O的切线.
(2)解法一:∵DE∥BC,
∴△AEF∽△ABC,∠AED=∠ABC.
AE EF
∴ = ,
AB BC
∵AE=1,AB=8,
1
∴EF= BC.
8
∵∠DAE=∠COB,∠AED=∠OBC=90°,
∴△AED∽△OBC,
AE DE
∴ = ,
OB BC
1
∴DE= BC.
4
1
∴EF= DE.
2
连接BD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.
在Rt△ADB中,易知DE⊥AB,
∴△ADE∽△DBE.
AE DE
∴ = ,
DE BE
∴DE2=7,即DE=√7,
1 √7
∴EF= DE= .
2 2
解法二:设OC交☉O于点G,
∵AB=8,∴OA=OB=OD=4,
又AE=1,∴OE=3,
∵DE∥BC,∴∠DEB+∠EBC=180°,
∴∠DEO=90°,∴ED= = ,
√OD2-OE2 √7
∵DE∥BC,AD∥OC,
∴∠AED=∠OBC,∠EAD=∠BOC,
BC OB
∴△AED∽△OBC,∴ = =4,
DE AE
∴BC=4√7,
∵DE∥BC,∴△AEF∽△ABC,
AE EF 1 √7
∴ = = ,∴EF= .
AB BC 8 2
25.解析 (1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
∵抛物线过(0,0),(5,5),对称轴为直线x=2,
c=0,
{
{
a=1,
∴ 5=25a+5b+c,解得
b=-4,
b
- =2, c=0,
2a
∴抛物线的解析式为y=x2-4x.
(2)设点B的坐标为(2,m),对称轴与直线OA交于点C,易求得点C的坐标为(2,2),
1
∴S = ×|m-2|×5=15,
△OAB
2
∴|m-2|=6,
∴m-2=6或m-2=-6,
即m=8或m=-4.
∵点B在第一象限,
∴m=-4(舍去),
则点B的坐标为(2,8).
(3)当点P在直线AB与抛物线的交点(非点A)时,PA-PB的值最大.
∵A(5,5),B(2,8),
∴直线AB的解析式为y=-x+10,
联立得{y=x2-4x,
y=-x+10,
{x=5, {x=-2,
解得 或
y=5 y=12.
∴当P点的坐标为(-2,12)时,PA-PB取最大值,即为AB的长.
∴(PA-PB) =AB= =3 .
最大值 √(8-5) 2+(2-5) 2 √2
26.
证明 (1)①∵矩形ABCD中,AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF=45°,AD∥BC,AD=BC,
∴∠AFB=∠DAF=45°,
∴∠BAF=∠AFB,
∴AB=BF,
∵BE=CF,
∴AB+BE=BF+CF,即AE=BC,
∴AE=AD,
在△AGE和△AGD中,
{
AE=AD,
∠EAG=∠DAG,
AG=AG,
∴△AGE≌△AGD(SAS),
∴GE=GD.
②如图,连接BG,过点O作OH∥AB交BG于点H.则有△OGH∽△EGB.
OH OG
∴ = .
BE GE
在Rt△ABF中,AG=FG,AB=BF,
∴BG平分∠ABF,
∴∠ABG=∠FBG=45°,
∵OH∥AB,
∴∠ABG=∠BHO=45°,
∴∠BHO=∠OBG,
∴OB=OH.
又GE=GD,BE=CF,
OB OG
∴ = ,即BO·GD=GO·FC.
CF GD
(2)如图,连接BG,过点O作OH∥AB交BG于点H,在▱ABCD中,AF平分∠BAD,
∴∠1=∠2,AD∥BC,AD=BC,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴AB=BF,
在△ABF中,AB=BF,AG=FG,
∴∠4=∠5,
又∵OH∥AB,
∴∠4=∠OHB,
∴∠5=∠OHB,
∴OB=OH,
∵OH∥AB,
∴△GHO∽△GBE,
OH GO
∴ = ,
BE GE
同(1)的方法可知DG=EG,又BE=CF,
OB GO
∴ = ,
CF DG
即BO·GD=GO·FC.重难突破
理解“双平+等腰”是解本题第(1)问的关键,第(2)问通过对结论中的线段进行等量代换,
构造出适合的相似三角形是解题的关键.
