2021年岳阳市初中学业水平考试试卷
33
(满分:120分 考试时间:90分钟)
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分.在每小题给出的四个选项中,选出符合要求的一项)
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C D C B C D
1.(2021湖南岳阳,1,3分)在实数√3,-1,0,2中,为负数的是 ( )
A.√3 B.-1 C.0 D.2
1.B 正数前添“-”号的数为负数,所以-1为负数.√3、2为正数,0既不是正数,也不是负数.故选B.
2.(2021湖南岳阳,2,3分)下列品牌的标识中,是轴对称图形的是 ( )
A B C D
2.A A可以通过折叠使折痕左右两侧重合,故为轴对称图形;C为中心对称图形,但不是轴对称图形;B、D既不是轴
对称图形,也不是中心对称图形.故选A.
3.(2021湖南岳阳,3,3分)下列运算结果正确的是 ( )
A.3a-a=2 B.a2·a4=a8
C.(a+2)(a-2)=a2-4 D.(-a)2=-a2
3.C 3a-a=2a,A错误;a2·a4=a6,B错误;(a+2)(a-2)=a2-4,C正确;(-a)2=a2,D错误.故选C.
{x-1<0,
4.(2021湖南岳阳,4,3分)已知不等式组 其解集在数轴上表示正确的是 ( )
2x≥-4,
A B
C D
{x-1<0,①
4.D 由①得x<1,由②得x≥-2,
2x≥-4,②
∴原不等式组的解集是-2≤x<1,
在数轴上表示为 .故选D.
5.(2021湖南岳阳,5,3分)将一副直角三角板按如图方式摆放,若直线a∥b,则∠1的大小为 ( )
A.45° B.60° C.75° D.105°
5.C ∵a∥b,∴∠1+(45°+60°)=180°(两直线平行,同旁内角互补),∴∠1=75°.
6.(2021湖南岳阳,6,3分)下列命题是真命题的是 ( )
A.五边形的内角和是720°
B.三角形的任意两边之和大于第三边
1C.内错角相等
D.三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
6.B (5-2)×180°=540°,故五边形的内角和是540°,A错误;三角形的任意两边之和大于第三边,B正确;两直线平行,
内错角相等,C错误;三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点,D错误.故选B.
解后反思 A,B,C,D四句话都是可以判断正误的句子,所以都是命题.其中B是正确的,为真命题;A,C,D都是错误的,为假命题.
7.(2021湖南岳阳,7,3分)在学校举行“庆祝百周年,赞歌献给党”的合唱比赛中,七位评委给某班的评分去掉一个最
高分、一个最低分后得到五个有效评分,分别为9.0,9.2,9.0,8.8,9.0(单位:分),这五个有效评分的平均数和众数分别
是 ( )
A.9.0,8.9 B.8.9,8.9
C.9.0,9.0 D.8.9,9.0
9.0+9.2+9.0+8.8+9.0
7.C 因为 =9.0,所以平均数为9.0;因为9.0在5个数据中出现了3次,出现的次数最
5
多,所以众数为9.0.
8.(2021湖南岳阳,8,3分)定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图,在
正方形OABC中,点A(0,2),点C(2,0),则互异二次函数y=(x-m)2-m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值
分别是 ( )
5-√17
A.4,-1 B. ,-1
2
5+√17
C.4,0 D. ,-1
2
8.D 由题意可得,二次函数图象的顶点在直线y=-x上.
如图①,当二次函数的图象与正方形交于A(0,2)时,m有最小值,此时m<0,
∴把(0,2)代入y=(x-m)2-m,得(-m)2-m=2,解得m=2(舍去),m=-1.
1 2
图①
如图②,当二次函数的图象与正方形交于B(2,2)时,m有最大值,此时m>0,
∴把(2,2)代入y=(x-m)2-m,得(2-m)2-m=2,
5-√17 5+√17
解得m= ,m= .
1 2
2 2
2图②
5+√17
∴m的最大值为 ,最小值为-1.
2
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分)
9.(2021湖南岳阳,9,4分)因式分解:x2+2x+1= .
9.答案 (x+1)2
解析 完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2逆运用可得x2+2x+1=(x+1)2.
10.(2021湖南岳阳,10,4分)2021年5月15日,“天问一号”探测器成功着陆火星,在火星上首次留下了中国印迹.据
公开资料显示,地球到火星的最近距离约为55 000 000公里,数据55 000 000用科学记数法表示为 .
10.答案 5.5×107
解析 55 000 000=5.5×107.
11.(2021湖南岳阳,11,4分)一个不透明的袋子中装有5个小球,其中3个白球,2个黑球,这些小球除颜色外无其其差
别,从袋子中随机摸出一个小球,则摸出的小球是白球的概率为 .
3
11.答案
5
1
解析 共有5个小球,每个小球被摸到的概率都相同.有3个白球,每个白球被摸到的概率是 ,所以白球被摸到的概率
5
1 3
为 ×3= .
5 5
12.(2021湖南岳阳,12,4分)已知关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根,则实数k的值为 .
12.答案 9
解析 ∵一元二次方程有两个相等的实数根,∴Δ=62-4k=0,∴k=9.
5
13.(2021湖南岳阳,13,4分)要使分式 有意义,则x的取值范围是 .
x-1
13.答案 x≠1
解析 若使分式有意义,则x-1≠0,∴x≠1.
1 1
14.(2021湖南岳阳,14,4分)已知x+ =√2,则代数式x+ -√2= .
x x
14.答案 0
1 1
解析 把x+ =√2整体代入x+ -√2中,得√2-√2=0.
x x
15.(2021湖南岳阳,15,4分)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅
相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是
多少?(1丈=10尺,1尺=10寸)如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 .
315.答案 x2+(x-6.8)2=102
解析 6尺8寸=6.8尺,1丈=10尺,
则BC=(x-6.8)尺,AC=10尺,
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,
∴由勾股定理可得AB2+BC2=AC2,
∴x2+(x-6.8)2=102.
16.(2021湖南岳阳,16,4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,BE=8,☉O为
△BCE的外接圆,过点E作☉O的切线EF交AB于点F,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
8π DF EF
①AE=BC;②∠AED=∠CBD;③若∠DBE=40°,则 的长为 ;④ = ;⑤若EF=6,则CE=2.24.
DE
9 EF BF
⏜
16.答案 ②④⑤
解析 ∵ED⊥AB,AD=BD,∴AE=BE,
在Rt△BCE中,∠BCE=90°,BE为斜边,BC为直角边,
∴BE>BC,∴AE>BC,故①错误;
在四边形EDBC中,∠C=∠EDB=90°,
∴∠CED+∠CBD=180°,
又∵∠AED+∠CED=180°,
∴∠AED=∠CBD,故②正确;
如图,连接OD,
∵∠DBE=40°,∴∠DOE=80°,
80
∴ =π·BE· ,又∵BE=8,
DE
360
⏜
16π
∴ = ,故③错误;
DE
9
⏜
∵EF与☉O相切于点E,∴∠BEF=90°,
∴∠BEF=∠EDF=90°.
又∵∠BFE=∠EFD,
∴△BEF∽△EDF,
4DF EF
∴ = ,故④正确;
EF BF
在Rt△BEF中,∠BEF=90°,EF=6,BE=8,
由勾股定理可得BF= = =10.
√EF2+BE2 √62+82
1 1
∵S = BE·EF= BF·ED,
△BEF
2 2
1 1
∴ ×8×6= ×10·ED,
2 2
∴ED=4.8.
在Rt△BED中,∠BDE=90°,
由勾股定理可得BD= = =6.4,
√BE2-ED2 √82-4.82
∴AB=2BD=12.8.
设CE=x,则AC=AE+EC=BE+EC=8+x,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
由勾股定理可得BC2=AB2-AC2=12.82-(8+x)2.
在Rt△BCE中,∠BCE=90°,
由勾股定理可得BC2=BE2-EC2=82-x2.
∴12.82-(8+x)2=82-x2,解得x=2.24,
∴CE=2.24,故⑤正确.
三、解答题(本大题共8小题,满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(2021湖南岳阳,17,6分)(本题满分6分)计算:(-1)2 021+|-2|+4sin 30°-(√38-π)0.
1
17.解析 原式=-1+2+4× -1=1+2-1=2.
2
18.(2021湖南岳阳,18,6分)(本题满分6分)如图,在四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线),使得四边形AECF为平行四边形,你添加的条件是 ;
(2)添加了条件后,证明四边形AECF为平行四边形.
18.解析 (1)AE=CF(答案不唯一).
(2)证明:∵AE⊥BD,∴∠AEF=90°.
∵CF⊥BD,∴∠CFE=90°,
∴∠AEF=∠CFE,
∴AE∥CF,
又∵AE=CF,
∴四边形AECF为平行四边形.
k
19.(2021湖南岳阳,19,8分)(本题满分8分)如图,已知反比例函数y= (k≠0)与正比例函数y=2x的图象交于
x
A(1,m),B两点.
(1)求该反比例函数的表达式;
(2)若点C在x轴上,且△BOC的面积为3,求点C的坐标.
519.解析 (1)∵点A(1,m)在正比例函数y=2x的图象上,
∴m=2×1,∴m=2,
∴A(1,2).
k
∵点A(1,2)在反比例函数y= (k≠0)的图象上,
x
k
∴2= ,∴k=2,
1
2
∴反比例函数的表达式为y= .
x
2
(2)∵A,B为函数y=2x与y= 图象的交点,
x
∴点A与点B关于原点成中心对称,
又∵A(1,2),∴B(-1,-2).
1
∵点C在x轴上,S =3,∴ OC·|-2|=3,
△BOC
2
∴OC=3,∴点C的坐标为(-3,0)或(3,0).
20.(2021湖南岳阳,20,8分)(本题满分8分)国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管
理”督导的通知》指出,要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社团成员采用随机抽样的方
法,抽取了八年级部分学生,对他们一周内平均每天的睡眠时间t(单位:h)进行了调查,将数据整理后得到下列不完整
的统计图表:
组别 睡眠时间分组 频数 频率
A t<6 4 0.08
B 6≤t<7 8 0.16
C 7≤t<8 10 a
D 8≤t<9 21 0.42
E t≥9 b 0.14
请根据图表信息回答下列问题:
(1)频数分布表中,a= ,b= ;
(2)扇形统计图中,C组所在扇形的圆心角的度数是 °;
(3)请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数;
(4)研究表明,初中生每天睡眠时长低于7小时,会严重影响学习效率.请你根据以上调查统计结果,向学校提出一条合
理化的建议.
20.解析 (1)0.2;7.
64
∵ =50(人),∴共50人参加调查,
0.08
10
∴a= =0.2,b=50×0.14=7.
50
(2)72.
360°a=360°×0.2=72°,
∴C组所在扇形的圆心角的度数为72°.
(3)600×(0.08+0.16)=144(人),
∴600名八年级学生中睡眠不足7小时的约为144人.
(4)建议学校尽量让学生在校完成作业,课后减少作业.(答案不唯一)
思路分析 (3)中,睡眠不足7小时的为组别A和B,频率分别为0.08和0.16,∴睡眠不足7小时的总频率为0.08+0.16=0.24,总人数×睡眠不足7小
时的人数的频率=睡眠不足7小时的人数.
21.(2021湖南岳阳,21,8分)(本题满分8分)星期天,小明与妈妈到离家16 km的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行
车先走,1 h后妈妈开车从家出发,沿相同路线前往博物馆,结果他们同时到达.已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行
车平均速度的4倍,求妈妈开车的平均速度.
21.解析 设小明骑自行车的平均速度为x km/h,则妈妈开车的平均速度为4x km/h.
16 16
由题意得 -1= ,解得x=12,
x 4x
经检验,x=12使方程有意义,且符合题意,∴4x=48,
∴妈妈开车的平均速度为48 km/h.
一题多解 设小明骑自行车的平均速度为x km/h,则妈妈开车的平均速度为4x km/h,小明从家到博物馆用时t h,则妈妈用时(t-1)h.
{x=12,
由题意得{ xt=16, 解得
4
4x·(t-1)=16, t= ,
3
∴4x=48,
∴妈妈开车的平均速度为48 km/h.
路程
思路分析 平均速度×时间=路程,时间= ,
平均速度
小明与妈妈所走的路程相等,小明比妈妈多走1 h,妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍,把握住以上等量关系即可解答本题.
22.(2021湖南岳阳,22,8分)(本题满分8分)某镇为创建特色小镇,助力乡村振兴,决定在辖区的一条河上修建一座步
行观光桥.如图,该河旁有一座小山,山高BC=80 m,坡面AB的坡度i=1∶0.7(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度
的比),点C、A与河岸E、F在同一水平线上,从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE=45°,∠DBF=31°.
(1)求山脚A到河岸E的距离;
(2)若在此处建桥,试求河宽EF的长度.(结果精确到0.1 m)
(参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
7BC 1
22.解析 (1)由题意知, = ,BC=80 m,
AC 0.7
∴AC=56 m.
∵BD∥CE,∴∠BEC=∠DBE=45°,
BC 80
∴ =tan∠BEC,∴ =1,
CE CE
∴CE=80 m,∴AE=CE-CA=80-56=24 m,
∴山脚A到河岸E的距离为24 m.
(2)∵BD∥CF,∴∠BFC=∠DBF=31°,
BC 80
∴ =tan∠BFC,∴ =tan 31°,
CF CF
80 80
∴CF= ,∴EF=CF-CE= -80≈53.3 m,
tan31° tan31°
∴河宽EF的长度约为53.3 m.
23.(2021湖南岳阳,23,10分)(本题满分10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,点D为AB的中点,连接CD,
将线段CD绕点D顺时针旋转α(60°<α<120°)得到线段ED,且ED交线段BC于点G,∠CDE的平分线DM交BC于点
H.
GD
(1)如图1,若α=90°,则线段ED与BD的数量关系是 , = ;
CD
(2)如图2,在(1)的条件下,过点C作CF∥DE交DM于点F,连接EF,BE.
①试判断四边形CDEF的形状,并说明理由;
BE √3
②求证: = ;
FH 3
BE
(3)如图3,若AC=2,tan(α-60°)=m,过点C作CF∥DE交DM于点F,连接EF,BE,请直接写出 的值(用含m的式子
FH
表示).
√3
23.解析 (1)ED=BD; .
3
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
1
D为AB的中点,则CD=AD=BD= AB.
2
由旋转可得CD=ED,∴ED=BD.
∵CD=AD,
∴△ACD为等腰三角形,
又∵∠A=60°,
∴△ACD为等边三角形,
∴∠ACD=60°,
∴∠DCG=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°.
在Rt△CDG中,∠CDG=90°,
8GD √3
∴ =tan∠DCG=tan 30°= .
CD 3
(2)①四边形CDEF是正方形.
理由:∵CF∥DE,∴∠FCD+∠CDE=180°,
又∵∠CDE=90°,∴∠DCF=90°.
1
∵DM平分∠CDE,∴∠CDF= ∠CDE=45°.
2
在△CDF中,∠CFD=180°-∠CDF-∠DCF=180°-45°-90°=45°,
∴∠CDF=∠CFD,∴CF=CD,
又∵CD=DE,∴CFDE,
∴四边形CDEF是平行四边形,
又∵∠CDE=90°,∴▱CDEF是矩形,
又∵CD=DE,∴矩形CDEF是正方形.
②证明:由(1)知△ACD是等边三角形,
∴∠ADC=60°,
又∵∠CDE=90°,
∴∠BDE=180°-∠ADC-∠CDE=30°,
在△ABC中,∠ABC=180°-∠A-∠ACB=30°=∠DBH,
∴∠BDE=∠DBH.
180°-∠BDE
由(1)得ED=BD,∴∠DBE= =75°.
2
∵DM平分∠CDE,
1
∴∠HDE= ∠CDE=45°,
2
∴∠BDH=∠HDE+∠BDE=75°,
∴∠DBE=∠BDH,
又∵BD=DB,
∴△BDE≌△DBH(ASA),
∴BE=DH.
∵CF∥DE,
∴∠CFH=∠GDH,
又∵∠CHF=∠GHD(对顶角相等),
∴△CFH∽△GDH,
DH GD
∴ = .
FH CF
由(2)①得四边形CDEF为正方形,
∴CF=CD,
BE DH GD GD √3
∴ = = = = .
FH FH CF CD 3
√3-m
(3) .
2
由(1)得△ACD为等边三角形,∠ABC=30°,
∴∠ADC=60°,
∴∠BDC=180°-∠ADC=120°,
又∵∠CDE=α,
9∴∠BDE=∠BDC-∠CDE=120°-α.
∵DM平分∠CDE,
1 α
∴∠HDE= ∠CDE= .
2 2
在△BDH中,∠BHD=180°-∠ABC-∠BDH=180°-30°-(∠HDE+∠BDE)=180°-30°-[α ]=30°+α.
+(120°-α)
2 2
∵CD=BD,CD=DE,∴DE=DB,
180°-∠BDE 180°-(120°-α) α
∴在△BDE中,∠DEB= = =30°+ ,
2 2 2
∴∠BHD=∠DEB,
又∵∠DGH=∠BGE,
∴△DGH∽△BGE.
∵CF∥DE,∴∠CFH=∠GDH,
又∵∠CHF=∠GHD,
∴△DGH∽△FCH,
∴△BGE∽△FCH,
BE BG
∴ = .
FH FC
∵DM平分∠CDE,∴∠CDF=∠EDF.
∵CF∥DE,∴∠CFD=∠EDF,
∴∠CDF=∠CFD,∴CD=CF.
又∵CD=BD,∴CF=BD,
BE BG BG
∴ = = .
FH FC BD
过点D作DK⊥BC交BC于点K,如图,
∵DK⊥BC,∴∠DKB=∠ACB=90°,
又∵∠ABC为公共角,∴△BDK∽△BAC,
DK BD
∴ = ,
AC AB
DK 1
∴ = ,∴DK=1.
2 2
∵△BDK∽△BAC,
∴∠BDK=∠A=60°,
∴∠CDK=∠BDC-∠BDK=120°-60°=60°,
∴∠GDK=∠CDE-∠CDK=α-60°,
KG KG
∴tan∠GDK=tan(α-60°)= = =m,
DK 1
∴KG=m.
10∵∠ABC=30°,∠DKB=90°,
1
DK DK
∴BK= = =√3=√3,
tan∠ABC tan30°
3
1
DK DK
BD= = =1=2,
sin∠ABC sin30°
2
∴BG=BK-KG=√3-m,
BG √3-m BE BG √3-m
∴ = ,∴ = = .
BD 2 FH BD 2
24.(2021湖南岳阳,24,10分)(本题满分10分)如图,抛物线y=ax2+bx+2经过A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,
连接BC.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)如图2,直线l:y=kx+3经过点A,点P为直线l上的一个动点,且位于x轴的上方,点Q为抛物线上的一个动点,当
PQ∥y轴时,作QM⊥PQ,交抛物线于点M(点M在点Q的右侧),以PQ,QM为邻边构造矩形PQMN,求该矩形周长的
最小值;
(3)如图3,设抛物线的顶点为D,在(2)的条件下,当矩形PQMN的周长取最小值时,抛物线上是否存在点F,使得
∠CBF=∠DQM?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
24.解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx+2过A(-1,0),B(4,0),
1
{a=- ,
∴{ a-b+2=0, ∴ 2
16a+4b+2=0, 3
b= ,
2
1 3
∴抛物线的函数表达式为y=- x2+ x+2.
2 2
(2)∵直线y=kx+3过A(-1,0),
∴-k+3=0,∴k=3,
∴一次函数的解析式为y=3x+3.
∵P在直线y=3x+3图象上,
∴设P(x,3x+3).
1 1
1 3
∵PQ∥y轴,Q在抛物线y=- x2+ x+2上,
2 2
∴Q(
x ,-
1
x2+
3
x +2
).
1 2 1 2 1
1 3
∵QM⊥PQ,M在抛物线y=- x2+ x+2上,
2 2
11b
∴Q,M关于直线x=- 对称,
2a
3
即Q,M关于直线x= 对称,
2
∴M(
3-x ,-
1
x2+
3
x +2
),
1 2 1 2 1
∴PQ=(3x
1
+3)-(
-
1
x2+
3
x +2
)=1
x2
+3x
1
+1,
2 1 2 1 2 1 2
QM=(3-x)-x=3-2x,
1 1 1
∴C =2(PQ+QM)
矩形PQMN
=2×(1 x2+ 3 x +1+3-2x )
2 1 2 1 1
= -x+8
x2 1
1
=( 1) 2 +31,
x -
1 2 4
1 31
∴当x= 时,周长有最小值,为 .
1
2 4
(3)存在.∵抛物线y=-1x2+3x+2=-1( 3) 2 +25,
x-
2 2 2 2 8
∴顶点D(3 25),C(0,2).
,
2 8
1
在(2)的条件下,当矩形PQMN周长取最小值时,x= ,
1
2
∴Q(1 21),
,
2 8
25 21 1 3 1
∴点D到QM的距离为 - = ,点D到PQ的距离为 - =1,
8 8 2 2 2
1 CO 2 1
∴tan∠DQM= ,而tan∠CBO= = = ,
2 BO 4 2
∴当点F与点A重合时,∠CBF=∠DQM,
此时F(-1,0).
连接AC并延长至A',使得A'C=AC,连接A'B交抛物线于点F,如图,
12∵A(-1,0),C(0,2),B(4,0),
∴A'(1,4),AC= = ,BC= =2 ,AB=4-(-1)=5.
√12+22 √5 √42+22 √5
∵(√5)2+(2√5)2=52,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴BC⊥AA',又∵A'C=AC,
∴AB=A'B,
∴BC平分∠ABA',∴∠CBF=∠CBO=∠DQM.
设直线BA'的解析式为y=kx+b(k≠0),
1 1 1
∵该直线过B(4,0),A'(1,4),
4
{k =- ,
∴{0=4k 1 +b 1 , ∴ 1 3
4=k +b , 16
1 1 b = ,
1 3
4 16
∴直线BA'的解析式为y=- x+ .
3 3
4 16
{ y=- x+ ,
联立直线BA'与抛物线解析式得 3 3
1 3
y=- x2+ x+2,
2 2
5
{ x = ,
解得 1 3 {x =4,(舍去),
2
28 y =0
y = , 2
1 9
∴F(5 28).
,
3 9
综上所述,F的坐标为(-1,0)或(5 28).
,
3 9
1314
