江西省2021年初中学业水平考试
10
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.-2的相反数是( )
1 1
A.2 B.-2C. D.-
2 2
2.如图,几何体的主视图是( )
A B C D
a+1 1
3.计算 - 的结果为( )
a a
a+2 a-2
A.1 B.-1C. D.
a a
4.
如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图,由图可知下列说法错误的是( )
A.一线城市购买新能源汽车的用户最多
B.二线城市购买新能源汽车用户达37%
C.三四线城市购买新能源汽车用户达到11万
D.四线城市以下购买新能源汽车用户最少
5.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
A B C D
6.如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形(忽略拼接线),小亮改变①的位置,将①分别摆放在图中左,下,右的位置(摆放时无缝隙不重叠),还能拼接成不同轴对称图形的个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日发布,江西人口数约为45 100 000人,将45 100 000用科学记数法表示为 .
8.因式分解:x2-4y2= .
9.已知x,x 是一元二次方程x2-4x+3=0的两根,则x+x-xx= .
1 2 1 2 1 2
10.下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过,因而人们把这个表叫做杨辉三角,请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是 .
11.如图,将▱ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,则▱ABCD的周长为 .
12.
如图,在边长为6 的正六边形ABCDEF中,连接BE,CF,其中点M,N分别为BE和CF上的动点.若以M,N,D为顶点的三角形是等边三角形,且边长为整数,则该等边三角形的边长为 .
√3
三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)计算:
| 1|
(-1)2-(π-2 021)0+ - ;
2
(2)如图,在△ABC中,∠A=40°,∠ABC=80°,BE平分∠ABC交AC于点E,ED⊥AB于点D,求证:AD=BD.{2x-3≤1,
14.解不等式组: x+1 并将解集在数轴上表示出来.
>-1,
3
15.为庆祝建党100周年,某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲,决定从A,B,C,D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加.抽签规则:将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面,把四张卡片背面
朝上,洗匀后放在桌面上,先从中随机抽取一张卡片,记下名字,再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张,记下名字.
(1)“A志愿者被选中”是 事件(填“随机”或“不可能”或“必然”);
(2)请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果,并求出A,B两名志愿者被选中的概率.
16.已知正方形ABCD的边长为4个单位长度,点E是CD的中点,请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中,将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°;
(2)在图2中,将直线AC向上平移1个单位长度.
图1图2
k
17.如图,正比例函数y=x的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(1,a),在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点C坐标为(-2,0).
x
(1)求k的值;
(2)求AB所在直线的解析式.
四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.甲,乙两人去市场采购相同价格的同一种商品,甲用2 400元购买的商品数量比乙用3 000元购买的商品数量少10件.
(1)求这种商品的售价;
(2)甲,乙两人第二次再去采购该商品时,售价比上次少了20元/件,甲购买商品的总价与上次相同,乙购买商品的数量与上次相同,则甲两次购买这种商品的平均售价是 元/件,乙两次购买这种商品的平均售价是 元/件;
(3)生活中,无论油价如何变化,有人总按相同金额加油,有人总按相同油量加油,结合(2)的计算结果,建议按相同 加油更合算(填“金额”或“油量”).
19.为了提高农副产品的国际竞争力,我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿,现有两个厂家提供货源,它们的价格相同,鸡腿的品质相近.质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只
鸡腿,它们的质量(单位:g)如下:
甲厂:76,74,74,76,73,76,76,77,78,74,
76,70,76,76,73,70,77,79,78,71;
乙厂:75,76,77,77,78,77,76,71,74,75,
79,71,72,74,73,74,70,79,75,77;
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量x(g) 频数 频率
68≤x<71 2 0.1
71≤x<74 3 0.15
74≤x<77 10 a
77≤x<80 5 0.25
合计 20 1分析上述数据,得到下表:
厂家统计量 平均数 中位数 众数 方差
甲厂 75 76 b 6.3
乙厂 75 75 77 6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)如果只考虑出口鸡腿规格,请结合表中的某个统计量,为外贸公司选购鸡腿提供参考建议;
(4)某外贸公司从甲厂采购了20 000只鸡腿,并将质量(单位:g)在71≤x<77的鸡腿加工成优等品,请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只.
20.图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图,图2是其侧面示意图,其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上,枪身BA与额头保持垂直.量得胳膊MN=28 cm,MB=42 cm,肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为
25.3 cm(即MP的长度),枪身BA=8.5 cm.
(1)求∠ABC的度数;
(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5 cm.在图2中,若测得∠BMN=68.6°,小红与测温员之间距离为50 cm.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内?并说明理由.(结果保留小数点后一位)
(参考数据:sin 66.4°≈0.92,cos 66.4°≈0.40,sin 23.6°≈0.40,√2≈1.414)
图1图2
五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.如图1,四边形ABCD内接于☉O,AD为直径,过点C作CE⊥AB于点E,连接AC.
(1)求证:∠CAD=∠ECB;
(2)若CE是☉O的切线,∠CAD=30°,连接OC,如图2.
①请判断四边形ABCO的形状,并说明理由;
②当AB=2时,求AD,AC与CD围成阴影部分的面积.
⏜
图1
图222.二次函数y=x2-2mx的图象交x轴于原点O及点A.
感知特例
(1)当m=1时,如图1,抛物线L:y=x2-2x上的点B,O,C,A,D分别关于点A中心对称的点为B',O',C',A',D',如下表:
… B(-1,3) O(0,0) C(1,-1) A( , ) D(3,3) …
… B'(5,-3) O'(4,0) C'(3,1) A'(2,0) D'(1,-3) …
①补全表格;
②在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为L'.
形成概念
我们发现形如(1)中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称,则称L'是L的“孔像抛物线”.例如,当m=-2时,图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”.
图1
图2
探究问题
(2)①当m=-1时,若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小,则x的取值范围为 ;
②在同一平面直角坐标系中,当m取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与抛物线y=x2-2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是 (填“y=ax2+bx+c”或“y=ax2+bx”或“y=ax2+c”或
“y=ax2”,其中abc≠0);
③若抛物线y=x2-2mx及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点,求m的值.六、(本大题共12分)
23.课本再现
(1)在证明“三角形内角和定理”时,小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明,其中与∠A相等的角是 ;
图1
图2
类比迁移
(2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC与∠ADC互余,小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合:先作∠CDF=∠ABC,再过点C作CE⊥DF于点E,连接AE,发现AD,DE,AE之间的数量关系是 ;
方法运用
(3)如图3,在四边形ABCD中,连接AC,∠BAC=90°,点O是△ACD两边垂直平分线的交点,连接OA,∠OAC=∠ABC.
①求证:∠ABC +∠ADC=90°;
AB
②连接BD,如图4,已知AD=m,DC=n, =2,求BD的长(用含m,n的式子表示).
AC
图3
图4
10 江西省2021年初中学业水平考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6
A C A C D B1.A 互为相反数的两个数的绝对值相等,符号相反,所以-2的相反数是2,故选A.
2.C 由主视图的定义和几何体的放置位置知选C.
a+1 1 a+1-1
3.A - = =1,故选A.
a a a
4.C 三四线城市购买新能源汽车用户占11%,而不是11万,所以C选项说法错误,故选C.
b
5.D 因为抛物线y=ax2的开口向上,所以a>0;由一次函数y=bx+c的图象可知,y随x的增大而增大,所以b>0;直线与y轴的交点在y轴的负半轴,所以c<0.故抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,排除A、B,对称轴为直线x=- <0,位于y轴左
2a
侧,排除C.选D.
6.B 由题意可以得到:
其中是轴对称图形的是
故选B.
二、填空题
7.答案 4.51×107
解析 45 100 000=4.51×107.
8.答案 (x+2y)(x-2y)
解析 x2-4y2=x2-(2y)2=(x+2y)(x-2y).
9.答案 1
解析 因为x,x 是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根,所以x+x=4,xx=3,所以x+x -xx=4-3=1.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
10.答案 3
解析 由题表可知,从第三行开始,除1之外的每一个数字都等于该数字“肩头”两个数字的和,因为6=3+3,所以空缺的数字为3.
11.答案 4a+2b
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D=80°,AD∥BC,AB∥CD,∴∠BCD=∠BAD=180°-∠B=100°,∵∠ACE=2∠ECD,∠ACB=∠ACE,∴2∠DCF+2∠DCF+∠DCF=100°,则
∠DCF=20°,∴∠ACB=∠ACE=∠FAC=40°,∴AF=CF=a,∠DFC=∠FAC+∠FCA=80°,∴∠DFC=∠D,∴FC=CD=a,∴AD=AF+FD=a+b, ∴▱ABCD的周长为2(AD+CD)=4a+2b.
12.答案 9或10或18
解析 设BE与CF的交点为O,如图1,当点M在线段OE上时,作DP⊥CF,连接OD,分别在OC和OE上截取ON=EM,连接MN,DM,DN.
∵在正六边形ABCDEF中,∠COD=∠EOD=60°,OC=OD=OE, ∴△OCD、△ODE都是等边三角形,∴∠OED=∠ODE=60°,OD=DE,∴∠OED=∠COD,∴△ODN≌△EDM,∴DM=DN,∠MDE=∠NDO, ∴∠MDN=∠ODE=60°,∴△MDN是等边三角形.
∵DP=CD·sin 60°=9,∴9≤DN≤6√3,∵DN是整数,∴DN=9或10;
图1
如图2,当点M在线段OB上时,作等边三角形MDN,连接EN,∴∠MDN=60°,DM=DN,∴∠MDO=∠EDN,又∵DO=DE, ∴△MOD≌△NED,∴MO=EN,∠MOD=∠DEN=120°, ∴点N与点F重合,点M与点B重合,∴MO=MC=CD=OD,∴四边形
OMCD是菱形.DP=CD·sin 60°=9,∴DM=2DP=18.
综上,等边三角形的边长为9或10或18.图2
三、
1 1
13.解析 (1)原式=1-1+ = .
2 2
(2)证法一:
1
∵BE平分∠ABC,∠ABC=80°,∴∠EBA= ∠ABC=40°.
2
∵∠A=40°,∴∠EBA=∠A.∴BE=EA.∵ED⊥AB,∴AD=BD.
证法二:
1
∵BE平分∠ABC,∠ABC=80°,∴∠EBA= ∠ABC=40°.
2
∵∠A=40°,∴∠EBA=∠A.∵ED⊥AB,
∴∠BDE=∠ADE=90°.∵ED=ED,∴△BED≌△AED.
∴AD=BD.
{2x-3≤1,¿①
14.解析 x+1
>-1,¿②
3
解不等式①,得x≤2.
解不等式②,得x>-4 .
所以原不等式组的解集为-4<x≤2.
在数轴上表示不等式组的解集,如图所示.
15.解析 (1)随机.
(2)解法一:
根据题意,列表如下:
第二张第
A B C D
一张
A (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D)
2 1
由表可知所有可能出现的结果共有12种,这些结果出现的可能性相等,其中抽到A,B两名志愿者的情况只有2种,所以P(A,B两名志愿者被选中)= = .
12 6
解法二:
根据题意,画树状图如图:2 1
由图可知所有可能出现的结果共有12种,这些结果出现的可能性相等,其中抽到A,B两名志愿者的情况只有2种,所以P(A,B两名志愿者被选中)= = .
12 6
16.解析 (1)如图,直线OF即为所求.
(2)如图,直线GH即为所求.
17.解析 (1)∵点A(1,a)在正比例函数y=x的图象上,
∴a=1.∴A(1,1).
k
又点A在反比例函数y= (x>0)的图象上,
x
∴k=1×1=1.
(2)过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BD⊥x轴于点D,
∴∠AEC=∠BDC=90°.
∴∠BCD+∠CBD=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCD+∠ACE=90°.
∴∠ACE=∠CBD.
∵CA=CB,
∴△CEA≌△BDC.
∴CE=BD,AE=CD.
∵C(-2,0),A(1,1),
∴OD=3,BD=3,∴B(-3,3).
设AB所在直线的解析式为y=nx+b,n≠0,
1
{n=- ,
{ 1=n+b, 2
则 解得
3=-3n+b. 3
b= .
2
1 3
∴AB所在直线的解析式为y=- x+ .
2 2
四、
18.解析 (1)设商品的售价是x元/件,根据题意得
2 400 3 000
= -10,解得x=60.
x x
经检验,x=60是原方程的解,且符合题意.答:这种商品的售价是60元/件.
(2)48;50.
2 400 2 400 2 400+2 400 3 000
理由:甲第一次购买 =40件,第二次购买 =60件,两次购买商品的平均售价为 = 48元/件;乙第一次购买 =50件,第二次购买总金额为50×(60-20)=2 000元,两次购买商品的平均售价为
60 60-20 40+60 60
3 000+2 000
=50元/件.
50+50
(3)金额.
理由:在(2)中,甲按相同金额两次购物,乙按相同数量两次购物,通过计算知,甲购买商品的平均售价小于乙购买商品的平均售价,所以答案是金额.
19.解析 (1)0.5;76.
理由: a=1-0.1-0.15-0.25=0.5;甲厂鸡腿质量数据中,76出现的次数最多,为7次,所以b=76.
(2)补全频数分布直方图,如图所示:
(3)①从平均数的角度看:x =x =75,所以建议外贸公司可任意选购两厂的鸡腿.
甲 乙
②从中位数的角度看:甲厂的中位数是76,乙厂的中位数是75,因为乙厂的鸡腿更接近出口规格,所以建议外贸公司选购乙厂的鸡腿.
③从众数的角度看:甲厂的众数是76,乙厂的众数是77,因为甲厂的鸡腿接近出口规格的更多,所以建议外贸公司选购甲厂的鸡腿.
④从方差的角度看:
s2 =6.3,s2
=6.6,因为甲厂的鸡腿规格更整齐,所以建议外贸公司选购甲厂的鸡腿.
甲 乙
13
(4)20 000× =13 000(只).
20
答:估计可加工成优等品的鸡腿有13 000只.
20.解析 (1)过点B作BK⊥MP于点K,由题意可知四边形ABKP为矩形.
∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8 cm.
在Rt△BMK中,
MK 16.8
cos∠BMK= = =0.4,
MB 42
∴∠BMK≈66.4°,
∴∠MBK=90°-66.4°=23.6°,
∴∠ABC=23.6°+90°=113.6°.
答:∠ABC的度数为113.6°.
(2)延长PM交FG于点H,由题意得∠NHM=90°,
∵∠BMN=68.6°,∠BMK=66.4°,
∴∠NMH=180°-68.6°-66.4°=45°.
HM HM
在Rt△MNH中,cos 45°= = ,
MN 28
√2
∴HM=28× ≈14×1.414=19.796 cm.
2
∴枪身端点A与小红额头的距离为50-19.796-25.3=4.904 cm≈4.9 cm.
∵3<4.9<5,∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内.五、
21.解析 (1)证明:∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠D+∠ABC=180°.
∵∠EBC+∠ABC=180°,∴∠D=∠EBC.
∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.
∵CE⊥AB,∴∠ECB+∠EBC=90°.∴∠CAD=∠ECB.
(2)①四边形ABCO是菱形.理由如下:
∵CE是☉O的切线,∴OC⊥EC,即∠OCE=90°.
∵AB⊥EC,∴∠E=90°.∴∠OCE+∠E=180°.
∴OC∥AE,∴∠ACO=∠BAC.
∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAD.∴∠BAC=∠CAD.
由(1)知∠CAD=∠ECB,∵∠CAD =30°,
∴∠EBC =90°-30°=60°.
∵∠BAO=∠BAC+∠CAD=60°,∴∠BAO=∠EBC.
∴BC∥AO.∴四边形ABCO是平行四边形.
∵OA=OC,
∴四边形ABCO是菱形.
②∵四边形ABCO是菱形,AB=2,
∴AO=AB=2,AD=4.∵∠CAD=30°,∴CD=2,AC=2√3.
过点C作CF⊥AD于点F,
1
∴CF=√3 .∴S = ×2×√3=√3.
△AOC 2
60π×22 2
∵OC∥AE,∴∠DOC=∠BAO=60°.∴S = = π.
扇形COD 360 3
2
∴S =√3+ π.
阴影 3
22.解析 (1)①(2,0).
②画图如下:
(2)①-3≤x≤-1.
②y=ax2.
提示:由“孔像抛物线”的对称性可知所求抛物线应关于y轴对称,而当m=0时,抛物线y=ax2+c与抛物线L'不满足只有唯一交点,故所求抛物线的解析式为y=ax2.
③L:y=x2-2mx=(x-m)2-m2,设顶点为P(m,-m2),过点P作PM⊥x轴于点M,“孔像抛物线”L'的顶点为P',过点P'作P'M'⊥x轴于点M',由题意可知△PMA≌△P'M'A.得M'(3m,0),∴P'(3m,m2).
∵抛物线L及“孔像抛物线”L'与直线y=m有且只有三个交点,
∴-m2=m或m2=m.解得m=±1或m=0.
当m=0时,抛物线L及“孔像抛物线”L'与直线y=m只有一个交点,不合题意,舍去.∴m=±1.
六、
23.解析 (1)∠DCE'.(2)AD2+DE2=AE2.
(3)①证明:连接OD,OC,如图,
∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点,
∴OA=OC=OD.
∴∠OAC=∠OCA,∠ODC=∠OCD,∠OAD=∠ODA.
∵2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180° .
即2∠OAC+2∠ADC=180°,∴∠OAC+∠ADC=90°.
∵∠OAC=∠ABC,∴∠ADC+∠ABC=90°.
②作∠CDF=∠ABC,过点C作 CE⊥DF于点E,连接AE,如图.
∵∠ABC+∠ADC=90°,
∴∠ADC+∠CDF=90°.
∴AD2+DE2=AE2,即m2+DE2=AE2.
AB
∵∠BAC=90°, =2,
AC
∴AC∶AB∶BC=1∶2∶√5 .
AC CE 1
同理可得CE∶DE∶DC =1∶2∶√5,∴ = = ,
BC CD √5
∵∠CDF=∠ABC,∴∠ACB=∠DCE.∴∠BCD=∠ACE.
AE AC 1 BD
∴△ACE∽△BCD.∴ = = .∴AE= .
BD BC √5 √5
DE 2 2
在Rt△CDE中, = .∴DE= n.
DC √5 √5
( 2 ) 2 (BD) 2 4 BD2
∴m2+ n = ,即m2+ n2= .
√5 √5 5 5
∴BD2=5m2+4n2.∴BD=√5m2+4n2.
