山西省 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分 时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 24 分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题2分,共24分.在每个小题给出的四个选项中,只有一
项符合题目要求)
1.计算2×(-3)的结果是( )
A.6 B.-6 C.-1 D.5
{x+3≥5,
2.不等式组 的解集在数轴上表示为( )
2x-1<5
3.如图是一个长方体包装盒,则它的平面展开图是( )
4.某班实行每周量化考核制,学期末对考核成绩进行统计,结果显示甲、乙两组的平均成绩相
同,方差分别是 =36, =30,则两组成绩的稳定性:( )
s2 s2
甲 乙
A.甲组比乙组的成绩稳定 B.乙组比甲组的成绩稳定
C.甲、乙两组的成绩一样稳定 D.无法确定
5.下列计算错误的是( )
A.x3+x3=2x3 B.a6÷a3=a2
C. =2 D.(1) -1=3
√12 √3
3
2 x+2
6.解分式方程 + =3时,去分母后变形为( )
x-1 1-x
A.2+(x+2)=3(x-1) B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x+2)=3(1-x) D.2-(x+2)=3(x-1)
7.下表是我省11个地市5月份某日最高气温(℃)的统计结果:
太原大同朔州忻州阳泉晋中吕梁长治晋城临汾运城
27 27 28 28 27 29 28 28 30 30 31
该日最高气温的众数和中位数分别是( )A.27 ℃,28 ℃ B.28 ℃,28 ℃ C.27 ℃,27 ℃ D.28 ℃,29 ℃
8.如图,正方形地砖的图案是轴对称图形,该图形的对称轴有( )
A.1条 B.2条 C.4条 D.8条
9.王先生到银行存了一笔三年期的定期存款,年利率是4.25%.若到期后取出得到本息和(本金
+利息)33 825元.设王先生存入的本金为x元,则下面所列方程正确的是( )
A.x+3×4.25%x=33 825
B.x+4.25%x=33 825
C.3×4.25%x=33 825
D.3(x+4.25%x)=33 825
10.如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B,C
两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100 m到达A处,在A处观察B
地的俯角为30°,则B,C两地之间的距离为( )
100√3
A.100√3 m B.50√2 m C.50√3 m D. m
3
11.起重机将质量为6.5 t的货物沿竖直方向提升了2 m,则起重机提升货物所做的功用科学记
数法表示为(g=10 N/kg)( )
A.1.3×106 J B.13×105 J C.13×104 J D.1.3×105 J
12.如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影
部分的面积是( )
2π √3 2π √3
A. - B. -√3 C.π- D.π-√3
3 2 3 2
第Ⅱ卷(非选择题,共 96 分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分.把答案写在题中横线上)
13.分解因式:a2-2a= .
14.四川雅安发生地震后,某校九(1)班学生开展献爱心活动,积极向灾区捐款.如图是该班同学
捐款情况的条形统计图,写出一条你从图中所获得的信息: .a4 a6 a8
15.一组按规律排列的式子:a2, , , ,…,则第n个式子是 (n为正整数).
3 5 7
1
16.如图,矩形ABCD在第一象限,AB在x轴正半轴上.AB=3,BC=1,直线y= x-1经过点C交x
2
k
轴于点E,双曲线y= 经过点D,则k的值为 .
x
17.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在
对角线BD上的点A'处,则AE的长为 .
18.如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱
最高点C到AB的距离为9 m,AB=36 m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的
距离为7 m,则DE的长为 m.
三、解答题(本大题共8个小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
(1)计算: cos 45°-(1) 0 ;
√2
3
(2)下面是小明化简分式的过程,请仔细阅读,并解答所提出的问题.
2 x-6 2(x-2) x-6
解: - = - 第一步
x+2 x2-4 (x+2)(x-2) (x+2)(x-2)
=2(x-2)-x+6第二步
=2x-4-x+6第三步=x+2.第四步
小明的解法从第 (2分)步开始出现错误,正确的化简结果是 (3分).
20.(本题7分)
解方程:(2x-1)2=x(3x+2)-7.
21.(本题8分)
如图,在△ABC中,AB=AC,D是BA延长线上的一点,点E是AC的中点.
(1)实践与操作:利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法).
①作∠DAC的平分线AM;②连结BE并延长交AM于点F.
(2)猜想与证明:试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系,并说明理由;
22.(本题9分)
小勇收集了我省四张著名的旅游景点图片(大小、形状及背面完全相同):太原以南的壶口瀑
布和平遥古城,太原以北的云岗石窟和五台山.他与爸爸玩游戏:把这四张图片背面朝上洗匀
后,随机抽取一张(不放回),再抽取一张,若抽到的两个景点都在太原以南或都在太原以北,则
爸爸同意带他到这两个景点旅游,否则,只能去一个景点旅游.请你用列表或画树状图的方法
求小勇能去两个景点旅游的概率(四张图片分别用H,P,Y,W表示).
23.(本题9分)
如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,点P是直径AB上的一点(不与A,B重合),过点P作AB
的垂线交BC的延长线于点Q.
(1)在线段PQ上取一点D,使DQ=DC,连结DC,试判断CD与☉O的位置关系,并说明理由;
3
(2)若cos B= ,BP=6,AP=1,求QC的长.
524.(本题8分)
某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案.印刷厂有甲、乙两种收费方式.除按印数收取
印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数
x(份)之间的关系如图所示:
(1)填空:甲种收费方式的函数关系式是 ;
乙种收费方式的函数关系式是 ;
(2)该校某年级每次需印制100~450(含100和450)份学案,选择哪种印刷方式较合算.
25.(本题13分)
数学活动——求重叠部分的面积.
问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:
如图(1),将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中
∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于
点G.求重叠部分(△DCG)的面积.
(1)独立思考:请解答老师提出的问题;
(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF
交AC于点G,如图(2),你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出解答过程;
(3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习,将△DEF绕点D旋转,再提出一个求重叠
部分面积的问题.“爱心”小组提出的问题是:
如图(3),将△DEF绕点D旋转,DE,DF分别交AC于点M,N,使DM=MN,求重叠部分(△DMN)
的面积.
任务:①请解决“爱心”小组所提出的问题,直接写出△DMN的面积是 ;
②请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图(4)中画出图形,标明字
母,不必解答(注:也可在图(1)的基础上按顺时针方向旋转).图(1) 图(2)
图(3) 图(4)
26.(本题14分)
1 3
综合与探究:如图,抛物线y= x2- x-4与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于
4 2
点C,连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P
的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD,BC于点M,N,试探究m为何值时,四边形
CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;
(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形.若存在,请直接写出点Q
的坐标;若不存在,请说明理由.
答案全解全析：
1.B 根据有理数乘法法则,异号两数相乘,积为负,并把绝对值相乘.2×(-3)=-6.故选B.
2.C 由不等式x+3≥5得x≥2,
由不等式2x-1<5得x<3,
所以不等式组的解集为2≤x<3.故选C.评析 关于不等式组的解法,一般是先分别解各个不等式,再利用数轴求解.不等式问题往往
以单独考点的形式出现,只要计算准确,一般得分比较容易.
3.A 根据长方体及其平面展开图的特点,中间为两个大的长方形和两个小长方形交错排列
在一起,上下两个盒盖与两个大的长方形相连.故选A.
4.B 根据方差的意义可作出判断,方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明
这组数据分布越集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.因为甲、乙两组的
平均成绩相同, =36> =30,所以乙组的成绩比较稳定.故选B.
s2 s2
甲 乙
5.B A项:x3+x3=2x3,故本选项正确;
B项:a6÷a3=a6-3=a3,故本选项错误;
C项:√12=√4×3=2√3,故本选项正确;
D项:根据负指数幂的定义知(1) -1=3,故本选项正确.故选B.
3
6.D 将分式方程转化为整式方程的关键是根据等式的基本性质,在等式的两边同乘以各个
分式分母的最简公分母(x-1),去分母后变形为2-(x+2)=3(x-1).故选D.
7.B 把数据按从小到大的顺序重新排列为 27,27,27,28,28,28,28,29,30,30,31.最中间的
一个数为28 ℃,其中出现次数最多的数是28 ℃,所以这组数据的众数和中位数分别是 28
℃,28 ℃.故选B.
评析 众数就是出现次数最多的数,但不可将频数(即出现的次数)当作众数.而求一组数据
的中位数时,必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列.如果数据的个数为奇
数,则最中间的一个数据是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,那么最中间两个数据
的平均数是这组数据的中位数.
8.C 正方形既是矩形,又是菱形,具有矩形和菱形的轴对称性,因此正方形的对称轴是两对
角线所在的直线、两对边中点连线所在的直线,所以该图形的对称轴共4条.故选C.9.A 找出等量关系:王先生存入本金x元,加上三年期利息3×4.25%x(元),等于本息和33
825元,列出方程为x+3×4.25%x=33 825.故选A.
10.A 由题意可知,∠ABC=30°,AC=100 m.
AC
在Rt△ABC中,tan∠ABC= ,
BC
100
即tan 30°= ,BC=100√3 m.故选A.
BC
11.D 在竖直方向上克服重力做功的公式为W=Gh=6.5×103×10×2=1.3×105 J.故选D.
12.B 设AD与BE交于点M,CD与BF交于点N.
连结BD,∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,
∴△ABD、△BCD都是等边三角形.
∴∠ADB=∠C,BD=BC,∠DBC=60°.∵∠EBF=60°,
∴∠DBE=∠CBF,∴△BDM≌△BCN,
∴S =S ,
四边形BMDN △BCD
∴阴影部分的面积=S -S =S -S
扇形BEF 四边形BMDN 扇形BEF △BCD
60·π·22 √3 2
= - ×22= π-√3.故选B.
360 4 3
13.答案 a(a-2)
解析 a2-2a=a(a-2).
14.答案 该班有50人参与了献爱心活动(只要与统计图中所提供的信息相符即可得分)
解析 观察条形统计图可以看出,捐款10元的有20人,捐款20元的有5人,捐款50元的有
10人,捐款100元的有15人,所以该班有20+5+10+15=50人参与了献爱心活动.
a2n
15.答案
2n-1
a2n
解析 分母依次是1,3,5,7,…,分子依次是a2,a4,a6,a8…,故第n个式子是 .
2n-1
16.答案 1解析 设OA=a,∵AD=BC=1,AB=3,∴点D的坐标为(a,1),点C的坐标为(a+3,1).把(a+3,1)代
1 1 k
入直线y= x-1得1= (a+3)-1,解得a=1,把点D坐标(1,1)代入y= 得k=1.
2 2 x
10
17.答案
3
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=5,∵AB=12,∴BD= =13.
√52+122
∵△DEA'由△DEA翻折而成,∴A'E⊥BD,AE=A'E,A'D=AD=5,∴A'B=13-5=8.
在Rt△BEA'中,BE2=A'E2+A'B2.
∵AE=A'E,BE=12-AE,A'B=8,
10
∴(12-AE)2=AE2+82,解得AE= .
3
18.答案 48
解析 如图,以点C为原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.设抛物
线的解析式为y=ax2,由题意可知点B坐标为(18,-9),把(18,-9)代入y=ax2,得-9=182a,a=-
1 1
,∴y=- x2,当y=-(9+7)=-16时,x=±24,所以DE=48 m.
36 36
√2
19.解析 (1)原式=√2× -1=1-1=0.
2
1
(2)二; .
x-2
20.解析 原方程可化为4x2-4x+1=3x2+2x-7.∴x2-6x+8=0.(3分)
∴(x-2)(x-4)=1.(5分)
∴x=2,x=4.(7分)
1 2
21.解析 (1)①作图正确,并有痕迹.(2分)
②连结BE交延长交AM于点F.(3分)
(2)AF∥BC且AF=BC.(4分)
理由如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C.
由作图可知:∠DAC=2∠FAC,
∴∠C=∠FAC,∴AF∥BC.(6分)
∵E是AC的中点,∴AE=CE.∵∠AEF=∠CEB,
∴△AEF≌△CEB,∴AF=BC.(8分)
22.解析 列表如下:
第一次
H P Y W
第二次
H HP HY HW
P PH PY PW
Y YH YP YW
W WH WP WY
(6分)
或画树状图如下:(6分)
由列表(或画树状图)可以看出,所有可能出现的结果共有12种,而且每种结果出现的可能性
都相同,其中抽到的两个景点都在太原以南或以北的结果共有4种.(8分)
4 1
∴P(小勇能到两个景点旅游)= = .(9分)
12 3
23.解析 (1)CD是☉O的切线.(1分)
理由如下:连结OC.∵OC=OB,∴∠B=∠1.
又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2.(2分)
∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°.
∴∠B+∠Q=90°.(3分)
∴∠1+∠2=90°.
∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°=90°.(4分)
∴OC⊥DC.∵OC是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.(5分)
(2)连结AC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.(6分)
在Rt△ABC中,
3 21
BC=AB·cos B=(AP+PB)cos B=(1+6)× = .
5 56
BP
在Rt△BPQ中,BQ= =3=10.(8分)
cosB
5
21 29
∴QC=BQ-BC=10- = .(9分)
5 5
评析 本题考查了切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线,也考查了等
腰三角形的性质、圆周角定理的推论以及三角函数的应用,要求学生掌握常见的解题方法,
并能结合图形选择简单的方法解题.
24.解析 (1)y=0.1x+6;y=0.12x.
(2)由0.1x+6>0.12x,得x<300.
由0.1x+6=0.12x,得x=300.
由0.1x+6<0.12x,得x>300.(5分)
由此可知:当100≤x<300时,选择乙种方式较合算;
当x=300时,选择甲、乙两种方式都可以;
当300<x≤450时,选择甲种方式较合算.(8分)
25.解析 (1)∵∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴DC=DB=DA.∴∠B=∠DCB.(1分)
又∵△ABC≌△FDE,∴∠FDE=∠B.
∴∠FDE=∠DCB.∴DG∥BC.(2分)
∴∠AGD=∠ACB=90°.∴DG⊥AC.
又∵DC=DA,∴G是AC的中点.(3分)
1 1 1 1
∴CG= AC= ×8=4,DG= BC= ×6=3.
2 2 2 2
1 1
∴S = ·CG·DG= ×4×3=6.(4分)
△DGC
2 2
(2)解法一:∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1.
∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°,∠A+∠2=90°,
∴∠B=∠2.∴∠1=∠2.
∴GH=GD.(5分)
∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
∴∠A=∠3,∴AG=GD.∴AG=GH.
∴点G为AH的中点.(6分)
在Rt△ABC中,AB= = =10.
√AC2+BC2 √82+62
1
∵D是AB中点,∴AD= AB=5.
2
在△ADH与△ACB中,∵∠A=∠A,∠ADH=∠ACB=90°,
AD DH 5 DH 15
∴△ADH∽△ACB.∴ = .∴ = ,∴DH= .(8分)
AC CB 8 6 4
1 1 1 1 15 75
∴S = S = × ·DH·AD= × ×5= .(9分)
△DGH △ADH
2 2 2 4 4 16
解法二:同解法一,G是AH的中点.(6分)
连结BH,∵DE⊥AB,D是AB的中点,
∴AH=BH.设AH=x,则CH=8-x.
在Rt△BCH中,CH2+BC2=BH2,
25
即(8-x)2+36=x2.解得x= .(7分)
41 1 25 75
∴S = AH·BC= × ×6= .(8分)
△ABH
2 2 4 4
1 1 1 1 75 75
∴S = S = × S = × = .(9分)
△DGH △ADH △ABH
2 2 2 4 4 16
解法三:同解法一,∠1=∠2.(5分)
连结CD,由(1)知,∠B=∠DCB=∠1.
∴∠1=∠2=∠B=∠DCB.
∴△DGH∽△BDC.(6分)
作DM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N.
∵D是AB的中点,∠ACB=90°,
∴CD=AD=BD.∴点M是AC的中点.
1 1
∴DM= BC= ×6=3.(7分)
2 2
1 1
在Rt△ABC中,AB=√AC2+BC2=√82+62=10, AC·BC= AB·CN.
2 2
AC·BC 8×6 24
∴CN= = = .(8分)
AB 10 5
∵△DGH∽△BDC,
∴S
△DGH
=(DM) 2 ,∴S
△DGH
=(DM) 2 ·S
△BDC
=(DM) 2 ·1·BD·CN.
S CN CN CN 2
△BDC∴S =
△DGH
3 2
( ) ×1×5×24=75.(9分)
24
2 5 16
5
75
(3)① .
16
②此题答案不唯一,语言表述清晰、准确得1分,画图正确得1分,重叠部分未涂阴影不扣分.
示例:如图,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥BC于点M,DF交AC于点N,求重叠部分(四边形
DMCN)的面积.(13分)
评析 本题考查了勾股定理,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,等腰三角
形的判定与性质.其中利用直角三角形斜边上中线把直角三角形分成两等腰三角形是解题中
的突破口.整个题目在变与不变的辨证关系中,渗透化归思想方法.
1 3
26.解析 (1)当y=0时, x2- x-4=0.
4 2
解得x=-2,x=8.
1 2
∵点B在点A的右侧,
∴点A,B的坐标分别为(-2,0),(8,0).(2分)
当x=0时,y=-4.
∴点C的坐标为(0,-4).(3分)
(2)由菱形的对称性可知,点D的坐标为(0,4).设直线BD的解析式为y=kx+b,则
{ b=4, 1
解得k=- ,b=4.
8k+b=0, 2
1
∴直线BD的解析式为y=- x+4.(4分)
2
∵l⊥x轴,∴点M,Q的坐标分别是
( m,- 1 m+4 ),( m, 1 m2- 3 m-4 ).
2 4 2
如图,当MQ=DC时,四边形CQMD是平行四边形,(5分)
∴(
-
1
m+4
)-(1
m2-
3
m-4
)=4-(-4).(6分)
2 4 2
化简得m2-4m=0.解得m=0(舍去),m=4.
1 2
∴当m=4时,四边形CQMD是平行四边形.(7分)
此时,四边形CQBM是平行四边形.(8分)
解法一:∵m=4,∴点P是OB的中点.∵l⊥x轴,∴l∥y轴.
BP BM 1
∴△BPM∽△BOD.∴ = = .∴BM=DM.(10分)
BO BD 2
∵四边形CQMD是平行四边形,∴DMCQ.
∴BMCQ,∴四边形CQBM为平行四边形.(12分)
解法二:设直线BC的解析式为y=k 1 x+b 1 ,则{ b 1 =-4, 解得k 1 =1,b 1 =-4.
8k +b =0, 2
1 1
1
∴直线BC的解析式为y= x-4.(9分)
2又∵l⊥x轴交BC于点N,∴当x=4时,y=-2,
∴点N的坐标为(4,-2).
∴点M,Q的坐标分别为M(4,2),Q(4,-6).
∴MN=2-(-2)=4,NQ=-2-(-6)=4.
∴MN=QN.(10分)
又∵四边形CQMD是平行四边形,∴DB∥CQ,∴∠3=∠4.
又∵∠1=∠2,∴△BMN≌△CQN,∴BN=CN.
∴四边形CQBM为平行四边形.(12分)
(3)抛物线上存在两个这样的点Q,分别是Q(-2,0),Q(6,-4).(14分)
1 2
评析 本题综合考查了菱形的性质、平行四边形的判定、二次方程求解、二次函数的图象
和性质、相似三角形的性质等,考查了学生综合运用数学知识和数形结合思想、分类讨论思
想、函数的思想、方程的思想等多种数学思想方法来解决问题的能力.
