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山西省 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分 时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 24 分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题2分,共24分.在每个小题给出的四个选项中,只有一
项符合题目要求)
1.计算2×(-3)的结果是( )
A.6 B.-6 C.-1 D.5
{x+3≥5,
2.不等式组 的解集在数轴上表示为( )
2x-1<5
3.如图是一个长方体包装盒,则它的平面展开图是( )
4.某班实行每周量化考核制,学期末对考核成绩进行统计,结果显示甲、乙两组的平均成绩相
同,方差分别是 =36, =30,则两组成绩的稳定性:( )
s2 s2
甲 乙
A.甲组比乙组的成绩稳定 B.乙组比甲组的成绩稳定
C.甲、乙两组的成绩一样稳定 D.无法确定
5.下列计算错误的是( )
A.x3+x3=2x3 B.a6÷a3=a2
C. =2 D.(1) -1=3
√12 √3
3
2 x+2
6.解分式方程 + =3时,去分母后变形为( )
x-1 1-x
A.2+(x+2)=3(x-1) B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x+2)=3(1-x) D.2-(x+2)=3(x-1)
7.下表是我省11个地市5月份某日最高气温(℃)的统计结果:
太原大同朔州忻州阳泉晋中吕梁长治晋城临汾运城
27 27 28 28 27 29 28 28 30 30 31
该日最高气温的众数和中位数分别是( )A.27 ℃,28 ℃ B.28 ℃,28 ℃ C.27 ℃,27 ℃ D.28 ℃,29 ℃
8.如图,正方形地砖的图案是轴对称图形,该图形的对称轴有( )
A.1条 B.2条 C.4条 D.8条
9.王先生到银行存了一笔三年期的定期存款,年利率是4.25%.若到期后取出得到本息和(本金
+利息)33 825元.设王先生存入的本金为x元,则下面所列方程正确的是( )
A.x+3×4.25%x=33 825
B.x+4.25%x=33 825
C.3×4.25%x=33 825
D.3(x+4.25%x)=33 825
10.如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B,C
两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100 m到达A处,在A处观察B
地的俯角为30°,则B,C两地之间的距离为( )
100√3
A.100√3 m B.50√2 m C.50√3 m D. m
3
11.起重机将质量为6.5 t的货物沿竖直方向提升了2 m,则起重机提升货物所做的功用科学记
数法表示为(g=10 N/kg)( )
A.1.3×106 J B.13×105 J C.13×104 J D.1.3×105 J
12.如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影
部分的面积是( )
2π √3 2π √3
A. - B. -√3 C.π- D.π-√3
3 2 3 2
第Ⅱ卷(非选择题,共 96 分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分.把答案写在题中横线上)
13.分解因式:a2-2a= .
14.四川雅安发生地震后,某校九(1)班学生开展献爱心活动,积极向灾区捐款.如图是该班同学
捐款情况的条形统计图,写出一条你从图中所获得的信息: .a4 a6 a8
15.一组按规律排列的式子:a2, , , ,…,则第n个式子是 (n为正整数).
3 5 7
1
16.如图,矩形ABCD在第一象限,AB在x轴正半轴上.AB=3,BC=1,直线y= x-1经过点C交x
2
k
轴于点E,双曲线y= 经过点D,则k的值为 .
x
17.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在
对角线BD上的点A'处,则AE的长为 .
18.如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱
最高点C到AB的距离为9 m,AB=36 m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的
距离为7 m,则DE的长为 m.
三、解答题(本大题共8个小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
(1)计算: cos 45°-(1) 0 ;
√2
3
(2)下面是小明化简分式的过程,请仔细阅读,并解答所提出的问题.
2 x-6 2(x-2) x-6
解: - = - 第一步
x+2 x2-4 (x+2)(x-2) (x+2)(x-2)
=2(x-2)-x+6第二步
=2x-4-x+6第三步=x+2.第四步
小明的解法从第 (2分)步开始出现错误,正确的化简结果是 (3分).
20.(本题7分)
解方程:(2x-1)2=x(3x+2)-7.
21.(本题8分)
如图,在△ABC中,AB=AC,D是BA延长线上的一点,点E是AC的中点.
(1)实践与操作:利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法).
①作∠DAC的平分线AM;②连结BE并延长交AM于点F.
(2)猜想与证明:试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系,并说明理由;
22.(本题9分)
小勇收集了我省四张著名的旅游景点图片(大小、形状及背面完全相同):太原以南的壶口瀑
布和平遥古城,太原以北的云岗石窟和五台山.他与爸爸玩游戏:把这四张图片背面朝上洗匀
后,随机抽取一张(不放回),再抽取一张,若抽到的两个景点都在太原以南或都在太原以北,则
爸爸同意带他到这两个景点旅游,否则,只能去一个景点旅游.请你用列表或画树状图的方法
求小勇能去两个景点旅游的概率(四张图片分别用H,P,Y,W表示).
23.(本题9分)
如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,点P是直径AB上的一点(不与A,B重合),过点P作AB
的垂线交BC的延长线于点Q.
(1)在线段PQ上取一点D,使DQ=DC,连结DC,试判断CD与☉O的位置关系,并说明理由;
3
(2)若cos B= ,BP=6,AP=1,求QC的长.
524.(本题8分)
某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案.印刷厂有甲、乙两种收费方式.除按印数收取
印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数
x(份)之间的关系如图所示:
(1)填空:甲种收费方式的函数关系式是 ;
乙种收费方式的函数关系式是 ;
(2)该校某年级每次需印制100~450(含100和450)份学案,选择哪种印刷方式较合算.
25.(本题13分)
数学活动——求重叠部分的面积.
问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:
如图(1),将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中
∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于
点G.求重叠部分(△DCG)的面积.
(1)独立思考:请解答老师提出的问题;
(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF
交AC于点G,如图(2),你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出解答过程;
(3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习,将△DEF绕点D旋转,再提出一个求重叠
部分面积的问题.“爱心”小组提出的问题是:
如图(3),将△DEF绕点D旋转,DE,DF分别交AC于点M,N,使DM=MN,求重叠部分(△DMN)
的面积.
任务:①请解决“爱心”小组所提出的问题,直接写出△DMN的面积是 ;
②请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图(4)中画出图形,标明字
母,不必解答(注:也可在图(1)的基础上按顺时针方向旋转).图(1) 图(2)
图(3) 图(4)
26.(本题14分)
1 3
综合与探究:如图,抛物线y= x2- x-4与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于
4 2
点C,连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P
的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD,BC于点M,N,试探究m为何值时,四边形
CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;
(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形.若存在,请直接写出点Q
的坐标;若不存在,请说明理由.
答案全解全析：
1.B 根据有理数乘法法则,异号两数相乘,积为负,并把绝对值相乘.2×(-3)=-6.故选B.
2.C 由不等式x+3≥5得x≥2,
由不等式2x-1<5得x<3,
所以不等式组的解集为2≤x<3.故选C.评析 关于不等式组的解法,一般是先分别解各个不等式,再利用数轴求解.不等式问题往往
以单独考点的形式出现,只要计算准确,一般得分比较容易.
3.A 根据长方体及其平面展开图的特点,中间为两个大的长方形和两个小长方形交错排列
在一起,上下两个盒盖与两个大的长方形相连.故选A.
4.B 根据方差的意义可作出判断,方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明
这组数据分布越集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.因为甲、乙两组的
平均成绩相同, =36> =30,所以乙组的成绩比较稳定.故选B.
s2 s2
甲 乙
5.B A项:x3+x3=2x3,故本选项正确;
B项:a6÷a3=a6-3=a3,故本选项错误;
C项:√12=√4×3=2√3,故本选项正确;
D项:根据负指数幂的定义知(1) -1=3,故本选项正确.故选B.
3
6.D 将分式方程转化为整式方程的关键是根据等式的基本性质,在等式的两边同乘以各个
分式分母的最简公分母(x-1),去分母后变形为2-(x+2)=3(x-1).故选D.
7.B 把数据按从小到大的顺序重新排列为 27,27,27,28,28,28,28,29,30,30,31.最中间的
一个数为28 ℃,其中出现次数最多的数是28 ℃,所以这组数据的众数和中位数分别是 28
℃,28 ℃.故选B.
评析 众数就是出现次数最多的数,但不可将频数(即出现的次数)当作众数.而求一组数据
的中位数时,必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列.如果数据的个数为奇
数,则最中间的一个数据是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,那么最中间两个数据
的平均数是这组数据的中位数.
8.C 正方形既是矩形,又是菱形,具有矩形和菱形的轴对称性,因此正方形的对称轴是两对
角线所在的直线、两对边中点连线所在的直线,所以该图形的对称轴共4条.故选C.9.A 找出等量关系:王先生存入本金x元,加上三年期利息3×4.25%x(元),等于本息和33
825元,列出方程为x+3×4.25%x=33 825.故选A.
10.A 由题意可知,∠ABC=30°,AC=100 m.
AC
在Rt△ABC中,tan∠ABC= ,
BC
100
即tan 30°= ,BC=100√3 m.故选A.
BC
11.D 在竖直方向上克服重力做功的公式为W=Gh=6.5×103×10×2=1.3×105 J.故选D.
12.B 设AD与BE交于点M,CD与BF交于点N.
连结BD,∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,
∴△ABD、△BCD都是等边三角形.
∴∠ADB=∠C,BD=BC,∠DBC=60°.∵∠EBF=60°,
∴∠DBE=∠CBF,∴△BDM≌△BCN,
∴S =S ,
四边形BMDN △BCD
∴阴影部分的面积=S -S =S -S
扇形BEF 四边形BMDN 扇形BEF △BCD
60·π·22 √3 2
= - ×22= π-√3.故选B.
360 4 3
13.答案 a(a-2)
解析 a2-2a=a(a-2).
14.答案 该班有50人参与了献爱心活动(只要与统计图中所提供的信息相符即可得分)
解析 观察条形统计图可以看出,捐款10元的有20人,捐款20元的有5人,捐款50元的有
10人,捐款100元的有15人,所以该班有20+5+10+15=50人参与了献爱心活动.
a2n
15.答案
2n-1
a2n
解析 分母依次是1,3,5,7,…,分子依次是a2,a4,a6,a8…,故第n个式子是 .
2n-1
16.答案 1解析 设OA=a,∵AD=BC=1,AB=3,∴点D的坐标为(a,1),点C的坐标为(a+3,1).把(a+3,1)代
1 1 k
入直线y= x-1得1= (a+3)-1,解得a=1,把点D坐标(1,1)代入y= 得k=1.
2 2 x
10
17.答案
3
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=5,∵AB=12,∴BD= =13.
√52+122
∵△DEA'由△DEA翻折而成,∴A'E⊥BD,AE=A'E,A'D=AD=5,∴A'B=13-5=8.
在Rt△BEA'中,BE2=A'E2+A'B2.
∵AE=A'E,BE=12-AE,A'B=8,
10
∴(12-AE)2=AE2+82,解得AE= .
3
18.答案 48
解析 如图,以点C为原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.设抛物
线的解析式为y=ax2,由题意可知点B坐标为(18,-9),把(18,-9)代入y=ax2,得-9=182a,a=-
1 1
,∴y=- x2,当y=-(9+7)=-16时,x=±24,所以DE=48 m.
36 36
√2
19.解析 (1)原式=√2× -1=1-1=0.
2
1
(2)二; .
x-2
20.解析 原方程可化为4x2-4x+1=3x2+2x-7.∴x2-6x+8=0.(3分)
∴(x-2)(x-4)=1.(5分)
∴x=2,x=4.(7分)
1 2
21.解析 (1)①作图正确,并有痕迹.(2分)
②连结BE交延长交AM于点F.(3分)
(2)AF∥BC且AF=BC.(4分)
理由如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C.
由作图可知:∠DAC=2∠FAC,
∴∠C=∠FAC,∴AF∥BC.(6分)
∵E是AC的中点,∴AE=CE.∵∠AEF=∠CEB,
∴△AEF≌△CEB,∴AF=BC.(8分)
22.解析 列表如下:
第一次
H P Y W
第二次
H HP HY HW
P PH PY PW
Y YH YP YW
W WH WP WY
(6分)
或画树状图如下:(6分)
由列表(或画树状图)可以看出,所有可能出现的结果共有12种,而且每种结果出现的可能性
都相同,其中抽到的两个景点都在太原以南或以北的结果共有4种.(8分)
4 1
∴P(小勇能到两个景点旅游)= = .(9分)
12 3
23.解析 (1)CD是☉O的切线.(1分)
理由如下:连结OC.∵OC=OB,∴∠B=∠1.
又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2.(2分)
∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°.
∴∠B+∠Q=90°.(3分)
∴∠1+∠2=90°.
∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°=90°.(4分)
∴OC⊥DC.∵OC是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.(5分)
(2)连结AC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.(6分)
在Rt△ABC中,
3 21
BC=AB·cos B=(AP+PB)cos B=(1+6)× = .
5 56
BP
在Rt△BPQ中,BQ= =3=10.(8分)
cosB
5
21 29
∴QC=BQ-BC=10- = .(9分)
5 5
评析 本题考查了切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线,也考查了等
腰三角形的性质、圆周角定理的推论以及三角函数的应用,要求学生掌握常见的解题方法,
并能结合图形选择简单的方法解题.
24.解析 (1)y=0.1x+6;y=0.12x.
(2)由0.1x+6>0.12x,得x<300.
由0.1x+6=0.12x,得x=300.
由0.1x+6<0.12x,得x>300.(5分)
由此可知:当100≤x<300时,选择乙种方式较合算;
当x=300时,选择甲、乙两种方式都可以;
当300
