2014 年山西省高中阶段教育学校招生统一考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一
项符合题目要求)
1.计算-2+3的结果是( )
A.1 B.-1 C.-5 D.-6
2.如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,∠1=110°,则∠2等于( )
A.65° B.70° C.75° D.80°
3.下列运算正确的是( )
A.3a2+5a2=8a4 B.a6·a2=a12
C.(a+b)2=a2+b2 D.(a2+1)0=1
4.下图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”,它解决的数学问
题是( )
A.黄金分割 B.垂径定理
C.勾股定理 D.正弦定理
5.下图是由三个小正方体叠成的一个几何体,它的左视图是( )
6.我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数,回顾学习过程,都是按照列表、描点、连线
得到函数的图象,然后根据函数的图象研究函数的性质.这种研究方法主要体现的数学思想是
( )
A.演绎 B.数形结合 C.抽象 D.公理化
7.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,下列说法正确的是( )
A.频率就是概率B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的,与频率无关
D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
8.如图,☉O是△ABC的外接圆,连结OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.80°
9.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm(1 μm=0.000 001 m)的颗粒物,也称为可入肺颗
粒物.它们含有大量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5 μm用科
学记数法可表示为( )
A.2.5×10-5 m B.0.25×10-7 m
C.2.5×10-6 m D.25×10-5 m
10.如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边
EF,EG分别交BC,DC于点M,N,若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面
积为( )
2 1 5 4
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
3 4 9 9
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.计算:3a2b3·2a2b= .
1 6
12.化简 + 的结果是 .
x+3 x2-9
8
13.如图,已知一次函数y=kx-4的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y= 在第
x
一象限内的图象交于点C,且A为BC的中点,则k= .
14.甲、乙、丙三位同学打乒乓球,想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两人先打.规则如
下:三人同时各用一只手随机出示手心或手背,若只有两人手势相同(都是手心或都是手背),则
这两人先打;若三人手势相同,则重新决定.那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓
球的概率是 .
15.一走廊拐角的横截面如图所示,已知AB⊥BC,AB∥DE,BC∥FG,且两组平行墙壁间的走廊宽⏜
度都是1 m.EF的圆心为O,半径为1 m,且∠EOF=90°,DE,FG分别与☉O相切于E,F两点.若
⏜
水平放置的木棒MN的两个端点M,N分别在AB和BC上,且MN与☉O相切于点P,P是EF
的中点,则木棒MN的长度为 m.
1
16.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ACE= ∠BAC,CE交AB于
2
点E,交AD于点F,若BC=2,则EF的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
(1) -1
(1)计算:(-2)2·sin 60°- ×√12;
2
(2)分解因式:(x-1)(x-3)+1.
18.(本题6分)
{5x-2>2x-9, ①
解不等式组 并求出它的正整数解.
1-2x≥-3.②19.(本题6分)
阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.
几何中,平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形,大家对于它们的性
质都非常熟悉.生活中还有一种特殊的四边形——筝形.所谓筝形,它的形状与我们生活中风
筝的骨架相似.
定义:两组邻边分别相等的四边形,称之为筝形.如图,四边形 ABCD 是筝形,其中
AB=AD,CB=CD.
判定:①两组邻边分别相等的四边形是筝形.
②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形.
显然,菱形是特殊的筝形,就一般筝形而言,它与菱形有许多相同点和不同点.
如果只研究一般的筝形(不包括菱形),请根据以上材料完成下列任务:
(1)请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条;
(2)请仿照图1的画法,在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等
的菱形组成的新图案,具体要求如下:①顶点都在格点上;②所设计的图案既是轴对称图形又
是中心对称图形;③将新图案中的四个筝形都涂上阴影(建议用一系列平行斜线表示阴影).
图1 图220.(本题10分)
某公司招聘人才,对应聘者分别进行阅读能力、思维能力和表达能力三项测试,其中甲、乙两
人的成绩如下表(单位:分):
项目
阅读 思维 表达
人员
甲 93 86 73
乙 95 81 79
(1)若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人,那么谁将被录用?
(2)根据实际需要,公司将阅读、思维和表达能力三项测试得分按3∶5∶2的比确定每人的最后
成绩,若按此成绩在甲、乙两人中录用一人,谁将被录用?
(3)公司按照(2)中的成绩计算方法,将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示的频数分布直
方图(每组分数段均包含左端数值,不包含右端数值,如最右边一组分数x为:85≤x<90),并决定
由高分到低分录用8名员工,甲、乙两人能否被录用?请说明理由,并求出本次招聘人才的录
用率.
21.(本题7分)
如图,点A,B,C表示某旅游景区三个缆车站的位置,线段AB,BC表示连接缆车站的钢缆,已知
A,B,C三点在同一铅直平面内,它们的海拔高度AA',BB',CC'分别为110米,310米,710米,钢缆
AB的坡度i=1∶2,钢缆BC的坡度i=1∶1,景区因改造缆车线路,需要从A到C直线架设一条钢
1 2
缆,那么钢缆AC的长度是多少米?(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)22.(本题9分)
某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46 000平方米,施工队在绿化了22 000平方米后,
将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.
(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米?
(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形
绿地,它们的面积之和为56平方米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所
示),问人行通道的宽度是多少米?
23.(本题11分)
课题学习:正方形折纸中的数学
动手操作:如图1,四边形ABCD是一张正方形纸片,先将正方形ABCD对折,使BC与AD重
合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B'.
数学思考:(1)求∠CB'F的度数;
(2)如图2,在图1的基础上,连结AB',试判断∠B'AE与∠GCB'的大小关系,并说明理由.解决问题:
(3)如图3,按以下步骤进行操作:
第一步:先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后继续对
折,使AB与DC重合,折痕为MN,再把这个正方形展平,设EF和MN相交于点O;
第二步:沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B';再沿直线AH折叠,使D点落在EF上,
对应点为D';
第三步:设CG,AH分别与MN相交于点P,Q,连结B'P,PD',D'Q,QB'.
试判断四边形B'PD'Q的形状,并证明你的结论.
图1 图2 图3
24.(本题13分)
综合与探究:如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是平行四边形,A,C两点的坐标分
别为(4,0),(-2,3),抛物线W经过O,A,C三点,D是抛物线W的顶点.
(1)求抛物线W的解析式及顶点D的坐标;
(2)将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后,再向下平移m(0<m<3)个单位,得到抛
物线W'和▱O'A'B'C'.在向下平移的过程中,设▱O'A'B'C'与▱OABC的重叠部分的面积为S,
试探究:当m为何值时S有最大值,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取最大值时,设此时抛物线W'的顶点为F,若点M是x轴上的动点,点N
是抛物线W'上的动点,试判断是否存在这样的点M和点N,使得以D,F,M,N为顶点的四边形
是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.答案全解全析：
一、选择题
1.A 根据有理数加法法则,异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,再用较大的绝对值减
去较小的绝对值.-2+3=1.故选A.
2.B ∵AB∥CD,∠1=110°,∴∠3=110°.
∵∠3+∠2=180°,∴∠2=180°-110°=70°.故选B.
3.D A项:3a2和5a2是同类项,合并同类项得8a2,故本选项错误;B项:a6·a2=a6+2=a8,故本选项错
误;C项:由完全平方公式得(a+b)2=a2+b2+2ab,故本选项错误;D项:由任意一个不等于0的数的
0次幂等于1可知(a2+1)0=1,故本选项正确.故选D.
4.C 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家.《周髀算经》记载了古代数学家赵爽证明
勾股定理的“弦图”.故选C.
5.C 立体图形的左视图是从物体左侧看到的一个平面图形,所以该几何体的左视图是竖直
放置的两个小正方形,故选C.
6.B 数形结合是数学中常用的思想方法,用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问
题具体化,能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维,我们学习函数时利用
数形结合思想有助于掌握函数的图象和性质,故选B.
7.D 随机事件A发生的频率,是指在相同条件下重复n次试验,事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,与试验次数有关,选项B错误;但频率又不同于概率,频率本身是随机的,在试
验前不能确定,无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小,而概率是一个确定的常数,是
客观存在的,与试验次数无关,选项A错误;在大量重复试验时,频率会逐步趋于稳定,总在某个
常数附近摆动,且摆动幅度很小,那么这个常数叫做这个事件发生的概率.由此可见,随着试验
次数的增多,频率会越来越接近于概率,可以看作是概率的近似值,选项C错误,而选项D正确.
1
8.B 根据圆周角定理得∠C= ∠AOB,∵∠OBA=50°,OA=OB,∴∠AOB=80°,∴∠C=40°.故选B.
2
9.C 2.5 μm=0.000 002 5 m,将0.000 002 5用科学记数法表示为2.5×10-6.故选C.
评析 科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变
成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值大于1
时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
10.D 过点E作EO⊥CD,EH⊥BC,显然四边形EHCO为正方形,∴EH=EO,∠HEO=90°.
∵∠GEF=∠HEO=90°,∴∠OEN=∠MEH.
∵∠EHM=∠EON=90°,∴△EHM≌△EON,
∴S =S .
四边形EMCN 正方形EHCO
EC 2
∴ EC=2=AE.,∵
AC 3
∴ ASB=a,∵ =a2,
正方形ABCD
4 4
∴S = S = a2,
正方形EHCO
9
正方形ABCD
9
4
所以重叠部分四边形EMCN的面积为 a2.故选D.
9
二、填空题
11.答案 6a4b4
解析 3a2b3·2a2b=6a4b4.
1
12.答案
x-3
1 6 x-3 6 x+3 1
解析 + = + = = .
x+3 x2-9 x2-9 x2-9 x2-9 x-3
13.答案 4
解析 过点C作CE⊥y轴,垂足为E.
∵OA∥CE,A为BC的中点,∴OB=OE.
∵一次函数y=kx-4与y轴交于点B,
∴点B的坐标为(0,-4),∴OE=4,即点C的纵坐标为4.
8
令 =4,得x=2,∴点C的坐标为(2,4).
x
把(2,4)代入y=kx-4,得k=4.1
14.答案
2
解析 分别用A,B表示手心,手背.画树状图如下:
∴共有8种等可能的结果,通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球有4种情况,
4 1
∴通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是 = .
8 2
15.答案 (4√2-2)
解析 连结OB,延长OE交AB于点I,延长OF交BC于点H,由题意可知四边形OIBH为正
方形.
∵P为 ⏜ 的中点,∴显然O、P、B三点共线.
EF
∵OE=OF=1 m,EI=FH=1 m,∴OH=2 m.
又∵OP=OE=1 m,OB=√2OH=2√2 m,
∴PB=OB-OP=(2√2-1)m.
由切线的性质可得 MN⊥OP,则MN⊥BP.易知△BMN为等腰直角三角形,∴MN=2PB=2(2√2
-1)=(4√2-2)m.
16.答案 √3-1
解析 在DF上取点G,使DG=DC,连结CG.
∵AB=AC,AD为BC边上的中线,
1
∴AD⊥BC,∠CAD=∠BAD= ∠BAC=15°,
2
∴△CDG为等腰直角三角形,∴∠DCG=45°.
1
∵∠ACE= ∠BAC,∴∠ACE=∠CAD,
2
∴AF=CF.
1
∵∠ACE= ∠BAC=15°,∠DCG=45°,
2
180°-∠BAC
∠ACB= =75°,
2∴∠FCG=75°-15°-45°=15°,∴∠BAD=∠FCG.
又∵∠AFE=∠CFG,AF=CF,∴△AFE≌△CFG(ASA),
∴EF=FG.
1
∵AB=AC,AD为BC边上的中线,∴CD= BC=1.
2
∵∠DCF=75°-15°=60°,∴DF=√3DC=√3.
又∵DG=DC=1,∴EF=FG=DF-DG=√3-1.
三、解答题
√3
17.解析 (1)原式=4× -2×2√3(4分)
2
=2√3-4√3=-2√3.(5分)
(2)原式=x2-3x-x+3+1(2分)
=x2-4x+4(3分)
=(x-2)2.(5分)
7
18.解析 解不等式①,得x>- .(1分)
3
解不等式②,得x≤2.(2分)
7
∴原不等式组的解集为- <x≤2.(4分)
3
∴原不等式组的正整数解为1,2.(6分)
19.解析 (1)本小题是开放题,答案不唯一.两条相同点和两条不同点每答对一条给1分,共4
分.参考答案如下:
相同点:①两组邻边分别相等;②有一组对角相等;③一条对角线垂直平分另一条对角线;④一
条对角线平分一组对角;⑤都是轴对称图形;⑥面积等于对角线乘积的一半.
不同点:①菱形的对角线互相平分,筝形的对角线不互相平分;②菱形的四边都相等,筝形只有
两组邻边分别相等;③菱形的两组对边互相平行,筝形的对边不平行;④菱形的两组对角分别
相等,筝形只有一组对角相等;⑤菱形的邻角互补,筝形的邻角不互补;⑥菱形既是轴对称图形,
又是中心对称图形,筝形是轴对称图形,不是中心对称图形.
(2)本小题是开放题,答案不唯一,只要符合题目要求均得2分,未按要求涂阴影的扣1分.参考
答案如下:93+86+73
20.解析 (1)∵x = =84(分),(1分)
甲 3
95+81+79
x = =85(分),(2分)
乙 3
∴x >x ,∴乙将被录用.(3分)
乙 甲
93×3+86×5+73×2
(2)∵x' = =85.5(分),(4分)
甲 3+5+2
95×3+81×5+79×2
x' = =84.8(分),(5分)
乙 3+5+2
∴x' >x' ,∴甲将被录用.(6分)
甲 乙
(3)甲一定能被录用,而乙不一定能被录用.(7分)
理由如下:由直方图知成绩最高一组分数段85≤x<90中有7人,公司招聘8人,又x' =85.5分,
甲
显然甲在该组,所以甲一定能被录用;在80≤x<85这一组内有10人,仅有1人能被录用,而x'
乙
=84.8分,在这一组内不一定是最高分,所以乙不一定能被录用.(9分)
8
由直方图知,应聘人数共有 50 人,录用人数为 8 人,所以本次招聘人才的录用率为
50
×100%=16%.(10分)
21.解析 如图,过点A作AE⊥CC'于点E,交BB'于点F,过点B作BD⊥CC'于点D.(1分)
则△AFB,△BDC和△AEC都是直角三角形,四边形AA'B'F,BB'C'D和BFED都是矩形.(2分)
∴BF=BB'-FB'=BB'-AA'=310-110=200,
CD=CC'-DC'=CC'-BB'=710-310=400.(3分)
∵i=1∶2,i =1∶1,∴AF=2BF=400,BD=CD=400.
1 2
又∵FE=BD=400,DE=BF=200,
∴AE=AF+FE=800,CE=CD+DE=600.(5分)
∴在Rt△AEC中,AC= = =1 000(米).(6分)
√AE2+CE2 √8002+6002
答:钢缆AC的长度为1 000米.(7分)
22.解析 (1)设该项绿化工程原计划每天完成x平方米,
根据题意,得(1分)
46 000-22 000 46 000-22 000
- =4.(2分)
x 1.5x
整理,得6x=12 000.解得x=2 000.(3分)
经检验,x=2 000是原方程的解.(4分)
答:该项绿化工程原计划每天完成2 000平方米.(5分)
(2)设人行通道的宽度是y米,根据题意,得(6分)
(20-3y)(8-2y)=56.(7分)
26
整理,得3y2-32y+52=0,解得y=2,y= (不合题意,舍去).(8分)
1 2
3
答:人行通道的宽度是2米.(9分)
23.解析 (1)解法一:如图1,由对折可知,1
∠EFC=90°,CF= CD.(1分)
2
∵四边形ABCD为正方形,∴CD=CB.
1
∴CF= CB.
2
又由折叠可知,CB'=CB.
1
∴CF= CB'.(2分)
2
CF 1
∴在Rt△B'FC中,sin∠CB'F= = .
CB' 2
∴∠CB'F=30°.(3分)
图1
解法二:如图1,连结B'D,由对折知,EF垂直平分CD,
∴B'C=B'D.由折叠知,B'C=BC.
∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD.
∴B'C=CD=B'D,∴△B'CD为等边三角形.(2分)
∴∠CB'D=60°.∵EF⊥CD,
1 1
∴∠CB'F= ∠CB'D= ×60°=30°.(3分)
2 2
(2)∠B'AE=∠GCB'.(4分)
证法一:如图2,连结B'D.同(1)中解法二,
△B'CD为等边三角形,(5分)
∴∠CDB'=60°.
∵四边形ABCD为正方形,
图2
∴∠CDA=∠DAB=90°.∴∠B'DA=30°.
∵DB'=DA,∴∠DAB'=∠DB'A.
1
∴∠DAB'= (180°-∠B'DA)=75°.
2
∴∠B'AE=∠DAB-∠DAB'=90°-75°=15°.(6分)
由(1)知∠CB'F=30°,∵EF∥BC,∴∠B'CB=∠CB'F=30°.
1 1
由折叠知,∠GCB'= ∠B'CB= ×30°=15°.
2 2
∴∠B'AE=∠GCB'.(7分)
证法二:如图2,连结B'B交CG于点K,由对折知,EF垂直平分AB,
∴B'A=B'B.∴∠B'AE=∠B'BE.(5分)
∵四边形ABCD为正方形,∴∠ABC=90°.∴∠B'BE+∠KBC=90°.由折叠知,∠BKC=90°,
∴∠KBC+∠GCB=90°.∴∠B'BE=∠GCB.(6分)
又由折叠知,∠GCB=∠GCB',∴∠B'AE=∠GCB'.(7分)
(3)四边形B'PD'Q为正方形.
证法一:如图3,连结AB',由(2)知,∠B'AE=∠GCB'.
由折叠知,∠GCB'=∠PCN,∴∠B'AE=∠PCN.
1 1
由对折知,∠AEB'=∠CNP=90°,AE= AB,CN= BC.
2 2
图3
又∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∴AE=CN.
∴△AEB'≌△CNP.
∴EB'=NP.(9分)
同理可得,FD'=MQ,由对称性可知,EB'=FD'.
∴EB'=NP=FD'=MQ.
由两次对折可知,OE=ON=OF=OM.
∴OB'=OP=OD'=OQ,
∴四边形B'PD'Q为矩形.(10分)
由对折知,MN⊥EF于点O,∴PQ⊥B'D'于点O.
∴四边形B'PD'Q为正方形.(11分)
证法二:如图3,由折叠和正方形ABCD得,∠GB'C=∠B=90°.
由(1)知,∠CB'F=30°,∴∠GB'E=60°.
1
由对折知,∠BEF=90°.∴∠EGB'=30°,∴EB'= GB'.
2
1
由折叠知,GB'=GB,∴EB'= GB.(8分)
2
由对折知,∠MNC=∠B=90°.∵∠PCN=∠GCB,
∴△PNC∽△GBC.
1
PN CN CB 1 1
∴ = =2 = .∴PN= GB.∴PN=EB'.(9分)
GB CB 2 2
CB
以下同证法一.(11分)
24.解析 (1)∵抛物线W过原点O(0,0),∴设抛物线W的解析式为y=ax2+bx(a≠0).
∵抛物线W经过A(4,0),C(-2,3)两点,
{ 1
∴{16a+4b=0,解得 a= ,(2分)
4
4a-2b=3,
b=-1.
1
∴抛物线W的解析式为y= x2-x.(3分)
4
1 1
∵y= x2-x= (x-2)2-1,
4 4∴顶点D的坐标为(2,-1).(4分)
(2)由▱OABC得,CB∥OA,CB=OA=4.
又∵C点的坐标为(-2,3),
∴B点的坐标为(2,3).(5分)
如图,过点B作BE⊥x轴于点E,由平移可知,点C'在BE上,且BC'=m.
∴BE=3,OE=2,∴EA=OA-OE=2.
设C'B'与BA交于点G,C'O'与x轴交于点H,
∵C'B'∥x轴,
∴△BC'G∽△BEA.(6分)
BC' C'G BC' C'G
∴ = ,即 = ,
BE EA 3 2
2 2
∴C'G= BC'= m.(7分)
3 3
由平移知,▱O'A'B'C'与▱OABC的重叠部分四边形C'HAG是平行四边形.
2
∴S=C'G·C'E= m(3-m)(8分)
3
=-2m2+2m=-2( 3) 2+3.
m-
3 3 2 2
2 3 3
∵- <0,且0<m<3,∴当m= 时,S有最大值为 .(9分)
3 2 2
(3)存在这样的点M和点N.
点M的坐标分别为M(0,0),M (4,0),M (6,0),M (14,0).(13分)
1 2 3 4
评析 本题综合考查了平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、相似三角形的性质等.
考查学生综合运用数学知识和数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等多种数学
思想方法来解决问题的能力.综合性较强,有一定难度.
