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2014 年上海市初中毕业统一学业考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)
下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的.
1.计算√2×√3的结果是( )
A.√5 B.√6 C.2√3 D.3√2
2.据统计,2013年上海市全社会用于环境保护的资金投入约为60 800 000 000元,这个数用
科学记数法表示为( )
A.608×108 B.60.8×109 C.6.08×1010 D.6.08×1011
3.如果将抛物线y=x2向右平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是( )
A.y=x2-1 B.y=x2+1 C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2
4.如图,已知直线a、b被直线c所截,那么∠1的同位角是( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
5.某市测得上一周PM2.5的日均值(单位:微克/立方米)如下:50,40,73,50,37,50,40,这组数据的
中位数和众数分别是( )
A.50和50 B.50和40 C.40和50 D.40和40
6.如图,已知AC、BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是( )
A.△ABD与△ABC的周长相等
B.△ABD与△ABC的面积相等
C.菱形ABCD的周长等于两条对角线长之和的两倍
D.菱形ABCD的面积等于两条对角线长之积的两倍
第Ⅱ卷(非选择题,共126分)
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.计算:a(a+1)= .
1
8.函数y= 的定义域是 .
x-1
{x-1>2,
9.不等式组 的解集是 .
2x<8
10.某文具店二月份共销售各种水笔 320支,三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了
10%,那么该文具店三月份共销售各种水笔 支.11.如果关于x的方程x2-2x+k=0(k为常数)有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是
.
12.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1∶2.4,如果它把物体送到离地面10米高的地方,那
么物体所经过的路程为 米.
13.如果从初三(1)、(2)、(3)班中随机抽取一个班与初三(4)班进行一场拔河比赛,那么恰好抽
到初三(1)班的概率是 .
k
14.已知反比例函数y= (k是常数,k≠0),在其图象所在的每个象限内,y的值随着x的值增大
x
而增大,那么这个反比例函数的解析式可以是 (只需写一个).
15.如图,已知在平行四边形ABCD中,点E在边AB上,且AB=3EB.设⃗AB=a,⃗BC=b,那么⃗DE=
(结果用a、b表示).
16.甲、乙、丙三人进行飞镖比赛,已知他们每人五次投掷的成绩如图所示,那么三人中成绩
最稳定的是 .
17.一组数:2,1,3,x,7,y,23,…,满足“从第三个数起,前两个数依次为a、b,紧随其后的数就是2a-
b”,例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2-1”得到的,那么这组数中y表示的数为 .
18.如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点
C、D分别落在边BC下方的点C'、D'处,且点C'、D'、B在同一直线上,折痕与边AD交于点
F,D'F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为 (用含t的代数式表示).
三、解答题(本大题共7题,满分78分)
19.(本题满分10分)
1 1
计算:√12- -
83
+|2-√3|.
√320.(本题满分10分)
x+1 2 1
解方程: - = .
x-1 x2-1 x+1
21.(本题满分10分,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分3分)
已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系.现有一支水银体温
计,其部分刻度线不清晰(如图),下表记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长
度.
水银柱的长度x(cm) 4.2 … 8.2 9.8
体温计的读数y(℃) 35.0 … 40.0 42.0
(1)求y关于x的函数解析式(不需要写出函数定义域);
(2)用该体温计测体温时,水银柱的长度为6.2 cm,求此时体温计的读数.
22.(本题满分10分,每小题满分各5分)
如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与
CD、CB相交于点H、E,AH=2CH.
(1)求sin B的值;
(2)如果CD=√5,求BE的长.23.(本题满分12分,每小题满分各6分)
已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC、BD相交于点F,点E是边BC延长线
上一点,且∠CDE=∠ABD.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
DG DF
(2)连结AE,交BD于点G.求证: = .
GB DB
24.(本题满分12分,每小题满分各4分)
2
在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y
3
轴交于点C(0,-2).
(1)求该抛物线的表达式,并写出其对称轴;
(2)点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点,点F在对称轴上,四边形ACEF为梯形,求点F的
坐标;
(3)点D为该抛物线的顶点,设点P(t,0),且t>3,如果△BDP和△CDP的面积相等,求t的值.25.(本题满分14分,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分6分)
4
如图所示,已知在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=8,cos B= ,点P是边BC上的动点,以CP
5
为半径的圆C与边AD交于点E、F(点F在点E的右侧),射线CE与射线BA交于点G.
(1)当圆C经过点A时,求CP的长;
(2)连结AP,当AP∥CG时,求弦EF的长;
(3)当△AGE是等腰三角形时,求圆C的半径长.
答案全解全析：
一、选择题
1.B √2×√3=√2×3=√6.
2.C 60 800 000 000的整数位有11位,所以用科学记数法表示为6.08×1010.
3.C 抛物线的平移规律是“左加右减,上加下减”,如当抛物线y=ax2向右平移h(h>0)个单位
时,所得新抛物线的解析式为y=a(x-h)2,所以当抛物线y=x2向右平移1个单位时,所得新抛物
线的解析式为y=(x-1)2.
4.D ∠1在直线a的下方,且在直线c的左边,∠5在直线b的下方,也在直线c的左边,所以它
们是同位角,选D.
5.A 把这组数据按照从小到大的顺序排列为:37,40,40,50,50,50,73,共有七个数,中位数是50,其中50出现的次数最多,所以众数为50.故选A.
1 1
6.B 解法一:由题图可知S = S ,S = S ,所以S =S .
△ABD
2
菱形ABCD △ABC
2
菱形ABCD △ABD △ABC
解法二:△ABC和△ABD是同底等高的两个三角形,所以S =S .
△ABC △ABD
二、填空题
7.答案 a2+a
解析 a(a+1)=a2+a.
评析 本题考查单项式与多项式的乘法.
8.答案 x≠1
1
解析 要使分式 有意义,则分母x-1≠0,即x≠1.
x-1
评析 本题考查函数的定义域.
9.答案 32得x>3,解不等式2x<8得x<4,所以原不等式组的解集是30,即(-2)2-4×1×k=4-4k>0,解得k<1.
评析 本题考查一元二次方程的根的判别式.
12.答案 26
解析 如图,斜坡AB的坡度i=1∶2.4=AC∶BC=10∶BC,所以BC=24米,所以AB= =26
√102+242
米.
1
13.答案
3
1
解析 初三(1)、(2)、(3)班被抽到的机会均等,共3种可能,恰好抽到初三(1)班的概率是 .
3
1
14.答案 y=- (答案不唯一)
x
k
解析 因为反比例函数y= (k≠0)的图象在每个象限内y的值随着x的值增大而增大,所以
x
k<0,即只需满足k<0即可,此题答案不唯一.
2
15.答案 a-b
3
2 2
解析 如图,过点 E作EF∥AD,因为AB=3EB=3FC,所以⃗DA=-b,⃗DF= ⃗AB= a,所以⃗DE=
3 3
2
⃗DA+⃗DF= a-b.
316.答案 乙
解析 从折线统计图可以看出,甲、丙两人成绩浮动较大,极差分别为7、6,而乙的成绩较稳
定,极差为2.所以成绩最稳定的是乙.
17.答案 -9
解析 根据题意得,x=2×1-3=-1,y=2x-7=-2-7=-9.
18.答案 2√3t
解析 连结BD',∵点C'、D'、B在同一直线上,∴∠D=∠FD'C'=∠GD'B=90°,由翻折知,CE=C'E,
∴BE=2CE=2C'E,
∴∠EBC'=30°,∠BGD'=60°,
∵∠BGD'=∠FGE,∴∠FGE=60°.
∵AD∥BC,∴∠AFG=∠BGD'.
∴∠AFG=60°,
易得∠GFE=60°,
∴△EFG为等边三角形.
2
∵AB=t,∴FG= √3t,
3
∴C =2√3t.
△EFG
三、解答题
√3 2√3
19.解析 原式=2√3- -2+2-√3= .
3 3
20.解析 去分母,整理得x2+x=0.
解方程,得x=-1,x=0.
1 2
经检验:x =-1是增根,舍去;x =0是原方程的根.
1 2
所以原方程的根是x=0.
评析 此题考查可化为一元二次方程的分式方程的解法,易错点是忽视验根.
21.解析 (1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
5
{ k= ,
由题意,得{4.2k+b=35,解得 4
8.2k+b=40, 119
b= .
4
5 119
所以y关于x的函数解析式为y= x+ .
4 4
(2)当x=6.2时,y=37.5.
答:此时该体温计的读数为37.5 ℃.
评析 第(1)问考查待定系数法求一次函数解析式,第(2)问是代入自变量的值求函数值.
22.解析 (1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴AB=2CD=2BD,∴∠DCB=∠B.
∵AH⊥CD,∴∠AHC=∠CAH+∠ACH=90°.
又∵∠DCB+∠ACH=90°,∴∠CAH=∠DCB=∠B.
AC CH
∴△ABC∽△CAH.∴ = .
BC AH
又∵AH=2CH,∴BC=2AC.可设AC=k,BC=2k,
在Rt△ABC中,AB= = k.
√AC2+BC2 √5
AC √5
∴sin B= = .
AB 5(2)∵AB=2CD,CD=√5,∴AB=2√5.
√5
在Rt△ABC中,AC=AB·sin B=2√5× =2.
5
∴BC=2AC=4.
CE CH 1
在Rt△ACE和Rt△AHC中,tan∠CAE= = = .
AC AH 2
1
∴CE= AC=1.
2
∴BE=BC-CE=3.
23.证明 (1)∵四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AB=DC,
∴∠ADC=∠DAB.
∵AD∥BE,∴∠ADC=∠DCE.∴∠DAB=∠DCE.
在△ABD和△CDE中,
{∠DAB=∠DCE,
∵ AB=CD,
∠ABD=∠CDE,
∴△ABD≌△CDE,∴AD=CE.
又∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形.
(2)∵四边形ACED是平行四边形,∴FC∥DE.
DF CE
∴ = .
DB BE
DG AD
∵AD∥BE,∴ = .
GB BE
DG DF
又∵AD=CE,∴ = .
GB DB
2
24.解析 (1)∵点A(-1,0)和点C(0,-2)在抛物线y= x2+bx+c上,
3
{2 { 4
∴ ×1-b+c=0, 解得 b=- ,
3 3
c=-2, c=-2.
2 4
∴该抛物线的表达式为y= x2- x-2,对称轴为直线x=1.
3 3
(2)∵点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点,∴E(1,0).
∵四边形ACEF为梯形,AC与y轴交于点C,∴AC与EF不平行.
∴AF∥CE.∴∠FAE=∠OEC.
EF
在Rt△AEF中,∠AEF=90°,tan∠FAE= ,
AE
OC EF OC
同理,在Rt△OEC中,tan∠OEC= ,∴ = .
OE AE OE
∵OC=2,OE=1,AE=2,∴EF=4,∴点F的坐标是(1,4).
(3)该抛物线的顶点D的坐标是( 8),点B的坐标是(3,0).
1,-
3由点P(t,0),且t>3,得点P在点B的右侧(如图).
1 8 4
S = ×(t-3)× = t-4.
△BPD
2 3 3
1 8 1 2 1 1
S = ×(1+t)× - ×1× - ×t×2= t+1.
△CDP
2 3 2 3 2 3
4 1
∵S =S ,∴ t-4= t+1.
△BPD △CDP
3 3
解得t=5.
即符合条件的t的值是5.
评析 此题第(2)问难点是根据已知条件确定出AF∥CE.第(3)问关键是根据已知条件分别用
含t的代数式表示出△BPD与△CDP的面积.考查学生灵活运用知识的能力,难度较大.
25.解析 (1)过点A作AH⊥BC,垂足为点H.连结AC.
BH 4
在Rt△AHB中,∠AHB=90°,cos B= = ,AB=5,
AB 5
∴BH=4.
∵BC=8,∴AH垂直平分BC.
∴AC=AB=5.
∵圆C经过点A,∴CP=AC=5.
(2)过点C作CM⊥AD,垂足为点M.设圆C的半径长为x.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC=5,AD=BC=8,∠B=∠D.
4
又由cos B= ,得DM=4,CM=3.
5
在Rt△EMC中,∠EMC=90°,EM= = .
√EC2-CM2 √x2-9
又∵点F在点E的右侧,∴DE=EM+DM= +4.
√x2-9
∴AE=AD-DE=4- .
√x2-9
由AD∥BC,AP∥CG,得四边形APCE是平行四边形.
25
∴AE=CP,即4-√x2-9=x.解得x= .
8
25
经检验:x= 是原方程的根,且符合题意.
8
∴EM=√ (25) 2
-32
=7.
8 8
7
在圆C中,由CM⊥EF,得EF=2EM= .
4
7
∴当AP∥CG时,弦EF的长为 .
4(3)设圆C的半径长为x,则CE=x,
又∵点F在点E的右侧,∴DE= +4.
√x2-9
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC.∴△AGE∽△DCE.
由△AGE是等腰三角形,可得△DCE是等腰三角形.
①若GE=GA,则CE=CD,又由(1)知CD=CA,∴CE=CA.
又∵点A、E在线段AD的垂直平分线CM的同侧,
∴点E与点A重合,舍去.
②若AG=AE,则DC=DE,得 +4=5.
√x2-9
解得x=±√10,则x=-√10不符合题意,舍去.∴x=√10.
③若GE=AE,则CE=DE,得 +4=x.
√x2-9
25
解得x= ,不符合题意,舍去.
8
综上所述,当△AGE是等腰三角形时,圆C的半径长为√10.
评析 此题是圆、平行四边形、锐角三角函数、等腰三角形的综合题,考查学生运用变化的
观点分析问题的能力.
