文档内容
2014 年北京市高级中等学校招生考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共32分)
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1.2的相反数是( )
1 1
A.2 B.-2 C.- D.
2 2
2.据报道,某小区居民李先生改进用水设备,在十年内帮助他居住小区的居民累计节水 300
000吨.将300 000用科学记数法表示应为( )
A.0.3×106 B.3×105 C.3×106 D.30×104
3.如图,有6张扑克牌,从中随机抽取一张,点数为偶数的概率是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 4 3 2
4.如图是某几何体的三视图,该几何体是( )
A.圆锥 B.圆柱 C.正三棱柱 D.正三棱锥
5.某篮球队12名队员的年龄如下表所示:
年龄(岁) 18 19 20 21
人数 5 4 1 2
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是( )
A.18,19 B.19,19 C.18,19.5 D.19,19.5
6.园林队在某公园进行绿化,中间休息了一段时间.已知绿化面积S(单位:平方米)与工作时间
t(单位:小时)的函数关系的图象如图所示,则休息后园林队每小时绿化面积为( )A.40平方米 B.50平方米 C.80平方米 D.100平方米
7.如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为( )
A.2√2 B.4 C.4√2 D.8
8.已知点A为某封闭图形边界上一定点,动点P从点A出发,沿其边界顺时针匀速运动一周.
设点P运动的时间为x,线段AP的长为y,表示y与x的函数关系的图象大致如图所示,则该封
闭图形可能是( )
第Ⅱ卷(非选择题,共88分)
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9.分解因式:ax4-9ay2= .
10.在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时测得一根旗杆的影长为25 m,
那么这根旗杆的高度为 m.
k
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2.写出一个函数y= (k≠0),使它的
x
图象与正方形OABC有公共点,这个函数的表达式为 .
12.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把点P'(-y+1,x+1)叫做点P的伴随点.已知点
A 的伴随点为 A,点 A 的伴随点为 A,点 A 的伴随点为 A,…,这样依次得到点
1 2 2 3 3 4
A,A ,A ,…,A ,….若点A 的坐标为(3,1),则点A 的坐标为 ,点A 的坐标为
1 2 3 n 1 3 2 014
若点A 的坐标为(a,b),对于任意的正整数 n,点A 均在x轴上方,则a,b应满足的条件为
1 n
.
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.如图,点B在线段AD上,BC∥DE,AB=ED,BC=DB.
求证:∠A=∠E.( 1) -1
14.计算:(6-π)0+ - -3tan 30°+|-√3|.
5
1 2 1
15.解不等式 x-1≤ x- ,并把它的解集在数轴上表示出来.
2 3 2
16.已知x-y=√3,求代数式(x+1)2-2x+y(y-2x)的值.
17.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.
18.列方程或方程组解应用题:
小马自驾私家车从A地到B地,驾驶原来的燃油汽车所需油费108元,驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元.已知每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车
所需的电费多0.54元,求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与BF交
于点P,连结EF,PD.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan∠ADP的值.
20.根据某研究院公布的2009—2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据,绘制的
统计图表如下:
2013年成年国民倾向的阅读方式人数分布统计图
2009—2013年成年国民
年人均阅读图书数量统计表
年份 年人均阅读图书数量(本)
2009 3.88
2010 4.12
2011 4.35
2012 4.56
2013 4.78
根据以上信息解答下列问题:
(1)直接写出扇形统计图中m的值;
(2)从2009到2013年,成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等,估算2014
年成年国民年人均阅读图书的数量约为 本;
(3)2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人,若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平,估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 本.
21.如图,AB是☉O的直径,C是 ⏜ 的中点,☉O的切线BD交AC的延长线于点D,E是OB的
AB
中点,CE的延长线交切线DB于点F,AF交☉O于点H,连结BH.
(1)求证:AC=CD;
(2)若OB=2,求BH的长.
22.阅读下面材料:
小 腾 遇 到 这 样 一 个 问 题 : 如 图 1, 在 △ ABC 中 , 点 D 在 线 段 BC 上 ,
∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求AC的长.
小腾发现,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,通过构造△ACE,经过推理和计算能
够使问题得到解决(如图2) .
请回答:∠ACE的度数为 ,AC的长为 .
参考小腾思考问题的方法,解决问题:
如 图 3, 在 四 边 形 ABCD 中 ,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC 与 BD 交 于 点
E,AE=2,BE=2ED,求BC的长.图3
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,-2),B(3,4).
(1)求抛物线的表达式及对称轴;
(2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A,B之间的部
分为图象G(包含A,B两点).若直线CD与图象G有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t的
取值范围.24.在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连结BE,DE,其中DE交
直线AP于点F.
(1)依题意补全图1;
(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;
(3)如图2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.
25.对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足-M≤y≤M,则称
这个函数是有界函数.在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,下图中
的函数是有界函数,其边界值是1.
1
(1)分别判断函数y= (x>0)和y=x+1(-4a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围;
(3)将函数y=x2(-1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m个单位,得到的函数的边界值是t,当m在什么
3
范围时,满足 ≤t≤1?
4
答案全解全析：
一、选择题1.B ∵2+(-2)=0,∴2的相反数为-2.故选B.
2.B 300 000=3×105.故选B.
3 1
3.D 6张扑克牌中,点数为偶数的有3张,所以抽到点数为偶数的概率是 = .故选D.
6 2
4.C 选项A、B中的几何体,三视图中一定有一个圆,与所给的三视图不符,排除A,B;选项D
中的几何体的三视图是三个三角形,与所给的三视图也不相符,排除D.只有选项C中的几何
体与所给的三视图相符,故选C.
5.A 年 龄 为 18 岁 的 队 员 最 多 , 故 众 数 为 18;12 名 队 员 年 龄 的 平 均 数 为
18×5+19×4+20×1+21×2
=19.故选A.
12
6.B 休息的过程中是不进行绿化工作的,即绿化面积S不变化,由图象可知第1~2小时为园
林队休息时间,则休息后园林队的绿化面积为160-60=100(平方米),所用的时间为4-2=2(小时),
所以休息后园林队每小时绿化面积为100÷2=50(平方米).故选B.
√2
7.C ∵ CO=AO,∴∠COE=2∠A=45°.∵OC=4,∴CE=OC·sin∠COE=4× =2√2
2
.∵AB⊥CD,∴CD=2CE=4√2.故选C.
8.A 由图象可知,AP先由短变长,然后略微变短再变长,最后AP由长变短.选项A与题目要
求相符;选项B是先由短变长,然后略微变短再变长,接着再略微变短再变长,最后由长变短,与
题目要求不符;选项C是先由短变长,到达第一个顶点后继续变长,到达第二个顶点后开始变
短,到达第三个顶点后继续变短,与题目要求不符;选项D是先由短变长,在经过点A的直径与
圆的另一个交点处时最长,然后开始变短,与题目要求不符.故选A.
评析 解决本题的关键是根据图形特征分析函数图象随自变量变化的趋势,结合图形性质通
过定性分析来确定选项.属中档题.
二、填空题
9.答案 a(x2+3y)(x2-3y)
解析 ax4-9ay2=a(x4-9y2)=a(x2+3y)(x2-3y).
10.答案 15
1.8 x
解析 设旗杆的高度为x m,则 = ,解得x=15.即旗杆的高度为15 m.
3 25
4
11.答案 y= (答案不唯一,满足00,而点B的坐标为
(2,2),所以k的最大值为4,即00,
{
a+1>0,
(b-1,-a+1).∵点A 均在x轴上方,∴ ∴-10,
-a+1>0,
评析 解决本题的关键是读懂题目要求,并按照题目要求正确操作.尤其是“在x轴上方”即
为“纵坐标>0”.属中档题.
三、解答题
13.证明 ∵BC∥DE,
∴∠ABC=∠D.在△ABC和△EDB中,
{
AB=ED,
∠ABC=∠D,
BC=DB,
∴△ABC≌△EDB.
∴∠A=∠E.
√3
14.解析 原式=1-5-3× +√3
3
=-4.
15.解析 去分母,得3x-6≤4x-3,
移项,得3x-4x≤6-3.
合并同类项,得-x≤3,
系数化为1,得x≥-3.
不等式的解集在数轴上表示如下:
16.解析 (x+1)2-2x+y(y-2x)
=x2+2x+1-2x+y2-2xy
=x2-2xy+y2+1.
∵x-y=√3,
∴原式=(x-y)2+1=4.
17.解析 (1)证明:∵m≠0,
∴mx2-(m+2)x+2=0是关于x的一元二次方程.
∴Δ=[-(m+2)]2-4×2m
=(m-2)2.
∵(m-2)2≥0,
∴方程总有两个实数根.
(2)由求根公式,得
(m+2)±(m-2)
x= .
2m
2
∴x=1,x= .
1 2
m
∵方程的两个实数根都是整数,且m为正整数,
∴m=1或2.
18.解析 设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元.
27 108
由题意,得 = .
x x+0.54
解得x=0.18.
经检验,x=0.18是原方程的解,且符合题意.
答:新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元.
四、解答题
19.解析 (1)证明:∵BF是∠ABC的平分线,
∴∠ABF=∠EBF.
∵AD∥BC,
∴∠AFB=∠EBF.
∴∠AFB=∠ABF.
∴AB=AF.同理,AB=BE.
∴AF=BE.又∵AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AB=AF,
∴四边形ABEF是菱形.
(2)过点P作PG⊥AD于点G,如图.
∵四边形ABEF是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABE是等边三角形.
∵AB=4,
∴AE=AB=4,
1
∴AP= AE=2.
2
在Rt△AGP中,可求得∠PAG=60°.
∴AG=AP·cos 60°=1,
GP=AP·sin 60°=√3.
∵AD=6,
∴DG=5,
GP √3
∴tan∠ADP= = .
DG 5
20.解析 (1)66.0.
(2)5.00±0.02.
(3)7 500±30.(990÷66.0%×5=7 500)
21.
解析 (1)证明:连结BC.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵C是 ⏜ 的中点,
AB
∴ ⏜ = ⏜ .
AC BC
∴AC=BC.
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∵BD是☉O的切线,
∴∠ABD=90°.
可得∠CBD=∠D=45°.
∴BC=CD.
∴AC=CD.(2)连结OC.
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠CAB=45°.
∴∠COE=90°.
∵E是OB的中点,
∴OE=BE.
∵∠CEO=∠FEB,
∴Rt△COE≌Rt△FBE.∴BF=OC.
∵OB=2,∴BF=2.
由勾股定理,得AF=2√5.
∵∠ABF=∠AHB=90°,
AB·BF 4
∴BH= = √5.
AF 5
22.解析 ∠ACE的度数为75°,AC的长为3.
解决问题:
过点D作DF∥AB交AC于点F,如图.
∴∠DFE=∠BAC=90°,又∠AEB=∠FED,∴△ABE∽△FDE.
BE AE AB
∴ = = .
DE FE FD
∵BE=2ED,AE=2,∴FE=1,∴AF=3.
∵∠CAD=30°,∴FD=√3,AD=2√3.
AB
∵ =2,∴AB=2√3.
FD
∵∠ADC=75°,∠CAD=30°,∴∠ACD=75°,
∴AC=AD=2√3.
在Rt△ABC中,由勾股定理可得BC=2√6.
评析 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数等知识.解决本题的关键是读懂题目
中给出的操作方法,由平行想到相似三角形.属中档题.
五、解答题
23.解析 (1)∵点A,B在抛物线y=2x2+mx+n上,
∴{-2=n, 解得{m=-4,
4=2×32+3m+n. n=-2.
∴抛物线的表达式为y=2x2-4x-2.
∴抛物线的对称轴为x=1.
(2)由题意可知,点C的坐标为(-3,-4).
设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0).
{ 4
∴{ 4=3k+b, 解得 k= ,
3
-4=-3k+b,
b=0.4
∴直线BC的表达式为y= x.
3
4
∴当x=1时,y= .
3
结合图象可知,点A在直线BC的下方,且抛物线的顶点坐标为(1,-4),
4
∴-4≤t≤ .
3
24.解析 (1)补全图形,如图所示.
(2)连结AE,如图.
∵点E与点B关于直线AP对称,
∴AE=AB,∠EAP=∠BAP=20°.
∵AB=AD,
∴AE=AD,
∴∠AED=∠ADF.
又∠BAD=90°,
∴2∠ADF+40°+90°=180°.
∴∠ADF=25°.
(3)AB,FE,FD满足的数量关系为FE2+FD2=2AB2.
证明:连结AE,BF,BD,设BF交AD于点G,如图.∵点E与点B关于直线AP对称,
∴AE=AB,FE=FB.
可证得∠FEA=∠FBA.
∵AB=AD,
∴AE=AD.
∴∠ADE=∠AED.
∴∠ADE=∠ABF.
又∵∠DGF=∠AGB,
∴∠DFB=∠BAD=90°.
∴FB2+FD2=BD2.
∵BD2=2AB2,
∴FE2+FD2=2AB2.
1
25.解析 (1)y= (x>0)不是有界函数;
x
y=x+1(-4a),
∵y随x的增大而减小,
∴y的最大值是-a+1,y的最小值是-b+1.
∵函数的最大值是2,
∴a=-1.
又∵函数的边界值是2,
∴-b+1≥-2,
∴b≤3.
∴-11时,1-m1时,由题意,边界值t≥m.
3
∴不存在满足 ≤t≤1的m值.
4
1 3 3
综上所述,当0≤m≤ 或 ≤m≤1时,满足 ≤t≤1.
4 4 4
