2013 年北京市高级中等学校招生考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分,考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 32 分)
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1.在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(2013~2015)》中,北京市提出了总
计约3 960亿元的投资计划.将3 960用科学记数法表示应为( )
A.39.6×102 B.3.96×103
C.3.96×104 D.0.396×104
3
2.- 的倒数是( )
4
4 3 3 4
A. B. C.- D.-
3 4 4 3
3.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸
出一个小球,其标号大于2的概率为( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
4.如图,直线a,b被直线c所截,a∥b,∠1=∠2,若∠3=40°,则∠4等于( )
A.40° B.50° C.70° D.80°
5.如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,
CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,则
河的宽度AB等于( )
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
6.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )7.某中学随机地调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示:
时间(小时) 5 6 7 8
人数 10 15 20 5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是( )
A.6.2小时 B.6.4小时 C.6.5小时 D.7小时
8.如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆上的动点,AB=2.设弦AP的长为x,△APO的面
积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
第Ⅱ卷(非选择题,共 88 分)
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9.分解因式:ab2-4ab+4a= .
10.请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式,y= .
11.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形
ABOM的周长为 .
1
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=-x-1,双曲线y= .在l上取一点A,过A 作x
1 1
x
轴的垂线交双曲线于点B ,过B 作y轴的垂线交l于点A.请继续操作并探究:过A 作x轴的
1 1 2 2
垂线交双曲线于点 B ,过 B 作 y 轴的垂线交 l 于点 A,…,这样依次得到 l 上的点
2 2 3
A,A ,A ,…,A ,….记点A 的横坐标为a,若a=2,则a= ,a = ;若要将上述操
1 2 3 n n n 1 2 2 013
作无限次地进行下去,则a 不能取的值是 .
1
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.已知:如图,D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证:BC=AE.14.计算:(1- )0+|- |-2cos 45°+(1) -1 .
√3 √2
4
{3x>x-2,
15.解不等式组:
x+1
>2x.
3
16.已知x2-4x-1=0,求代数式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值.
17.列方程或方程组解应用题:
某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2名工人,结果比
计划提前3小时完成任务.若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿化面积.
18.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)1
19.如图,在▱ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE= BC,连结DE,CF.
2
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;
(2)若AB=4,AD=6,∠B=60°,求DE的长.
20.如图,AB是☉O的直径,PA,PC与☉O分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DE⊥
PO交PO的延长线于点E.
(1)求证:∠EPD=∠EDO;
3
(2)若PC=6,tan∠PDA= ,求OE的长.
4
21.第九届中国国际园林博览会(园博会)已于2013年5月18日在北京开幕.以下是根据近几
届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分.
第六届至第九届园博会园区
陆地面积和水面面积统计图 第九届园博会植物花园区
各花园面积分布统计图(1)第九届园博会的植物花园区由五个花园组成,其中月季园面积为0.04平方千米,牡丹园面
积为 平方千米;
(2)第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍,水面面积是第七、八两届园博
会的水面面积之和,请根据上述信息补全条形统计图,并标明相应数据;
(3)小娜收集了几届园博会的相关信息(如下表),发现园博会园区周边设置的停车位数量与日
均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系.根据小娜的发现,请估计,
将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量(直接写出结果,精确到百位).
第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表
日均接待游客量 单日最多接待游客量 停车位数量
(万人次) (万人次) (个)
第七届 0.8 6 约3 000
第八届 2.3 8.2 约4 000
第九届 8(预计) 20(预计) 约10 500
第十届 1.9(预计) 7.4(预计) 约
22.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取
AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.
图1 图2
小明发现,分别延长QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,
△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2).
请回答:
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠),则这个新正方形的边
长为 ;
(2)求正方形MNPQ的面积.
参考小明思考问题的方法,解决问题:如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得
√3
到等边△RPQ,若S = ,则AD的长为 .
△RPQ
3
图3
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交
于点B.
(1)求点A,B的坐标;
(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的解析式;
(3)若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方,
求该抛物线的解析式.
24.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;
(3)在(2)的条件下,连结DE,若∠DEC=45°,求α的值.25.对于平面直角坐标系xOy中的点P和☉C,给出如下定义:若☉C上存在两个点A,B,使得
∠APB=60°,则称P为☉C的关联点.
已知点D(1 1),E(0,-2),F(2 ,0).
, √3
2 2
(1)当☉O的半径为1时,
①在点D,E,F中,☉O的关联点是 ;
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点P(m,n)是☉O的关联点,
求m 的取值范围;
(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.
答案全解全析：
1.B 3 960=3.96×103.故选B.
2.D ∵( 3)×( 4)=1,∴-3的倒数是-4.故选D.
- -
4 3 4 3
3
3.C 5个小球中标号大于2的有三个,故摸出标号大于2的小球的概率是 .故选C.
5
4.C ∵∠1+∠2+∠3=180°,∠3=40°,∴∠1+∠2=140°.∵∠1=∠2,∴∠1=70°.
∵a∥b,∴∠4=∠1=70°.故选C.
AB BE AB 20
5.B ∵ ∠ ABE=∠ECD=90°,∠AEB=∠DEC,∴△ABE∽△DCE,∴ = ,∴ =
DC EC 20 10
,∴AB=40 m.故选B.
6.A A项是中心对称图形,但不是轴对称图形.
B项既是中心对称图形,又是轴对称图形.
C项不是中心对称图形,是轴对称图形.
D项既不是中心对称图形,又不是轴对称图形.故选A.5×10+6×15+7×20+8×5
7.B x= =6.4(小时).故选B.
50
8.A 考虑三个特殊点,当AP的长为0或2时,不构成△APO;当AP的长为1时,△APO为边长
√3 1 √3 1
是1的等边三角形,其面积为 ,因为 < < ,所以只有选项A符合.故选A.
4 4 4 2
评析 本题考查的是函数图象的变化规律,不仅考查了定性分析,还考查了定量分析,通过构
造函数处理较困难,而通过寻找特殊点较容易处理.属中档题.
9.答案 a(b-2)2
解析 ab2-4ab+4a=a(b2-4b+4)=a(b-2)2.
10.答案 x2+1
解析 抛物线即二次函数,则函数表达式应为y=ax2+bx+c(a≠0).∵开口向上,∴a>0.∵与y
轴交于点(0,1),∴c=1.所以满足题设条件的一个抛物线的解析式为y=x2+1,答案不唯一.
11.答案 20
解析 ∵AB=5,AD=12,∴AC=13,∴BO=6.5.
∵M、O分别为AD、AC的中点, CD=5,
∴MO=2.5,AM=6,∴C =AM+MO+BO+AB=6+2.5+6.5+5=20.
四边形ABOM
3 1
12.答案 - ;- ;0,-1
2 3
解析 根据题意可以得到点A 1 (2,-3),点B 1 (2,0.5),点A 2 (-1.5,0.5),点B 2( -1.5,- 2),点
3
A 3( - 1 ,- 2),点B 3( - 1 ,-3 ),点A 4 (2,-3),所以A 1 ,A 2 ,A 3 ,…,A n ,…中,三个坐标为一个循环,
3 3 3
1
A 是一个循环中的最后一个,故它的横坐标与A 的横坐标相同,为- .
2 013 3
3当A 的横坐标为a 时,可以分别表示出点A(a,-a-1),点B( 1 ),点A( 1 1 ),
1 1 1 1 1 1 a , 2 -1- ,
1 a a a
1 1 1
点B 2 ( -1- 1 ,- a 1 ),点A 3 ( - 1 ,- a 1 ),点B 3 ( - 1 ,-a -1 ).
a a +1 a +1 a +1 a +1 1
1 1 1 1 1
因为操作要无限次地进行下去,所以每一个点都要有意义,即分母不为0,故a 不能取的值
1
是-1,0.
评析 读懂题目中的操作方法是解决本题的关键,属中档题.
13.证明 ∵DE∥AB,
∴∠BAC=∠ADE.
{∠BAC=∠ADE,
在△ABC和△DAE中, AB=DA,
∠B=∠DAE,
∴△ABC≌△DAE.
∴BC=AE.
14.解析 (1- )0+|- |-2cos 45°+(1) -1
√3 √2
4
√2
=1+√2-2× +4
2
=5.
{3x>x-2, ①
15.解析
x+1
>2x.②
3
解不等式①,得x>-1.
1
解不等式②,得x< .
51
∴不等式组的解集为-1<x< .
5
16.解析 (2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2
=4x2-12x+9-(x2-y2)-y2
=3x2-12x+9.
∵x2-4x-1=0,
∴x2-4x=1.
∴原式=3(x2-4x)+9=12.
17.解析 设每人每小时的绿化面积是x平方米.
180 180
由题意得 - =3.解得x=2.5.
6x (6+2)x
经检验,x=2.5是原方程的解,且符合题意.
答:每人每小时的绿化面积是2.5平方米.
18.解析 (1)由题意,得Δ=4-4(2k-4)>0.
5
∴k< .
2
(2)∵k为正整数,
∴k=1,2.
当k=1时,方程x2+2x-2=0的根x=-1±√3不是整数;
当k=2时,方程x2+2x=0的根x=-2,x=0都是整数.
1 2
综上所述,k=2.
19.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵F是AD的中点,
1
∴FD= AD.
21
∵CE= BC,∴FD=CE.
2
∵FD∥CE,∴四边形CEDF是平行四边形.
(2)如图,过点D作DG⊥CE于点G.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,CD=AB=4,BC=AD=6.
∴∠1=∠B=60°.
在Rt△DGC中,∠DGC=90°,
∴CG=CD·cos∠1=2,DG=CD·sin∠1=2√3.
1
∵CE= BC=3,∴GE=1.
2
在Rt△DGE中,∠DGE=90°,
∴DE= = .
√DG2+GE2 √13
20.解析 (1)证明:∵PA、PC与☉O分别相切于点A、C,
∴PA=PC,∠APO=∠EPD.
∵AB是☉O的直径,
∴PA⊥AB.
∵DE⊥PO,
∴∠A=∠E=90°.
∵∠POA=∠DOE,
∴∠APO=∠EDO.
∴∠EPD=∠EDO.
(2)连结OC,则OC⊥PD.3
在Rt△PAD中,∠A=90°,PA=PC=6,tan∠PDA= ,
4
可得AD=8,PD=10.∴CD=4.
3
在Rt△OCD中,∠OCD=90°,CD=4,tan∠ODC= ,
4
可得OC=3,OD=5.
在Rt△PCO中,由勾股定理得,
PO=3√5.
可证得Rt△DEO∽Rt△PCO.
OE OD OE 5
∴ = ,即 = .∴OE=√5.
OC OP 3 3√5
21.解析 (1)0.03.
(2)补全条形统计图如下图.
第六届至第九届园博会园区
陆地面积和水面面积统计图
(3)3 600,3 700,3 800,3 900其中之一.
评析 处理本题的关键是看清扇形图和条形图之间的关系,再按照题目要求逐一解决.属中
档题.
22.解析 (1)a.(2)由(1)可知,由△RQF,△SMG,△TNH,△WPE拼成的新正方形的面积与正方形 ABCD的面积
相等.
∴△RAE,△SBF,△TCG,△WDH这四个全等的等腰直角三角形的面积之和等于正方形MNPQ的
面积.
∵AE=BF=CG=DH=1,
1
∴正方形MNPQ的面积S=4× ×1×1=2.
2
2
AD的长为 .
3
23.解析 (1)当x=0时,y=-2.
∴点A的坐标为(0,-2).
将y=mx2-2mx-2配方,得y=m(x-1)2-m-2.
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∴点B的坐标为(1,0).
(2)由题意得点A关于直线x=1的对称点的坐标为(2,-2).
设直线l的解析式为y=kx+b.
∵点(1,0)和(2,-2)在直线l上,
{ 0=k+b, {k=-2,
∴ 解得
-2=2k+b. b=2.
∴直线l的解析式为y=-2x+2.
(3)由题意可知,抛物线关于直线x=1对称,直线AB和直线l也关于直线x=1对称.
∵抛物线在2<x<3这一段位于直线AB的下方,
∴抛物线在-1<x<0这一段位于直线l的下方.
又∵抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,
∴抛物线与直线l的一个交点的横坐标为-1.∴由直线l的解析式y=-2x+2可得这个点的坐标为(-1,4).
∵抛物线y=mx2-2mx-2经过点(-1,4),
∴m=2.
∴所求抛物线的解析式为y=2x2-4x-2.
评析 本题考查了一次函数、二次函数的综合运用,充分考查了二次函数图象的对称性,有
一定难度.
1
24.解析 (1)∠ABD=30°- α.
2
(2)△ABE为等边三角形.
证明:连结AD,CD.
∵∠DBC=60°,BD=BC,
∴△BDC是等边三角形,∴∠BDC=60°,BD=DC.
又∵AB=AC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD,
∴∠ADB=∠ADC.∴∠ADB=150°.
∵∠ABE=∠DBC=60°,∴∠ABD=∠EBC.
又∵BD=BC,∠ADB=∠ECB=150°,∴△ABD≌△EBC.∴AB=EB.∴△ABE是等边三角形.
(3)∵△BDC是等边三角形,∴∠BCD=60°.
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°.
又∵∠DEC=45°,
∴CE=CD=BC.∴∠EBC=15°.
α
∵∠EBC=∠ABD=30°- ,∴α=30°.
2
评析 本题考查了全等三角形、等边三角形、等腰三角形的相关知识,正确地构造全等三角
形是解决本题的关键.属中等偏难题.
25.解析 (1)①D,E.
②当OP=2时,
过点P向☉O作两条切线PA,PB(A,B为切点),则∠APB=60°.
∴点P为☉O的关联点.
事实上,当0≤OP≤2时,点P是☉O的关联点;当OP>2时,点P不是☉O的关联点.
∵F(2√3,0),且∠GFO=30°,
∴∠OGF=60°,OF=2√3,OG=2.
如图,以O为圆心,OG为半径作圆,设该圆与l的另一个交点为M.
当点P在线段GM上时,OP≤2,点P是☉O的关联点;
当点P在线段GM的延长线或反向延长线上时,OP>2,点P不是☉O的关联点.
连结OM,可知△GOM为等边三角形.
过点M作MN⊥x轴于点N,可得∠MON=30°,ON=√3.
∴0≤m≤√3.(2)设该圆圆心为C.
根据②可得,若点P是☉C的关联点,则0≤PC≤2r.
由题意知,点E,F都是☉C的关联点,
∴EC≤2r,FC≤2r.
∴EC+FC≤4r.
又∵EC+FC≥EF(当点C在线段EF上时,等号成立),
∴4r≥EF.
∵E(0,-2),F(2√3,0),
∴EF=4.
∴r≥1.
事实上,当点C是EF的中点时,对所有r≥1的☉C,线段EF上的所有点都是☉C的关联点.
综上所述,r≥1.
评析 本题定义了坐标系中圆的关联点,需要对圆的相关知识熟练掌握,并通过画图观察,找
到临界状态,再逐一进行验证.本题充分考查了学生的综合能力,难度较大.
