文档内容
2015 年北京市高级中等学校招生考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本题共30分,每小题3分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1.截止到2015年6月1日,北京市已建成34个地下调蓄设施,蓄水能力达到140 000立方米,
将140 000用科学记数法表示应为( )
A.14×104 B.1.4×105 C.1.4×106 D.0.14×106
2.实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,这四个数中,绝对值最大的是( )
A.a B.b C.c D.d
3.一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除了颜色外无其他差别.从
中随机摸出一个小球,恰好是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
4.剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸作品中,是轴对称图形的为( )
5.如图,直线l,l,l 交于一点,直线l∥l,若∠1=124°,∠2=88°,则∠3的度数为( )
1 2 3 4 1
A.26° B.36° C.46° D.56°
6.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,
则M,C两点间的距离为( )
A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km
7.某市6月份日平均气温统计如图所示,则在日平均气温这组数据中,众数和中位数分别是(
)A.21,21 B.21,21.5 C.21,22 D.22,22
8.下图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图,若这个坐标系分别以正
东、正北方向为x轴、y轴的正方向,表示太和门的点的坐标为(0,-1),表示九龙壁的点的坐标为
(4,1),则表示下列宫殿的点的坐标正确的是( )
A.景仁宫(4,2) B.养心殿(-2,3)
C.保和殿(1,0) D.武英殿(-3.5,-4)
9.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次,若购买会员年卡,可享受如下优惠:
会员年卡类型 办卡费用(元) 每次游泳收费(元)
A类 50 25
B类 200 20
C类 400 15
例如,购买A类会员年卡,一年内游泳20次,消费50+25×20=550元.若一年内在该游泳馆游泳
的次数介于45~55次之间,则最省钱的方式为( )
A.购买A类会员年卡 B.购买B类会员年卡
C.购买C类会员年卡 D.不购买会员年卡
10.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示,通道由在同一平面内的AB,BC,CA,OA,OB,OC组成.
为记录寻宝者的行进路线,在BC的中点M处放置了一台定位仪器.设寻宝者行进的时间为x,
寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进,且表示y与x的函数关系的图象大致
如图2所示,则寻宝者的行进路线可能为( )
A.A→O→B B.B→A→C C.B→O→C D.C→B→O
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本题共18分,每小题3分)11.分解因式:5x3-10x2+5x= .
12.下图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= .
13.
《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就
主要包括开方术、正负术和方程术.其中,方程术是《九章算术》最高的数学成就.
《九章算术》中记载:“今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.问:牛、羊各直金几何?”
译文:“假设有5头牛、2只羊,值金10两;2头牛、5只羊,值金8两.问:每头牛、每只羊各值金多
少两?”
设每头牛值金x两,每只羊值金y两,可列方程组为 .
14.关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b的
值:a= ,b= .
15.北京市2009-2014年轨道交通日均客运量统计如图所示.根据统计图中提供的信息,预估
2015 年北京市轨道交通日均客运量约 万人次,你的预估理由是
.
16.阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:作一条线段的垂直平分线.
已知:线段AB.
求作:线段AB的垂直平分线.
小芸的作法如下:如图,
(1)分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点;
(2)作直线CD.
所以直线CD就是所求作的垂直平分线.
老师说:“小芸的作法正确.”
请回答:小芸的作图依据是 .
三、解答题(本题共72分,第17~26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
17.计算: -(π- )0+| -2|+4sin 60°.
18.已知2a2+3a-6=0,求代数式3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)的值.19.解不等式组 并写出它的所有非负整数解.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.
求证:∠CBE=∠BAD.21.为解决“最后一公里”的交通接驳问题,北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到
2013年底,全市已有公租自行车25 000辆,租赁点600个.预计到2015年底,全市将有公租自
行车50 000辆,并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租
自行车数量的1.2倍.预计到2015年底,全市将有租赁点多少个?
22.在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连结AF,BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形;
(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分∠DAB.23.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y= 的一个交点为P(2,m),与x轴、y
轴分别交于点A,B.
(1)求m的值;
(2)若PA=2AB,求k的值.
24.如图,AB是☉O的直径,过点B作☉O的切线BM,弦CD∥BM,交AB于点F,且 = ,连结
AC,AD,延长AD交BM于点E.
(1)求证:△ACD是等边三角形;
(2)连结OE,若DE=2,求OE的长.25.阅读下列材料:
2015年清明小长假,北京市属公园开展以“清明踏青,春色满园”为主题的游园活动.虽
然气温小幅走低,但游客踏青赏花的热情很高,市属公园游客接待量约为190万人次.其中,玉
渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧,两公园的游客接待量分别为38万人
次、21.75万人次;颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游
客的重要目的地,游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次;北京动物园游客接待
量为18万人次,熊猫馆的游客密集度较高.
2014年清明小长假,天气晴好,北京市属公园游客接待量约为200万人次.其中,玉渊潭公
园游客接待量比2013年清明小长假增长了25%;颐和园游客接待量为26.2万人次,比2013年
清明小长假增加了4.6万人次;北京动物园游客接待量为22万人次.
2013年清明小长假,玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、
13万人次、14.9万人次.
根据以上材料解答下列问题:
(1)2014年清明小长假,玉渊潭公园游客接待量为 万人次;
(2)选择统计表或统计图,将2013-2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游
客接待量表示出来.
26.有这样一个问题:探究函数y= x2+ 的图象与性质.
小东根据学习函数的经验,对函数y= x2+ 的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程,请补充完整:(1)函数y= x2+ 的自变量x的取值范围是 ;
(2)下表是y与x的几组对应值.
x … -3 -2 -1 - - 1 2 3 …
y … - - - m …
求m的值;
(3)如下图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,
画出该函数的图象;
(4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是 .结合函数的图象,写出
该函数的其他性质(一条即可): .27.在平面直角坐标系xOy中,过点(0,2)且平行于x轴的直线与直线y=x-1交于点A,点A关于
直线x=1的对称点为B,抛物线C :y=x2+bx+c经过点A,B.
1
(1)求点A,B的坐标;
(2)求抛物线C 的表达式及顶点坐标;
1
(3)若抛物线C :y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.
2
备用图
28.在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连结AP,平移
△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于点H,连结AH,PH.
(1)若点P在线段CD上,如图1,
①依题意补全图1;
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;
(2)若点P在线段CD的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长
的思路.(可以不写出计算结果)图1 备用图
29.在平面直角坐标系xOy中,☉C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于☉C的反称
点的定义如下:若在射线CP上存在一点P',满足CP+CP'=2r,则称P'为点P关于☉C的反称点.
下图为点P及其关于☉C的反称点P'的示意图.
特别地,当点P'与圆心C重合时,规定CP'=0.
(1)当☉O的半径为1时,
①分别判断点M(2,1),N ,T(1, )关于☉O的反称点是否存在.若存在,求其坐标;
②点P在直线y=-x+2上,若点P关于☉O的反称点P'存在,且点P'不在x轴上,求点P的横坐
标的取值范围;
(2)☉C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=- x+2 与x轴、y轴分别交于点A,B.若线段AB上
存在点P,使得点P关于☉C的反称点P'在☉C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.答案全解全析：
一、选择题
1.B 140 000=1.4×105.故选B.
2.A 因为a对应的点到原点的距离最大,所以a的绝对值最大.故选A.
3.B 一共有6个小球,其中有2个黄球,所以摸出黄球的概率为 = .故选B.
4.D 选项A、B既不是中心对称图形也不是轴对称图形;选项C是中心对称图形,不是轴对称
图形;选项D是轴对称图形.故选D.
5.B ∵l∥l,∴∠4=180°-∠1=180°-124°=56°,∴∠3=180°-∠2-∠4=180°-88°-56°=36°.故选B.
4 16.D ∵AC⊥BC,M是AB的中点,∴MC= AB=AM=1.2 km.故选D.
7.C 在这组数据中,21出现的次数最多,所以众数为21;6月份一共30天,所以中位数是排序
后第15和第16个数的平均数,这两个数均为22,所以中位数是22.故选C.
8.B 因为表示太和门的点的坐标为(0,-1),表示九龙壁的点的坐标为(4,1),所以可以确定表示
中和殿的点的坐标为(0,0),即坐标原点,所以表示景仁宫、养心殿、保和殿、武英殿的点的坐标
分别为(2,4)、(-2,3)、(0,1)、(-3.5,-3),选项B正确.故选B.
评析 本题考查了平面直角坐标系的实际应用,属容易题.
9.C 由题意可知,若购买A类会员年卡,则需要消费1 175元至1 425元;若购买B类会员年
卡,则需要消费1 100元至1 300元;若购买C类会员年卡,则需要消费1 075元至1 225元;若
不购买会员年卡,则需要消费1 350元至1 650元,所以最省钱的方式为购买C类会员年卡.故
选C.
10.C 由于表示y与x的函数关系的图象是轴对称图形,那么行走路线相对于M来说也是对
称的,从而排除A选项和D选项.B选项,B→A过程中,寻宝者与定位仪器之间的距离先减小,
然后增大,但增大的时间比减小的时间要长,所以B选项错误.选项C符合题意.故选C.
评析 本题考查了函数图象的实际应用,解决本题的关键是将题目中行进路线与定位仪器
之间的距离有机结合,从而寻找出合理的行进路线.属中等难度题.
二、填空题
11. 答案 5x(x-1)2
解析 5x3-10x2+5x=5x(x2-2x+1)=5x(x-1)2.
12. 答案 360°
解析 ∵多边形的外角和为360°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
13. 答案
解析 由译文可知,5x+2y=10,2x+5y=8,这两个条件要同时满足,所以可列方程组为
14. 答案 1;1(满足a=b2(a≠0)即可)
解析 ∵方程为一元二次方程,且有两个相等的实数根, ∴a≠0,Δ=b2-a=0.∴a=b2(a≠0).例如
a=1,b=1.答案不唯一.
15. 答案 1 000;增长趋势变缓(答案不唯一.预估理由需包含统计图提供的信息,且支撑预估
的数据)
解析 折线图反映了日均客运量的具体数据和增长趋势,每年都在增加,幅度在50~210之
间.答案不唯一,只要有支撑预估的数据即可.例如不超过1 000万人次,预估理由是增长趋势
变缓.16. 答案 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,两点确定一条直线
解析 由小芸的作法可知,AC=BC,AD=BD,所以由“到线段两个端点距离相等的点在这条
线段的垂直平分线上”可知点C、D在线段AB的垂直平分线上,再由“两点确定一条直线”
可知直线CD就是所求作的垂直平分线.
评析 本题考查了作线段的垂直平分线的依据,需要学生对相关的定理非常熟悉,题目不难,
但对于学生而言题目非常新颖,同时提醒教师在平时授课中要重视尺规作图.属中档题.
三、解答题
17. 解析 原式=4-1+(2- )+4×
=5+ .
18. 解析 原式=6a2+3a-4a2+1
=2a2+3a+1
=(2a2+3a-6)+7
=7.
19. 解析
解不等式①,得x≥-2.
解不等式②,得x< .
∴原不等式组的解集为-2≤x< .
∴原不等式组的所有非负整数解为0,1,2,3.
20. 证明 ∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=∠ADC=90°.
∴∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C.
∴∠CBE=∠CAD.
∴∠CBE=∠BAD.
21. 解析 设预计到2015年底,全市将有租赁点x个.
由题意,得1.2× = .
解得x=1 000.
经检验,x=1 000是原方程的解,且符合题意.
答:预计到2015年底,全市将有租赁点1 000个.
22. 证明 (1)在▱ABCD中,AB∥CD,∵DF=BE,∴四边形BFDE为平行四边形.
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°.
∴四边形BFDE是矩形.
(2)由(1)可得,∠BFC=90°.
在Rt△BFC中,由勾股定理可得BC=5.
∴AD=BC=5.∴AD=DF.
∴∠DAF=∠DFA.
∵AB∥CD,∴∠DFA=∠FAB.
∴∠DAF=∠FAB.
∴AF平分∠DAB.
23. 解析 (1)∵双曲线y= 过点P(2,m),
∴m=4.
(2)由题意可知,k>0.
当直线经过第一、二、三象限时,如图1.
图1
过点P作PH⊥x轴于点H,可得△PHA∽△BOA,
∵PA=2AB,∴ = =2.
∵PH=4,∴OB=2.
∴点B的坐标为(0,2).
由直线经过点P,B,可得k=1.
当直线经过第一、三、四象限时,如图2.
图2同理,由PA=2AB,可得点B的坐标为(0,-2).
由直线经过点P,B,可得k=3.
综上所述,k=1或k=3.
24. 解析 (1)证明:∵AB是☉O的直径,BM是☉O的切线,
∴AB⊥BM.
∵CD∥BM,∴AB⊥CD.
∴ = .
∵ = ,∴ = = .
∴AD=AC=DC.
∴△ACD是等边三角形.
(2)连结BD,如图.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∵∠ABD=∠C=60°,∴∠DBE=30°.
在Rt△BDE中,DE=2,可得BE=4,BD=2 .
在Rt△ABD中,可得AB=4 .
∴OB=2 .
在Rt△OBE中,由勾股定理可得OE=2 .
25. 解析 (1)40.
(2)统计表如下:
2013-2015年清明小长假
玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客
接待量统计表(单位:万人次)
公
玉渊潭公
园 颐和园 北京动物园
园年份
游客接待量
2013年 32 21.6 14.9
2014年 40 26.2 22
2015年 38 26 18
评析 本题通过三段文字来阐述清明小长假北京市属公园的游客接待量,需要独立设计合
理的统计图表,这与以往“直接”给出图表完全不同,更能体现出考查“应用意识”.属中档
题.
26. 解析 (1)x≠0.
(2)当x=3时,y= .
∴m= .
(3)该函数的图象如下图所示.
(4)该函数的其他性质:
①当x<0时,y随x的增大而减小;
当00.
当抛物线C 经过点B时,a=2,此时抛物线C 与线段AB有两个公共点,不符合题意.
2 2
当抛物线C 经过点A时,a= .
2
结合函数的图象可知,a的取值范围为 ≤a<2.
评析 本题考查了对称点的坐标、函数解析式的确定以及临界点问题,解决最后一问的关键
是画图.属中档题.
28. 解析 (1)①补全图形,如图1所示.
图1
②AH与PH的数量关系:AH=PH,位置关系:AH⊥PH.
证明:如图1.
由平移可知,PQ=DC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADB=∠BDQ=45°.
∴AD=PQ.
∵QH⊥BD,∴∠HQD=∠HDQ=45°.
∴HD=HQ,∠ADB=∠DQH.
∴△ADH≌△PQH.
∴AH=PH,∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP=∠PHQ+∠DHP.
即∠AHP=∠DHQ=90°.
∴AH⊥PH.
(2)求解思路如下:
a.由∠AHQ=152°画出图形,如图2所示;
b.与②同理,可证△AHD≌△PHQ,可得AH=PH;
c.由∠AHP=∠AHD-∠PHD=∠PHQ-∠PHD=90°,可得△AHP是等腰直角三角形;
d.由∠AHQ=152°,∠BHQ=90°,可求∠BHA,∠DAH,∠PAD的度数;
e.在Rt△ADP中,由∠PAD的度数和AD的长,可求DP的长.
图2
评析 本题考查了图形的平移、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定、正方形的性质、
解直角三角形等知识的综合运用,解决本题的关键是注意应用平移的性质:PQ=CD,才能得到
后续的结论.属较难题.
29. 解析 (1)①点M关于☉O的反称点不存在;
点N关于☉O的反称点存在,坐标为 ;
点T关于☉O的反称点存在,坐标为(0,0).
②如图1,直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点E(2,0),点F(0,2).
设点P的横坐标为x.
图1
i)当点P在线段EF上,即0≤x≤2时,1≤OP≤2.
∴在射线OP上一定存在一点P',使得OP+OP'=2.
∴点P关于☉O的反称点存在.
其中点P与点E或点F重合时,OP=2,点P关于☉O的反称点为O,不符合题意.
∴02时,OP>2.
∴对于射线OP上任意一点P',总有OP+OP'>2.
∴点P关于☉O的反称点不存在.
综上所述,点P的横坐标x的取值范围是02,CH≤2.
∴在线段AB上一定存在点P,
使得CP=2.
∴此时点P关于☉C的反称点为C,
且点C在☉C的内部.
∴2≤x<6.
②当x≥6时,如图3.
∴0≤CA≤CP≤2.
∴0≤x-6≤2.
∴6≤x≤8.
并且,当6≤x≤8时,CB>2,CA≤2.
∴在线段AB上一定存在一点P,使得CP=2.
∴此时点P关于☉C的反称点为C,且点C在☉C的内部.
∴6≤x≤8.
综上所述,圆心C的横坐标x的取值范围是2≤x≤8.
