年初中毕业学业水平考试
一、单项选择题(每小题2分,共12分)
1.化简-(-1)的结果为( )
A.-1B.0 C.1 D.2
2.据《吉林日报》2021年5月14日报道,第一季度一汽集团销售整车70 060 辆.数据70
060用科学记数法表示为( )
A.7.006×105 B.7.006×104
C.70.06×103 D.0.700 6×105
3.不等式2x-1>3的解集是( )
A.x>1 B.x>2 C.x<1 D.x<2
4.如图,粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成,其主视图是( )
A B C D
5.如图,四边形ABCD内接于☉O,点P为边AD上任意一点(点P不与点A,D重合),连接CP.若
∠B=120°,则∠APC的度数可能为( )
A.30° B.45° C.50° D.65°
6.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题:一个数,它的三分之二,它的一半,它的七分
之一,它的全部,加起来总共是33.若设这个数是x,则所列方程为( )
2 1 2 1 1
A. x+ x+x=33 B. x+ x+ x=33
3 7 3 2 7
2 1 1 2 1 1
C. x+ x+ x+x=33 D.x+ x+ x- x=33
3 2 7 3 7 2
二、填空题(每小题3分,共24分)
7.计算: -1= .
√9
8.因式分解:m2-2m= .
2x x
9.计算: - = .
x-1 x-1
10.若关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根,则c的值为 .
11.如图,已知线段AB=2 cm,其垂直平分线CD的作法如下:
(1)分别以点A和点B为圆心,b cm长为半径画弧,两弧相交于C,D两点;
(2)作直线CD.
上述作法中b满足的条件为b 1.(填“>”“<”或“=”)
12.
如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(4,0),连接AB.若将△ABO绕点
B顺时针旋转90°,得到△A'BO',则点A'的坐标为 .
13.如图,为了测量山坡的护坡石坝高,把一根长为4.5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竿上
AD长为1 m时,它离地面的高度DE为0.6 m,则坝高CF为 m.
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2.以点C为圆心,CB长为半径画弧,分别交
AC、AB于点D、E,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π).
三、解答题(每小题5分,共20分)
1
15.先化简,再求值:(x+2)(x-2)-x(x-1),其中x= .
2
16.第一盒中有1个白球、1个黑球,第二盒中有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外无其他
差别.分别从每个盒中随机取出1个球.用画树状图或列表的方法,求取出的2个球都是白球的
概率.17.如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.
18.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥,它由桥梁和隧道两部分组成.桥梁和隧道全长共55
km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度.
四、解答题(每小题7分,共28分)
19.图①、图②均是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,
点A,点B均在格点上.在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上.
(1)在图①中,以点A、B、C为顶点画一个等腰三角形;
(2)在图②中,以点A、B、D、E为顶点画一个面积为3的平行四边形.
图①
图②20.2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家.各行各业蓬勃发展,其中快
递业务保持着较快的增长.下面给出了快递业务的有关数据信息:
2016—2020年快递业务量增长速度统计表
年份 2016 2017 2018 2019 2020
增长速度 51.4% 28.0% 26.6% 25.3% 31.2%
说明:增长速度计算办法为
本年业务量-去年业务量
增长速度= ×100%.
去年业务量
(以上数据来源于《中华人民共和国2020年国民经济和社会发展统计公报》)
根据图中信息,解答下列问题:
(1)2016—2020年快递业务量最多年份的业务量是 亿件;
(2)2016—2020年快递业务量增长速度的中位数是 ;
(3)下列推断合理的是 (填序号).
①因为2016—2019年快递业务量的增长速度逐年下降,所以预估2021年的快递业务量应低
于2020年的快递业务量.
②因为2016—2020年快递业务量每年的增长速度均在25% 以上,所以预估2021年快递业
务量应在833.6×(1+25%)=1 042亿件以上.
4
21.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y= x-2的图象与y轴相交于点A,与反比例函数y=
3
k
在第一象限内的图象相交于点B(m,2),过点B作BC⊥y轴于点C.
x
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求△ABC的面积.22.数学小组研究如下问题:长春市的纬度约为北纬44°,求北纬44°纬线的长度.
小组成员查阅了相关资料,得到三条信息:
(1)在地球仪上,与南、北极距离相等的大圆圈,叫赤道.所有与赤道平行的圆圈叫纬线.
(2)
如图,☉O是经过南、北极的圆,地球半径OA约为6 400 km.弦BC∥OA,过点O作OK⊥BC
于点K,连接OB.若∠AOB=44°,则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度.
(3)参考数据:π取3,sin 44°≈0.69,cos 44°≈0.72.
小组成员给出了如下解答,请你补充完整:
五、解答题(每小题8分,共16分)
23.疫苗接种,利国利民.甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗.甲地在前期完成5万
人接种后,甲、乙两地同时以相同速度接种.甲地经过a天后接种人数达到25万人,由于情况
变化,接种速度放缓,结果100天完成接种任务.乙地80天完成接种任务.在某段时间内,甲、乙
两地的接种人数y(万人)与各自接种时间x(天)之间的关系如图所示.(1)直接写出乙地每天接种的人数及a的值;
(2)当甲地接种速度放缓后,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当乙地完成接种任务时,求甲地未接种疫苗的人数.
24.如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD是斜边AB上的中线.点E为射线BC上一
点,将△BDE沿DE折叠,点B的对应点为点F.
(1)若AB=a,直接写出CD的长(用含a的代数式表示);
(2)若DF⊥BC,垂足为G,点F与点D在直线CE的异侧,连接CF,如图②.判断四边形ADFC的
形状,并说明理由;
(3)若DF⊥AB,直接写出∠BDE的度数.
图①
图②
六、解答题(每小题10分,共20分)25.如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,AD=√3 cm.动点P从点A出发沿折线AB-BC向终点C
运动,在边AB上以1 cm/s的速度运动,在边BC上以√3 cm/s的速度运动.过点P作线段PQ
与射线DC相交于点Q,且∠PQD=60°,连接PD、BD.设点P的运动时间为x s,△DPQ与
△DBC重合部分图形的面积为y cm2.
(1)当点P与点A重合时,直接写出DQ的长;
(2)当点P在边BC上运动时,直接写出BP的长(用含x的代数式表示);
(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(备用图)
26.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A( 7),点B( 1).
0,- 1,
4 4
(1)求此二次函数的解析式;
(2)当-2≤x≤2时,求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值;
(3)点P为此函数图象上任意一点,其横坐标为m.过点P作PQ∥x轴,点Q的横坐标为-2m+1.
已知点P与点Q不重合,且线段PQ的长度随m的增大而减小.
①求m的取值范围;
②当PQ≤7时,直接写出线段PQ与二次函数y=x2+bx+c( 1)的图象交点个数及对应
-2≤x<
3
的m的取值范围.
(备用图)14 吉林省2021年初中毕业学业水平考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6
C B B A D C
1.C -(-1)的意义可理解为-1的相反数,-1的相反数为1.故选C.
2.B 一个正数用科学记数法可表示为a×10n(1≤a<10,n为整数),70 060=7.006×10
000=7.006×104.
3.B 2x-1>3.移项,得2x>4.系数化为1,得x>2.
4.A 观察粮仓,可知其主视图为
故选A.
5.D ∵圆内接四边形对角互补,∴∠ABC+∠ADC=180°.又∵∠ABC=120°,∴∠ADC=180°-
∠ABC=180°-120°=60°.∵∠APC=∠ADC+∠DCP,∴∠APC>∠ADC,即∠APC>60°.故选D.
2 1 1
6.C ∵这个数为x,∴它的三分之二为 x,它的一半为 x,它的七分之一为 x,它的全部为x,∵
3 2 7
2 1 1
加起来总共是33,∴ x+ x+ x+x=33.
3 2 7
二、填空题
7.答案 2
解析 √9-1=3-1=2.
8.答案 m(m-2)
解析 m2-2m=m(m-2).
x
9.答案
x-1
2x x 2x-x x
解析 - = = .
x-1 x-1 x-1 x-1
9
10.答案
4
9
解析 ∵一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实根,∴Δ=32-4c=0,∴c= .
4
11.答案 >
1 1
解析 只有当半径大于 AB时,两弧才能有两个交点,∴b> ×2,即b>1.
2 2
12.答案 (7,4)
解析 如题图,设A'(a,b).∵A(0,3),∴OA=3.∵B(4,0),∴OB=4.由旋转可得
△AOB≌△A'O'B,∴O'A'=OA,O'B=OB,∴a=OB+O'A'=OB+OA=4+3=7,b=O'B=OB=4,∴A'(7,4).
13.答案 2.7
解析 ∵DE∥CF,∴∠DEA=∠CFA=90°.
AD DE
又∵∠DAE=∠CAF,∴△ADE∽△ACF,∴ = .
AC CF
1 0.6
∵AD=1 m,AC=4.5 m,DE=0.6 m,∴ = ,∴CF=2.7 m.
4.5 CF2π
14.答案 -√3
3
解析 连接CE,过点E作EF⊥BC于点F.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=90°-∠A=60°,
√3
又∵BC=CE=2,∴△CBE为等边三角形,∴BE=BC=2,∠BCE=60°,∴EF=BE·sin∠ABC=2× =√3
2
60π·BC2 1 60π×22 1 2π
.∴S =S -S = - ·BC·EF= - ×2×√3= -√3.
阴影 扇形BCE △BCE 360 2 360 2 3
三、解答题
15.解析 原式=x2-4-x2+x(2分)
=x-4.(3分)
1 1 7
当x= 时,原式= -4=- .(5分)
2 2 2
16.解析 解法一:根据题意,画树状图如下:
(3分)
由树状图可以看出,所有等可能出现的结果共有6种,且取出的2个球都是白球的结果有1种,
1
∴P(取出的2个球都是白球)= .(5分)
6
解法二:根据题意,列表如下:
第
一盒结果 白 黑
第二盒
白 (白,白) (白,黑)
黑 (黑,白) (黑,黑)
黑 (黑,白) (黑,黑)
(3分)
由表可以看出,所有等可能出现的结果共有6种,且取出的2个球都是白球的结果有1种,
1
∴P(取出的2个球都是白球)= .(5分)
6
{∠A=∠A,
17.证明 在△ACD和△ABE中, AC=AB, (3分)
∠C=∠B,
∴△ACD≌△ABE.(4分)
∴AD=AE.(5分)
18.解析 解法一:设港珠澳大桥的桥梁长度为x km,隧道长度为y km.(1分)
{x+ y=55,
根据题意,得 (3分)
x=9 y-4,{x=49.1,
解得
y=5.9.
答:港珠澳大桥的桥梁长度为49.1 km,隧道长度为5.9 km.(5分)
解法二:设港珠澳大桥隧道长度为x km,则桥梁长度为(9x-4)km.(1分)
根据题意,得x+9x-4=55.(3分)
解得x=5.9.(4分)
9x-4=49.1.
答:港珠澳大桥的桥梁长度为49.1 km,隧道长度为5.9 km.(5分)
四、解答题
19.解析 答案不唯一,以下答案供参考.
(1)
(3分)
(2) (7分)
20.解析 (1)833.6.(2分)
详解:∵833.6>635.2>507.1>400.6>312.8,
∴2020年快递业务量最多,为833.6亿件.
(2)28.0%.(5分)
详解:2016—2020年快递业务量增长速度由小到大排列为
25.3%,26.6%,28.0%,31.2%,51.4%,∴2016—2020年快递业务量增长速度的中位数为28.0%.
(3)②.(7分)
详解:虽然快递业务量增长速度下降,但是业务量是一直增长的,且2019—2020年增长速度又
上升了,∴2021年快递业务量应高于2020年快递业务量,故①不合理,②合理.
4 4
21.解析 (1)把x=m,y=2代入y= x-2,得 m-2=2,(1分)
3 3
解得m=3,
∴点B的坐标为(3,2).(2分)
k k
把x=3, y=2代入y= ,得2= ,(3分)
x 3
解得k=6.
6
∴反比例函数的解析式为y= .(4分)
x
(2)当x=0时,y=-2,(5分)
∴点A的坐标为(0,-2),即OA=2.
∵BC⊥y轴于点C,B(3,2),
∴OC=2,BC=3.(6分)
∴AC=4.
1
∴S = ×4×3=6.(7分)
△ABC
2
22.解析 两直线平行,内错角相等;(2分)
cos B;(4分)
0.72;(5分)27 648.(7分)
五、解答题
23.解析 (1)乙地每天接种的人数为0.5万,a=40.(2分)
详解:由题图可得乙地80天接种了40万人,
40
∴每天接种 =0.5万人.
80
∵甲地在接种5万人后,以与乙地相同的速度接种a天,接种人数达到25万人,25-5=20万人,
∴甲地a天接种了20万人,每天接种0.5万人,
20
∴a= =40.
0.5
(2)设当甲地接种速度放缓后,y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0).(3分)
∵y=kx+b(k≠0)的图象经过(40,25)与(100,40),
{40k+b=25,
∴ (4分)
100k+b=40,
{ 1
解得 k= ,(5分)
4
b=15.
1
∴当甲地接种速度放缓后,y关于x的函数解析式为y= x+15(40≤x≤100) .(6分)
4
(3)由题图,得当x=80时,乙地完成接种任务.
1 1
把x=80代入y= x+15,得y= ×80+15=35.(7分)
4 4
40-35=5.
∴当乙地完成接种任务时,甲地未接种疫苗的人数为5万.(8分)
a
24.解析 (1)CD= .(2分)
2
详解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=a,
1 a
CD为斜边AB上的中线,∴CD= AB= .
2 2
(2)四边形ADFC为菱形.(3分)
理由如下:
1
∵CD是斜边AB上的中线,∴AD=BD= AB.
2
由折叠的性质,得BD=DF,∴AD=DF.
1
∵∠ACB=90°,∠A=60°,∴∠B=30°,∴AC= AB.
2
解法一:∴AC=DF.(4分)
∵DF⊥BC,∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DGB = 90°,∴AC∥DF.
∴四边形ADFC为平行四边形.(5分)
又AD=DF,∴四边形ADFC为菱形.(6分)
1
解法二:∴AC=AD=CD= AB.
2
∴△ACD是等边三角形,CD=DF,(4分)
∴∠ADC=60°.
∵DF⊥BC,∠B=30°,∴∠BDG=60°,∴∠CDF=60°.
∴△CDF是等边三角形.∴CF=DF.(5分)
∴AC=AD=CF=DF .
∴四边形ADFC为菱形.(6分)
(3)45°或135°.(8分)
详解:如图,当点E在线段BC上时,∵DF⊥AB,∴∠BDF=90°.
1
由折叠可得∠BDE=∠FDE= ∠BDF,∴∠BDE=45°.
2
如图,当点E在线段BC的延长线上时,
1
∵DF⊥AB,∴∠BDF=90°.由折叠可得∠BDN=∠FDN= ∠BDF,∴∠BDN=45°,∴∠BDE=180°-
2
∠BDN=180°-45°=135°.综上,∠BDE=45°或135°.
六、解答题
25.解析 (1)DQ=1 cm.(2分)
详解:如图,在矩形ABCD中,∠ADQ=90°,
在Rt△ADQ中,∠AQD=60°,AD=√3 cm,
AD √3
∴DQ= = =1 cm.
tan∠AQD tan60°
(2)BP=(√3x-3√3)cm(3≤x≤4).(4分)
详解:如图.
∵点P在AB上以1 cm/s的速度运动,且AB=3 cm,
∴点P在AB上的运动时间为3 s,
∴点P在BC上运动的时间为(x-3)s.
∵点P在BC上以√3 cm/s的速度运动,且BC=AD=√3 cm,
√3
∴点P在BC上最多运动 =1 s,
√3
∴点P最多运动3+1=4 s,
∴BP=√3(x-3)=(√3x-3√3)cm,且3≤x≤4.
(3)设BD与PQ的交点为F.在矩形ABCD中,AD=BC=√3 cm,AB=DC=3 cm,∴tan∠BDC=
BC √3
= ,∴∠BDC=30°.∵∠PQD=60°,∴∠DFQ=90°.
DC 3
当0≤x≤2时,如图①所示.图①
x+1
∵DQ=x+1,∴FQ=DQ·cos 60°= ,
2
√3(x+1)
DF=DQ·sin 60°= .
2
1 1 x+1 √3 √3 √3 √3
∴y= FQ·DF= · · (x+1)= x2+ x+ ,
2 2 2 2 8 4 8
√3 √3 √3
即y= x2+ x+ .(6分)
8 4 8
当2<x≤3时,如图②所示.
图②
∵CQ=DQ-DC=x+1-3=x-2,∴CG=CQ·tan 60°=√3(x-2).
∴y=S
△DFQ
-S
△CGQ
=(√3
x2+
√3
x+
√3)-1(x-2)·
√3
(x-2)
8 4 8 2
3√3 9√3 15√3 3√3 9√3 15√3
=- x2+ x- ,即y=- x2+ x- .(8分)
8 4 8 8 4 8
当3<x<4时,如图③所示.
图③
∵PC=BC-BP=√3-(√3x-3√3)=-√3x+4√3,
1 1 3√3
∴y= ·CD·CP= ×3·(-√3x+4√3)=- x+6√3,
2 2 2
3√3
即y=- x+6√3.(10分)
2
7
{ c=- ,
26.解析 (1)根据题意,得 4 (2分)
1
1+b+c= .
4
{
b=1,
解得
7
c=- .
47
所以此二次函数的解析式为y=x2+x- .(3分)
4
(2)y=x2+x-7=( 1) 2-2.
x+
4 2
由二次函数的增减性,得
1
当x=- 时,y取最小值,为-2;(4分)
2
17
当x=2时,y取最大值,为 .(5分)
4
1
(3)①当点P在点Q右侧时,m>-2m+1.解得m> .
3
PQ=m-(-2m+1)=3m-1.
1
当m> 时,线段PQ的长度随m的增大而增大(舍去).
3
1
当点P在点Q左侧时,m<-2m+1.解得m< .
3
PQ=(-2m+1)-m=-3m+1.
1
当m< 时,线段PQ的长度随m的增大而减小.
3
1
故m的取值范围是m< .(7分)
3
4 1 1
②当-2≤m≤- 或- ≤m< 时,交点为1个;(9分)
3 2 3
4 1
当- <m<- 时,交点为2个.(10分)
3 2
1
详解:∵0<PQ≤7,∴0<-3m+1≤7,解得-2≤m< ,
3
1
如图,当m=- 时,点P为二次函数图象的最低点,PQ与二次函数图象有1个交点;
2
1 1
当- <m< 时,点P与点Q在对称轴右侧,PQ与二次函数图象只有1个交点;
2 31 4
直线x= 关于二次函数图象的对称轴对称的直线为x=- ,
3 3
4 1
∴当- <m<- 时,PQ与二次函数图象有2个交点;
3 2
4
当-2≤m≤- 时,PQ与二次函数图象有1个交点.
3
4 1 1 4 1
综上所述,当-2≤m≤- 或- ≤m< 时,PQ与二次函数图象有1个交点;当- <m<- 时,PQ与二
3 2 3 3 2
次函数图象有2个交点.
