2021年郴州市高级中等学校招生考试
33
(满分:130分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共24分)
一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分)
1 2 3 4 5 6 7 8
B B D C B A D A
1.(2021湖南郴州,1,3分)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列式子正确的是 ( )
A.a>b B.|a|>|b|
C.ab>0 D.a+b>0
1.B ∵a<0,b>0,∴a<b,A错误;
ab<0,C错误;
∵-2<a<-1,∴1<|a|<2,
∵0<b<1,∴0<|b|<1,
∴|a|>|b|,B正确;
a+b结果取绝对值大的数的符号,
∴a+b<0,D错误.
2.(2021湖南郴州,2,3分)下列垃圾分类图标分别表示:“可回收垃圾”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”,其
中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 ( )
A B C D
2.B A图旋转180°不能与原图重合,故不是中心对称图形,通过折叠也不能使折痕两侧重合,故不是轴对称图形,A错
误;
B图旋转180°能与原图重合,折叠后能使折痕两侧重合,故B图既是中心对称图形,也是轴对称图形,B正确;
C图是轴对称图形,不是中心对称图形,C错误;
D图既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,D错误.
3.(2021湖南郴州,3,3分)为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召,某科研团队最近攻克了7
nm的光刻机难题,其中1 nm=0.000 000 001 m,则7 nm用科学记数法表示为 ( )
A.0.7×108 m B.7×10-8 m
C.0.7×10-8 m D.7×10-9 m
3.D ∵1 nm=1×10-9 m,∴7 nm=7×10-9 m.故选D.
4.(2021湖南郴州,4,3分)下列运算正确的是 ( )
A.a2·a3=a6 B.(a3)2=a5
C.√(-3)2=3 D.(a+b)2=a2+b2
14.C a2·a3=a5,A错误;
(a3)2=a6,B错误;
√(-3)2=3,C正确;
(a+b)2=a2+2ab+b2,D错误.
5.(2021湖南郴州,5,3分)下列说法正确的是 ( )
A.“明天下雨的概率为80%”意味着明天有80%的时间下雨
B.经过有信号灯的十字路口时,可能遇到红灯,也可能遇到绿灯
C.“某彩票中奖概率是1%”表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D.小明前几次的数学测试成绩都在90分以上,这次数学测试成绩也一定在90分以上
5.B 根据随机事件可能性的大小分析,A,C错误;
D选项根据随机事件定义分析,这次成绩不一定在90分以上,D错误;
过十字路口时,红、绿、黄灯都有可能遇到,B正确.
{2x- y=5,
6.(2021湖南郴州,6,3分)已知二元一次方程组 则x-y的值为 ( )
x-2y=1.
A.2 B.6 C.-2 D.-6
{2x- y=5①,
6.A ①+②得3x-3y=6,
x-2y=1②,
∴x-y=2.故选A.
7.(2021湖南郴州,7,3分)由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示,则它的俯视图为 ( )
A B C D
7.D 画出该物体的三视图,如图所示,
故选D.
8.(2021湖南郴州,8,3分)如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°.点P从点A出发,沿路线A→B→C→D运动.设P
点经过的路程为x,以点A,D,P为顶点的三角形的面积为y,则下列图象能反映y与x的函数关系的是( )
A B
2C D
1
8.A 当P在AB上运动时(包括A点,不包括B点),y= ×4×sin 60°x,
2
∴y=√3x(0≤x<4),
1
当P在BC上运动时,y= ×4×4sin 60°,
2
∴y=4√3(4≤x≤8),
1
当P在CD上运动时(不包括C点,包括D点),y= ×4×(12-x)sin 60°,
2
∴y=-√3x+12√3(8<x≤12).故选A.
思路分析 当P在AB上运动时,y随x的增大而增大,又动点P匀速运动,故y为x的一次函数;当P在BC上运动时,△APD的底AD不变,高也不
变,故y不变;当P在CD上运动时,y随x的增大而减小,又P匀速运动,故P到AD的距离匀速变化,故y为x的一次函数,据此作出选择即可.
第Ⅱ卷 非选择题(共106分)
二、填空题(共8小题,每小题3分,共24分)
√2
9.(2021湖南郴州,9,3分)使 有意义的x的取值范围是 .
x
9.答案 x>0
√2 2
解析 若使 有意义,则 ≥0且x≠0,∴x>0.
x x
m-3
10.(2021湖南郴州,10,3分)在反比例函数y= 的图象的每一支曲线上,函数y随自变量x的增大而增大,则m的
x
取值范围是 .
10.答案 m<3
解析 由题意得m-3<0,∴m<3.
11.(2021湖南郴州,11,3分)为庆祝中国共产党建党一百周年,某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛,
比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分,最终得分按4∶3∶3的比例计算,若选手甲在演讲内容、演讲技巧、
演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分,则选手甲的最终得分为 分.
11.答案 89
95×4+80×3+90×3
解析 =89(分),
4+3+3
∴最终得分为89分.
12.(2021湖南郴州,12,3分)一个多边形的每一个外角都等于60°,则这个多边形的内角和为 度.
12.答案 720
360°
解析 =6,∴这个多边形是六边形,
60°
∴内角和为(6-2)×180°=720°.
13.(2021湖南郴州,13,3分)关于x的一元二次方程x2-5x+m=0有两个相等的实数根,则m= .
25
13.答案
4
解析 ∵一元二次方程有两个相等的实数根,
325
∴Δ=(-5)2-4m=0,∴m= .
4
14.(2021湖南郴州,14,3分)下图是一架梯子的示意图,其中AA∥BB∥CC∥DD,且AB=BC=CD,为使其更稳固,在
1 1 1 1
A、D 间加绑一条安全绳(线段AD),量得AE=0.4 m,则AD= m.
1 1 1
14.答案 1.2
解析 ∵BE∥DD,∴∠ABE=∠ADD,
1 1
又∵∠BAE=∠DAD,∴△ABE∽△ADD,
1 1
AE AB
∴ = ,
AD AD
1
0.4 1
∴ = ,∴AD=1.2 m.
AD 3 1
1
15.(2021湖南郴州,15,3分)如图,方老师用一张半径为18 cm的扇形纸板做了一个圆锥形帽子(接缝忽略不计).如果
圆锥形帽子的半径是10 cm,那么这张扇形纸板的面积是 cm2(结果用含π的式子表示).
15.答案 180π
解析 圆锥底面周长为2πr=2π×10=20π cm.
∴扇形弧长l=20π cm.
1 1
∴S = lR= ×20π×18=180π cm2.
扇形 2 2
4
16.(2021湖南郴州,16,3分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,sin A= ,BD⊥AC交AC于点D.点P为线段BD上的动点,
5
3
则PC+ PB的最小值为 .
5
16
16.答案
5
解析 如图,作PH⊥AB交AB于点H,
4
∵BD⊥AC,sin A= ,
5
3
∴sin∠ABD= ,
5
43
又∵PH⊥AB,∴PH=PB·sin∠ABD= PB,
5
3
∴PC+ PB=PC+PH,
5
3
∴当点C,P,H共线时,PC+ PB有最小值,为CH.
5
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AB=5,
4
∴BD=ABsin A=5× =4,
5
1 1
∴S = AC·BD= ×4×4=8,
△ABC
2 2
1 1
∴ AB·CH= ×5·CH=8,
2 2
16
∴CH= .
5
解题关键 本题实质上是考查点到直线的距离,把握住垂线段最短即可解答本题.
三、解答题(17~19题每题6分,20~23题每题8分,24~25题每题10分,26题12分,共82分)
17.(2021湖南郴州,17,6分)计算:(2 021-π)0-|2- |+(1) -1 ·tan 60°.
√12
2
17.解析 原式=1-(2√3-2)+2×√3
=1-2√3+2+2√3
=3.
18.(2021湖南郴州,18,6分)先化简,再求值:( a-1 - a-3 )÷ 1 ,其中a= √2 .
a2+a a2-1 a-1
18.解析 原式=[ a-1 a-3 ]·(a-1)
-
a(a+1) (a+1)(a-1)
(a-1)2 a-3
= -
a(a+1) a+1
(a-1)2-a(a-3)
=
a(a+1)
a+1
=
a(a+1)
1
= .
a
1 1 √2
当a=√2时,原式= = = .
a √2 2
519.(2021湖南郴州,19,6分)如图,四边形ABCD中,AB=DC,将对角线AC向两端分别延长至点E,F,使AE=CF.连接
BE,DF,若BE=DF.
证明:四边形ABCD是平行四边形.
{AB=CD,
19.证明 在△ABE和△CDF中, AE=CF,
BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SSS),
∴∠BAE=∠DCF,
∴180°-∠BAE=180°-∠DCF,
即∠BAC=∠DCA,
∴AB∥CD,∴ABCD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
20.(2021湖南郴州,20,8分)我市为加快推进生活垃圾分类工作,对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等,其中,
可回收物用蓝色收集桶,有害垃圾用红色收集桶,厨余垃圾用绿色收集桶,其他垃圾用灰色收集桶.为了解学生对垃圾
分类知识的掌握情况,某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生,根
据调查结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次调查一共随机采访了 名学生,在扇形统计图中,“灰”所在扇形的圆心角的度数为 度;
(2)补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数);
(3)若该校有3 600名学生,估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数;
(4)李老师计划从A,B,C,D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛,请用树状图法或列表法求出
恰好抽中A,B两人的概率.
20.解析 (1)200;198°.
44 110
共 =200人,“灰”所在扇形的圆心角为360°× =198°.
22% 200
(2)200-16-44-110=30(人).
616
(3)3 600× =288(人).
200
∴估计该校将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为288人.
(4)画树状图如下:
2 1
由树状图知,共有12种等可能的结果,恰好抽中A,B两人的结果有2种,所以恰好抽中A,B两人的概率P= = .
12 6
21.(2021湖南郴州,21,8分)如图,莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度,
测得斜坡AB=105米,坡度i=1∶2,在B处测得电梯顶端C的仰角α=45°,求观光电梯AC的高度.(参考数据:√2≈1.41,
√3≈1.73,√5≈2.24.结果精确到0.1米)
21.解析 作BD⊥水平地面于点D,
作BH⊥AC交AC于点H,
由题意得CA⊥AD,
∴∠CAD=90°.
∵BH⊥AC,∴∠BHC=90°,
∴∠CAD=∠BHC,∴BH∥AD,
∴∠BAD=∠HBA.
BD 1
∵i=tan∠BAD= = ,
AD 2
AH 1
∴ =tan∠HBA=tan∠BAD= ,
BH 2
∴可设AH=x米,BH=2x米.
7在Rt△ABH中,∠AHB=90°,AB=105米,
由勾股定理可得AH2+BH2=AB2,
∴x2+(2x)2=1052,
∴x=21√5,
∴AH=21√5米,BH=2×21√5=42√5米.
在Rt△BCH中,∠CBH=α=45°,∠BHC=90°,
∴∠BCH=180°-∠CBH-∠BHC
=180°-45°-90°
=45°,
∴∠BCH=∠CBH,
∴CH=BH=42√5米,
∴AC=CH+AH,
=42√5+21√5
=63√5
≈63×2.24
≈141.1米.
∴AC的高度约为141.1米.
22.(2021湖南郴州,22,8分)“七一”建党节前夕,某校决定购买A,B两种奖品,用于表彰在“童心向党”活动中表现
突出的学生.已知A奖品比B奖品每件多25元,预算资金为1 700元,其中800元购买A奖品,其余资金购买B奖品,且
购买B奖品的数量是A奖品的3倍.
(1)求A,B奖品的单价;
(2)购买当日,正逢该店搞促销活动,所有商品均按原价八折销售,故学校调整了购买方案:不超过预算资金且购买A
奖品的资金不少于720元,A,B两种奖品共100件.求购买A,B两种奖品的数量,有哪几种方案?
22.解析 (1)设B奖品的单价为x元,
则A奖品的单价为(x+25)元,
设购买A奖品a件,则购买B奖品3a件,
{ a(x+25)=800, {a=20,
由题意得 解得
3a·x=1700-800, x=15,
∴x+25=40,
∴A奖品的单价为40元,B奖品的单价为15元.
(2)设购买A奖品m件,则购买B奖品(100-m)件,
{ 40m×80%≥720,
由题意得
[40m+15(100-m)]×80%≤1700,
解得22.5≤m≤25.
又∵m为正整数,∴m=23,24,25.
∴方案一:购买A奖品23件,购买B奖品77件;
方案二:购买A奖品24件,购买B奖品76件;
方案三:购买A奖品25件,购买B奖品75件.
{ a(x+25)=800, {ax+25a=800①,
一题多解 (1)方程组体现整体代入思想的解法如下: 整理得
3a·x=1700-800, 3ax=900②,
由②得ax=300③,把③代入①得300+25a=800,
∴a=20,
把a=20代入③得20x=300,∴x=15,
{x=15,
∴原方程组的解是
a=20.
823.(2021湖南郴州,23,8分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AC是☉O的直径,点D是 的中点,DE∥BC交AC的
BC
⏜
延长线于点E.
(1)求证:直线DE与☉O相切;
(2)若☉O的直径是10,∠A=45°,求CE的长.
23.解析 (1)证明:连接OD,OB,
作OG⊥AB交AB于点G,
∵D为 的中点,
BC
⏜
∴ = ,∴∠1=∠2.
BD CD
⏜ ⏜
又∵OB=OC,∴OD⊥BC,
∴∠ONC=90°.
∵BC∥DE,∴∠ODE=∠ONC=90°,
∴OD⊥DE,
∴直线DE与☉O相切.
(2)∵AC为☉O的直径,∴∠ABC=90°.
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
∠A=45°,AC=10,
∴∠A=∠ACB,∴AB=BC,
由勾股定理可得AB2+BC2=AC2,
∴2AB2=102,∴AB=5√2.
∵BC∥DE,∴∠ACB=∠E,
由(1)得∠ODE=90°,
∴∠ODE=∠ABC,
∴△ABC∽△ODE,
AB AC
∴ = ,
OD OE
1 1
又∵OD=OC= AC= ×10=5,
2 2
5√2 10
∴ = ,
5 OE
∴OE=5√2,∴CE=OE-OC=5√2-5.
924.(2021湖南郴州,24,10分)某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品,在市场试销中发现,此商品的月销售量
y(单位:万件)与销售单价x(单位:元)之间有如下表所示关系:
x … 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 …
y … 8.0 6.0 5.0 3.0 1.0 …
(1)根据表中的数据,在图中描出实数对(x,y)所对应的点,并画出y关于x的函数图象;
(2)根据画出的函数图象,求出y关于x的函数表达式;
(3)设经营此商品的月销售利润为P(单位:万元),
①写出P关于x的函数表达式;
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元(不计其他成本),若物价局限定商品的销售单价不得超过进价
的200%,则此时的销售单价应定为多少元?
24.解析
(1)
(2)由(1)得y为x的一次函数,
∴设y=kx+b(k≠0),
∵图象经过(4,8),(5,6),
{4k+b=8, {k=-2,
∴ ∴
5k+b=6, b=16,
∴y关于x的函数表达式为y=-2x+16.
(3)①P=(x-2)y
=(x-2)(-2x+16)
=-2x2+20x-32,
∴P=-2x2+20x-32.
②由题意得x≤2×200%,∴x≤4,
当P=10万元时,-2x2+20x-32=10,
解得x=3,x=7(舍去).
1 2
∴销售单价应定为3元.
25.(2021湖南郴州,25,10分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°.点E,F分别为AB,AC的中点,H为线段
EF上一动点(不与点E,F重合),将线段AH绕点A按逆时针方向旋转90°得到AG,连接GC,HB.
10(1)证明:△AHB≌△AGC;
(2)如图2,连接GF,HG,HG交AF于点Q.
①证明:在点H的运动过程中,总有∠HFG=90°;
②若AB=AC=4,当EH的长度为多少时,△AQG为等腰三角形?
图1
图2
25.解析 (1)证明:在等腰直角三角形ABC中,AB=AC.
∵BAC=90°,∠HAG=90°,
∴∠BAC=∠HAG,
又∵∠BAH=∠BAC-∠HAC,
∠CAG=∠HAG-∠HAC,
∴∠BAH=∠CAG,
又由旋转可得AH=AG,
∴△AHB≌△AGC(SAS).
1
(2)①证明:E为AB的中点,∴AE= AB.
2
1
∵F为AC的中点,∴AF= AC,
2
又∵AB=AC,∴AE=AF,
又由(1)得∠BAH=∠CAG,AH=AG,
∴△AEH≌△AFG(SAS),
∴∠AEH=∠AFG.
∵E,F分别为AB,AC的中点,
∴EF∥BC,
∴∠AEH=∠ABC,∠AFH=∠ACB,
∴∠HFG=∠AFH+∠AFG=∠ACB+∠AEH=∠ACB+∠ABC,
又∵在△ABC中,∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,
∴∠HFG=90°.
②当AQ=AG时,
H与F重合,舍去.
11当AQ=QG时,
当AH⊥EF时,∠AHF=90°,
由(2)得△AEH≌△AFG,
∴∠AGF=90°,
又由(2)①得∠HFG=90°,
∴四边形AHFG为矩形,
又∵AH=AG,
∴矩形AHFG为正方形,
∴AQ=QG,
1 1 √2
此时EH=AE·cos 45°= ×ABcos 45°= ×4× =√2.
2 2 2
当AG=QG时,
∵∠HAG=90°,AH=AG,
∴∠AGQ=45°,
180°-∠AGQ
∵AG=QG,∴∠GAQ= =67.5°,
2
∴∠EAH=∠GAQ=67.5°,
在△AEH中,∠AEH=45°,∠EAH=67.5°,
∴∠EHA=180°-∠AEH-∠EAH=67.5°.
∴∠EAH=∠EHA,
1
∴EH=AE= AB=2.
2
综上所述,当EH=√2或2时,△AQG为等腰三角形.
26.(2021湖南郴州,26,12分)将抛物线y=ax2(a≠0)向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,得到抛物线H:y=a(x-
h)2+k.抛物线H与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知A(-3,0),点P是抛物线H上的一个动点.
(1)求抛物线H的表达式;
(2)如图1,点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A,C重合),过点P作PD⊥AB,垂足为D,PD交AC于点E.作
PF⊥AC,垂足为F,求△PEF的面积的最大值;
(3)如图2,点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点,在抛物线H上,是否存在点P,使得以点A,P,C,Q为顶点的四
边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
12图1
图2
备用图
26.解析 (1)由题意得h=-1,k=4,
∴抛物线H:y=a(x+1)2+4.
∵点A在抛物线H上,A(-3,0),
∴a(-3+1)2+4=0,∴a=-1.
∴抛物线H的表达式为y=-(x+1)2+4.
(2)∵C为抛物线H与y轴的交点,
由(1)得H:y=-(x+1)2+4,∴C(0,3).
∵A为抛物线H与x轴负半轴的交点,
∴A(-3,0),∴AO=CO,∴∠EAD=45°.
∵PD⊥AD,PF⊥AC,
∴∠PFE=∠ADE=90°,
∴∠PEF=∠AED=90°-∠EAD=45°,
∴△PEF∽△AED,
∴∠EPF=∠EAD=45°,
∴∠PEF=∠EPF,∴PF=EF.
设直线AC的表达式为y=mx+b,
{-3m+b=0, {m=1,
则 ∴
0·m+b=3, b=3.
∴直线AC的表达式为y=x+3.
∵E在直线AC上,∴设E(x,x+3),
13则P(x,-(x+1)2+4),
∴PE=-(x+1)2+4-(x+3)=-x2-3x.
∴EF=PEcos 45°
√2
=(-x2-3x)×
2
√2 3√2
=- x2- x(-3<x<0),
2 2
√2 3√2
∴PF=- x2- x(-3<x<0),
2 2
1
∴S = PF·EF,
△PEF
2
∴当PF取最大值时,S 有最大值.
△PEF
PF=-√2( 3) 2 +9√2,
x+
2 2 8
3 9√2
∴当x=- 时,PF有最大值 ,
2 8
1 9√2 9√2 81
∴△PEF的面积的最大值为 × × = .
2 8 8 64
(3)存在.当AC为对角线时,只要线段PQ 与AC互相平分即可,记线段AC中点为G,
1 1
PQ 必过点G且与抛物线H交于点P 与l交于点Q,
1 1 1 1
若使四边形PAQC为平行四边形,
1 1
则APCQ,Q(-1, ).
1 1 1 y
Q
1
过点P 作PM⊥x轴交x轴于点M,过点Q 作QN⊥y轴交y轴于点N,可证得△PAM≌△CQN,
1 1 1 1 1 1
∴AM=QN=1,
1
∴P 的横坐标为-3+1=-2.
1
当x=-2时,y=3,
∴此时P(-2,3).
1
当AC为边时,只要AC∥PQ且PQ=AC=3√2即可.
又Q在l上,l:x=-1,
∴点P到l的距离为AO的长度3,
∴P的横坐标为-4或2,又P在抛物线H上,
∴对于y=-(x+1)2+4,当x=-4时,y=-5,
14当x=2时,y=-5,
∴此时P(2,-5),P(-4,-5).
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综上所述,符合条件的P点为P(-2,3),P(2,-5),P(-4,-5).
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解后反思 此题主要考查了二次函数的综合应用,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型,特别注意数形结合这部分既是重点也是难点.
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