益阳市2021年初中学业水平考试
33
(满分:150分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本题共10个小题,每小题4分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C D D B A C B C C
1.(2021湖南益阳,1,4分)-2 021的相反数等于 ( )
1 1
A.2 021 B.-2 021C. D.-
2021 2021
1.A 只有符号不同的两个数互为相反数,-2 021的相反数是2 021.故选A.
2.(2021湖南益阳,2,4分)已知a≠0,下列运算正确的是 ( )
A.3a-2a=1 B.3a·2a=6a
C.a3÷a2=a D.(2a)3=6a3
2.C A选项,3a-2a=a,故A选项错误;
B选项,3a·2a=6a2,故B选项错误;
C选项,a3÷a2=a,故C选项正确;
D选项,(2a)3=8a3,故D选项错误.
√45
3.(2021湖南益阳,3,4分)将 化为最简二次根式,其结果是 ( )
2
√45 √90 9√10 3√10
A. B. C. D.
2 2 2 2
√45 √90 3√10
3.D = = .故选D.
2 2 2
{2x+ y=3,①
4.(2021湖南益阳,4,4分)解方程组 时,若将①-②可得 ( )
2x-3 y=4②
A.-2y=-1 B.-2y=1 C.4y=1 D.4y=-1
4.D ①-②得(2x+y)-(2x-3y)=3-4,化简得4y=-1.故选D.
2
5.(2021湖南益阳,5,4分)正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象或性质的共有特征之一是 ( )
x
A.函数值y随x的增大而增大
B.图象在第一、三象限都有分布
C.图象与坐标轴有交点
D.图象经过点(2,1)
5.B 正比例函数y=2x的图象过第一、三象限,与坐标轴交于(0,0),函数值y随x的增大而增大,图象不经过点
2
(2,1);反比例函数y= 的图象过第一、三象限,与坐标轴无交点,在各自象限内函数值y随x的增大而减小,图象经过
x
点(2,1).故选B.
6.(2021湖南益阳,6,4分)以下有关勾股定理证明的图形中,不是中心对称图形的是 ( )
1A B C D
6.A 中心对称图形的概念:一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合,这种图形叫中心对称图形,该点叫对称中
心.根据概念,B,C,D三个选项都符合定义,故选C.
7.(2021湖南益阳,7,4分)如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于 ( )
A.40° B.30° C.20° D.15°
7.C ∵△ACE是等边三角形,
∴∠ACE=∠CAE=60°,
∵AB∥CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
∵∠ACE+∠CAE=120°,
∴∠DCE+∠EAB=60°,
∵∠DCE=40°,
∴∠EAB=20°.
一题多解 如图,过E作EF∥AB,则EF∥AB∥CD,
∵△ACE是等边三角形,
∴∠AEC=60°,
∵AB∥CD∥EF,
∴∠DCE=∠CEF=40°,
∠EAB=∠AEF,
∵∠AEF+∠CEF=∠AEC=60°,
∴∠AEF=20°,
∴∠EAB=∠AEF=20°.
1
8.(2021湖南益阳,8,4分)如图,在△ABC中,AC>BC,分别以点A,B为圆心,大于 AB的长为半径画弧,两弧交于D,E,
2
经过D,E作直线分别交AB,AC于点M,N,连接BN,下列结论正确的是 ( )
A.AN=NC B.AN=BN
1
C.MN= BC D.BN平分∠ABC
2
28.B 由作图方法可知直线DE垂直平分线段AB,由线段垂直平分线的性质可知AN=BN.故选B.
9.(2021湖南益阳,9,4分)小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工,公司承诺:正常上班的工资为200元/天,不能正
常上班(如下雨)的工资为80元/天,如果某月(30天)正常上班的天数占80%,则当月小刘的日平均工资为 ( )
A.140元 B.160元 C.176元 D.182元
9.C 日平均工资等于当月总工资除以总天数,即
30×80%×200+30×20%×80
=176(元).故选C.
30
10.(2021湖南益阳,10,4分)如图,已知▱ABCD的面积为4,点P在AB边上从左向右运动(不含端点),设△APD的面积
为x,△BPC的面积为y,则y关于x的函数图象大致是 ( )
A B C D
10.C ∵平行四边形ABCD的面积为4,
1
∴当P在AB边上运动时,S = S =2,
△PCD
2
▱ABCD
∴S +S =2,
△PAD △PBC
∴x+y=2,
∴y=-x+2(0<x<2).
二、填空题(本题共8个小题,每小题4分,共32分.请将答案填在答题卡中对应题号的横线上)
11.(2021湖南益阳,11,4分)若实数a的立方等于27,则a= .
11.答案 3
解析 ∵a3=27,
∴a=√327=3.
12.(2021湖南益阳,12,4分)一元二次方程x2-3x=0的解是 .
12.答案 x=0,x=3
1 2
解析 ∵x2-3x=0,
∴x(x-3)=0,
∴x=0,x=3.
1 2
{ x>-1,
13.(2021湖南益阳,13,4分)已知x满足不等式组 写出一个符合条件的x的值: .
x-2≤0,
13.答案 0(答案不唯一)
解析 解不等式x-2≤0,得x≤2,
故不等式组的解集为-1<x≤2,
在-1<x≤2范围内任选一个即符合条件.
14.(2021湖南益阳,14,4分)小李在双休日到田间参加除草劳动,他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具,则
他选到锄头的概率是 .
1
14.答案
3
31
解析 从锄头、铁锹、镰刀三种劳动工具中随机选一种,选到锄头的概率是 .
3
15.(2021湖南益阳,15,4分)已知y是x的二次函数,下表给出了y与x的几对对应值:
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断,表中a= .
15.答案 6
解析 由表格中的数据可知二次函数的图象过点(0,3)和点(2,3),
0+2
∴二次函数的对称轴为直线x= =1,
2
由抛物线对称性可知:点(-1,a)和点(3,6)关于直线x=1对称,
∴a=6.
一题多解 设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,
选取表格中三个点的坐标(0,3),(1,2),(2,3),分别代入y=ax2+bx+c,
可求出抛物线的解析式为y=x2-2x+3,
将x=-1代入y=x2-2x+3,求出y=6,故a=6.
16.(2021湖南益阳,16,4分)如图,AB与CD相交于点O,OE是∠AOC的平分线,且OC恰好平分∠EOB,则∠AOD=
度.
16.答案 60
解析 ∵OE平分∠AOC,OC平分∠EOB,
∴∠AOE=∠COE=∠BOC,
∵∠AOE+∠COE+∠BOC=180°,
∴∠AOE=∠COE=∠BOC=60°,
∴∠AOD=∠BOC=60°.
17.(2021湖南益阳,17,4分)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB=AD,②AC=BD,③∠ABC=∠ADC中选择
一个作为条件,补充后使四边形ABCD成为菱形,则其选择是 (限填序号).
17.答案 ①
解析 由菱形的判定可知:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.故答案选①.
3
18.(2021湖南益阳,18,4分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,tan∠ABC= ,将△ABC绕A点按顺时针方向旋转角
2
α(0°<α<90°)得到△AB'C',连接BB',CC',则△CAC'与△BAB'的面积之比等于 .
49
18.答案
4
解析 由题意可知:△ABC≌△AB'C',∠BAB'=∠CAC'=α,
∴AB=AB',AC=AC',
AB AC
∴ = =1,
AB' AC'
∴△BAB'∽△CAC',
∴ S △CAC'=(AC) 2 =(tan∠ABC)2=(3) 2 =9.
S AB 2 4
△BAB'
三、解答题(本题共8个小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2021湖南益阳,19,8分)(本小题满分8分)
先化简,再求值:( 3)· 2a ,其中a=2.
1+
a a2-9
19.解析 ( 3)· 2a =a+3· 2a = 2 .
1+
a a2-9 a (a+3)(a-3) a-3
2
当a=2时,原式= =-2.
2-3
20.(2021湖南益阳,20,8分)(本小题满分8分)
如图,在矩形ABCD中,已知AB=6,∠DBC=30°,求AC的长.
20.解析 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=6,AC=BD,∠BCD=90°,
∵∠DBC=30°,
∴BD=2CD=12,
∴AC=BD=12.
21.(2021湖南益阳,21,8分)(本小题满分8分)
如图,已知点A是一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点,将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上.
(1)求点A的坐标;
(2)确定该反比例函数的解析式.
521.解析 (1)当y=0时2x-4=0,解得x=2,故A(2,0).
(2)将点A(2,0)向上平移2个单位后得到点B(2,2),
k
设反比例函数的解析式为y= ,
x
k
将点B(2,2)代入y= ,得k=4,
x
4
∴反比例函数的解析式为y= .
x
22.(2021湖南益阳,22,10分)(本小题满分10分)
为了促进全民健身活动的开展,某镇准备兴建一座休闲公园.为了解群众的运动需求,对周边爱好运动的居民的运动偏
好进行了随机调查(每人限填一项),绘制成如图所示的尚不完整的条形统计图和扇形统计图(综合类含舞蹈、太极拳
等其他项目):
(1)本次被调查的居民人数是多少?
(2)补全条形统计图;
(3)若该休闲公园辐射周边居民约1万人,爱好运动者占80%,请由此估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人
数.
22.解析 (1)被调查的居民人数为140÷35%=400.
(2)偏好球类的人数为400×25%=100.
补全条形统计图,如下:
640
(3)10 000×80%× =800(人).
400
故估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数为800.
23.(2021湖南益阳,23,10分)(本小题满分10分)
“2021湖南红色文化旅游节——重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行.该
镇南面山坡上有一座宝塔,一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量.如图所示,在山坡上的A点测
得塔底B的仰角∠BAC=13°,塔顶D的仰角∠DAC=38°,斜坡AB=50米,求宝塔BD的高(精确到1米).
(参考数据:sin 13°≈0.22,cos 13°≈0.97,tan 13°≈0.23,sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79,tan 38°≈0.78)
23.解析 由题意可知:∠C=90°,
BC
在Rt△ABC中,sin∠BAC= ,
AB
BC
∴sin 13°= ,
50
∴BC=50×sin 13°≈11(米).
AC
在Rt△ABC中,cos∠BAC= ,
AB
AC
∴cos 13°= ,
50
∴AC=50×cos 13°≈49(米).
CD
在Rt△ACD中,tan∠CAD= ,
AC
CD
∴tan 38°= ,
AC
∴CD=AC·tan 38°=49×tan 38°≈38(米),
∴BD=CD-CB=38-11=27(米).
答:宝塔BD的高度为27米.
24.(2021湖南益阳,24,10分)(本小题满分10分)
为了改善湘西北地区的交通,我省正在修建长(沙)-益(阳)-常(德)高铁,其中长益段将于2021年年底建成.开通后的长
益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米,运行时间为16分钟;现乘坐某次长益城际铁路全程需要60分
13
钟,平均速度是开通后的高铁的 .
30
7(1)求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米;
(2)甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工,每天对其施工的长度比为7∶9,计划40天完成;
施工5天后,工程指挥部要求甲工程队提高工效,以确保整个工程提早3天以上(含3天)完成,那么甲队后期每天至少
施工多少千米?
24.解析 (1)设长益段高铁全长为x千米,则长益城际铁路全长为(x+40)千米,
x 13 x+40
根据题意可列方程: × = ,
16 30 60
解得x=64,
则x+40=104.
答:长益段高铁全长为64千米,长益城际铁路全长为104千米.
(2)设甲工程队提速前每天施工7a千米,乙工程队每天施工9a千米,甲队后期每天至少施工b千米,
40(7a+9a)=64,
解得a=0.1,
∴7a=0.7,9a=0.9,
0.7×5+(40-3-5)b+0.9×(40-3)≥64,
解得b≥0.85.
答:甲队后期每天至少施工0.85千米.
25.(2021湖南益阳,25,12分)(本小题满分12分)
如图,在等腰锐角三角形ABC中,AB=AC,过点B作BD⊥AC于D,延长BD交△ABC的外接圆于点E,过点A作
AF⊥CE,交CE的延长线于F,AE,BC的延长线交于点G.
(1)判断EA是否平分∠DEF,并说明理由;
(2)求证:①BD=CF;②BD2=DE2+AE·EG.
25.解析 (1)EA平分∠DEF.理由如下:
∵∠AEF+∠AEC=180°,
∠ABC+∠AEC=180°,
∴∠AEF=∠ABC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ACB=∠AEB,
∴∠AEB=∠AEF,
∴EA平分∠DEF.
(2)证明:①∵BD⊥AC,AF⊥CF,
∴∠ADB=∠AFC=90°,
在△ABD和△ACF中,
{∠ABD=∠ACF,
∠ADB=∠AFC,
AB=AC,
∴△ABD≌△ACF(AAS),
∴BD=CF.
8②由(1)可知∠AEF=∠AED,
又∠AFE=∠ADE,AE=AE,
∴△AEF≌△AED(AAS),
∴EF=DE,
∵∠AEC+∠GEC=180°,
∠ABC+∠AEC=180°,
∴∠GEC=∠ABC=∠ACB,
∵∠ACB=∠AEB,
∴∠AEB=∠GEC,
∴∠AEB+∠BEC=∠GEC+∠BEC,
即∠AEC=∠BEG,
∵∠EAC=∠EBG,
∴△EAC∽△EBG,
AE CE
∴ = ,
BE GE
∴BE·CE=AE·GE,
∵BE=BD+DE,
CE=CF-EF=BD-DE,
∴(BD+DE)(BD-DE)=AE·EG,
∴BD2-DE2=AE·EG,
∴BD2=DE2+AE·EG.
一题多解 第(2)题②问中的结论BE·CE=AE·EG也可以通过证明△ECG∽△EAB的思路来证.
26.(2021湖南益阳,26,12分)(本小题满分12分)
己知函数y={-x(x≤0), 的图象如图所示,点A(x,y)在第一象限内的函数图象上.
1 1
x2(x>0)
(1)若点B(x,y)也在上述函数图象上,满足x<x.
2 2 2 1
①当y=y=4时,求x,x 的值;
2 1 1 2
②若|x|=|x|,设w=y-y,求w的最小值;
2 1 1 2
(2)过A点作y轴的垂线AP,垂足为P,点P关于x轴的对称点为P',过A点作x轴的垂线AQ,垂足为Q,Q关于直线
AP'的对称点为Q',直线AQ'是否与y轴交于某定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.
备用图
26.解析 (1)①∵x<x,y=y=4,点A(x,y)在第一象限内的函数图象上,
2 1 2 1 1 1
∴将y=4代入到y=x2中得到x=2,
1 1
将y=4代入到y=-x中得到x=-4.
2 2
②∵|x|=|x|,x<x,点A(x,y)在第一象限内的函数图象上,
2 1 2 1 1 1
∴x=-x,
2 1
9∴y= ,y=x,
1 x2 2 1
1
∴w=y
1
-y
2
=
x2
-x
1
=(
x -
1) 2 -1,
1 1 2 4
∵x>0,
1
1 1
∴当x= 时,w取得最小值,为- .
1
2 4
(2)直线AQ'与y轴交于点( 1).
0,
4
如图,由题意可知A(x, ),Q(x,0),P(0, ),P'(0,- ),
1 x2 1 x2 x2
1 1 1
∴直线AP'所在直线为y=2x·x- ,
1 x2
1
∵QQ'⊥AP',
∴k ·k =-1.
AP' QQ'
设QQ'所在直线为y=kx+b,
1
则k=- ,
2x
1
1
将Q(x,0)代入y=kx+b,得b= ,
1
2
1 1
设QQ'所在直线为y=- x+ ,
2x 2
1
{ y=- 1 ·x+ 1 ,
联立 2x 2
1
y=2x ·x-x2,
1 1
(2x3+x x2
)
得C 1 1, 1 ,
4x2+1 4x2+1
1 1
∵Q和Q'关于C对称,
∴C是QQ'的中点,
( x 2x2 )
∴Q' 1 , 1 ,
4x2+1 4x2+1
1 1
设直线AQ'的表达式为y=mx+n,
{ mx +n=x2,①
1 1
将点A,Q的坐标代入得 mx 2x2
1 +n= 1 ,②
4x2+1 4x2+1
1 1
1 1 x2
由②-①× ,得( 1- )·n= 1 ,
4x2+1 4x2+1 4x2+1
1 1 1
101
解得n= ,
4
∴直线AQ'与y轴交于点( 1).
0,
4
1112
