2021年湘潭市初中学业水平考试
33
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题共8个小题,每小题有且只有一个正确答案,请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上,每小
题3分,满分24分)
1 2 3 4 5 6 7 8
B B A D C A C B
1.(2021湖南湘潭,1,3分)2 021的相反数是 ( )
1 1
A.2 021 B.-2 021C. D.-
2021 2021
1.B 根据相反数的概念,只有符号不同的两个数互为相反数,2 021的相反数为-2 021,故选B.
2.(2021湖南湘潭,2,3分)据国家航天局消息,航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射,并成
功着陆于火星预选着陆区,距离地球约320 000 000千米.其中 320 000 000用科学记数法表示为( )
A.0.32×109 B.3.2×108
C.3.2×109 D.32×107
2.B 题中320 000 000写成科学记数法的形式,小数点需要向左移动8位,移动8位后是3.2×108,故选B.
方法总结 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值
与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值大于10时,n是正整数;当原数的绝对值小于1时,n是负整数.
3.(2021湖南湘潭,3,3分)下列计算正确的是 ( )
A.m3÷m2=m B.(a3)2=a5
C.x2·x3=x6 D.3a3-a2=2a
3.A 对于选项B,(a3)2=a6,故B错误;对于选项C,x2·x3=x5,故C错误;对于选项D,3a3 与a2不是同类项,不能合并,故
D错误,故选A.
{x+1≥2,
4.(2021湖南湘潭,4,3分)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 ( )
4x-8<0
A B
C D
{ x+1≥2,(1)
4.D
4x-8<0,(2)
解不等式(1)得x≥1.
解不等式(2)得x<2.
所以不等式组的解集为1≤x<2,故选D.
方法总结 将不等式的解集表示在数轴上时,“大于向右,小于向左,等于实心圆,不等空心圆”.
5.(2021湖南湘潭,5,3分)下列几何体中,三视图不含圆的是 ( )
1A B
C D
5.C 正方体的主视图、俯视图和左视图均为正方形,故选C.
6.(2021湖南湘潭,6,3分)为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由100
元降为64元,求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率为x,可列方程得 ( )
A.100(1-x)2=64 B.100(1+x)2=64
C.100(1-2x)=64 D.100(1+2x)=64
6.A 根据题意得该药品的零售价经过两次降价后可表示为100(1-x)2元,故可列方程为100(1-x)2=64,故选A.
7.(2021湖南湘潭,7,3分)某中学积极响应党的号召,大力开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动.小明同学在某
学期德智体美劳的评价得分如下图所示,则小明同学五项评价的平均得分为 ( )
A.7分 B.8分 C.9分 D.10分
7.C 根据题图所示,小明五项评价得分分别为德10分、智9分、体8分、美9分、劳9分,故五项评价的平均得分
10+9+8+9+9
为 =9(分),故选C.
5
8.(2021湖南湘潭,8,3分)如图,BC为☉O的直径,弦AD⊥BC于点E,直线l切☉O于点C,延长OD交l于点F,若
AE=2,∠ABC=22.5°,则CF的长度为 ( )
A.2 B.2√2 C.2√3 D.4
8.B 连接AO.
∵∠AOE=2∠ABE,
2∴∠AOE=2×22.5°=45°,
∵AD⊥BC,
∴DE=AE=2, = ,
AC CD
⏜ ⏜
∴∠EOD=∠AOE=45°,
∴△OED为等腰直角三角形,
∴OE=DE=2,
由勾股定理得OD= = =2 ,
√OE2+DE2 √22+22 √2
∴OC=OD=2√2,
∵直线l切圆O于点C,
∴∠OCF=90°,∵∠COF=45°,
∴△OCF为等腰直角三角形,
∴CF=OC=2√2,故选B.
二、填空题(本题共8个小题,请将答案写在答题卡相应的位置上,每小题3分,满分24分)
9.(2021湖南湘潭,9,3分)单项式3x2y的系数是 .
9.答案 3
解析 根据单项式的系数的定义可得3x2y的系数为3.
10.(2021湖南湘潭,10,3分)在平面直角坐标系中,把点A(-2,1)向右平移5个单位得到点A',则点A'的坐标为
.
10.答案 (3,1)
解析 根据点的坐标平移规律“左减右加,上加下减”,将点A(-2,1)向右平移5个单位即横坐标加5,得到A'的坐标
为(3,1).
11.(2021湖南湘潭,11,3分)若二次根式√x-2有意义,则x的取值范围为 .
11.答案 x≥2
解析 根据√a(a≥0),可知使√x-2有意义的条件是x-2≥0,则x≥2.
12.(2021湖南湘潭,12,3分)“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平为世界粮食安全作出了杰出贡献.全球
共有40多个国家引种杂交水稻,中国境外种植面积达800万公顷.某村引进了甲、乙两种超级杂交水稻品种,在条件
(肥力、日照、通风……)不同的6块试验田中同时播种并核定亩产,统计结果为 =1 042 kg/亩, =6.5, =1 042
x s2 x
甲 甲 乙
kg/亩, =1.2,则 品种更适合在该村推广.(填“甲”或“乙”)
s2
乙
12.答案 乙
解析 根据 = , > ,可知甲品种与乙品种的平均数相同,但乙品种比甲品种的实验结果更加稳定,故乙品种更
x x s2 s2
甲 乙 甲 乙
适合在该村推广.
13.(2021湖南湘潭,13,3分)如图,直线a,b被直线c所截,已知a∥b,∠1=130°,则∠2为 度.
13.答案 50
解析 ∵a∥b,
∴∠3=∠1=130°(两直线平行,同位角相等),
3∴∠2=180°-∠3=180°-130°=50°.
14.(2021湖南湘潭,14,3分)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是边AB的中点.已知BC=10,则OE=
.
14.答案 5
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形,
∴O为AC的中点,
∵E为AB的中点,
∴EO为△ABC的中位线,
1 1
∴EO= BC= ×10=5.
2 2
15.(2021湖南湘潭,15,3分)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的点,试添加一个条件: ,
使得△ADE与△ABC相似.(任意写出一个满足条件的即可)
15.答案 ∠ADE=∠B 或∠ADE=∠C或 AD=AE 或 AD=AE
AB AC AC AB
解析 根据“两角对应相等,两个三角形相似”“两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似”可得答案.
16.(2021湖南湘潭,16,3分)天干地支纪年法是上古文明的产物,又称节气历或中国阳历.有十天干与十二地支,如下表:
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
算法如下:先用年份的尾数查出天干,再用年份除以12的余数查出地支.如2008年,尾数8为戊,2008除以12余数为
4,4为子,那么2008年就是戊子年.
2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年,则2021年是 年.(用天干地支纪年法表示)
16.答案 辛丑
解析 2021年,尾数1为辛,2 021除以12余数为5,5为丑,那么2021年就是辛丑年.
三、解答题(本大题共10个小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请将解答过程写在答题卡相应位置上,满分
72分)
17.(2021湖南湘潭,17,6分)(本题满分6分)计算:|-2|-(π-2)0+(1) -1 -4tan 45°.
3
17.解析 原式=2-1+3-4×1=0.
418.(2021湖南湘潭,18,6分)(本题满分6分)先化简,再求值:( 1 )÷x2+6x+9,其中x=3.
+1
x+2 x2-4
18.解析 原式=( 1 x+2)÷(x+3)2
+
x+2 x+2 (x+2)(x-2)
x+3 (x+2)(x-2) x-2
= · = .
x+2 (x+3)2 x+3
把x=3代入,
3-2 1
原式= = .
3+3 6
19.(2021湖南湘潭,19,6分)(本题满分6分)如图,矩形ABCD中,E为边BC上一点,将△ABE沿AE翻折后,点B恰好
落在对角线AC的中点F上.
(1)证明:△AEF≌△CEF;
(2)若AB=√3,求折痕AE的长度.
19.解析 (1)证明:∵F为AC的中点,
∴AF=CF,
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=90°,
由题意得△ABE≌△AFE,
∴∠AFE=∠B=90°,
在△AEF和△CEF中,
{
AF=FC,
∠AFE=∠CFE,
EF=EF,
∴△AEF≌△CEF(SAS).
(2)∵△ABE≌△AFE,
∴AF=AB=√3,
∴CF=AF=√3,
∴AC=AF+CF=2√3,
在Rt△ABC中,由勾股定理得
BC= = =3,
√AC2-AB2 √(2√3)2-(√3)2
∵△AEF≌△CEF,
∴可设AE=EC=x(x>0),则BE=3-x,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AB2+BE2=AE2,
∴(√3)2+(3-x)2=x2,
解得x=2,即AE=2.
520.(2021湖南湘潭,20,6分)(本题满分6分)“共和国勋章”获得者钟南山院士说:按照疫苗保护率达到70%计算,中
国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%,才有可能形成群体免疫.本着自愿的原则,18至60周岁符合身体条件的中国公
民均可免费接种新冠疫苗.居民甲、乙准备接种疫苗,其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务
中心均可免费接种疫苗,提供疫苗种类如下表:
接种地点 疫苗种类
A 新冠病毒灭活疫苗
医院
B 重组新冠病毒疫苗(CHO细胞)
C 新冠病毒灭活疫苗
社区卫生服务中心
D 重组新冠病毒疫苗(CHO细胞)
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗,且选择每个接种点的机会均等.(提示:用A、
B、C、D表示选取结果)
(1)求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率;
(2)请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率.
2
20.解析 (1)由表格中的疫苗种类可知,4种疫苗中有2种为灭活疫苗,则居民甲接种新冠病毒灭活疫苗的概率为 =
4
1
.
2
(2)运用列表法可得:
乙
A B C D
甲
A AA AB AC AD
B BA BB BC BD
C CA CB CC CD
D DA DB DC DD
8 1
其中:AA、BB、CC、DD、AC、CA、BD、DB为相同种类疫苗,所以甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率是 = .
16 2
21.(2021湖南湘潭,21,6分)(本题满分6分)万楼是湘潭历史上的标志性建筑,建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥.
万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅,也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色,
而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构.
某数学小组为了测量万楼主楼高度,进行了如下操作:用一架无人机在楼基A处起飞,沿直线飞行120米至点B,在此
处测得楼基A的俯角为60°,再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C,在此处测得楼顶D的俯角为30°,请计算万
楼主楼AD的高度.(结果保留整数,√2≈1.41,√3≈1.73)
21.解析 由题意得AB=120 m,∠EBA=60°,BC=30 m,∠ECD=30°,∠E=90°,
√3
在Rt△ABE中,AE=AB·sin 60°=120× =60√3(米),
2
1
BE=AB·cos 60°=120× =60(米),
2
则CE=BE+BC=60+30=90(米),
设AD=x米,则DE=AE-AD=(60√3-x)米,
DE
在Rt△CDE中,tan C= ,
CE
6√3 60√3-x
∴ = ,
3 90
解得x=30√3≈52(米).
答:万楼主楼AD的高度约为52米.
22.(2021湖南湘潭,22,6分)(本题满分6分)为隆重纪念中国共产党成立100周年,进一步激发师生的爱党爱国热情,
某校开展了四项庆祝活动:A、感党恩·我们诵;B、听党话·我们唱;C、跟党走·我们画;D、学党史·我们写.其中C项活
动全体同学参与,预计成绩95<x≤100可获一等奖,成绩90<x≤95可获二等奖,随机抽取50个同学的作品进行打分并
对成绩进行整理、分析,得到频数分布直方图如下:
收集其中90<x≤100这一组成绩如下:
n 93 92 98 95 95 96 91 94 96
整理该组数据得下表:
组别 平均数 中位数 众数
获奖组 94.5 95 95
根据以上信息,回答下列问题:
(1)频数分布直方图中m= ;
(2)90<x≤100组中n= ;
(3)已知该校有1 200名学生,估计本次活动获一等奖的同学有多少人?
22.解析 (1)m=50-(4+24+10)=12.
n+93+92+98+95+95+96+91+94+96
(2)由90<x≤100这组数据的平均数为94.5,可列方程为 =94.5,解得
10
n=95.
(3)由题可知,成绩在95<x≤100的同学可获得一等奖,在被调查的50名同学中有3人可获得一等奖,故估计该校1
3
200名学生中获得一等奖的同学有1 200× =72(人).
50
4
23.(2021湖南湘潭,23,8分)(本题满分8分)如图,点A(a,2)在反比例函数y= 的图象上,AB∥x轴,且交y轴于点C,
x
k
交反比例函数y= 于点B,已知AC=2BC.
x
(1)求直线OA的解析式;
k
(2)求反比例函数y= 的解析式;
x
k
(3)点D为反比例函数y= 上一动点,连接AD交y轴于点E,当E为AD中点时,求△OAD的面积.
x
74 4
23.解析 (1)把x=a,y=2代入y= ,得2= ,解得a=2,则A(2,2),
x a
设直线OA的解析式为y=mx(m≠0),
把A(2,2)代入y=mx(m≠0),得2=2m,解得m=1,
故直线OA的解析式为y=x.
(2)由题意知C(0,2),则AC=2,
∵AC=2BC,∴BC=1,
则B的坐标为(-1,2),
k k
代入y= 得2= ,解得k=-2,
x -1
2
∴反比例函数的解析式为y=- .
x
(3)如图,作DF⊥y轴于点F.
∵点E为AD的中点,
∴DE=AE,
在△DEF和△AEC中,
{
∠DEF=∠AEC,
∠DFE=∠ACE=90°,
DE=AE,
∴△DEF≌△AEC(AAS),
∴DF=AC=2,
2 2
把x=-2代入y=- 中,得y=- =1,
x -2
则D(-2,1).
因为E为AD中点,所以E( 3),
0,
2
1 1
则S =S +S = OE·DF+ OE·AC
△OAD △OED △OEA
2 2
1 1 3
= OE(DF+AC)= × ×(2+2)=3.
2 2 2
24.(2021湖南湘潭,24,8分)(本题满分8分)2020年12月30日,中共湘潭市委创造性地提出了深化“六个湘潭”(实
力湘潭、创新湘潭、文化湘潭、幸福湘潭、美丽湘潭、平安湘潭)建设的发展目标.为响应政府号召,湘潭县湘莲种植
8户借助电商平台,在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售湘莲.已知线上零售40 kg和线下批发80 kg
湘莲共获得4 000元;线上零售60 kg和线下批发80 kg湘莲的销售额相同.
(1)求线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克多少元?
(2)该产地某种植大户某月线上零售和线下批发共销售湘莲2 000 kg,设线上零售x kg,获得的总销售额为y元.
①请写出y与x的函数关系式;
②若总销售额不低于70 000元,则线上零售量至少应达到多少千克?
24.解析 (1)设线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克a元、b元.
{40a+80b=4000, {a=40,
则 解得
60a=80b, b=30.
答:线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克40元、30元.
(2)①y=40x+30(2 000-x)=10x+60 000.
②由题意得10x+60 000≥70 000,
解得x≥1 000.
答:线上零售量至少达到1 000千克.
√3
25.(2021湖南湘潭,25,10分)(本题满分10分)如图,一次函数y= x-√3的图象与坐标轴交于点A、B,二次函数y=
3
√3
x2+bx+c的图象过A、B两点.
3
(1)求二次函数解析式;
(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q,使得以B、C、P、Q
为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
√3
25.解析 (1)把y=0代入y= x-√3,得x=3,则A(3,0),
3
√3
把x=0代入y= x-√3,得y=-√3,则B(0,-√3),
3
√3
把A(3,0)、B(0,-√3)分别代入y= x2+bx+c得
3
{ 0= √3 ×32+3b+c, { b=- 2√3 ,
解得
3 3
-√3=c, c=-√3,
√3 2√3
则二次函数解析式为y= x2- x-√3.
3 3
(2)二次函数的对称轴为直线x=1.
∵C与B关于直线x=1对称,∴C(2,-√3),
∴BC=2.
设Q(x,y).
2 2
9①若以BC为边构成菱形,
则BCQP,
∴QP=BC=2,∴x =3或-1.
Q
√3 2√3
把x =3或-1分别代入y= x2- x-√3得y=0,
Q
3 3
∴Q点的坐标为(3,0)或(-1,0).
②若以BC为对角线构成菱形BQCP,
则BC⊥PQ且BC、QP互相平分,∴x =1,
Q
√3 2√3
把x =1代入y= x2- x-√3,
Q
3 3
得y=-4√3,∴Q( 4√3).
1,-
3 3
综上所述,Q点的坐标为(3,0)、(-1,0)、( 4√3).
1,-
3
26.(2021湖南湘潭,26,10分)(本题满分10分)德国著名的天文学家开普勒说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定
理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿”.
CB √5-1
如图①,点C把线段AB分成两部分,如果 = ≈0.618,那么称点C为线段AB的黄金分割点.
AC 2
图①
10图②
图③
(1)特例感知:在图①中,若AB=100,求AC的长;
(2)知识探究:如图②,作☉O的内接正五边形:
①作两条相互垂直的直径MN、AI;
②作ON的中点P,以P为圆心,PA为半径画弧交OM于点Q;
③以点A为圆心,AQ为半径,在☉O上连续截取等弧,使弦AB=BC=CD=DE=AQ,连接AE;
则五边形ABCDE为正五边形.
在该正五边形的作法中,点Q是不是线段OM的黄金分割点?请说明理由.
(3)拓展应用:国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征,是一个非常优美的几何图形,与黄金分割有着密切的联系.
延长题(2)中的正五边形ABCDE的每条边,相交可得到五角星,摆正后如图③,点E是线段PD的黄金分割点,请利用
题中的条件,求cos 72°的值.
26.解析 (1)设AC=x,则BC=100-x.
CB √5-1
∵ = ,
AC 2
100-x √5-1
∴ = ,解得x=50√5-50.
x 2
(2)点Q是线段OM的黄金分割点.
证明:设半径为2a.
∵P为ON的中点,
∴OP=PN=a,
在Rt△AOP中,OP2+OA2=AP2,
∴AP=PQ=√5a,
∴OQ=(√5-1)a,MQ=(3-√5)a,
MQ (3-√5)a 3-√5 (3-√5)(√5+1) 2√5-2 √5-1
∴ = = = = = .
OQ (√5-1)a √5-1 (√5-1)(√5+1) 4 2
∴点Q是线段OM的黄金分割点.
(3)过P作PF⊥AE于点F(图略),
由于五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
故正五边形的每个内角为108°,
则∠BAE=∠DEA=108°,
∴∠PAE=∠PEA=72°,
∴PA=PE,
∵点E是线段PD的黄金分割点,
DE √5-1
∴ = ,
PE 2
设AE=ED=(√5-1)m, PE=PA=2m,
∵PF⊥AE,PA=PE,
11√5-1
∴AF=EF= m,
2
√5-1
EF m √5-1
∴cos 72°=cos∠PEF= = 2 = .
PE 4
2m
1213
