2021年邵阳市初中学业水平考试试题卷
33
(满分:120分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C B D B A A A B D
1.(2021湖南邵阳,1,3分)-3的相反数是 ( )
A.-3 B.0 C.3 D.π
1.C 根据相反数的概念,只有符号不同的两个数互为相反数,-3的相反数为3,故选C.
2.(2021湖南邵阳,2,3分)下列四个图形中,是中心对称图形的是 ( )
A B C D
2.C 根据中心对称图形的概念,把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个
图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.四个选项中只有C选项符合概念,故选C.
3.(2021湖南邵阳,3,3分)2021年我国首次发射探测器对火星进行探测.北京时间2月10日晚,“天问一号”探测器在
距离地球约192 000 000 km处成功实施制动捕获,随后进入火星轨道.用科学记数法将192 000 000表示为a×108的形
式,则a的值是 ( )
A.0.192 B.1.92 C.19.2 D.192
3.B 题中192 000 000写成科学记数法的形式小数点需要向左移动8位,移动8位后是1.92,故选B.
方法总结 科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数
点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于10时,n是正整数;当原数的绝对值小于1时,n是负整数.
4.(2021湖南邵阳,4,3分)如图,若数轴上两点M,N所对应的实数分别为m,n,则m+n的值可能是 ( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
4.D ∵M,N所对应的实数分别为m,n,
∴-3<m<-2<0<n<1,
∴-3<m+n<-1.
∴m+n的值可能是-2.故选D.
3
5.(2021湖南邵阳,5,3分)如图,在△AOB中,AO=1,BO=AB= .将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°,得到△A'OB',连接
2
AA'.则线段AA'的长为 ( )
13 3
A.1 B.√2 C. D. √2
2 2
5.B 由旋转性质可知,OA=OA'=1,∠AOA'=90°,
则△AOA'为等腰直角三角形,
∴AA'= = = .故选B.
√OA2+OA'2 √1+1 √2
疑难突破 图形的旋转,旋转角相等,对应线段相等.
6.(2021湖南邵阳,6,3分)某社区针对5月30日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查,共收回6 000份
有效问卷.经统计,制成如下数据表格.
接种疫苗针数 0 1 2 3
人数 2 100 2 280 1 320 300
小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比.下面是制作扇形统计图的步骤(顺序打
乱):
①计算各部分扇形的圆心角分别为126°,136.8°,79.2°,18°.
②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%,38%,22%,5%.
③在同一个圆中,根据所得的圆心角度数画出各个扇形,并注明各部分的名称及相应的百分比.
制作扇形统计图的步骤排序正确的是 ( )
A.②①③ B.①③②
C.①②③ D.③①②
6.A 根据制作扇形统计图的步骤先计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%,38%,22%,5%;
再计算各部分扇形的圆心角分别为126°,136.8°,79.2°,18°;然后在同一个圆中,根据所得的圆心角度数画出各个扇形,
并注明各部分的名称及相应的百分比.
{5x-1>3x-4,
7.(2021湖南邵阳,7,3分)下列数值不是不等式组 的整数解的是 ( )
1 2
- x≤ -x
3 3
A.-2 B.-1 C.0 D.1
{5x-1>3x-4①,
7.A
1 2
- x≤ -x②,
3 3
3
解不等式①,得x>- ,
2
解不等式②,得x≤1,
3
∴不等式组的解集为- <x≤1,
2
∴不等式组的整数解为-1,0,1.故选A.
28.(2021湖南邵阳,8,3分)某天早晨7:00,小明从家骑自行车去上学,途中因自行车发生故障,就地修车耽误了一段时
间,修好车后继续骑行,7:30赶到了学校.如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程.结合图象,判断下列结论
正确的是 ( )
A.小明修车花了15 min
B.小明家距离学校1 100 m
C.小明修好车后花了30 min到达学校
D.小明修好车后骑行到学校的平均速度是3 m/s
8.A A.由横坐标看出,小明修车的时间为20-5=15(min),故本选项符合题意;
B.由纵坐标看出,小明家与学校的距离为2 100 m,故本选项不合题意;
C.由横坐标看出,小明修好车后花了30-20=10(min)到达学校,故本选项不合题意;
11
D.小明修好车后骑行到学校的平均速度是(2 100-1 000)÷10=110(m/min)= (m/s),故本选项不合题意.故选A.
6
9.(2021湖南邵阳,9,3分)如图,点A,B,C是☉O上的三点.若∠AOC=90°,∠BAC=30°,则∠AOB的大小为 ( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
9.B ∵∠BAC与∠BOC所对弧为 ,
BC
⏜
∴∠BOC=2∠BAC=60°,
又∵∠AOC=90°,
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°.
故选B.
10.(2021湖南邵阳,10,3分)在平面直角坐标系中,若直线y=-x+m不经过第一象限,则关于x的方程mx2+x+1=0的实
数根的个数为 ( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.1或2个
10.D ∵直线y=-x+m不经过第一象限,
∴m≤0.
当m=0时,方程mx2+x+1=0是一元一次方程,有一个根;
当m<0时,
∵关于x的方程mx2+x+1=0是一元二次方程,
∴Δ=12-4m>0,
∴关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根.
故选D.
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
3二、填空题(本大题有8个小题,每小题3分,共24分)
11.(2021湖南邵阳,11,3分)16的算术平方根是 .
11.答案 4
解析 ∵42=16,∴√16=4.
故答案为4.
12.(2021湖南邵阳,12,3分)因式分解:xy2-x3= .
12.答案 x(y+x)(y-x)
解析 xy2-x3=x(y2-x2)=x(y+x)(y-x).故答案为x(y+x)(y-x).
易错警示 分解因式要分解完全,分解到不能再分解为止.
13.(2021湖南邵阳,13,3分)如图,点D,E,F分别为△ABC三边的中点.若△ABC的周长为10,则△DEF的周长为
.
13.答案 5
解析 ∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
∴FD、FE、DE为△ABC的中位线,
1 1 1
∴DF= AC,FE= AB,DE= BC,
2 2 2
1 1 1 1 1
∴DF+FE+DE= AC+ AB+ BC= (AC+AB+BC)= ×10=5,
2 2 2 2 2
故答案为5.
3
14.(2021湖南邵阳,14,3分)已知点A(1,y),B(2,y)为反比例函数y= 图象上的两点,则y 与y 的大小关系是y
1 2 1 2 1
x
y.(填“>”“=”或“<”)
2
14.答案 >
3
解析 ∵反比例函数y= 中,k=3>0,
x
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限,且在每一象限内y随x的增大而减小.
∵A(1,y),B(2,y),
1 2
∴点A、B都在第一象限,
又∵1<2,∴y>y,
1 2
故答案为>.
1
15.(2021湖南邵阳,15,3分)如图,已知线段AB长为4.现按照以下步骤作图:①分别以点A,B为圆心,大于 AB长为
2
半径画弧,两弧分别相交于点E,F;②过E,F两点作直线,与线段AB相交于点O.则AO的长为 .
15.答案 2
解析 由题中作图步骤可得,EF垂直平分AB,
4∴AO=OB.
1
∵AB=4,∴AO= AB=2.故答案为2.
2
16.(2021湖南邵阳,16,3分)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条
路径,则它遇到食物的概率是 .
1
16.答案
3
解析 ∵这只蚂蚁在如题图所示的树枝上寻觅食物,且在每个岔路口都会随机选择一条路径,
∴共有6条路径,获得食物的有2条路径,
2 1
∴它遇到食物的概率是 = .
6 3
1
故答案为 .
3
17.(2021湖南邵阳,17,3分)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:今有共买物,人出八,盈三;
人出七,不足四.问人数、物价各几何?意思是:几个人一起去购买某物品,如果每人出8钱,则多了3钱;如果每人出7
钱,则少了4钱.问有多少人,物品的价值是多少?该问题中物品的价值是 钱.
17.答案 53
解析 设有x人,物品的价值为y钱,
{y=8x-3, { x=7,
依题意,得 解得
y=7x+4, y=53,
即该问题中物品的价值是53钱,
故答案为53.
4
18.(2021湖南邵阳,18,3分)如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC,垂足为点E.若sin∠ADE= ,AD=4,则AB的长为
5
.
18.答案 3
解析 ∵DE⊥AC,∴∠ADE+∠CAD=90°.
∵∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠ACD=∠ADE.
∵矩形ABCD的对边AB∥CD,
∴∠BAC=∠ACD,
∴∠BAC=∠ADE.
4
∵sin∠ADE= ,
5
54
∴sin∠BAC= .
5
BC
又∵在Rt△ABC中,sin∠BAC= ,
AC
BC 4
∴ = .
AC 5
∵BC=AD=4,
BC 4
∴AC= 4 =4=5.
5 5
由勾股定理得,AB= = =3.
√AC2-BC2 √52-42
故答案为3.
三、解答题(本大题有8个小题,第19~25题每题8分,第26题10分,共66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证
明过程)
19.(2021湖南邵阳,19,8分)计算:(2 021-π)0-|√3-2|-tan 60°.
19.解析 原式=1-(2-√3)-√3
=1-2+√3-√3
=-1.
20.(2021湖南邵阳,20,8分)先化简,再从-1,0,1,2,√2+1中选择一个合适的x的值代入求值.
( x )÷ x2-1 .
1-
x+1 x2+2x+1
x+1-x (x+1)2 1
20.解析 原式= · = ,
x+1 (x+1)(x-1) x-1
又∵x≠±1,
∴x可以取0,此时原式=-1;
x可以取2,此时原式=1;
1 √2
x可以取√2+1,此时原式= = .
√2+1-1 2
易错警示 选择x值的时候要考虑分母不为0,不能取±1.
21.(2021湖南邵阳,21,8分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两点,且
AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.
(1)证明:△ADE≌△CBF;
(2)若AB=4√2,AE=2,求四边形BEDF的周长.
21.解析 (1)证明:由正方形对角线平分每一组对角可知∠DAE=∠BCF=45°,
在△ADE和△CBF中,
6{
AD=BC,
∠DAE=∠BCF,
AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵AD=AB=4√2,
∴BD= = =8.
√AB2+AD2 √(4√2)2+(4√2)2
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得AC=BD=8,DO=BO=4,OA=OC=4,
又AE=CF=2,
∴OA-AE=OC-CF,
即OE=OF=4-2=2,
故四边形BEDF为菱形.
∵∠DOE=90°,
∴DE= = =2 .
√DO2+EO2 √42+22 √5
∴4DE=8√5.
故四边形BEDF的周长为8√5.
思路分析 (1)由正方形对角线性质可得∠DAE=∠BCF=45°,再由SAS可证△ADE≌△CBF;
(2)由正方形性质及勾股定理可求得AC=BD=8,DO=BO=4,OA=OC=4.由AE=CF=2,可得OE=OF=2,故四边形BEDF为菱形.在Rt△DOE中,用勾股
定理求得DE=2√5,进而四边形BEDF的周长为4DE=8√5.
22.(2021湖南邵阳,22,8分)为庆祝中国共产党成立100周年,某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动,并计划
购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品.采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品,回到学校后发现发票
被弄花了,有几个数据变得不清楚,如图.
请根据如图所示的发票中的信息,帮助刘老师复原弄花的数据,即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额.
22.解析 设钢笔购买了x支,笔记本购买了y本.
{ x+ y+6=56, {x=15,
由题意得 解得
15x+5 y+600=1000, y=35,
∴15×15=225(元),35×5=175(元).
答:钢笔购买了15支共225元,笔记本购买了35本共175元.
23.(2021湖南邵阳,23,8分)为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召,某校团委针对该校学生每周参加“青年大
学习”的时间(单位:h)进行了随机抽样调查,并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图,请根据图表中
的信息回答下列问题.
周学习时间 频数 频率
0≤t<1 5 0.05
1≤t<2 20 0.20
2≤t<3 a 0.35
3≤t<4 25 m
74≤t≤5 15 0.15
(1)求统计表中a,m的值;
(2)甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”.求甲同学的周学习时间在哪个范围内;
(3)已知该校学生约有2 000人,试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3 h的人数.
23.解析 (1)∵样本容量为5÷0.05=100,
∴a=100×0.35=35,m=25÷100=0.25.
(2)∵一共有100个数据,其中位数是第50、51个数据的平均数,而这2个数据均落在2≤t<3范围内,
∴甲同学的周学习时间在2≤t<3范围内.
(3)估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3 h的人数为2 000×(0.25+0.15)=800.
24.(2021湖南邵阳,24,8分)某种冰激凌的外包装可以视为圆锥,它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1∶2.制作这
种外包装需要用如图2所示的等腰三角形材料,其中AB=AC,AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥时,AE,AF恰好重合.
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小;
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5 cm,求加工材料剩余部分(图2中阴影部分)的面积.(结果保留π)
图1
图2
24.解析 (1)设∠BAC=n°.
nπ·AD
由题意得π·DE= ,AD=2DE,
180
∴n=90,∴∠BAC=90°.
(2)∵AD=2DE=10 cm,△ABC是等腰直角三角形,AD⊥BC,
∴BC=2AD=20 cm.
1 1 90π·102
∴S = BC·AD-S = ×20×10- =(100-25π)cm2.
阴影 2 扇形AEF 2 360
25.(2021湖南邵阳,25,8分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线C:y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,1)和(4,1).
8(1)求抛物线C的对称轴;
(2)当a=-1时,将抛物线C向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到抛物线C.
1
①求抛物线C 的解析式.
1
②设抛物线C 与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,连接BC.点D为第一象限内抛物线C 上一
1 1
动点,过点D作DE⊥OA于点E,设点D的横坐标为m,是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似?
若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
图1
25.解析 (1)∵点(1,1)和(4,1)的纵坐标相同,
∴上述两点关于抛物线的对称轴对称,
1 5
故抛物线的对称轴为直线x= ×(1+4)= .
2 2
{-1+b+c=1, {b=5,
(2)①由题意得 解得
-16+4b+c=1, c=-3.
故原抛物线的解析式为y=-x2+5x-3.
由平移的性质得,平移后抛物线的解析式为y=-(x+2)2+5(x+2)-3-1=-x2+x+2.
②存在.
令y=-x2+x+2=0,解得x=-1或2,令x=0,则y=2,
故点B、A的坐标分别为(-1,0)、(2,0),点C(0,2).
OB 1
∵tan∠BCO= = ,
CO 2
tan∠CBO=2,
∴当以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似时,
1
tan∠DOE=2或 ,
2
∵点D的横坐标为m,且点D在抛的线C 上,
1
∴点D的坐标为(m,-m2+m+2),
DE -m2+m+2 1
则tan∠DOE= = =2或 ,
OE m 2
1-√33 1+√33
解得m=-2(舍去)或1或 (舍去)或 ,
4 4
91+√33
故m=1或 .
4
26.(2021湖南邵阳,26,10分)如图,在Rt△ABC中,点P为斜边BC上一动点,将△ABP沿直线AP折叠,使得点B的对
应点为B',连接AB',CB',BB',PB'.
(1)如图①,若PB'⊥AC,证明:PB'=AB';
(2)如图②,若AB=AC,BP=3PC,求cos∠B'AC的值;
PC
(3)如图③,若∠ACB=30°,是否存在点P,使得AB=CB'?若存在,求此时 的值;若不存在,请说明理由.
BC
26.解析 (1)证明:∵PB'⊥AC,∠CAB=90°,
∴PB'∥AB.
∴∠B'PA=∠BAP,
又由折叠可知∠BAP=∠B'AP,
∴∠B'PA=∠B'AP.
故PB'=AB'.
(2)如图1所示,设AB=AC=a,AC、PB'交于点D,
图1
则△ABC为等腰直角三角形,
√2 3√2
∴BC=√2a,PC= a,PB= a,
4 4
由折叠可知,∠PB'A=∠PBA=45°,
又∠ACB=45°,
∴∠PB'A=∠ACB,
又∠CDP=∠B'DA,
∴△CDP∽△B'DA.
10√2a
CD PD CP √2
∴ = = = 4 = .①
B'D DA B'A 4
a
√2
设B'D=b,则CD= b.
4
√2
∴DA=AC-CD=a- b,
4
3√2
PD=PB'-B'D=PB-B'D= a-b,
4
3√2
a-b
PD √2 4 √2
由① = 得 = .
DA 4 √2 4
a- b
4
4√2
解得b= a.
7
过点D作DE⊥AB'于点E,则△B'DE为等腰直角三角形.
√2 √2 4√2 4
∴B'E=B'Dsin 45°= b= × a= a,
2 2 7 7
4 3
∴AE=AB'-B'E=AB-B'E=a- a= a.
7 7
√2 2 5
又AD=AC-CD=a- b=a- a= a,
4 7 7
3
a
AE 7 3
∴cos∠B'AC=cos∠EAD= = = .
AD 5 5
a
7
(3)存在点P,使得AB=CB'.设AB=m.
∵∠ACB=30°,∠CAB=90°,
∴BC=2m.
①如图2所示,
图2
由题意可知,点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A.
当P为BC的中点时,PC=BP=AP=AB'=m,
又∠ABC=60°,∴△PAB为等边三角形.
又由折叠可得四边形ABPB'为菱形,
∴PB'∥AB,∴PB'⊥AC.
又∵AP=AB',则易知AC为线段PB'的垂直平分线.
故CB'=PC=AB=m,满足题意.
11PC m 1
此时 = = .
BC 2m 2
②当点B'落在BC上时,如图3所示,
图3
此时CB'=AB=m,
1 1
则PB'= (2m-m)= m,
2 2
1 3
∴PC=CB'+PB'=m+ m= m,
2 2
3
PC m 3
∴ =2 = .
BC 4
2m
PC 1 3
综上所述, 的值为 或 .
BC 2 4
1213
