2021年株洲市高级中等学校招生考试
33
(满分:150分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题共10小题,每小题有且只有一个正确答案,每小题4分,共40分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D B B A C A B D C
1.(2021湖南株洲,1,4分)若a的倒数为2,则a= ( )
1 1
A. B.2 C.- D.-2
2 2
1 1
1.A ∵2的倒数是 ,∴a= .故选A.
2 2
x
2.(2021湖南株洲,2,4分)方程 -1=2的解是 ( )
2
A.x=2 B.x=3 C.x=5 D.x=6
x x
2.D ∵ -1=2,∴ =2+1,
2 2
x
∴ =3,∴x=6,故选D.
2
3.(2021湖南株洲,3,4分)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段BC的延长线上,若∠DCE=132°,则∠A=
( )
A.38° B.48° C.58° D.66°
3.B ∵∠DCE=132°,
∴∠DCB=180°-132°=48°,
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠DCB,
∴∠A=48°.故选B.
4.(2021湖南株洲,4,4分)某月1日—10日,甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示,则下列错误的结
论是 ( )
1A.1日—10日,甲的步数逐天增加
B.1日—6日,乙的步数逐天减少
C.第9日,甲、乙两人的步数正好相等
D.第11日,甲的步数不一定比乙的步数多
4.B 由图可知1日—10日,甲的步数逐天增加,因此A选项正确.
1日—5日,乙的步数逐天减少,5日—6日,有所增加,因此B选项中的结论错误.
观察图象可知,第9日时,甲、乙两人的步数正好相等,因此C选项正确.
图象只给出1日—10日的频数统计图,因此第11日的步数情况无法确定.因此D选项说法正确.故选B.
√1
5.(2021湖南株洲,5,4分)计算:-4× = ( )
2
A.-2√2 B.-2 C.-√2 D.2√2
√1 √ 1
5.A -4× =- 16× =-√8=-2√2.故选A.
2 2
√1 1 √2
一题多解 -4× =-4× =-4× =-2√2.
2 √2 √2×√2
6.(2021湖南株洲,6,4分)《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”:“粟率五十,粝米三
十……”(粟指带壳的谷子,粝米指糙米),其意为:“50单位的粟,可换得30单位的粝米……”.问题:现有3斗的粟(1
斗=10升),若按照此“粟米之法”,则可以换得的粝米为 ( )
A.1.8升B.16升 C.18升 D.50升
6.C 3斗=30升.
依题意,设3斗的粟可换得x升的粝米.
x 30
则 = ,
30 50
解得x=18.故选C.
{x-2≤0,
7.(2021湖南株洲,7,4分)不等式组 的解集为 ( )
-x+1>0
A.x<1 B.x≤2 C.1<x≤2 D.无解
{ x-2≤0,①
7.A
-x+1>0,②
解不等式①,得x≤2,
解不等式②,得x<1,
∴不等式组的解集为x<1.
8.(2021湖南株洲,8,4分)如图所示,在正六边形ABCDEF内,以AB为边作正五边形ABGHI,则∠FAI= ( )
2A.10° B.12° C.14° D.15°
8.B ∵六边形ABCDEF为正六边形,
(6-2)×180°
∴∠FAB= =120°,
6
∵五边形ABGHI为正五边形.
(5-2)×180°
∴∠IAB= =108°,
5
∴∠FAI=∠FAB-∠IAB=120°-108°=12°.故选B.
9.(2021湖南株洲,9,4分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,点P在x轴的正半轴上,且OP=1,设
M=ac(a+b+c),则M的取值范围为 ( )
A.M<-1 B.-1<M<0
C.M<0 D.M>0
9.D 由图象可知,二次函数开口向下,与y轴交于正半轴,∴a<0,c>0,
又∵OP=1,∴当x=1时,y=a+b+c<0,
∴M=ac(a+b+c)>0,故选D.
解题思路 由开口向下,得出a<0,再由图象与y轴的交点位置,得出c>0,由OP=1得出当x=1时,y=a+b+c<0,进而得出M>0.
10.(2021湖南株洲,10,4分)某限高曲臂道路闸口如图所示,AB垂直地面l 于点A,BE与水平线l 的夹角为
1 2
α(0°≤α≤90°),EF∥l∥l,若AB=1.4米,BE=2米,车辆的高度为h(单位:米),不考虑闸口与车辆的宽度.
1 2
①当α=90°时,h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口;
②当α=45°时,h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口;
③当α=60°时,h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.
则上述说法正确的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.C 如图,依题意,过C作EN⊥l 于N,
1
3则EN⊥l 于M,车辆可通过高度为EN=MN+ME=AB+EM=1.4+EM.
2
①当α=90°时,EM=BE=2,
∴EN=1.4+2=3.4>3.3,
∴当α=90°时,h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口.
②当α=45°时,在Rt△BME中,BE=2,
√2
∴EM=BE·sin 45°=2× =√2,
2
∴EN=1.4+√2≈1.4+1.414=2.814<2.9,
∴当α=45°时,h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口.
③当α=60°时,在Rt△BME中,BE=2,
√3
∴EM=BE·sin 60°=2× =√3.
2
∴EN=1.4+√3≈1.4+1.732=3.132>3.1,
∴当α=60°时,h等于3.1米的车辆可以通过该闸口.
∴①②的说法正确,③的说法错误.故选C.
解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,即车辆能否通过该闸口,取决于车辆高度h与EF到l 的距离的大小.因此通过计算EN的
1
长度来比较,进而得出结论.
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
11.(2021湖南株洲,11,4分)计算:2a2·a3= .
11.答案 2a5
解析 2a2·a3=2·a2+3=2a5.
12.(2021湖南株洲,12,4分)因式分解:6x2-4xy= .
12.答案 2x(3x-2y)
解析 6x2-4xy=2x(3x-2y).
13.(2021湖南株洲,13,4分)据报道,2021年全国高考报名人数为1 078万,将1 078万用科学记数法表示为
1.078×10n,则n= .
13.答案 7
解析 ∵1 078万=10 780 000,
∴1 078万用科学记数法表示为1.078×107.
∴n=7.
解题关键 较大数且带单位时,先将大数完整写出来,再用科学记数法来表示.
14.(2021湖南株洲,14,4分)抛掷一枚质地均匀的硬币两次,则两次都是“正面朝上”的概率是 .
1
14.答案
4
解析 画树状图如图,
结果(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).
1
∴总共有4种等可能的结果,两次都是“正面朝上”的有1种,故概率为 .
4
一题多解 列表得
第一次
正面 反面
第二次
4正面 (正,正) (反,正)
反面 (正,反) (反,反)
结果为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).
1
∴总共有4种等可能的结果,两次都是“正面朝上”的有1种,故概率为 .
4
15.(2021湖南株洲,15,4分)如图所示,线段BC为等腰△ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O,若
OD=2,则AC= .
15.答案 4
解析 ∵四边形ADBE是矩形,OD=2,
∴AB=DE=2OD=2×2=4,
又∵BC为等腰三角形ABC的底边,
∴AC=AB=4.
解题思路 先利用矩形的性质:对角线相等且互相平分,求出AB的长,再根据等腰△ABC的定义得到AC=AB.
16.(2021湖南株洲,16,4分)中药是以我国传统医药理论为指导,经过采集、炮制、制剂而得到的药物.在一个时间段,
某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如下表:
中药 黄芪 焦山楂 当归
销售价(单位:元/千克) 80 60 90
销售额(单位:元) 120 120 360
则在这个时间段,该中药房的这三种中药的平均销售量为 千克.
16.答案 2.5
120
解析 依题意,可得黄芪销售量为 =1.5(千克),
80
120
焦山楂销售量为 =2(千克);
60
360
当归销售量为 =4(千克).
90
1.5+2+4
∴平均销售量为 =2.5(千克).
3
k
17.(2021湖南株洲,17,4分)点A(x,y)、B(x+1,y)是反比例函数y= 图象上的两点,满足:当x>0时,均有y<y,则
1 1 1 2 1 1 2
x
k的取值范围是 .
17.答案 k<0
解析 ∵x<x+1,
1 1
当x>0时,均有y<y,
1 1 2
∴当x>0时,y随x增大而增大,
结合反比例函数的图象与性质可得k<0.
18.(2021湖南株洲,18,4分)《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(“ ”为“蜨”,同“蝶”),它
的基本组件为斜角形,包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只,共十三只(图
①中的“ ”和“隻”为“样”和“只”).图②为某蝶几设计图,其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(“一 二
5隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形),已知某人位于点P处,点P与点A关于直线DQ对称,连接CP、
DP,若∠ADQ=24°,则∠DCP= 度.
图②
图②
18.答案 21
解析 依题意可知△ABD和△CBD是两个全等的等腰直角三角形,
∴CD=AD,∠ADC=90°,
又∵点P与点A关于直线DQ对称,
∴PD=AD=CD,∠PDQ=∠ADQ=24°,
∴∠ADP=24°+24°=48°,
∠CDP=90°+48°=138°,
又∵CD=PD,∴∠DCP=∠DPC,
180°-138°
∴∠DCP= =21°.
2
三、解答题(本大题共8小题,共78分)
19.(2021湖南株洲,19,6分)(本题满分6分)计算:|-2|+√3sin 60°-2-1.
√3 1
19.解析 原式=2+√3× -
2 2
3 1
=2+ - =3.
2 2
20.(2021湖南株洲,20,8分)(本题满分8分)先化简,再求值: 2x ·( 2)- 3 ,其中x= -2.
1- √2
x2-4 x x+2
20.解析 原式= 2x ·( 2)- 3
1-
(x+2)(x-2) x x+2
2x x-2 3
= · -
(x+2)(x-2) x x+2
2 3 1
= - =- .
x+2 x+2 x+2
61 √2
当x=√2-2时,原式=- =- .
√2 2
21.(2021湖南株洲,21,8分)(本题满分8分)如图所示,在矩形ABCD中,点E在线段CD上,点F在线段AB的延长线
上,连接EF交线段BC于点G,连接BD,若DE=BF=2.
(1)求证:四边形BFED是平行四边形;
2
(2)若tan∠ABD= ,求线段BG的长度.
3
21.解析 (1)证明:∵在矩形ABCD中,DC∥AB,
∴DE∥BF,
又∵DE=BF,
∴四边形BFED是平行四边形.
(2)∵四边形BFED是平行四边形,
∴BD∥EF,∴∠F=∠DBA.
2
∴tan F=tan∠DBA= .
3
∵在矩形ABCD中,∠CBA=90°,
∴∠GBF=90°,
BG 2
∴在Rt△GBF中, = .
BF 3
2 4
∴BG= ×2= .
3 3
22.(2021湖南株洲,22,10分)(本题满分10分)将一物体( 2 )从地面PQ上挪到
视为边长的 米的正方形ABCD
π
货车车厢内.如图所示,刚开始点B与斜面EF上的点E重合,先将该物体绕点B(E)按逆时针方向旋转至正方形
ABCD 的位置,再将其沿EF方向平移至正方形ABCD 的位置(此时点B 与点G重合),最后将物体移到车厢平台
1 1 1 2 2 2 2 2
1
面MG上.已知MG∥PQ,∠FBP=30°,过F作FH⊥MG于点H,FH= 米,EF=4米.
3
(1)求线段FG的长度;
(2)求在此过程中点A运动至点A 所经过的路程.
2
722.解析 (1)∵MG∥PQ,
∴∠FGM=∠FBP=30°,
∵FH⊥MG,
2
∴在Rt△FHG中,FG=2FH= .
3
2
∴线段FG的长度为 米.
3
2
(2)∵EF=4,FG= ,
3
2 10
∴GE=4- = ,
3 3
10
∴由平移得AA=GE= .
1 2
3
∵∠FBP=30°,∠CBA=90°,
1 1
∴∠ABA=60°,
1
2
60π· 2
∴A旋转至A 时,l = π = .
1 1
AA 3
⏜ 180
2 10
∴点A运动至点A 经过的路程为 + =4(米).
2
3 3
23.(2021湖南株洲,23,10分)(本题满分10分)目前,国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体健康状况的一个
G
指标,其计算公式:BMI= (G表示体重,单位:千克;h表示身高,单位:米).已知某区域成人的BMI数值标准为:
2
ℎ
BMI<16为瘦弱(不健康);16≤BMI<18.5为偏瘦;18.5≤BMI<24为正常;24≤BMI<28为偏胖;BMI≥28为肥胖(不健康).
某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本,计算每名成人的BMI数值后
统计如下:
身体属性 人数
瘦弱 2
偏瘦 2
正常 11
偏胖 9
肥胖 m
(男性身体属性与人数统计表)
(女性身体属性与人数统计图)
(1)求这个样本中身体属性为“正常”的人数;
(2)某女性的体重为51.2千克,身高为1.6米,求该女性的BMI数值;
(3)当m≥3且n≥2(m、n为正整数)时,求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的
女性人数的比值.
823.解析 (1)∵男性“正常”人数为11,女性“正常”人数为9,
∴该样本中身体属性为“正常”的人数为20.
51.2
(2)该女性的BMI数值为: =20.
1.62
(3)该样本共55人,其中男性(24+m)人,女性(25+n)人,
∴24+m+25+n=55,
∴m+n=6,
∵m≥3且n≥2,m,n为正整数,
{m=3, {m=4,
∴ 或
n=3 n=2.
2+3 5
当m=3,n=3时,男性“不健康”人数与女性“不健康”人数的比值为 = ;
3+4 7
2+4
当m=4,n=2时,男性“不健康”人数与女性“不健康”人数的比值为 =1.
2+4
24.(2021湖南株洲,24,10分)(本题满分10分)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,一次函数y=2x的图象l与函数y=
k
(k>0,x>0)的图象(记为Γ)交于点A,过点A作AB⊥y轴于点B,且AB=1,点C在线段OB上(不含端点),且OC=t,过
x
点C作直线l∥x轴,交l于点D,交图象Γ于点E.
1
(1)求k的值,并且用含t的式子表示点D的横坐标;
(2)连接OE、BE、AE,记△OBE、△ADE的面积分别为S、S,设U=S-S,求U的最大值.
1 2 1 2
k
24.解析 (1)∵y=2x与y= 交于点A,AB=1,
x
∴x =1,y =2×1=2.
A A
∴点A的坐标为(1,2).
k
∴2= ,∴k=2.
1
∵OC=t且D在直线y=2x上,
t
∴x = .
D
2
2
(2)依题意,可知AB∥CE∥x轴,点E在y= (x>0)的图象上,
x
∵y
E
=t,∴x
E
=2,∴点E的坐标为(2
,t
),
t t
2
∴CE= ,∵OB=2,
t
1 1 2 2
∴S= OB·CE= ×2· = .
1
2 2 t t
92 t
又∵BC=OB-OC=2-t,DE=CE-CD= - ,
t 2
∴S
2
=1DE·BC=1(2
-
t )·(2-t)
2 2 t 2
2 t t2
= - -1+ ,
t 2 4
∴U=S-S=2-(2 t t2 )
1 2 - -1+
t t 2 4
t2 t
=- + +1
4 2
1 5
=- (t-1)2+ .
4 4
1
∵- <0,且点C在线段OB上(不含端点).
4
1 5 5
∴0<t<2,- (t-1)2+ ≤ .
4 4 4
5
∴当t=1时,U取得最大值,为 .
4
5
∴U的最大值为 .
4
k
解题思路 (1)根据点A的横坐标,求出A的坐标,再代入y= 求出k,再由D的纵坐标为t,代入y=2x求出D的横坐标.(2)分别用含t的式子表示
x
出CE,DE,BC,再根据三角形面积公式表示出S,S,进而求出U,最后配方讨论最值.
1 2
25.(2021湖南株洲,25,13分)(本题满分13分)如图所示,AB是☉O的直径,点C、D是☉O上不同的两点,直线BD交
线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F,若OC=3CE,且9(EF2-CF2)=OC2.
(1)求证:直线CF是☉O的切线;
(2)连接OD、AD、AC、DC,若∠COD=2∠BOC.
①求证:△ACD∽△OBE;
②过点E作EG∥AB,交线段AC于点G,点M为线段AC的中点,若AD=4,求线段MG的长度.
25.解析 (1)∵9(EF2-CF2)=OC2,
∴EF2-CF2=1OC2=(1 ) 2,
OC
9 3
1
又∵OC=3CE,∴CE= OC,
3
∴EF2-CF2=CE2,∴EF2=CE2+CF2,
由勾股定理的逆定理可知,∠ECF=90°,∴OC⊥CF,
10又∵点C在圆上,
∴CF是☉O的切线.
1
(2)①∵ = ,∴∠CAD= ∠COD,
CD CD
2
⏜ ⏜
1
又∵∠COD=2∠BOC,∴∠BOC= ∠COD=∠CAD,
2
又∵ = ,∴∠ACD=∠ABD,
AD AD
⏜ ⏜
∴∠ACD=∠OBE,
∵∠CAD=∠BOE,
∴△ACD∽△OBE.
1
②∵OC=3CE,CE= OC,
3
2
∴OE=OC-CE=2CE= OC,
3
OE OE 2
∴ = = .
OB OC 3
AC AD
由①得△ACD∽△OBE,∴ = ,
OB OE
OE AD 2
∴ = = .
OB AC 3
又∵AD=4,∴AC=6,
又∵EG∥AB,
AG OE AG 2
∴ = ,即 = ,
AC OC 6 3
1
∴AG=4,∵M为AC中点,∴AM= AC=3,
2
∴MG=AG-AM=4-3=1.
方法指导 (1)证明一条直线是圆的切线时,常有以下两种思路:①有切点,有半径,证垂直.②无切点,作垂线,证垂线段的长等于半径.本题属于有
切点,通过已知条件利用勾股定理的逆定理证出∠ECF=90°.
思路分析 (2)①要证相似,最常见的方法是证两组角对应相等.本题可通过同弧所对的圆周角及圆心角的关系,证出∠ACD=∠OBE,∠CAD=∠BOE,
2 3 1
因此△ACD∽△OBE.②由相似及平行线分线段成比例,可得到AG= AC,AC= AD=6,又AM= AC=3,进而求出MG=AG-AM=1.
3 2 2
26.(2021湖南株洲,26,13分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).
1
(1)若a= ,b=c=-2,求方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值;
2
(2)如图所示,该二次函数的图象与x轴交于点A(x,0),B(x,0),且x<0<x,与y轴的负半轴交于点C,点D在线段
1 2 1 2
b
OC上,连接AC、BD,满足∠ACO=∠ABD,- +c=x.
1
a
①求证:△AOC≌△DOB;
c
②连接BC,过点D作DE⊥BC于点E,点F(0,x-x)在y轴的负半轴上,连接AF,且∠ACO=∠CAF+∠CBD,求 的值.
1 2 x
1
111
26.解析 (1)当a= ,b=c=-2时,
2
1
原方程为 x2-2x-2=0,
2
1
∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4× ×(-2)=8.
2
(2)①∵二次函数的图象与x轴交于A(x,0),B(x,0),与y轴交于C,
1 2
x +x b
∴ 1 2=- ,C的坐标为(0,c).
2 2a
b
∴x+x=- .
1 2
a
b
又∵- +c=x,
1
a
∴x+x+c=x,
1 2 1
∴c=-x,∴OC=OB,
2
又∵∠ACO=∠ABD,∠AOC=∠DOB=90°,
∴△AOC≌△DOB.
②由①得△AOC≌△DOB,
∴OA=OD,又∵OC=OB,
∴D的坐标为(0,x),C的坐标为(0,-x),CD=x+x,BC=√2x,∠OCB=∠OBC=45°,
1 2 1 2 2
又∵DE⊥BC,∴△CED为等腰直角三角形.
√2 √2
∴CE=DE= CD= (x+x),
1 2
2 2
√2 √2
∴BE=BC-CE=√2x- (x+x)= (x-x).
2 1 2 2 1
2 2
∵∠ACO=∠CAF+∠CBD=∠CAF+∠AFC,
∴∠AFC=∠CBD,
∴tan∠AFC=tan∠CBD,
OA DE
∴ = ,又∵F的坐标为(0,x-x),
1 2
OF BE
√2
(x +x )
-x 2 1 2
∴ 1 = ,
x -x √2
2 1 (x -x )
2 2 1
∴-x=x+x,∴2x=-x,
1 1 2 1 2
由①得-x=c,∴2x=c,
2 1
c
∴ =2.
x
1
12x +x b b
1 2
解后反思 (1)由根的判别式Δ=b2-4ac直接求解.(2)①由二次函数图象的对称性可得
2
=-
2a
,再结合已知-
a
+c=x
1
,可以得出c=-
x
2
,∴OC=OB,又∵∠ACO=∠ABD,∠AOC=∠DOB=90°,因此△AOC≌△DOB.②利用①中的结论,证出△CED为等腰直角三角形,从而可以求出
c
CE,DE,BE的长,再由△AOF∽△DEB(或tan∠AFO=tan∠CBD)建立等量关系,求出2x=-x,结合①中,c=-x,可得2x=c,∴ =2.
1 2 2 1 x
1
1314
