年初中学业水平考试
卷Ⅰ
一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选,
均不给分)
1.计算(-2)2的结果是( )
A.4 B.-4C.1 D.-1
2.直六棱柱如图所示,它的俯视图是( )
A B C D
3.第七次全国人口普查结果显示,我国具有大学文化程度的人口超218 000 000人.数据218
000 000用科学记数法表示为( )
A.218×106 B.21.8×107
C.2.18×108 D.0.218×109
4.如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图.若大学生有60人,则初中生有( )
A.45人 B.75人 C.120人 D.300人
5.解方程-2(2x+1)=x,以下去括号正确的是( )
A.-4x+1=-x B.-4x+2=-x
C.-4x-1=x D.-4x-2=x
6.如图,图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,位似比为2∶3,点A,B的对应点分别为点
A',B'.若AB=6,则A'B'的长为( )
A.8 B.9 C.10D.157.某地居民生活用水收费标准:每月用水量不超过17立方米,每立方米a元;超过部分每立方
米(a+1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米,则应缴水费为( )
A.20a元 B.(20a+24)元
C.(17a+3.6)元D.(20a+3.6)元
8.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角
形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=α,则OC2的值为( )
1
A. +1 B.sin2α+1
sin2α
1
C. +1 D.cos2α+1
cos2α
k
9.如图,点A,B在反比例函数y= (k>0,x>0)的图象上,AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,BE⊥y
x
2
轴于点E,连接AE.若OE=1,OC= OD,AC=AE,则k的值为( )
3
3√2 9
A.2 B. C. D.2√2
2 4
10.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF
的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连接CG,延长BE交CG于点H.若AE=2BE,则
CG
的值为( )
BH
3 3√10 3√5
A. B.√2 C. D.
2 7 5
卷Ⅱ
二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)
11.分解因式:2m2-18= .
12.一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球,其中5个红球,7个白球,9个黄球.从中任
意摸出1个球是红球的概率为 .13.若扇形的圆心角为30°,半径为17,则扇形的弧长为 .
{x-3<4,
14.不等式组 的解集为 .
3x+2
≥1
5
15.如图,☉O与△OAB的边AB相切,切点为B.将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到
△O'A'B,使点O'落在☉O上,边A'B交线段AO于点C.若∠A'=25°,则∠OCB= 度.
16.图1是邻边长为2和6的矩形,它由三个小正方形组成,将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正
方形(如图2),则图1中所标注的d的值为 ;记图1中小正方形的中心为点A,B,C,图2
中的对应点为点A',B',C',以大正方形的中心O为圆心作圆,则当点A',B',C'在圆内或圆上时,圆
的最小面积为 .
三、解答题(本题有8小题,共80分,解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
17.(本题10分)
(1)计算:4×(-3)+|-8|-√9+(√7)0;
1
(2)化简:(a-5)2+ a(2a+8).
2
18.(本题8分)如图,BE是△ABC的角平分线,在AB上取点D,使DB=DE.
(1)求证:DE∥BC;(2)若∠A=65°,∠AED=45°,求∠EBC的度数.
19.(本题8分)某校将学生体质健康测试成绩分为A,B,C,D四个等级,依次记为4分,3分,2分,1
分,为了解学生整体体质健康状况,拟抽样进行统计分析.
(1)以下是两位同学关于抽样方案的对话:
小红:“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩.”
小明:“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩.”
根据学校信息,请你简要评价小红、小明的抽样方案.
如果你来抽取120名学生的测试成绩,请给出抽样方案.
(2)现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如下统计图,请求出这组数据的平均数、中位数和
众数.20.(本题8分)下图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成的.图1是绘成的七
巧板图案,它由7个图形组成,请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点
图形(顶点均在格点上).
(1)选一个四边形画在图2中,使点P为它的一个顶点,并画出将它向右平移3个单位后所得的
图形;
(2)选一个合适的三角形,将它的各边长扩大到原来的 倍,画在图3中.
√5
21.(本题10分)已知抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)经过点(-2,0).
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标;
(2)直线l交抛物线于点A(-4,m),B(n,7),n为正数.若点P在抛物线上且在直线l下方(不与点
A,B重合),分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围.22.(本题10分)如图,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点(点E在点F左侧),且
∠AEB=∠CFD=90°.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
3
(2)当AB=5,tan∠ABE= ,∠CBE=∠EAF时,求BD的长.
4
23.(本题12分)某公司生产的一种营养品信息如下表.已知甲食材每千克的进价是乙食材的2
倍,用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克.
(1)问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元?
(2)该公司每日用18 000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完.
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克?
②已知每日其他费用为2 000元,且生产的营养品当日全部售出.若A的数量不低于B的数
量,则A为多少包时,每日所获总利润最大?最大总利润为多少元?
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
原料 每千克含铁
配料表 甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元24.(本题14分)如图,在平面直角坐标系中,☉M经过原点O,分别交x轴、y轴于点
A(2,0),B(0,8),连接AB.直线CM分别交☉M于点D,E(点D在左侧),交x轴于点C(17,0),连接
AE.
(1)求☉M的半径和直线CM的函数表达式;
(2)求点D,E的坐标;
(3)点P在线段AC上,连接PE.当∠AEP与△OBD的一个内角相等时,求所有满足条件的OP的
长.
17 温州市2021年初中学业水平考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C C C D B D A B C
1.A (-2)2=4.故选A.
2.C 俯视图是指从上往下看所得到的平面图形,所以俯视图是六边形.故选C.
3.C 218 000 000=2.18×108.故选C.
4.C 根据统计图可得大学生占20%,由题意知大学生有60人,可得参观的总人数为
60÷20%=300,所以初中生有300×40%=120(人).故选C.
5.D ∵-2(2x+1)=x,∴-4x-2=x.故选D.
6.B ∵图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,
AB 2
∴△ABO∽△A'B'O.∵位似比为2∶3,∴ = ,
A'B' 3
6 2
又AB=6,∴ = ,∴A'B'=9.故选B.
A'B' 3
7.D 由题意,知20立方米用水中,17立方米按每立方米a元收费,超过的3立方米,按每立方
米(a+1.2)元收费,所以应缴水费为17a+(20-17)(a+1.2)=17a+3a+3.6=(20a+3.6)元.故选D.
1 1
8.A 由题意,在Rt△ABO中,AB=1,∠AOB=α,所以sin α= ,所以OB= .在Rt△CBO中,
OB sinα
根据勾股定理可得OC2=BC2+BO2=12+( 1 ) 2 =1+ 1 .
sinα sin2α
9.B 由题意可得OC·AC=OD·BD=k.2 2
∵OC= OD,∴BD= AC.
3 3
设OC=2m,BD=2n,其中m,n>0,则AC=3n.
1
∵OE=1,∴2n=1,∴n= ,
2
作AH⊥y轴于点H,得EH=n,
∵AC=AE,∴AH= =2 n.
√(3n)2-n2 √2
√2
∵OC=AH,∴2√2n=2m,∴2m=√2,∴m= ,
2
√2 1 3√2
∴k=OC·AC=2m·3n=6mn=6× × = .故选B.
2 2 2
10.C 如图,∵AE=2BE,BE+EP=AE,∴EP=BE,
设EP=x,HP=y,x>0,y>0.
由四边形MEPF是正方形,可得∠FEP=∠EFP=45°,
又∵∠CFD=90°,∠FDG=90°,∴∠GFD=∠FGD=45°,
又∵FD=BE=EP,∴△FEP≌△GFD.
∴FE=GF.∵FD∥EH,∴FN为△GEH的中位线,
∵FP=PC,∴HP为△FCN的中位线.
1 1
∴FN= (EP+PH)= (x+y),FN=2PH=2y,
2 2
1
∴ (x+y)=2y,∴x+y=4y,
2
∴x=3y,∴BH=BE+EP+PH=3y+3y+y=7y.
过点G作GZ垂直于CD的延长线,垂足为Z,
由题意∠GDZ=∠ADM=90°-∠GDA,
又∵∠Z=∠AMD=90°,∴△GZD∽△AMD,
∵FD=3y,FC=6y,∴DC=AD=3√5y,
3 y 3√5 6√5 21√5
∴GZ= = y,ZD= y,∴ZC= y,
√5 5 5 5
∴GC= √GZ2+ZC2 =√ (3√5 y ) 2 + (21√5 y ) 2 =3 √10 y,
5 5
GC 3√10 y 3√10
∴ = = .
BH 7 y 7
二、填空题
11.答案 2(m+3)(m-3)
解析 2m2-18=2(m2-9)=2(m+3)(m-3).5
12.答案
21
解析 袋中21个只有颜色不同的球中有5个红球,所以从中任意摸出1个球是红球的概率为
5
.
21
17
13.答案 π
6
nπr 30π×17 17
解析 根据弧长公式l= 可得出l= = π.
180 180 6
14.答案 1≤x<7
{
x-3<4,①
解析
3x+2
≥1,②
5
由①得x<7,由②得3x+2≥5,即x≥1.
故原不等式组的解集为1≤x<7.
15.答案 85
解析 连接OO',
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B,
∴∠A'BA=∠OBO',
∵OO'=OB=BO',∴∠OBO'=60°,∴∠A'BA=60°,
∵∠A=∠A'=25°,∴∠OCB=∠A+∠CBA=25°+60°=85°.
16.答案 6-2√3;(16-8√3)π
解析 由题意,根据面积不变,得大正方形的边长为√2×6=2√3,∴FG=2√3.
EM MN
如图1.易证△EMN∽△GFE,∴ = ,
GF FE
图1
d 2√3-2
∵MN=2√3-2,∴ = ,
2√3 2
∴d=√3(2√3-2)=6-2√3.
如图2,连接OB',B'C',作OH'⊥B'C',垂足为H'.
图2
2√3
由图可得B'Z=1,ZH'=2- =2-√3,
2
∴B'H'=1+2-√3=3-√3,OH'=√3-1,
在Rt△B'H'O中,OB'2=B'H'2+OH'2,
即OB'2=(3-√3)2+(√3-1)2=16-8√3.
根据题意得圆的最小面积S=π·OB'2=(16-8√3)π.三、解答题
17.解析 (1)原式=-12+8-3+1=-6.
(2)原式=a2-10a+25+a2+4a=2a2-6a+25.
18.解析 (1)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠1=∠2.
∵DB=DE,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴DE∥BC.
(2)∵∠A=65°,∠AED=45°,∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=70°.∵DE∥BC,∴∠ABC=∠ADE=70°.∵BE
1
平分∠ABC,∴∠2= ∠ABC=35°,即∠EBC=35°.
2
19.解析 (1)两人都能根据学校信息合理选择样本容量进行随机抽样.小红的方案考虑到了
性别差异,但没有考虑年级段特点;小明的方案考虑到了年级段特点,但没有考虑性别差异.(其
他合理表述也可)
抽样方案:随机抽取七年级男、女生各20人的成绩,八年级男、女生各20人的成绩,九年级
男、女生各20人的成绩.
方案设计评分:
A等级:能综合考虑学生人数、年级段、学生性别、随机性等因素进行抽样.
B等级:能从部分合理因素进行抽样.
C等级:没有作答或表述的抽样方案均不合理.
4×30+3×45+2×30+1×15 330
(2)平均数:x= = =2.75(分).
30+45+30+15 120
中位数:3分.
众数:3分.
20.解析 (1)画法不唯一,如图1或图2或图3或图4.
(2)画法不唯一,如图5或图6或图7或图8.21.解析 (1)把(-2,0)代入y=ax2-2ax-8,得4a+4a-8=0,
解得a=1,
∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-8,
配方得y=(x-1)2-9,
∴顶点坐标为(1,-9).
(2)当x=-4时,m=16.
当y=7时,n2-2n-8=7,
解得n=5,n=-3.
1 2
∵n为正数,∴n=5,
∵点P在抛物线上且在直线l的下方(不与点A,B重合),
∴-4<x <5.
P
由a=1知:当-4<x≤1时,y随x的增大而减小;
当1<x<5时,y随x的增大而增大,
∴-9≤y <16.
P
22.解析 (1)证明:∵∠AEB=∠CFD=90°,
∴∠AEF=∠CFE=90°,∴AE∥CF.
在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD,
∴∠1=∠2,∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形.
3
(2)在Rt△ABE中,AB=5,tan∠1= ,
4
∴AE=3,BE=4,
∵四边形AECF是平行四边形,
∴∠3=∠4,CF=AE=3.
∵∠CBE=∠3,∴∠4=∠CBE,
∴tan∠CBE=tan∠4,
CF EF
∴ = ,∴CF2=EF·BF.
BF CF
设EF=x(x>0),则x(x+4)=9,
解得x=√13-2,x =-√13-2(舍去),
1 2
即EF=√13-2.
∵△CDF≌△ABE,
∴DF=BE=4,
∴BD=BE+EF+DF=4+√13-2+4=6+√13.
23.解析 (1)设乙食材每千克进价为a元,则甲食材每千克进价为2a元,80 20
由题意得 - =1,解得a=20.
2a a
经检验,a=20是所列方程的根,且符合题意.
∴2a=40.
答:甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元.
(2)①设每日购进甲食材x千克,乙食材y千克.
{ 40x+20 y=18 000, {x=400,
由题意得 解得
50x+10 y=42(x+ y), y=100.
答:每日购进甲食材400千克,乙食材100千克.
500-m
②设A为m包,则B为 =(2 000-4m)包.
0.25
记总利润为W元,则W=45m+12(2 000-4m)-18 000-2 000=-3m+4 000.
∵A的数量不低于B的数量,
∴m≥2 000-4m,∴m≥400.
∵k=-3<0,∴W随m的增大而减小.
∴当m=400时,W取最大值2 800.
答:当A为400包时,总利润最大,最大总利润为2 800元.
24.解析 (1)∵∠AOB=90°,∴AB为☉M的直径,
∵A(2,0),B(0,8),∴点M(1,4),∴半径为√17.
设直线CM的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
1
{k=- ,
把C(17,0),M(1,4)代入得{17k+b=0,解得 4
k+b=4, 17
b= .
4
1 17
∴直线CM的函数表达式为y=- x+ .
4 4
(2)过点M作x轴的平行线,过点D作y轴的平行线,两直线交于点H,作MN⊥x轴于点N(如图
1),
图1
∴∠DMH=∠ECA,∠DHM=∠MNC=90°,
∴△DHM∽△MNC,
DH HM
∴ = ,
MN NC
DH NM 4 1
∴ = = = .
HM NC 17-1 4
∵DM=√17,
∴MH=4,DH=1,
∴点D的坐标为(-3,5).
∵点E,D关于点M对称,
∴点E的坐标为(5,3).
(3)作DK⊥y轴于点K,
∵B(0,8),D(-3,5),
∴DK=BK=3,
∴∠OBD=∠BDK=45°.
分三种情况(如图2):
①作EP ⊥x轴于点P,
1 1∵A(2,0),E(5,3),∴AP =EP =3,
1 1
∴∠AEP =∠EAP =45°,
1 1
∴∠AEP =∠OBD=45°,
1
即点P 为符合条件的一个点.∴OP =5.
1 1
②当∠AEP =∠ODB时,
2
∵∠AME=∠BMD,∴AE=BD.
∵∠EAP =∠DBO=45°,
2
∴△AEP ≌△BDO(ASA),
2
∴AP =BO=8,
2
∴OP =OA+AP =2+8=10.
2 2
图2
③当∠AEP =∠BOD时,
3
∵∠EAP =∠OBD=45°,
3
∴△AEP ∽△BOD,
3
AE AP
∴ = 3.
BO BD
∵BD=AE,
AE AP
∴ = 3,
BO AE
∴AE2=AP·BO,
3
9
∴(3√2)2=8AP,∴AP = ,
3 3
4
9 17
∴OP =OA+AP =2+ = .
3 3
4 4
17
综上所述,当∠AEP与△OBD的一个内角相等时,OP的长为5,10或 .
4
