浙江省2021年初中学业水平考试(湖州市)
33
(满分:100分 考试时间:120分钟)
( b 4ac-b2 )
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是 - ,
2a 4a
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项,不选、多选、错选均不给分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C A D A C C D B A
1.(2021浙江湖州,1,3分)实数-2的绝对值是 ( )
1 1
A.-2 B.2 C. D.-
2 2
1.B 实数-2的绝对值是2.故选B.
2.(2021浙江湖州,2,3分)化简√8的正确结果是 ( )
A.4 B.±4 C.2√2 D.±2√2
2.C √8=√4×2=2√2,故选C.
3.(2021浙江湖州,3,3分)不等式3x-1>5的解集是( )
4 4
A.x>2 B.x<2 C.x> D.x<
3 3
3.A 3x-1>5,移项,得3x>6,系数化为1,得x>2,故选A.
4.(2021浙江湖州,4,3分)下列事件中,属于不可能事件的是 ( )
A.经过红绿灯路口,遇到绿灯
B.射击运动员射击一次,命中靶心
C.班里的两名同学,他们的生日是同一天
D.从一个只装有白球和红球的袋中摸球,摸出黄球
4.D A.经过红绿灯路口,可能遇到绿灯,故选项A中的事件属于随机事件.B.射击运动员射击一次,可能命中靶心,故
选项B中事件属于随机事件.C.班里的两名同学,他们的生日可能是同一天,故选项C中的事件属于随机事件.D.从一
个只装有白球和红球的袋中摸球,不可能摸出黄球,故选项D中的事件属于不可能事件.故选D.
5.(2021浙江湖州,5,3分)将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开,且使六个面连在一起,然后铺平,则得到的
图形可能是 ( )
1A B C D
5.A 根据长方体表面展开图,A选项符合要求.故选A.
6.(2021浙江湖州,6,3分)如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是 ( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
6.C ∵点O是△ABC的外心,∠A=40°,∴根据圆周角定理,可得∠BOC=2∠A=80°.故选C.
7.(2021浙江湖州,7,3分)已知a,b是两个连续整数,a<√3-1<b,则a,b分别是 ( )
A.-2,-1 B.-1,0
C.0,1 D.1,2
7.C ∵√1<√3<√4,∴1<√3<2,∴0<√3-1<1,∴a=0,b=1.故选C.
8.(2021浙江湖州,8,3分)如图,已知在△ABC中,∠ABC<90°,AB≠BC,BE是AC边上的中线.按下列步骤作图:①分别
以点B,C为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径作弧,相交于点M,N;②过点M,N作直线MN,分别交BC,BE于
点D,O;③连接CO,DE,则下列结论错误的是( )
A.OB=OC B.∠BOD=∠COD
C.DE∥AB D.DB=DE
8.D 按作图步骤,可得直线MN是线段BC的垂直平分线,所以OB=OC.根据等腰三角形“三线合一”可得
∠BOD=∠COD.由于BE是AC边上的中线,D是BC的中点,可得DE是△ABC的中位线,所以DE∥AB.BD=DC≠DE.故
选D.
思路分析 本题关键是垂直平分线的作法及性质,等腰三角形的性质,中位线的性质的应用.
9.(2021浙江湖州,9,3分)如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=√3.点P是AD边上的一个动点,连接BP,点C关于
直线BP的对称点为C,当点P运动时,点C 也随之运动.若点P从点A运动到点D,则线段CC 扫过的区域的面积是
1 1 1
( )
3√3
A.π B.π+
4
3√3
C. D.2π
2
29.B 如图1,设BP与CC 相交于Q,可得∠BQC=90°,∴当点P在线段AD上运动时,点Q在以BC为直径的圆弧上运
1
动,延长CB到E,使BE=BC=√3,连接EB.
图1
∵CC 关于直线PB对称,∴∠ECC=∠BQC=90°,∴点C 在以B为圆心,BE的长为半径的圆弧上运动,当点P与点A重
1 1 1 1
合时,点C 与点E重合,当点P与点D重合时,点C 与点F重合,如图2.
1 1
图2
PC AB 1 √3
此时,tan∠PBC= = = = ,∴∠PBC=30°,
BC BC √3 3
1 √3 3 1 √3 3
∴∠FBP=∠PBC=30°,CQ= BC= ,BQ=√3CQ= ,易知△BCF为等边三角形,∴CF=BC=√3,∴S = CF·BQ= ×
2 2 2 △BCF 2 2 2
=3√3,∵∠FBE=180°-∠FBP-∠PBC=180°-30°-30°=120°,∴S =120·BE2=120π×√3 2 =π,∴线段CC 扫过的区
扇形BEF 1
4 360 360
3√3
域的面积是S +S =π+ .故选B.
扇形BEF △BCF
4
方法总结 本题考查了矩形的性质,轴对称的性质,直角三角形的性质,锐角三角函数以及扇形面积公式等知识,熟练掌
握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键.
10.(2021浙江湖州,10,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0),点P(x,y),P(x,y)是
1 1 1 2 1 2
抛物线上不同于A,B的两个点,记△PAB的面积为S,△PAB的面积为S.有下列结论:①当x>x+2时,S>S;②当
1 1 2 2 1 2 1 2
x<2-x 时,S<S;③当|x-2|>|x-2|>1时,S>S;④当|x-2|>|x+2|>1时,S<S.其中结论正确的个数是 ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
A.1 B.2 C.3 D.4
10.A ∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0),∴该抛物线对称轴为直线x=2.当x>x+2时与当
1 2
x<2-x 时,无法确定P(x,y),P(x,y)在抛物线上的相对位置,故无法比较S 与S 的大小关系,所以①和②都不正确.
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
当|x-2|>|x-2|>1时,P(x,y)比P(x,y)离对称轴更远,且同在x轴上方或下方,∴|y|>|y|,∴S>S,故③正确.当|x-2|>|
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1
x+2|>1时,即P(x,y)到对称轴x=2的距离大于P(x,y)到直线x=-2的距离,且距离都大于1,所以无法比较
2 1 1 1 2 2 2
P(x,y)与P(x,y)到对称轴的距离,故无法比较S 与S 的大小关系,故④错误.故选A.
1 1 1 2 2 2 1 2
思路分析 本题涉及二次函数的解析式,二次函数的图像与性质,绝对值的几何意义,不等式的关系,三角形面积公式等
知识,关键是通过x 和x 的不等关系,确定P(x,y),P(x,y)在抛物线上的相对位置,逐一分析即可求解.
1 2 1 1 1 2 2 2
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
11.(2021浙江湖州,11,4分)计算:2×2-1= .
11.答案 1
31
解析 2×2-1=2× =1.
2
12.(2021浙江湖州,12,4分)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,则sin B的值是 .
1
12.答案
2
AC 1
解析 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,所以sin B= = .
AB 2
13.(2021浙江湖州,13,4分)某商场举办有奖销售活动,每张奖券被抽中的可能性相同.若以每1 000张奖券为一个开
奖单位,设5个一等奖,15个二等奖,不设其他奖项,则只抽1张奖券恰好中奖的概率的是 .
1
13.答案
50
5+15 1
解析 以1 000张奖券为一个开奖单位,5个一等奖,15个二等奖,一共20个奖项,所以所求的概率为 = .
1000 50
14.(2021浙江湖州,14,4分)为庆祝中国共产党建党100周年,某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星
(A,B,C,D,E是正五边形的五个顶点),则图中∠A的度数是 度.
14.答案 36°
解析 如图,设∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=x,根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和,可得
∠1=∠A+∠D=2x,∠2=∠C+∠E=2x,所以x+2x+2x=180°,解得x=36°.
方法总结 本题关键是掌握三角形外角的性质和三角形内角和定理,在复杂图形中分离出所需要的三角形.
15.(2021浙江湖州,15,4分)已知在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(3,4),M是抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)对称
b
轴上的一个动点.小明经探究发现:当 的值确定时,抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之
a
b
确定.若抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上存在3个不同的点M,使△AOM为直角三角形,则 的值是 .
a
15.答案 2或-8
解析 如图,由题意可得,O(0,0),A(3,4).∵△AOM为直角三角形,则有:①当∠AOM=90°时,OA⊥OM,∴点M在与OA
垂直的直线l 上(不含点O)运动;②当∠OAM=90°时,OA⊥AM,∴点M在与OA垂直的直线l 上运动(不含点A);③当
1 2
∠OMA=90°时,OM⊥AM,∴点M在以OA为直径的圆上运动,圆心为OA的中点P,∴P(3 ),OA= = =5,
,2 √32+42 √25
2
45
半径r= .∵抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴与x轴垂直,由题意得,抛物线的对称轴与l,l,☉P共有三个不同的交
1 2
2
点,∴满足题意的抛物线的对称轴为☉P的两条切线l
3
,l
4
,而点P到切线l
3
,l
4
的距离d=r=5,又P(3
,2
),∴直线l
3
的解
2 2
3 5 3 5 b b
析式为x= - =-1,直线l 的解析式为x= + =4,∴- =-1或4,∴ =2或-8.
4
2 2 2 2 a a
思路分析 本题是二次函数综合运用题,其中设及圆的有关性质,切线的判定,直角三角形的判定等知识,综合性较强,
解题的关键是运用数形结合与分类讨论思想,
16.(2021浙江湖州,16,4分)由沈康身教授所著,数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事:如
图,三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯,先将地毯分割成七块,再拼成三个小正方形(阴影部分),则图中
AB的长应是 .
16.答案 √2-1
√1 √3
解析 ∵将地毯分割成7块,再拼成三个小正方形,∴拼成的每个小正方形的边长为 = ,∴CD=√3,
3 3
在Rt△ACD中,根据勾股定理可得AD= = ,
√CD2-AC2 √2
根据裁剪可知,BD=CE=1,∴AB=AD-BD=√2-1.
故答案为√2-1.
思路分析 本题涉及正方形的性质,直角三角形的性质,勾股定理等知识.解题关键是正确分析拼图中各种图形的边角
关系,利用勾股定理求出相应线段的长,进而得出答案.
三、解答题(本题有8小题共66分)
17.(2021浙江湖州,17,6分)(本题6分)
计算:x(x+2)+(1+x)(1-x).
17.解析 原式=x2+2x+1-x2 (4分)
5=2x+1. (6分)
18.(2021浙江湖州,18,6分)(本题6分)
2x-1
解分式方程: =1.
x+3
18.解析 2x-1=x+3, (3分)
x=4.
经检验,x=4是原方程的解. (6分)
19.(2021浙江湖州,19,6分)(本题6分)
如图,已知经过原点的抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0).
(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标;
(2)求直线AM的解析式.
19.解析 (1)∵抛物线y=2x2+mx过点A(2,0),
∴2×22+2m=0,解得m=-4,(1分)
∴y=2x2-4x,
∴y=2(x-1)2-2,
∴顶点M的坐标是(1,-2). (3分)
(2)设直线AM的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵图象过A(2,0),M(1,-2),
{2k+b=0, { k=2,
∴ 解得 (5分)
k+b=-2, b=-4,
∴直线AM的解析式为y=2x-4. (6分)
20.(2021浙江湖州,20,8分)(本题8分)
为了更好地了解党的历史,宣传党的知识,传颂英雄事迹,某校团支部组建了:A.党史宣讲;B.歌曲演唱;C.校刊编撰;D.
诗歌创作四个小组,团支部将各组人数情况制成了如下统计图表(不完整).
各组参加人数情况统计表
小组类别 A B C D
人数(人) 10 a 15 5
根据统计图表中的信息,解答下列问题:
(1)求a和m的值;
(2)求扇形统计图中D所对应的圆心角度数;
(3)若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示:
小组类别 A B C D
平均用时(小时) 2.5 3 2 3
6求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间.
20.解析 (1)由题意可知四个小组所有成员的总人数是15÷30%=50. (1分)
∴a=50-10-15-5=20, (2分)
m%=10÷50×100%=20%, (3分)
∴m=20. (4分)
(2)∵5÷50×360°=36°,
∴扇形统计图中D所对应的圆心角度数是36°. (6分)
1
(3)∵x= ×(10×2. 5+20×3+15×2+5×3)=2.6(小时),
50
∴这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时. (8分)
21.(2021浙江湖州,21,8分)(本题8分)
如图,已知AB是☉O的直径,∠ACD是 所对的圆周角,∠ACD=30°.
AD
⏜
(1)求∠DAB的度数;
(2)过点D作DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交☉O于点F.若AB=4,求DF的长.
21.解析 (1)如图,连接BD,
∵∠ACD=30°,
∴∠B=∠ACD=30°, (2分)
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB=90°-∠B=60°. (4分)
(2)∵∠ADB=90°,∠B=30°,AB=4,
1
∴AD= AB=2, (5分)
2
∵∠DAB=60°,DE⊥AB,且AB是☉O的直径,
∴EF=DE=AD·sin 60°=√3, (7分)
∴DF=2DE=2√3.(8分)
22.(2021浙江湖州,22,10分)(本题10分)
今年以来,我市接待的游客人数逐月增加,据统计,游玩某景区的游客人数三月份为4万人,五月份为5.76万人.
(1)求四月和五月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长百分之几;
(2)若该景区仅有A,B两个景点,售票处出示的三种购票方式如下表所示:
购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 A B A 和B
门票价格 100元/人 80元/人 160元/人
7据预测,六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万.并且当甲、乙两种门票价格不变时,丙
种门票价格每下降1元,将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门
票.
①若丙种门票价格下降10元,求景区六月份的门票总收入;
②问:将每张丙种门票的价格下降多少元时,景区六月份的门票总收入有最大值?最大值是多少万元?
22.解析 (1)设四月和五月这两个月中,该景区游客人数的月平均增长率为x,
由题意,得4(1+x)2=5.76, (2分)
解这个方程,得x=0.2,x=-2.2(舍去). (3分)
1 2
答:四月和五月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长20%.
(2)①由题意,得
100×(2-10×0.06)+80×(3-10×0.04)+(160-10)×(2+10×0.06+10×0.04)(5分)
=798(万元). (6分)
答:景区六月份的门票总收入为798万元.
②设每张丙种门票的价格降低m元,景区六月份的门票总收入为W万元,
由题意,得
W=100(2-0.06m)+80(3-0.04m)+(160-m)(2+0.06m+0.04m),
化简,得W=-0.1(m-24)2+817.6, (8分)
∵-0.1<0,
∴当m=24时,W取最大值,为817.6. (10分)
答:当每张丙种门票的价格降低24元时,景区六月份的门票总收入有最大值,为817.6万元.
思路分析 考点:一元二次方程的解法及应用,二次函数的解析式,二次函数顶点式(配方法).
(1)根据题意,四月和五月这两个月中,该景区人数的月平均增长率与人数间的关系得到4(1+x)2=5.76,解一元二次方
程即可得出答案.
(2)根据丙种购票方式可游玩景点A和B,原门票价格为160元/人,由丙种门票价格下降10元,可列出式子计算求解.
(3)设每张丙种门票的价格降低m元,景区六月份的门票总收入为W万元,根据题意列出W关于m的二次函数解析式,
借助二次函数的顶点式(配方法)求出相应的最大值.
23.(2021浙江湖州,23,10分)(本题10分)
已知在△ACD中,P是CD的中点,B是AD延长线上的一点,连接BC,AP.
(1)如图1,若∠ACB=90°,∠CAD=60°,BD=AC,AP=√3,求BC的长;
(2)过点D作DE∥AC,交AP的延长线于点E,如图2所示.若∠CAD=60°,BD=AC,求证:BC=2AP;
(3)如图3,若∠CAD=45°,是否存在实数m,当BD=mAC时,BC=2AP?若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理
由.
图1
图2
8图3
23.解析 (1)∵∠ACB=90°,∠CAD=60°,
AC
∴AB= =2AC,
cos60°
∵BD=AC,
∴AD=AC,
∴△ADC是等边三角形, (2分)
∴∠ACD=60°
∵P是CD的中点,
∴AP⊥CD,
在Rt△APC中,AP=√3,
AP
∴AC= =2, (3分)
sin60°
∴BC=AC·tan 60°=2√3. (4分)
(2)证明:如图,连接BE,
∵DE∥AC,
∴∠CAP=∠DEP,
∵CP=DP,∠CPA=∠DPE,
∴△CPA≌△DPE(AAS), (5分)
1
∴AP=EP= AE,DE=AC,
2
∵BD=AC,
∴BD=DE,
又∵DE∥AC,
∴∠BDE=∠CAD=60°.
∴△BDE是等边三角形,
∴BD=BE,∠EBD=60°
∵BD=AC,
∴AC=BE,
又∵∠CAB=∠EBA=60°,AB=BA,
∴△CAB≌△EBA(SAS), (7分)
∴AE=BC,
∴BC=2AP. (8分)
(3)存在这样的m·m=√2.(10分)
思路分析 考点:等边三角形的定义与性质,锐角三角函数的定义,全等三角形的证明与应用,直角三角形的性质.
(1)利用锐角三角函数定义可得AB=2AC,由BD=AC,可得△ADC是等边三角形.由P是CD的中点,可得AP⊥CD,再由
Rt△APC中锐角三角函数的定义,即可求出BC的值.
(2)连接BE,可证出△CPA≌△DPE,再证出△BDE是等边三角形,得出AC=BE,结合∠CAB=∠EBA,AB=BA,得到
△CAB≌△EBA,进而得出答案.
(3)若∠CAD=45°,由题意可得当m=√2,即BD=√2AC时,BC=2AP.
24.(2021浙江湖州,24,12分)(本题12分)
91
已知在平面直角坐标系xOy中,点A是反比例函数y= (x>0)图象上的一个动点,连接AO,AO的延长线交反比例函数
x
k
y= (k>0,x<0)的图象于点B,过点A作AE⊥y轴于点E.
x
(1)如图1,过点B作BF⊥x轴于点F,连接EF.
①若k=1,求证:四边形AEFO是平行四边形;
②连接BE,若k=4,求△BOE的面积;
k
(2)如图2,过点E作EP∥AB,交反比例函数y= (k>0,x<0)的图象于点P,连接OP.试探究:对于确定的实数k,动点A
x
在运动过程中,△POE的面积是否会发生变化.请说明理由.
图1
图2
24.解析 (1)①证明:设点A的坐标为( 1)(a>0),
a,
a
则当k=1时,点B的坐标为( 1),
-a,-
a
∴AE=OF=a, (2分)
∵AE⊥y轴,
∴AE∥OF,
∴四边形AEFO是平行四边形. (4分)
②过点B作BD⊥y轴于点D,
∵AE⊥y轴,∴AE∥BD,
∴△AEO∽△BDO,(5分)
10∴ S △AEO =(AO) 2, (6分)
S BO
△BDO
1
(AO) 2 AO 1
∴当k=4时, =2,即 = .
BO BO 2
2
∴S =2S =1.(8分)
△BOE △AOE
(2)不改变.理由如下: (9分)
过点P作PH⊥x轴于点H,PE与x轴交于点G,设点A的坐标为( 1)(a>0),点P的坐标为( k)(b<0),则
a, b,
a b
1 k
AE=a,OE= ,PH=- ,
a b
由题意,可知△AEO∽△GHP,四边形AEGO是平行四边形,
AE EO
∴GH=-b-a, = ,
GH PH
1
a a
即 = ,(10分)
-b-a k
-
b
b a
∴ +1= k
a b
∴(b) 2 +b-k=0,
a a
b -1±√1+4k
解得 = ,
a 2
∵a,b异号,k>0,
b -1-√1+4k
∴ = ,
a 2
1 1 1 b 1+√1+4k
∴S = · ·(-b)=- · = . (12分)
△POE 2 a 2 a 4
∴对于确定的实数k,动点A在运动过程中,△POE的面积不会发生变化.
思路分析 考点:平行四边形,相似三角形的判定及性质,反比例函数,一元二次方程,平面直角坐标系,面积公式等.
11(1)①设点A的坐标为( 1),当k=1时,得到B点的坐标( 1 ).根据反比例函数图象的性质得到AE=OF,由
a, -a,
a -a
AE∥OF,证出四边形AEFO是平行四边形.②过点B作BD⊥y轴于点D,由AE∥BD得到△AEO∽△BDO,由相似三角形
AO 1
性质得到S :S ,当k=4时,得到 = ,即可求出S 的值.
△AEO △BDO
BO 2
△BOE
(2)过点P作PH⊥x轴于点H,PE与x轴交于点G,设A( 1),P( k),由题可得到△AEO∽△GHP,四边形AEGO
a, b,
a b
1
AE EO a a b b b b
是平行四边形,由 = 得 = ,化简得到关于 的一元二次方程( )2+ -k=0,由题意解出 =
GH PH -b-a k a a a a
-
5
-1-√1+4k 1 1 1 b 1+√1+4k
,再根据S = · ·(-b)=- · = ,即可得到结论.
2 △POE 2 a 2 a 4
1213
