2021年浙江省丽水市中考数学试卷
33
(满分:120分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A B C A D B C B D
1.(2021浙江丽水,1,3分)实数-2的倒数是 ( )
1 1
A.2 B.-2 C. D.-
2 2
1
1.D 实数-2的倒数是- .故选D.
2
2.(2021浙江丽水,2,3分)计算(-a)2·a4的结果是 ( )
A.a6 B.-a6 C.a8 D.-a8
2.A (-a)2·a4=a6,故选A.
易错警示 (-a)2≠-a2.
3.(2021浙江丽水,3,3分)如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体,它的主视图是 ( )
A B
C D
3.B 根据主视图是从正面看物体所得的图形可知,从正面看有3列,从左边起,第一列有一个正方形,第二列有2个正
方形,第三列有1个正方形.故选B.
4.(2021浙江丽水,4,3分)一个布袋里装有3个红球和5个黄球,它们除颜色外其余都相同.从中任意摸出一个球是红
球的概率是 ( )
1 1 3 5
A. B. C. D.
3 5 8 8
3
4.C 布袋中共有8个除颜色外其余都相同的球,其中红球有3个,所以任意摸出一个球是红球的概率是 .
8
5.(2021浙江丽水,5,3分)若-3a>1,两边都除以-3,得 ( )
1 1
A.a<- B.a>- C.a<-3 D.a>-3
3 3
1
5.A 根据不等式两边同除以一个负数,不等号方向改变,知-3a>1的两边同除以-3,得a<- .故选A.
3
6.(2021浙江丽水,6,3分)用配方法解方程x2+4x+1=0时,配方结果正确的是 ( )
1A.(x-2)2=5 B.(x-2)2=3
C.(x+2)2=5 D.(x+2)2=3
6.D ∵x2+4x+1=0,∴x2+4x=-1,∴x2+4x+4=-1+4,
∴(x+2)2=3.故选D.
7.(2021浙江丽水,7,3分)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥OA于点E,连结OC,OD.若☉O的半径为m,∠AOD=∠α,则
下列结论一定成立的是 ( )
A.OE=m·tan α B.CD=2m·sin α
1
C.AE=m·cos α D.S = m2·sin α
△COD
2
7.B ∵AB是☉O的直径,弦CD⊥OA,∴CE=ED,∠OED=90°.
ED OE
∴sin α= ,cos α= .又∵OD=m,∴ED=m·sin α,OE=m·cos α.∴CD=2m·sin α.
OD OD
又∵OE与AE不一定等长,∴AE=m·cos α不一定成立.
1 1
S = CD·OE= ×2msin α·mcos α=m2sin αcos α.
△COD
2 2
故一定成立的是B中结论.故选B.
思路分析 本题涉及垂径定理,三角函数,三角形面积公式等知识,解题关键是理解题意,由垂径定理得出
CE=ED,∠OED=90°,再根据三角函数公式、三角形面积公式求解.
8.(2021浙江丽水,8,3分)四盏灯笼的位置如图.已知A,B,C,D的坐标分别是(-1,b),(1,b),(2,b),(3.5,b),平移y轴
右侧的一盏灯笼,使得y轴两侧的灯笼对称,则平移的方法可以是 ( )
A.将B向左平移4.5个单位
B.将C向左平移4个单位
C.将D向左平移5.5个单位
D.将C向左平移3.5个单位
8.C 根据轴对称的性质,把D向左平移5.5个单位后坐标为(-2,b),它与C(2,b)关于y轴对称,A(-1,b)与B(1,b)关
于y轴对称.故选C.
9.(2021浙江丽水,9,3分)一杠杆装置如图,杆的一端吊起一桶水,水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变.甲、
乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F 、F 、F 、F ,将相同重量的水桶吊起同样的高度,
甲 乙 丙 丁
若F <F <F <F ,则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是 ( )
乙 丙 甲 丁
A.甲同学 B.乙同学
C.丙同学 D.丁同学
9.B 根据杠杆平衡原理知F l =F l ,由题意知F l 保持不变,若F <F <F <F ,则当最小压力F 作用时,乙
桶 桶 人 人 桶 桶 乙 丙 甲 丁 乙
同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远.故选B.
210.(2021浙江丽水,10,3分)如图,在Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D,E分别在AB,AC上,连接DE,将
△ADE沿DE翻折,使点A的对应点F落在BC的延长线上,若FD平分∠EFB,则AD的长为 ( )
25 25 15 20
A. B. C. D.
9 8 7 7
10.D 设AD=x,根据翻折的性质可得AD=DF,∠A=∠EFD.∵FD平分∠EFB,∴∠EFD=∠DFB,∴∠A=∠DFB,又
BD DF BD BC 3
∵∠B=∠B,∴△BDF∽△BCA,∴ = ,又∵AC=4,BC=3,∴ = = ,又∵∠ACB=90°,∴AB=√AC2+BC2=
BC AC DF AC 4
5-x 3 20 20 20
√42+32=5,∴ = ,即4(5-x)=3x,解得x= ,经检验,x= 为分式方程的解且符合题意,∴AD的长为 .故选D.
x 4 7 7 7
思路分析 本题涉及折叠对称,角平分线的性质,三角形相似,勾股定理,分式方程等知识,解题关键是得出∠A=∠DFB.
BD DF
根据三角形相似的判定定理得出△BDF∽△BCA,根据勾股定理得出AB的长,由相似得出比例关系 = ,从而得出
BC AC
AD的长度.
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
11.(2021浙江丽水,11,4分)分解因式:x2-4= .
11.答案 (x+2)(x-2)
解析 根据公式a2-b2=(a+b)(a-b),可得x2-4=(x+2)(x-2).
12.(2021浙江丽水,12,4分)要使式子√x-3有意义,则x可取的一个数是 .
12.答案 4(答案不唯一,只需满足x≥3即可)
解析 由题意得x-3≥0,即x≥3,所以x可取4(答案不唯一,只要满足x≥3即可).
13.(2021浙江丽水,13,4分)根据第七次全国人口普查,华东A,B,C,D,E,F六省60岁及以上人口占比情况如图所示,
这六省60岁及以上人口占比的中位数是 .
13.答案 18.75%
解析 由统计图知六省60岁及以上人口占比分别为A:18.7%,B:16.0%,C:16.9%,D:20.9%,E:18.8%,F:21.8%,根据
中位数定义得中位数为18.75%.
方法总结 本题关键是掌握中位数的定义:把数据按从小到大或从大到小的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的
平均数为中位数.
14.(2021浙江丽水,14,4分)一个多边形过顶点剪去一个角后,所得多边形的内角和为720°,则原多边形的边数是
.
14.答案 6或7
3解析 设所得新多边形的边数为n,由(n-2)·180°=720°,得n=6,由6边形或7边形剪去一个角后均可变成6边形,知原
多边形的边数为6或7,所以答案为6或7.
易错警示 解题关键是一个多边形剪去一个角后边数的变化.
15.(2021浙江丽水,15,4分)小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞,用正方形纸片制作成如图1所示
的七巧板,设计拼成如图2所示的“奔跑者”的形象来激励自己.已知图1中正方形纸片的边长为4,图2中FM=2EM,
则“奔跑者”两脚之间的跨度,即AB,CD之间的距离是 .
13
15.答案
3
EM
解析 如图,延长BM交CD于G,正方形的边长为4,由七巧板的性质及拼图知AB∥CD,BG⊥CD,又∵EF=2√2, =
MF
1 2√2 4√2 4√2 4 √2 4 13 13
,∴EM= ,FM= ,则MH= ÷√2= ,HG= =1,BM=2,∴BG= +1+2= ,即AB,CD之间的距离是 .
2 3 3 3 3 √2 3 3 3
16.(2021浙江丽水,16,4分)数学活动课上,小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题:
已知实数a,b同时满足a2+2a=b+2,b2+2b=a+2,
b a
求代数式 + 的值.
a b
结合他们的对话,请解答下列问题:
(1)当a=b时,a的值是 ;
b a
(2)当a≠b时,代数式 + 的值是 .
a b
16.答案 (1)-2或1 (2)7
解析 (1)当a=b时,由a2+2a=b+2得a2+2a=a+2,
即a2+a-2=0,解得a=-2,a=1.
1 2
(2)a2+2a=b+2①,b2+2b=a+2②,
由①-②得a2-b2+2(a-b)=(b-a),
即a2-b2+3(a-b)=0,
∴(a-b)(a+b+3)=0.
∵a≠b,∴a+b+3=0,即a+b=-3.
由①+②得a2+b2+2(a+b)=(b+a)+4,
把a+b=-3代入,
得a2+b2-6=-3+4,∴a2+b2=7,
∴(a+b)2-2ab=7,∴9-2ab=7,∴ab=1,
4b a b2+a2 7
∴ + = = =7.
a b ab 1
思路分析 本题涉及一元二次方程,代数式恒等变形,乘法公式,因式分解,分式化简等知识.解题关键是灵活运用代数
式恒等变形思想,进行乘法公式的灵活运算.
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20,21题每题8分,第22,23题每题10分,第24题12分,共66分,各
小题都必须写出解答过程)
17.(2021浙江丽水,17,6分)(本题6分)
计算:|-2 021|+(-3)0-√4.
17.解析 原式=2 021+1-2=2 020.
18.(2021浙江丽水,18,6分)(本题6分)
{ x=2y,
解方程组:
x- y=6.
{ x=2y,①
18.解析
x- y=6.②
把①代入②,得2y-y=6,
解得y=6.
把y=6代入①,得x=12.
{x=12,
∴原方程组的解是
y=6.
19.(2021浙江丽水,19,6分)(本题6分)
在创建“浙江省健康促进学校”的过程中,某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查,并按照国
家分类标准统计人数,绘制成如下两幅不完整的统计图表,请根据图表信息解答下列问题:
抽取的学生视力情况统计表
类别 检查结果 人数
A 正常 88
B 轻度近视 ▲
C 中度近视 59
D 重度近视 ▲
抽取的学生视力情况统计图
(1)求所抽取的学生总人数;
(2)该校共有学生约1 800人,请估算该校学生中,近视程度为中度和重度的总人数;
(3)请结合上述统计数据,为该校做好近视防控,促进学生健康发展提出一条合理的建议.
19.解析 (1)88÷44%=200(人).
∴所抽取的学生总人数为200.
(2)1 800×(1-44%-11%)=810(人).
∴该校学生中,近视程度为中度和重度的总人数约为810.
(3)本题可有下面两个不同层次的回答.
A层次:没有结合图表数据直接提出建议,如:加强科学用眼知识的宣传.
B层次:利用图表中的数据提出合理化建议.
如:该校学生近视程度为中度及以上占比为45%,说明该校学生近视程度较为严重,建议学校要加强电子产品进校园
及使用的管控.
520.(2021浙江丽水,20,8分)(本题8分)
如图,在5×5的方格纸中,线段AB的端点均在格点上,请按要求画图.
图1
图2
图3
(1)如图1,画出一条线段AC,使AC=AB,C在格点上;
(2)如图2,画出一条线段EF,使EF,AB互相平分,E,F均在格点上;
(3)如图3,以A,B为顶点画出一个四边形,使其是中心对称图形,且顶点均在格点上.
20.解析 本题答案不唯一,符合条件即可.例如:
图1
图2
图3
21.(2021浙江丽水,21,8分)(本题8分)
李师傅将容量为60升的货车油箱加满后,从工厂出发运送一批物资到某地.行驶过程中,货车离目的地的路程s(千米)
与行驶时间t(小时)的关系如图所示(中途休息、加油的时间不计).当油箱中剩余油量为10升时,货车会自动显示加
油提醒.设货车平均耗油量为0.1升/千米,请根据图象解答下列问题:
(1)直接写出工厂离目的地的路程;
(2)求s关于t的函数表达式;
(3)当货车显示加油提醒后,问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油?
621.解析 (1)由图象得,当t=0时,s=880,
∴工厂离目的地的路程为880千米.
(2)设s=kt+b(k≠0),将t=0,s=880和t=4,s=560分别代入表达式,
{ 880=b, {k=-80,
得 解得
560=4k+b, b=880.
∴s关于t的函数表达式为s=-80t+880(0≤t≤11).
(3)当油箱中剩余油量为10升时,
s=880-(60-10)÷0.1=380(千米),
25
∴380=-80t+880,解得t= (小时),
4
当油箱中剩余油量为0升时,
s=880-60÷0.1=280(千米),
15
∴280=-80t+880,解得t= (小时).
2
∵k=-80<0,∴s随t的增大而减小,
25 15
∴t的取值范围是 <t< .
4 2
22.(2021浙江丽水,22,10分)(本题10分)
如图,在△ABC中,AC=BC,以BC为直径的半圆O交AB于点D,过点D作半圆O的切线,交AC于点E.
(1)求证:∠ACB=2∠ADE;
(2)若DE=3,AE= ,求 的长.
√3
CD
⏜
22.解析 (1)证明:如图,连接OD,CD.
∵DE与☉O相切,∴∠ODE=90°,
∴∠ODC+∠EDC=90°.
∵BC是半圆O的直径,∴∠BDC=90°,∴∠ADC=90°,
∴∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE=∠ODC.
∵AC=BC,∴∠ACB=2∠DCE=2∠OCD.
∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,
∴∠ACB=2∠ADE.
7(2)由(1)可知,∠ADE+∠EDC=90°,∠ADE=∠DCE,∴∠AED=90°,
∵DE=3,AE=√3,
∴AD= =2 ,
√32+(√3)2 √3
DE 3
∴tan A= = =√3,∴∠A=60°,
AE √3
∵AC=BC,∴△ABC是等边三角形.
∴∠B=60°,BC=AB=2AD=4√3∴OC=2√3,
∵OB=OD,∴△BOD是等边三角形,∴∠DOB=60°,∴∠COD=120°,
nπr 120π×2√3 4√3π
∴CD的长为 = = .
180 180 3
⏜
思路分析 本题涉及切线的性质,圆心角,圆周角定理,等腰三角形的性质,勾股定理,等边三角形,弧长公式等知识.
(1)由切线性质得∠ODE=90°,由直径所对的圆周角等于90°,得出∠ADC=90°,从而得∠ADE=∠ODC,根据
AC=BC,OD=OC得出∠ACB=2∠ADE.
(2)由题意得∠AED=90°,根据勾股定理得出AD=2√3.由tan A=√3得∠A=60°,由AC=BC得出△ABC是等边三角形,由
nπr
题意得出∠COD=120°,OC=2√3,再由弧长公式l= 即可得出答案.
180
23.(2021浙江丽水,23,10分)(本题10分)
如图,已知抛物线L:y=x2+bx+c经过点A(0,-5),B(5,0).
(1)求b,c的值;
(2)连结AB,交抛物线L的对称轴于点M.
①求点M的坐标;
②将抛物线L向左平移m(m>0)个单位得到抛物线L.过点M作MN∥y轴,交抛物线L 于点N.P是抛物线L 上一点,
1 1 1
横坐标为-1,过点P作PE∥x轴,交抛物线L于点E,点E在抛物线L对称轴的右侧.若PE+MN=10,求m的值.
23.解析 (1)把点A(0,-5),B(5,0)的坐标分别代入y=x2+bx+c,
{ c=-5, {b=-4,
得 解得
25+5b+c=0, c=-5.
∴b,c的值分别为-4,-5.
(2)①设AB所在直线的函数表达式为y=kx+n(k≠0),
{ n=-5, { k=1,
把A(0,-5),B(5,0)的坐标分别代入表达式,得 解得
5k+n=0, n=-5.
∴AB所在直线的函数表达式为y=x-5.
由(1)得,抛物线L的对称轴是直线x=2,
当x=2时,y=x-5=-3.
∴点M的坐标是(2,-3).
②抛物线L 的表达式是y=(x-2+m)2-9,
1
∵MN∥y轴,∴点N的坐标是(2,m2-9).
∵点P的横坐标为-1,∴点P的坐标是(-1,m2-6m),
8设PE交抛物线L 于另一点Q.
1
∵抛物线L 的对称轴是直线x=2-m,PE∥x轴,
1
∴点Q的坐标是(5-2m,m2-6m).
(i)如图1,当点N在点M及下方,即0<m≤√6时,PQ=5-2m-(-1)=6-2m,
图1
MN=-3-(m2-9)=6-m2,
由平移性质得QE=m,∴PE=6-2m+m=6-m,
∵PE+MN=10,∴6-m+6-m2=10,
解得m=-2(舍去),m=1.
1 2
(ii)如图2,当点N在点M上方,点Q在点P及右侧,即√6<m≤3时,
图2
PE=6-m,MN=m2-6,
∵PE+MN=10,∴6-m+m2-6=10,
1+√41 1-√41
解得m= (舍去),m= (舍去).
1 2
2 2
(iii)如图3,当点N在点M上方,点Q在点P左侧,即m>3时,
图3
PE=m,MN=m2-6,
∵PE+MN=10,∴m+m2-6=10,
-1-√65 -1+√65
解得m= (舍去),m= .
1 2
2 2
-1+√65
综上所述,m的值是1或 .
2
思路分析 本题涉及二次函数解析式,一次函数解析式,二次函数图象的平移,线段长度的表示,一元二次方程等知识,
涉及函数思想,平移变换,分类思想,数形结合思想等.
(1)用待定系数法把A,B两点的坐标分别代入求解即可.
9(2)①设直线的函数表达式为y=kx+n(k≠0),把A,B两点的坐标分别代入求出k,n的值,得出函数表达式,把x=2代入
求出M点坐标.
②平移后的抛物线表达式为y=(x-2+m)2-9,得出N(2,m2-9),P(-1,m2-6m).根据抛物线的轴对称性,得出Q(5-2m,m2-
6m),再分三种情况进行讨论,根据PE+MN=10列出关于m的方程求出m的值.
24.(2021浙江丽水,24,12分)(本题12分)
如图,在菱形ABCD中,∠ABC是锐角,E是BC边上的动点,将射线AE绕点A按逆时针方向旋转,交直线CD于点F.
(1)当AE⊥BC,∠EAF=∠ABC时,
①求证:AE=AF;
②连接BD,EF,若EF=2,求 S
△AEF
的值;
BD 5 S
菱形ABCD
1
(2)当∠EAF= ∠BAD时,延长BC交射线AF于点M,延长DC交射线AE于点N,连接AC,MN,若AB=4,AC=2,则当
2
CE为何值时,△AMN是等腰三角形?
24.解析 (1)①证明:在菱形ABCD中,
AB=AD,∠ABC=∠ADC,AD∥BC.
∵AE⊥BC,∴AE⊥AD,
∴∠ABE+∠BAE=∠EAF+∠DAF=90°.
∵∠EAF=∠ABC,∴∠BAE=∠DAF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF.
②如图1,连接AC.
图1
由①知,△ABE≌△ADF,∴BE=DF,∴CE=CF.
∵AE=AF,∴AC⊥EF.
在菱形ABCD中,AC⊥BD,∴EF∥BD,
∴△CEF∽△CBD,
EC EF 2
∴ = = ,
BC BD 5
设EC=2a,则AB=BC=5a,BE=3a,∴AE=4a.
∵AE=AF,AB=BC,∠EAF=∠ABC,
∴△AEF∽△BAC,
∴ S △AEF =(AE) 2 =(4a) 2 =16,
S AB 5a 25
△BAC
10∴ S △AEF = S △AEF =1×16= 8 .
S 2S 2 25 25
菱形ABCD △BAC
1
(2)在菱形ABCD中,∠BAC= ∠BAD,
2
1
∵∠EAF= ∠BAD,
2
∴∠BAC=∠EAF,∴∠BAE=∠CAM.
∵AB∥CD,∴∠BAE=∠ANC,∴∠ANC=∠CAM.
同理,∠AMC=∠NAC,
AC AM
∴△MAC∽△ANC,∴ = .
CN NA
△AMN是等腰三角形有三种情况:
①如图2,当AM=AN时,△ANC≌△MAC,
图2
∴CN=AC=2.
∵AB∥CN,∴△CEN∽△BEA,
CE CN 1
∵AB=4,∴ = = .
BE AB 2
1 4
∵BC=4,∴CE= BC= .
3 3
②如图3,当NA=NM时,∠NMA=∠NAM=∠BAC=∠BCA,
图3
AM AC 1
∴△ANM∽△ABC,∴ = = ,
AN AB 2
∴CN=2AC=4,∴△CEN≌△BEA,
1
∴CE=BE= BC=2.
2
③如图4,当MA=MN时,∠MNA=∠MAN=∠BAC=∠BCA,
图4
∴△AMN∽△ABC,
AM AB 1
∴ = =2,∴CN= AC=1,
AN AC 2
11CE CN 1
∵△CEN∽△BEA,∴ = = ,
BE AB 4
1 4
∴CE= BC= .
5 5
4 4
综上所述,当CE= 或2或 时,△AMN是等腰三角形.
3 5
思路分析 本题涉及菱形、三角形全等、三角形相似、三角形面积、菱形面积、等腰三角形等综合知识.
(1)①根据菱形性质,得出△ABE与△ADF相关边角关系,再证明△ABE≌△ADF,得出结论.
EC EF 2
②由题意证出△CEF∽△CBD,得 = = ,设EC=2a,得AB=5a,BE=3a,然后由勾股定理得出AE=4a.再证出
BC BD 5
△AEF∽△BAC,得出S ∶S 的值,进而得出S ∶S 的值.
△AEF △BAC △AEF 菱形ABCD
AC AM
(2)由题意证出△MAC∽△ANC,得出 = .根据△AMN是等腰三角形分三种情况考虑:
CN NA
①AM=AN;②NA=NM;③MA=MN,再根据三角形相似关系,得出相应CE的值.
1213
