2021年浙江省初中毕业生学业水平考试(嘉兴卷)
33
(满分:120分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本题有10小题,每题3分,共30分.请选出各题中唯一的正确选项,不选,多选,错选,均不得分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C C A D A D B A D
1.(2021浙江嘉兴,1,3分)2021年5月22日,我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面,已知火星与地球
的最近距离约为55 000 000千米,数据55 000 000用科学记数法表示为 ( )
A.55×106 B.5.5×107
C.5.5×108 D.0.55×108
1.B 科学记数法即将一个数表示为a×10n的形式,
其中1≤|a|<10,n为整数,故选项A,D错误,
55 000 000=5.5×107,故选项C错误.
所以选项B正确.
2.(2021浙江嘉兴,2,3分)如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图为 ( )
A B C D
2.C 主视图为选项A中的图形,左视图为选项A中的图形,俯视图为选项C中的图形,所以选项C正确.
3.(2021浙江嘉兴,3,3分)能说明命题“若x为无理数,则x2也是无理数”是假命题的反例是( )
A.x=√2-1 B.x=√2+1
C.x=3√2 D.x=√3-√2
3.C 分别把x=√2-1,x=√2+1,x=3√2,x=√3-√2代入x2,结果依次为3-2√2,3+2√2,18,5-2√6,其中18为有理数,3-2
√2,3+2√2,5-2√6都为无理数,所以选项C正确.
2
4.(2021浙江嘉兴,4,3分)已知三个点(x,y),(x,y),(x,y)在反比例函数y= 的图象上,其中x<x<0<x,下列结论
1 1 2 2 3 3 x 1 2 3
中正确的是 ( )
A.y<y<0<y B.y<y<0<y
2 1 3 1 2 3
C.y<0<y<y D.y<0<y<y
3 2 1 3 1 2
4.A 结合函数图象,观察即可得出结论.
2
y= 的图象如图所示.
x
1∵x<x<0<x,∴y<y<0<y,故选A.
1 2 3 2 1 3
5.(2021浙江嘉兴,5,3分)将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤,然后剪出图⑤中的阴影部分,则阴影
部分展开铺平后的图形是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.矩形 D.菱形
5.D 本题属折纸问题,如图,
在原三角形纸片中画出折痕,根据四条边相等的四边形是菱形,知选项D正确.
6.(2021浙江嘉兴,6,3分)5月1日至7日,我市每日最高气温如图所示,则下列说法错误的是 ( )
A.中位数是33 ℃
B.众数是33 ℃
197
C.平均数是 ℃
7
D.4日至5日最高气温下降幅度较大
6.A 把七天的每日最高气温(单位:℃)按由小到大的顺序排列为23,25,26,27,30,33,33.
处于最中间的一个数为27,所以中位数是27 ℃,故选项A中的说法错误.
因为33出现了两次,出现的次数最多,所以众数是33 ℃,故选项B中的说法正确.
23+25+26+27+30+33+33 197
x= = ,故选项C中的说法正确.根据图象走势观察可知选项D中的说法正确.故选
7 7
A.
7.(2021浙江嘉兴,7,3分)已知平面内有☉O和点A,B,若☉O的半径为2 cm,线段OA=3 cm,OB=2 cm,则直线AB与
☉O的位置关系为 ( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.相交或相切
7.D ∵☉O的半径为2 cm,OB=2 cm,OA=3 cm,
∴点B在☉O上,点A在☉O外,
∴直线AB与☉O一定有公共点B.
当只有一个公共点时,直线AB与☉O相切;
2当有两个公共点时,直线AB与☉O相交.
故选D.
8.(2021浙江嘉兴,8,3分)为迎接建党一百周年,某校举行歌唱比赛,901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威,其中缤
纷棒共花费30元,荧光棒共花费40元,缤纷棒比荧光棒少20根,缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍.若设荧光棒的单价为x
元,根据题意可列方程为( )
40 30 40 30
A. - =20 B. - =20
1.5x x x 1.5x
30 40 30 40
C. - =20 D. - =20
x 1.5x 1.5x x
8.B 荧光棒的单价为x元,则缤纷棒的单价为1.5x元,
30 40 40 30
缤纷棒的根数为 ,荧光棒的根数为 ,根据缤纷棒比荧光棒少20根,列方程为 - =20,所以选项B正
1.5x x x 1.5x
确.
9.(2021浙江嘉兴,9,3分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,点D在AC上,且AD=2,点E是AB上的动点,连接
DE,点F,G分别是BC和DE的中点,连接AG,FG.当AG=FG时,线段DE长为 ( )
5√2 √41
A.√13 B. C. D.4
2 2
1
9.A 在Rt△DAE中,∠DAE=90°,∵G为DE的中点,∴AG= DE=DG=EG.∵AG=FG,∴GA=GD=GF=GE,∴点A,D,F,E
2
在以G为圆心,GA长为半径的圆上,连接AF,DF,作DM⊥AF于M,如图,
在Rt△ABC中,∠CAB=90°,
∵AC=AB,∴∠C=∠B=45°,
又∵F为BC的中点,∴AF⊥BC,
∴∠AFC=90°.
在Rt△AFC中,
AF
∵sin C= ,
AC
√2 5√2
∴AF=AC·sin C=5× = .
2 2
在Rt△DAM中,
DM
∵sin∠DAM= ,
AD
√2
∴DM=AD·sin∠DAM=2× =√2,
2
3∴MA=MD=√2,
3√2
∴MF=AF-AM= .
2
在Rt△DFM中,根据勾股定理得
MD2+MF2=DF2,
∴DF=
√M D2+M F2
=√
(√2)2+
(3√2) 2 =√26.
2 2
∵A,D,F,E四点共圆,∴∠DGF=2∠DAF=90°.
√26
在Rt△GDF中,DF= ,GF=GD,根据勾股定理得GF2+GD2=DF2,
2
2
∴2GF2=(√26) ,
2
√13 √13
∴GF= ,∴GA=GF= ,
2 2
∴DE=2GA=√13.
故选A.
方法归纳 求解线段长度问题,常常利用三角形相似、勾股定理、三角函数的知识来解决,当有直角三角形且有特殊角
时,利用三角函数求解更简便一些.
10.(2021浙江嘉兴,10,3分)已知点P(a,b)在直线y=-3x-4上,且2a-5b≤0,则下列不等式一定成立的是 ( )
a 5 a 5
A. ≤ B. ≥
b 2 b 2
b 2 b 2
C. ≥ D. ≤
a 5 a 5
10.D ∵P(a,b)在直线y=-3x-4上,
∴b=-3a-4,∵2a-5b≤0,
∴2a-5(-3a-4)≤0,
20
解得a≤- ,
17
又2a-5b≤0,∴2a≤5b,
20 5b
∵a≤- ,∴2≥ ,
17 a
2 b b 2
∴ ≥ ,即 ≤ ,所以选项D正确.
5 a a 5
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本题有6小题,每题4分,共24分)
11.(2021浙江嘉兴,11,4分)已知二元一次方程x+3y=14,请写出该方程的一组整数解 .
{x=2
11.答案 (答案不唯一)
y=4
解析 因为x的系数为1,所以先给定一个y的值,再根据方程求出x的值,写起来更容易一些.本题答案不唯一,如
{x=2,
y=4.
412.(2021浙江嘉兴,12,4分)如图,在直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,则它们位似中心的坐标是 .
12.答案 (4,2)
解析 根据位似中心一定在对应点所在直线上这一性质,只需画出直线EC与直线DB的交点即可求解.
13.(2021浙江嘉兴,13,4分)观察下列等式:1=12-02,3=22-12,5=32-22,……按此规律,则第n个等式为2n-1= .
13.答案 n2-(n-1)2
解析 第1个等式:1=12-02,
第2个等式:3=22-12,
第3个等式:5=32-22,
第4个等式:7=42-32,
……
第n个等式:2n-1=n2-(n-1)2.
方法归纳 规律题有数式规律、图形规律等,寻找规律的关键是抓住“变”与“不变”及“变量”是如何变的,本题属
于数式规律题,往往结合式子的序号寻找规律.
14.(2021浙江嘉兴,14,4分)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AB⊥AC,AH⊥BD于点H,若AB=2,BC=2
√3,则AH的长为 .
2√3
14.答案
3
解析 ∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°.
在Rt△ABC中,根据勾股定理,得
AB2+AC2=BC2,
∴AC= = =2 .
√BC2-AB2 √(2√3)2-22 √2
在▱ABCD中,AC,BD相交于O点,
1
∴OA=OC= AC=√2.
2
在Rt△ABO中,根据勾股定理,得
AB2+AO2=BO2,
∴BO= = .
√AB2+AO2 √6
∵AH⊥BD,
∴根据△ABO的面积计算公式,得
1 1
AB·AO= BO·AH,
2 2
AB·AO 2×√2 2√3
∴AH= = = .
BO √6 3
515.(2021浙江嘉兴,15,4分)看了《田忌赛马》故事后,小杨用数学模型来分析:齐王与田忌的上中下三个等级的三匹
马记分如下表,每匹马只赛一场,两数相比,大数为胜,三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为10,8,6.若田忌的
三匹马随机出场,则田忌能赢得比赛的概率为 .
马匹
下等马 中等马 上等马
姓名
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
1
15.答案
6
解析 齐王的三匹马出场顺序记为(10,8,6),
田忌的三匹马出场顺序有:(9,7,5),(9,5,7),(7,9,5),(7,5,9),(5,9,7),(5,7,9),共6种等可能结果,其中只有一种
1
即出场顺序为(5,9,7)时,田忌赢得比赛,所以P(田忌赢)= .
6
16.(2021浙江嘉兴,16,4分)如图,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=45°,AB=2,点P从点A出发沿AB方向运动,到达点
B时停止运动.连接CP,点A关于直线CP的对称点为A',连接A'C,A'P.在运动过程中,点A'到直线AB距离的最大值是
;点P到达点B时,线段A'P扫过的面积为 .
16.答案 √3+1;( √3)π-1-
1+ √3
2 2
解析 作BD⊥AC于D,则∠BDC=∠BDA=90°,
在Rt△ABD中,∵∠BAD=30°,
1
∴BD= AB=1,
2
又BD2+AD2=AB2,∴AD= = .
√AB2-BD2 √3
在Rt△BDC中,∵∠BCD=45°,
∴CD=BD=1,∴AC=√3+1.
∵A,A'关于直线CP对称,∴CA'=CA=√3+1.
设CA'交直线AB于E,
当CA'⊥AB时,CE最短,此时A'E最长,
即点A'到直线AB的距离最大.
在Rt△ACE中,
∵∠EAC=30°,
1 √3+1
∴CE= AC= ,
2 2
6√3+1 √3+1
∴A'E=A'C-CE=√3+1- = ,
2 2
√3+1
∴点A'到直线AB距离的最大值为 .
2
当点P到达点B时,∠A'CA=90°,连接A'B,
易知△A'BC≌△ABC,
A'P扫过的面积应为图中阴影部分面积.
∴S =S -S -S
阴影 扇形CAA' △ABC △A'BC
=S -2S .
扇形CAA' △ABC
1 1 √3+1
由上分析可得,S = AC·BD= ×(√3+1)×1= ,
△ABC 2 2 2
∴S =90π(√3+1)2 -2×√3+1=( √3)π- -1.
阴影 1+ √3
360 2 2
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20,21题每题8分,第22,23题每题10分,第24题12分,共66分)
17.(2021浙江嘉兴,17,6分)(1)计算:2-1+√12-sin 30°;
a 1
(2)化简并求值:1- ,其中a=- .
a+1 2
1 1
17.解析 (1)原式= +2√3- =2√3. (3分)
2 2
a+1-a 1 1
(2)原式= = ,当a=- 时,原式=2. (6分)
a+1 a+1 2
18.(2021浙江嘉兴,18,6分)小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下框:
小敏:
两边同除以(x-3),得
3=x-3,
则x=6.
小霞:
移项,得3(x-3)-(x-3)2=0,
提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0,
则x-3=0或3-x-3=0,
解得x=3,x=0.
1 2
你认为她们的解法是否正确?若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”,并写出你的解答过程.
18.解析 ×,×.
解答:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0,
提取公因式,得(x-3)[3-(x-3)]=0,
去括号,得(x-3)(3-x+3)=0,
则x-3=0或6-x=0,
7解得x=3,x=6. (6分)
1 2
19.(2021浙江嘉兴,19,6分)如图,在7×7的正方形网格中,网格线的交点称为格点,点A,B在格点上,每一个小正方形
的边长为1.
(1)以AB为边画菱形,使菱形的其余两个顶点都在格点上(画出一个即可);
(2)计算你所画菱形的面积.
19.解析 (1)画出一个即可,参考图形如下:
图1
图2
图3
(3分)
1
(2)图1中菱形面积= ×2×6=6,
2
1
图2中菱形面积= ×2√2×4√2=8,
2
图3中菱形面积=(√10)2=10. (6分)
20.(2021浙江嘉兴,20,8分)根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”,前30米称为“加速期”,30米~80米为“中
途期”,80米~100米为“冲刺期”.市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y(m/s)与路程x(m)之间的观测数
据绘制成曲线如图所示.
(1)y是关于x的函数吗?为什么?
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为多少?
(3)根据图中提供的信息,给小斌提一条训练建议.
820.解析 (1)y是x的函数.
在这个变化过程中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应.
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为10.4 m/s.
(3)答案不唯一.例如:根据图象信息,小斌在80米左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提高成绩. (8分)
21.(2021浙江嘉兴,21,8分)某市为了解八年级学生视力健康状况,在全市随机抽查了400名八年级学生2021年年初
的视力数据,并调取该批学生2020年年初的视力数据,制成如下统计图(不完整):
青少年视力健康标准
类别 视力 健康状况
A 视力≥5.0 视力正常
B 4.9 轻度视力不良
C 4.6≤视力≤4.8 中度视力不良
D 视力≤4.5 重度视力不良
根据以上信息,请解答:
(1)分别求出被抽查的400名学生2021年年初轻度视力不良(类别B)的扇形圆心角度数和2020年年初视力正常(类
别A)的人数;
(2)若2021年年初该市有八年级学生2万人,请估计这些学生2021年年初视力正常的人数比2020年年初增加了多少
人;
(3)国家卫健委要求,全国初中生视力不良率控制在69%以内.请估计该市八年级学生2021年年初视力不良率是否符
合要求,并说明理由.
21.解析 (1)被抽查的400名学生2021年年初轻度视力不良的扇形圆心角度数=360°×(1-31.25%-24.5%-32%)=44.1°.
该批400名学生2020年年初视力正常人数=400-48-91-148=113.
(2)该市八年级学生2021年年初视力正常的人数=20 000×31.25%=6 250,
113
这些学生2020年年初视力正常的人数=20 000× =5 650,
400
增加的人数=6 250-5 650=600.
∴该市八年级学生2021年年初视力正常的人数比2020年年初增加了600人.
(3)该市八年级学生2021年年初视力不良率=1-31.25%=68.75%.
∵68.75%<69%,
∴该市八年级学生2021年年初视力不良率符合要求. (8分)
方法归纳 本题重点考查统计图表及统计中用样本估计总体的重要思想,需结合题意读懂统计图表后再解决问题.
22.(2021浙江嘉兴,22,10分)一酒精消毒瓶如图1,AB为喷嘴,△BCD为按压柄,CE为伸缩连杆,BE和EF为导管,其
示意图如图2,∠DBE=∠BEF=108°,BD=6 cm,BE=4 cm.当按压柄△BCD按压到底时,BD转动到BD',此时BD'∥EF(如
图3).
9(1)求点D转动到点D'的路径长;
(2)求点D到直线EF的距离(结果精确到0.1 cm).
(参考数据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73,sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08)
22.解析 (1)∵BD'∥EF,∠BEF=108°,
∴∠D'BE=180°-∠BEF=72°.
∵∠DBE=108°,
∴∠DBD'=∠DBE-∠D'BE=108°-72°=36°.
又∵BD=6 cm,
36×π×6 6
∴点D转动到点D'的路径长= = π(cm).
180 5
(2)如图,过点D作DG⊥BD'于点G,过点E作EH⊥BD'于点H,则DG=BD·sin 36°≈3.54 cm,EH=BE·sin 72°≈3.80 cm.
∴DG+EH=3.54+3.80=7.34≈7.3 cm.
又∵BD'∥EF,
∴点D到直线EF的距离约为7.3 cm. (10分)
23.(2021浙江嘉兴,23,10分)已知二次函数y=-x2+6x-5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标;
(2)当1≤x≤4时,函数的最大值和最小值分别为多少?
(3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t的值.
23.解析 (1)∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,
∴顶点坐标为(3,4).
(2)∵顶点坐标为(3,4),∴当x=3时,y =4,
最大值
∵当1≤x≤3时,y随着x的增大而增大,
∴当x=1时,y =0.
最小值
∵当3<x≤4时,y随着x的增大而减小,
∴当x=4时,y =3.
最小值
∴当1≤x≤4时,函数的最大值为4,最小值为0.
(3)当t≤x≤t+3时,对t进行分类讨论.
①当t+3<3,即t<0时,y随着x的增大而增大.
当x=t+3时,m=-(t+3)2+6(t+3)-5=-t2+4,
当x=t时,n=-t2+6t-5.
∴m-n=-t2+4-(-t2+6t-5)=-6t+9.
∴-6t+9=3,解得t=1(不合题意,舍去).
②当0≤t<3时,顶点的横坐标在取值范围内,∴m=4.
103
i)当0≤t≤ 时,在x=t时,n=-t2+6t-5,
2
∴m-n=4-(-t2+6t-5)=t2-6t+9.
∴t2-6t+9=3,解得t=3-√3,t=3+√3(不合题意,舍去).
1 2
3
ii)当 <t<3时,在x=t+3时,n=-t2+4,
2
∴m-n=4-(-t2+4)=t2.
∴t2=3,解得t=√3,t=-√3(不合题意,舍去).
1 2
③当t≥3时,y随着x的增大而减小,
当x=t时,m=-t2+6t-5,
当x=t+3时,n=-(t+3)2+6(t+3)-5=-t2+4.
∴m-n=-t2+6t-5-(-t2+4)=6t-9,
∴6t-9=3,解得t=2(不合题意,舍去).
综上所述,t=3-√3或√3. (10分)
方法归纳 (1)给出二次函数一般式求图象的顶点坐标,可以配方成顶点式,也可以用顶点坐标公式求解.
(2)给定自变量取值范围求二次函数的最值问题,要结合顶点界点来综合求出最值.
(3)对于给定含有参数的自变量的取值范围,求二次函数的最值问题,应结合二次函数图象顶点的横坐标是否在此范
围内进行分类讨论,特别是顶点的横坐标在此范围内时,还要进一步根据二次函数的增减性对参数的取值进行分类讨
论,从而确定出最值.
24.(2021浙江嘉兴,24,12分)小王在学习浙教版九上课本第72页例2后,进一步开展探究活动:将一个矩形ABCD绕
点A顺时针旋转α(0°<α≤90°),得到矩形AB'C'D',连接BD.
【探究1】如图1,当α=90°时,点C'恰好在DB延长线上.若AB=1,求BC的长.
【探究2】如图2,连接AC',过点D'作D'M∥AC'交BD于点M.线段D'M与DM相等吗?请说明理由.
【探究3】在探究2的条件下,射线DB分别交AD',AC'于点P,N(如图3),发现线段DN,MN,PN存在一定的数量关系,
请写出这个关系式,并加以证明.
图1
图2
图3
24.解析 (1)设BC=x.
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB'C'D',
∴点A,B,D'在同一直线上.
∴AD'=AD=BC=x,D'C'=AB'=AB=1,
11∴D'B=AD'-AB=x-1.
∵∠BAD=∠D'=90°,∴D'C'∥DA.
又∵点C'在DB延长线上,
D'C' D'B 1 x-1
∴△D'C'B∽△ADB,∴ = ,∴ = ,
AD AB x 1
1+√5 1-√5
解得x= ,x= (不合题意,舍去).
1 2
2 2
1+√5
∴BC= .
2
(2)D'M=DM.
证明:如图,连接DD'.
∵D'M∥AC',∴∠AD'M=∠D'AC'.
∵AD'=AD,∠AD'C'=∠DAB=90°,D'C'=AB,
∴△AC'D'≌△DBA(SAS),
∴∠D'AC'=∠ADB,∴∠ADB=∠AD'M.
∵AD'=AD,∴∠ADD'=∠AD'D.
∴∠MDD'=∠MD'D,
∴D'M=DM.
(3)关系式为MN2=PN·DN.
证明:如图,连接AM.
∵D'M=DM,AD'=AD,AM=AM,
∴△AD'M≌△ADM(SSS),
∴∠MAD'=∠MAD.
∵∠AMN=∠MAD+∠NDA,∠NAM=∠MAD'+∠NAP,
∴∠AMN=∠NAM,
∴MN=AN.
在△NAP与△NDA中,
∠ANP=∠DNA,∠NAP=∠NDA,
PN AN
∴△NPA∽△NAD,∴ = ,∴AN2=PN·DN.
AN DN
∴MN2=PN·DN.
方法归纳 (1)直线型问题求线段的长度时,如果有平行,可以考虑三角形相似,从而得到成比例线段,使问题得以解决;
(2)证明两条线段相等时,如果两条线段在同一个三角形中,一般利用等角对等边证得,因此只需证出两个相等的角即
可;(3)转化思想是数学问题得以解决的重要思想,本题中要寻找同一条直线上的三条线段之间的数量关系,很难直接
找到,一般情况需要将某条线段进行转化,利用三角形全等、三角形相似、等腰三角形等知识来解决.
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