2022 年浙江台州初中学业水平考试
一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分.请选出各题中一个符合题意的
正确选项,不选、多选、错选,均不给分)
1.(2022浙江台州,1,4分)计算-2×(-3)的结果是( )
A.6 B.-6 C.5 D.-5
2.(2022浙江台州,2,4分)如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形,其主视
图是 ( )
A B C D
3.(2022浙江台州,3,4分)无理数√6的大小在 ( )
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
4.(2022浙江台州,4,4分)如图,已知∠1=90°,为保证两条铁轨平行,添加的下列
条件中,正确的是 ( )
A.∠2=90° B.∠3=90°
C.∠4=90° D.∠5=90°
5.(2022浙江台州,5,4分)下列运算正确的是 ( )
A.a2·a3=a5 B.(a2)3=a8
C.(a2b)3=a2b3 D.a6÷a3=a2
6.(2022浙江台州,6,4分)如图是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B,C所在
直线为x轴、队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为
(40,a),则飞机D的坐标为 ( )A.(40,-a) B.(-40,a)
C.(-40,-a) D.(a,-40)
7.(2022浙江台州,7,4分)从A,B两个品种的西瓜中随机各取7个,它们的质量
分布折线图如图.下列统计量中,最能反映出这两组数据之间差异的是( )
A.平均数 B.中位数
C.众数 D.方差
8.(2022浙江台州,8,4分)吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上,家到公
园、公园到学校的距离分别为400 m,600 m.他从家出发匀速步行8 min到公园
后,停留4 min,然后匀速步行6 min到学校.设吴老师离公园的距离为y(单位:
m),所用时间为x(单位:min),则下列表示y与x之间函数关系的图象中,正确的
是 ( )
A B
C D
9.(2022浙江台州,9,4分)如图,点D在△ABC的边BC上,点P在射线AD上(不
与点A,D重合),连接PB,PC.下列命题中,假命题是 ( )A.若AB=AC,AD⊥BC,则PB=PC
B.若PB=PC,AD⊥BC,则AB=AC
C.若AB=AC,∠1=∠2,则PB=PC
D.若PB=PC,∠1=∠2,则AB=AC
10.(2022浙江台州,10,4分)一个垃圾填埋场,它在地面上的形状为长80 m,宽
60 m的矩形,有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3 m,则该垃圾填埋场外围
受污染土地的面积为 ( )
A.(840+6π)m2 B.(840+9π)m2
C.840 m2 D.876 m2
二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)
11.(2022浙江台州,11,5分)分解因式:x2-1= .
12.(2022浙江台州,12,5分)将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别
为1,2,3,4,5,6)掷一次,朝上一面点数是1的概率为 .
13.(2022浙江台州,13,5分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别为
AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为 .
14.(2022浙江台州,14,5分)如图,△ABC的边BC长为4 cm.将△ABC平移2 cm
得到△A'B'C',且BB'⊥BC,则阴影部分的面积为 cm2.
15.(2022浙江台州,15,5分)如图的解题过程中,第①步出现错误,但最后所求的
值是正确的,则图中被污染的x的值是 .16.(2022浙江台州,16,5分)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6.折叠该菱形,
使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点B
重合时,EF的长为 ;当点M的位置变化时,DF长的最大值为 .
三、解答题(本题有8小题,第17~20题每题8分,第21题10分,第22,23题每
题12分,第24题14分,共80分)
17.(2022浙江台州,17,8分)计算:√9+|-5|-22.
18.(2022浙江台州,18,8分)解方程组:
{x+2y=4,
x+3 y=5.
19.(2022浙江台州,19,8分)如图1,梯子斜靠在竖直的墙上,其示意图如图2.梯
子与地面所成的角α为75°,梯子AB长3 m,求梯子顶部离地竖直高度BC.(结果
精确到0.1 m;参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,tan 75°≈3.73)
图1
图220.(2022浙江台州,20,8分)如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像
的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到
蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
21.(2022浙江台州,21,10分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与
BC交于点D,连接AD.
(1)求证:BD=CD;
(2)若☉O与AC相切,求∠B的度数;
(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧A´D的中点E.(不写作法,保留作图痕迹)
22.(2022浙江台州,22,12分)某中学为加强学生的劳动教育,需要制定学生每周
劳动时间(单位:小时)的合格标准,为此随机调查了100名学生目前每周劳动时
间,获得数据并整理成下表.
学生目前每周劳动时间统计表
每周劳
0.5≤x<1. 1.5≤x<2. 2.5≤x<3. 3.5≤x<4. 4.5≤x<5.
动时间
5 5 5 5 5
x(小时)
组中值 1 2 3 4 5
人数
21 30 19 18 12
(人)
(1)画扇形图描述数据时,1.5≤x<2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度?
(2)估计该校学生目前每周劳动时间的平均数;
(3)请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准(时间取整数小时),并用
统计量说明其合理性.
23.(2022浙江台州,23,12分)图1中有四条优美的“螺旋折线”,它们是怎样画
出来的呢?如图2,在正方形ABCD各边上分别取点B,C,D,A,使
1 1 1 1
4
AB=BC=CD=DA= AB,依次连接它们,得到四边形ABCD;再在四边形
1 1 1 1 1 1 1 1
5
4
ABCD各边上分别取点B,C,D,A,使AB=BC=CD=DA= AB,依次连
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
5
接它们,得到四边形ABCD;……如此继续下去,得到四条螺旋折线.
2 2 2 2(1)求证:四边形ABCD是正方形;
1 1 1 1
A B
(2)求 1 1的值;
AB
(3)请研究螺旋折线BBBB…中相邻线段之间的关系,写出一个正确结论并加以
1 2 3
证明.
图1
图2
24.(2022浙江台州,24,14分)如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方
向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m).如图2,可以把灌溉
车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条二次函数的部分图象;把绿
化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3 m,竖直高度为EF的长.下边缘
抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水
平距离为2 m,高出喷水口0.5 m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).
图1
图2
(1)若h=1.5,EF=0.5 m.
①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标;
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d的取值范围;(2)若EF=1 m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h
的最小值.
2022 年浙江台州初中学业水平考试
1.A 根据“两数相乘,同号得正,异号得负”可知-2×(-3)=6.故选A.
2.A 从正面看,该立体图形有上下两层,下面一层有两个正方形,上面一层右边有一个正方形.故
选A.
3.B ∵√4=2,√9=3,4<6<9,∴2<√6<3,故选B.
4.C ∠2与∠1是邻补角,当∠2=90°时,不能推出两条铁轨平行,A选项错误;∠3与∠1是同位
角,当∠3=90°时,只能推出两根枕木平行,不能推出两条铁轨平行,B选项错误;∠4与∠1是同位
角,当∠4=90°时,可以推出两条铁轨平行,C选项正确;∠5与∠1既不是同位角、内错角,也不是
同旁内角,当∠5=90°时,不能推出两条铁轨平行,D选项错误.故选C.
5.A 同底数幂相乘,底数不变,指数相加,a2∙a3=a2+3=a5,A选项正确;幂的乘方,底数不变,指数相
乘,(a2)3=a2×3=a6,B选项错误;积的乘方,等于每个因式的乘方的积,(a2b)3=(a2)3∙b3=a6b3,C选项
错误;同底数幂相除,底数不变,指数相减,a6÷a3=a6-3=a3,D选项错误.故选A.
6.B 根据题意可知飞机D与飞机E关于y轴对称,所以它们的横坐标互为相反数,纵坐标相同,
故飞机D的坐标为(-40,a).故选B.
方法归纳
关于坐标轴或原点对称的两个点的坐标规律:
(1)关于x轴对称,两个点的横坐标相同,纵坐标互为相反
数;
(2)关于y轴对称,两个点的纵坐标相同,横坐标互为相反
数;
(3)关于原点对称,两个点的横坐标与纵坐标均互为相反
数.
7.D 平均数表示数据的总体水平但无法表现个体之间的差异.中位数表示数据的中等水平但不
能代表整体.众数表示数据的普遍情况但没有平均数准确.一组数据的波动大小,反映出该组数据
整体上的差异大小.方差最能直接反映出一组数据的波动大小.故选D.
8.C 吴老师从家出发时,离公园400米,此时x=0,y=400;第8分钟到达公园,此时y=0;第12分
钟从公园出发,此时y=0;第18分钟到达学校,此时y=600.两段路程均为匀速运动,表明这两段路
程中,y与x之间为一次函数关系.故选C.
9.D 若AB=AC,AD⊥BC,则BD=CD(三线合一),所以PD垂直平分BC,所以PB=PC(线段垂直平
分线上的点到线段两个端点的距离相等),A选项是真命题.
若PB=PC,AD⊥BC,则BD=CD(三线合一),所以PD垂直平分BC,所以AB=AC(线段垂直平分线
上的点到线段两个端点的距离相等),B选项是真命题.
若AB=AC,∠1=∠2,则AD⊥BC(三线合一),BD=CD(三线合一),所以PD垂直平分BC,所以
PB=PC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等),C选项是真命题.
若PB=PC,∠1=∠2,无法推出AB=AC,D选项是假命题.故选D.方法总结
题目中涉及同一个三角形中的两个等角或两条等边,一般运用等腰三角形的判定和性质、
线段垂直平分线的判定与性质进行解答.
10.B 如图,矩形ABCD的长为80 m,宽为60 m,污水向其四周边界外围的渗透区域为四个矩形
长条和四个全等的圆心角为90°的扇形.四个矩形长条的面积之和为80×3×2+60×3×2=840(m2),
四个扇形的面积之和为32∙π=9π(m2).所以该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为(840+9π)m2,
故选B.
疑难突破
矩形ABCD四周边界外围的渗透区域中,位于矩形四个顶点附近的渗透区域为四个全等的
扇形,恰好构成一个半径为3 m的圆.
11.答案 (x+1)(x-1)
解析 x2-1=x2-12=(x+1)(x-1).
1
12.答案
6
解析 将一枚质地均匀的正方体骰子掷一次,朝上一面的点数的等可能结果有6种,其中朝上一
1
面的点数是1的结果有1种,所以P(朝上一面点数是1)= .
6
13.答案 10
解析 因为点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,∠ACB=90°,所以EF和CD分别是Rt△ABC的一
1 1
条中位线和斜边上的中线.所以CD= AB,EF= AB.所以CD=EF.又因为EF的长为10,所以CD的
2 2
长为10.
14.答案 8
解析 由题意可知四边形BCC'B'是矩形,△ABC≌△A'B'C',所以S =S .所以S
△ABC △A'B'C' 阴影部分
=S +S -S =S =4×2=8(cm2).
A'B'C' 矩形BCC'B' △ABC 矩形BCC'B'
15.答案 5
3-x 3-x x-4 3-x+x-4 1
解析 正确的化简过程为 +1= + = =- .
x-4 x-4 x-4 x-4 x-4
1
因为最后所求的值是正确的,所以- =-1,解得x=5.
x-4
16.答案 3√3;6-3√3解析 当点M与点B重合时,由于EF垂直平分AM,且AE=EM,所以点E刚好是AB的中点,点F
刚好与点D重合.根据菱形的性质与等腰三角形的性质可知∠AED=90°,所以EF=ED=AD·sin
√3
60°=6× =3√3.
2
当点M与点B不重合时,连接AM,交EF于点P.过点A作AH⊥CB,交CB的延长线于点H,如图.
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC.∴∠ABH=∠BAD=60°,∠HMA=∠PAF,
√3 1
∴AH=AB·sin 60°=6× =3√3,BH=AB·cos 60°=6× =3.
2 2
设BM=x,则AM2=HM2+AH2=(3+x)2+(3√3)2=x2+6x+36.
∵点M与点A关于EF对称,
1
∴∠APF=90°,AP= AM.
2
∴∠APF=∠AHM.
又∵∠HMA=∠PAF,∴△AHM∽△FPA.
AP AF 1
∴ = ,∴AP∙AM=HM∙AF,即 AM∙AM=(3+x)·AF.
HM AM 2
∴AF= AM2 =x2+6x+36,
2(3+x) 2(3+x)
∴DF=6-x2+6x+36
2(3+x)
-x2+6x
= .
2x+6
整理得x2+(2DF-6)x+6DF=0,
由Δ≥0得(2DF-6)2-24DF≥0,即DF2-12DF+9≥0,根据二次函数与一元二次方程的关系可知
DF≥6+3√3(不合题意,舍去)或DF≤6-3√3.
所以DF的最大值为6-3√3.
难点突破
构造相似三角形,根据方程思想,用含有x的代数式表示出DF的长度,然后利用根的判别式
求出DF的最大值.
17.解析 原式=3+5-4=4.
{x+2y=4①,
18.解析 ②-①得y=1.
x+3 y=5②,
把y=1代入①,得x=2,{x=2,
∴原方程组的解为
y=1.
19.解析 在Rt△ABC中,AB=3 m,∠ACB=90°,∠BAC=75°,∴BC=AB·sin
75°≈3×0.97=2.91≈2.9(m).
答:梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9 m.
k
20.解析 (1)由题意设y= (k≠0),
x
把x=6,y=2代入,得k=6×2=12.
12
答:y关于x的函数解析式为y= .
x
12
(2)把y=3代入y= ,得x=4.
x
答:小孔到蜡烛的距离为4 cm.
21.解析 (1)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴BD=CD.
(2)∵☉O与AC相切,∴∠BAC=90°,
又∵AB=AC,∴∠B=45°.
(3)答案不唯一.如图,点E就是所要作的劣弧A´D的中点.
30
22.解析 (1) ×100%=30%,
100
360°×30%=108°.
21×1+30×2+19×3+18×4+12×5
(2)x= =2.7(小时).
100
答:估计该校学生目前每周劳动时间的平均数为2.7小时.
(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心.
从平均数看,标准可以定为3小时.
理由:平均数为2.7小时,说明该校学生目前每周劳动时间的平均水平为2.7小时,把标准定为3
小时,至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标,同时至少还有51%的学生未达标,这样使多数
学生有更高的努力目标.
从中位数的范围或频数看,标准可以定为2小时.
理由:该校学生目前每周劳动时间的中位数落在1.5≤x<2.5范围内,把标准定为2小时,至少有
49%的学生目前劳动时间能达标,同时至少还有21%的学生未达标,这样有利于学生建立达标的信
心,促进未达标学生努力达标,提高该校学生的劳动积极性.
23.解析 (1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠A=∠B=90°,
4 1
∵AB=BC=CD=DA= AB,∴AA=BB= AB.
1 1 1 1 1 1
5 5
∴△ABA≌△BCB.
1 1 1 1
∴AB=BC,∠ABA=∠BCB.
1 1 1 1 1 1 1 1
又∵∠BCB+∠BBC=90°,
1 1 1 1
∴∠ABA+∠BBC=90°,∴∠ABC=90°.
1 1 1 1 1 1 1同理可证:BC=CD=DA=AB.
1 1 1 1 1 1 1 1
∴四边形ABCD是正方形.
1 1 1 1
4
(2)∵AB=BC=CD=DA= AB,∴设AB=5a(a≠0),则AB=4a,∴BB=AA=a.
1 1 1 1 1 1 1
5
∴AB= = a.
1 1 √A A2+AB2 √17
1 1
A B √17a √17
∴ 1 1= = .
AB 5a 5
5√17 √17
(3)结论1:螺旋折线BBBB…中相邻线段的比均为 或 .
1 2 3
17 5
4 1
证明:∵AB= AB,∴BB= AB.
1 1
5 5
1
同理,BB= AB.
1 2 1 1
5
∴ B B = AB =5√17.同理可得 B B =5√17,
1 1 2
B B A B 17 B B 17
1 2 1 1 2 3
5√17 √17
∴螺旋折线BBBB…中相邻线段的比均为 或 .
1 2 3
17 5
结论2:螺旋折线BBBB…中相邻线段的夹角的度数不变.
1 2 3
证明:∵ B
1
B = B
2
B
1
=1,∠A
1
B
1
C
1
=∠A
2
B
2
C
2
=90°,
BC B C 4
1 1 2
∴△BBC∽△BBC,∴∠BBC=∠BBC.
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2
∵∠CBB=∠CBB=90°,
1 1 2 2 2 3
∴∠BBC+∠CBB=∠BBC+∠CBB,
1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3
即∠BBB=∠BBB.
1 2 1 2 3
同理可证∠BBB=∠BBB=…,
1 2 3 2 3 4
∴螺旋折线BBBB…中相邻线段的夹角的度数不变.
1 2 3
解题关键
根据正方形、全等三角形和相似三角形的性质,得出相关角度或相关线段长度之间的数量
关系是解答本题的关键.
24.解析 (1)①如图1,由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点,
图1
设上边缘抛物线的函数解析式为y=a(x-2)2+2.1
又∵抛物线经过点(0,1.5),∴1.5=4a+2,∴a=- .
8
1
故上边缘抛物线的函数解析式为y=- (x-2)2+2.
8
1
当y=0时,- (x-2)2+2=0,
8
解得x=6,x=-2(舍去).
1 2
∴喷出水的最大射程OC为6 m.
②∵上边缘抛物线的对称轴为直线x=2,
∴点(0,1.5)的对称点的坐标为(4,1.5).
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的,即点B是由点C向左平移4 m得到的,
则点B的坐标为(2,0).
③如图2,先看上边缘抛物线,∵EF=0.5,∴点F的纵坐标为0.5.
图2
1
抛物线恰好经过点F时,- (x-2)2+2=0.5,解得x=2±2√3,∵x>0,∴x=2+2√3.
8
当x>2时,y随x的增大而减小,
∴当2≤x≤6时,要使y≥0.5,则x≤2+2√3.
∵当0≤x<2时,y随x的增大而增大,且当x=0时,y=1.5>0.5,
∴当0≤x≤6时,要使y≥0.5,则0≤x≤2+2√3.
∵DE=3,灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带,
∴d的最大值为(2+2√3)-3=2√3-1.
再看下边缘抛物线,喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d.
∴d的最小值为2.
综上所述,d的取值范围是2≤d≤2√3-1.
65
(2)h的最小值为 .
32
提示:当喷水口高度最低,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,故设
1
点D m,- (m+2)2+h+0.5 ,
8
1 1 1
F m+3,- (m+3-2)2+h+0.5 ,则有- (m+3-2)2+h+0.5- - (m+2)2+h+0.5 =1,
8 8 8
65 65 65
解得m=2.5,代入得点D的纵坐标为h- ,所以h- =0.所以h的最小值为 .
32 32 32
解后反思
本题考查了二次函数的解析式、函数图象平移、函数与方程的关系、二次函数的增减性等
重难点知识,利用了数形结合、方程等数学思想解题.
