7
2020年河南省普通高中招生考试试卷
(满分:120分 考试时间:100分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.
1.2的相反数是 ( )
1 1
A.-2 B.- C. D.2
2 2
2.如下摆放的几何体中,主视图与左视图有可能不同的是 ( )
3.要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是 ( )
A.中央电视台《开学第一课》的收视率
B.某城市居民6月份人均网上购物的次数
C.即将发射的气象卫星的零部件质量
D.某品牌新能源汽车的最大续航里程
4.如图,l∥l,l∥l,若∠1=70°,则∠2的度数为 ( )
1 2 3 4
A.100° B.110° C.120° D.130°
5.电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中1 GB=210MB,1 MB=210KB,1 KB=210B.某视频文件的大小约为1 GB,1 GB等于( )
A.230B B.830B C.8×1010B D.2×1030B
6
6.若点A(-1,y),B(2,y),C(3,y)在反比例函数y=- 的图象上,则y,y,y 的大小关系是 ( )
1 2 3 x 1 2 3
A.y>y>y B.y>y>y C.y>y>y D.y>y>y
1 2 3 2 3 1 1 3 2 3 2 1
7.定义运算:m☆n=mn2-mn-1.例如:4☆2=4×22-4×2-1=7.则方程1☆x=0的根的情况为 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.只有一个实数根
8.国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为( )
A.5 000(1+2x)=7 500
B.5 000×2(1+x)=7 500
C.5 000(1+x)2=7 500
D.5 000+5 000(1+x)+5 000(1+x)2=7 500
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐标为 ( )
(3 ) (11 )
A. ,2 B.(2,2)C. ,2 D.(4,2)
2 4
10.如图,在△ABC中,AB=BC= ,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为 ( )
√3A.6 B.9 C.6 D.3
√3 √3
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.请写出一个大于1且小于2的无理数 .
{x>a,
12.已知关于x的不等式组 其中a,b在数轴上的对应点如图所示,则这个不等式组的解集为 .
x>b,
13.如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是 .
第13题图
第14题图
第15题图
14.如图,在边长为2 的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为 .
√2
15.如图,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交BC于点D,点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 .
⏜
三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
( 1 ) a
16.(8分)先化简,再求值: 1- ÷ ,其中a=√5+1.
a+1 a2-1
17.(9分)为发展乡村经济,某村根据本地特色,创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台分装机,计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时,设定分装的标准质量为每袋500 g,与之相差大于10 g为不合格.为检验分装效果,工厂
对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析,过程如下:
【收集数据】从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋,测得实际质量(单位:g)如下:
甲:501 497 498 502 513 489 506 490 505 486502 503 498 497 491 500 505 502 504 505
乙:505 499 502 491 487 506 493 505 499 498
502 503 501 490 501 502 511 499 499 501
【整理数据】整理以上数据,得到每袋质量x(g)的频数分布表.
485≤x 490≤x 495≤x 500≤x 505≤x 510≤x
质量频数机器
<490 <495 <500 <505 <510 <515
甲 2 2 4 7 4 1
乙 1 3 5 7 3 1
【分析数据】根据以上数据,得到以下统计量.
统计量
平均数 中位数 方差 不合格率
机器
甲 499.7 501.5 42.01 b
乙 499.7 a 31.81 10%
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中的a= ,b= ;
(2)综合上表中的统计量,判断工厂应选购哪一台分装机,并说明理由.
18.(9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一.
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,然后沿MP方向前进16 m到达点N处,测得点A的仰角为45°,测角仪的高度
为1.6 m.
(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40,√2≈1.41);
(2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6 m.请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化建议.
19.(9分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下:
方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠;
方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠.
设某学生暑期健身x(次),按照方案一所需费用为y(元),且y=kx+b;按照方案二所需费用为y(元),且y=kx.其函数图象如图所示.
1 1 1 2 2 2(1)求k 和b的值,并说明它们的实际意义;
1
(2)求打折前的每次健身费用和k 的值;
2
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,应选择哪种方案所需费用更少?说明理由.
20.(9分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具——三分角器.图1是它的示意图,其中AB与半圆O
的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径相等;DB与AC垂直于点B,DB足够长.
图1
图2
使用方法如图2所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了.
为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程.
已知:如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B, .
求证: .
21.(10分)如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标;
(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标y 的取值范围.
Q22.(10分)小亮在学习中遇到这样一个问题:
如图,点D是 上一动点,线段BC=8 cm,点A是线段BC的中点,过点C作CF∥BD,交DA的延长线于点F.当△DCF为等腰三角形时,求线段BD的长度.
BC
⏜
小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:
(1)根据点D在 上的不同位置,画出相应的图形,测量线段BD,CD,FD的长度,得到下表的几组对应值.
BC
⏜
BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0
FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0
操作中发现:
①“当点D为 的中点时,BD=5.0 cm”.则上表中a的值是 ;
BC
⏜
②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.
(2)将线段BD的长度作为自变量x,CD和FD的长度都是x的函数,分别记为y 和y ,并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y 的图象,如图所示,请在同一坐标系中画出函数y 的图象;
CD FD FD CD
(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当△DCF为等腰三角形时,线段BD长度的近似值(结果保留一位小数).23.(11分)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB',记旋转角为α.连接BB',过点D作DE垂直于直线BB',垂足为点E,连接DB',CE.
BB'
(1)如图1,当α=60°时,△DEB'的形状为 ,连接BD,可求出 的值为 ;
CE
(2)当0°<α<360°且α≠90°时,
①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;
BE
②当以点B',E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出 的值.
B'E
7
2020年河南省普通高中招生考试试卷
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D C B A C A C B D
1.A 只有符号不同的两个数互为相反数,所以2的相反数是-2,故选A.
2.D 选项A中的几何体的主视图与左视图为相同的矩形;选项B中的几何体的主视图与左视图为相同的等腰三角形;选项C中的几何体的主视图与左视图为相同的圆;选项D中的几何体的主视图与左视图均为矩形,但可能不同.故选D.
3.C 选项A,B,D中的问题适合采用抽样调查,即将发射的气象卫星的零部件质量适合采用全面调查(普查),故选C.
4.B 如图,∵l∥l,∴∠1=∠3=70°,
1 2
∵l∥l,∴∠2+∠3=180°,
3 4
∴∠2=180°-70°=110°.故选B.
5.A 由题意得1 GB=210×210×210B=230B.故选A.
6
6.C 把A、B、C各点的横坐标分别代入y=- ,得y=6,y=-3,y=-2,所以y>y>y,故选C.
1 2 3 1 3 2
x
7.A 由题意知,1☆x=x2-x-1=0,∵a=1,b=-1,c=-1,∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5>0,
∴方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根,故选A.
8.C 由题意知,我国2019年的快递业务收入为5 000(1+x)2亿元,所以可列方程为5 000(1+x)2=7 500.故选C.
9.B ∵A(-2,6),∴OC=2,AC=6,
∴正方形OCDE的边长为2,
∵B(7,0),∴OB=7,∴BC=9,
AC E'O' 9
如图,当点E'在AB边上时,易证Rt△E'O'B∽Rt△ACB,∴ = ,∴O'B= ×2=3,
BC O'B 6
∴OC'=OB-O'B-O'C'=7-3-2=2,∴点D'的坐标为(2,2).
即当点E落在AB边上时,点D的坐标为(2,2).故选B.3 1 √3 √3 1
10.D 根据作图可知△ACD为等边三角形.在△ABC中,作BE⊥AC于点E,在Rt△AEB中,AE=AB·cos 30°= ,BE= AB= ,∵AB=BC,∴AC=2AE=3,∴S =S +S = AC2+ AC·BE=3√3.故选D.
2 2 2 四边形ABCD △ACD △ABC 4 2
二、填空题
11. 答案 √2(答案不唯一)
解析 答案不唯一,此正无理数的平方大于1且小于4即可.
12. 答案 x>a
解析 根据数a,b在数轴上的位置可知a>b,所以原不等式组的解集为x>a.
1
13. 答案
4
解析 记红、黄、蓝、绿四种颜色分别为a、b、c、d,
列表得:
第一次
a b c d
第二次
a a,a b,a c,a d,a
b a,b b,b c,b d,b
c a,c b,c c,c d,c
d a,d b,d c,d d,d
4 1
由表知,共有16种等可能结果,两次颜色相同的结果有4种,所以P(两次颜色相同)= = .
16 4
14. 答案 1
1
解析 设EC与DF交于O,在正方形ABCD中,CD=BC,∠B=∠BCD=90°,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴BE=CF= AB=√2,∴△CBE≌△DCF,∴∠BCE=∠CDF,CE=DF,
2
∴∠ECD+∠CDF=∠BCE+∠ECD=90°,∴∠DOC=90°,
CF OF OC
又∵∠OCF=∠BCE,∴△COF∽△CBE,∴ = = .
CE BE BC
√2 OF OC √10 2√10 1 1 3√10 √10
∵在Rt△CEB中,CE=√BC2+BE2=√10,∴ = = ,∴OF= ,OC= ,∴HO=HF-OF= DF-OF= CE-OF= ,GO=CG-OC= .
√10 √2 2√2 5 5 2 2 10 10
∴在Rt△HOG中,由勾股定理得,HG= =1.
√OG2+OH2
π
15. 答案 2√2+
3
解析 如图,作点D关于OB的对称点A,连接AC,交OB于点E',连接OA,则OA=OB=2.当点E位于E'时,阴影部分周长取得最小值,∵∠BOC=60°,OD平分∠BOC,∴∠BOD=∠COD=30°,∴∠AOB=30°,∴∠AOC=90°,∴在Rt△AOC中,AC= =2
√AO2+OC2
30π×2 π π
√2,即DE+EC的最小值为2√2,又 的长为 = ,∴阴影部分周长的最小值为2√2+ .
CD
180 3 3
⏜
三、解答题
a+1-1 a
16. 解析 原式= ÷
a+1 a2-1
a (a+1)(a-1)
= · (4分)
a+1 a
=a-1. (6分)当a=√5+1时,原式=√5. (8分)
501+501
17. 解析 (1)把乙组数据按从小到大的顺序排列为487,490,491,493,498,499,499,499,499,501,501,501,502,502,502,503,505,505,506,511,位于中间的数是第10、11个数,即501,501,则中位数= =501,故a=501;根据已知条件可得出
2
3
产品合格的范围是490≤x≤510,所以甲生产的产品有3袋不合格,故不合格率为 ×100%=15%,故b=15%. (6分)
20
(2)工厂应选购乙分装机. (7分)
理由如下:比较甲、乙两台机器的统计量可知,甲与乙的平均数相同,中位数相差不大,乙的方差较小,且不合格率更低.以上分析说明,乙机器的分装合格率更高,且稳定性更好.所以,乙机器的分装效果更好,工厂应选购乙机器. (9分)
18. 解析 (1)如图,过点A作AF⊥MP,垂足为点F,交BC的延长线于点E,
由题意知,四边形MBCN和四边形NCEF均为矩形, (2分)
设AE=x m,
在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠ACE=45°,
∴CE=AE=x m, (3分)
在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠ABE=22°,
AE AE x 5
∵tan 22°= ,∴BE= ≈ = x m, (4分)
BE tan22° 0.40 2
5
∵BE-CE=BC,∴ x-x=16.
2
32
解得x= ≈10.67. (6分)
3
∵EF=BM=1.6 m,∴AF=AE+EF=10.67+1.6≈12.3 m.
即观星台最高点A距离地面的高度约为12.3 m. (7分)
(2)误差为12.6-12.3=0.3(m). (8分)
可多次测量,取测量数据的平均值(答案不唯一,合理即可). (9分)
19. 解析 (1)∵y=kx+b的图象过点(0,30)和点(10,180),
1 1
∴{ 30=b, ∴{k =15, (3分)
1
180=10k +b. b=30.
1
k 的实际意义是:打六折后的每次健身费用为15元. (4分)
1
b的实际意义是:每张学生暑期专享卡的价格为30元. (5分)
(2)打折前的每次健身费用为15÷0.6=25(元).
k=25×0.8=20. (7分)
2
(3)∵k=15,b=30,∴y=15x+30.
1 1
∵k=20,∴y=20x,
2 2
当y=y 时,15x+30=20x.
1 2
解得x=6,
所以,结合函数图象可知,小华暑期前往该俱乐部健身8次,选择方案一所需费用更少. (9分)
20. 解析 已知:如图,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B, AB = OB , EN 切半圆 O 于点 F . (2分)
求证: ∠ 1= ∠ 2= ∠ 3 . (3分)
证明:连接OF. (4分)
∵EB⊥AC,∴∠ABE=∠OBE=90°,
又∵AB=OB,EB=EB,∴△ABE≌△OBE.
∴∠1=∠2. (6分)
∵EN切半圆O于点F,∴OF⊥EF,
又∵OB⊥EB且OF=OB,∴EO平分∠BEF,∴∠3=∠2,
∴∠1=∠2=∠3. (9分)
[说明:若“已知”未补充完整,而“证明”过程正确,仅在“已知处扣分”]
21. 解析 (1)∵抛物线y=-x2+2x+c与y轴正半轴交于点B,
∴点B的坐标为(0,c),c>0,∵OA=OB,且点A在x轴正半轴上,
∴点A的坐标为(c,0), (2分)
∵抛物线y=-x2+2x+c经过点A,
∴-c2+2c+c=0,
解得c=0(舍去),c=3,
1 2
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (4分)
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线顶点G的坐标为(1,4).(5分)
(2)抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1.
∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,∴点M的横坐标为-2或4,点N的横坐标为-4或6.
∴点M的纵坐标为-5,点N的纵坐标为-21. (8分)
又∵点M在点N的左侧,
∴当点M的坐标为(-2,-5)时,点N的坐标为(6,-21),
∴-21≤y ≤4;
Q
当点M的坐标为(4,-5)时,点N的坐标为(6,-21),
∴-21≤y ≤-5. (10分)
Q
22. 解析 (1)①点D为 的中点时,CD=BD=5.0 cm.
BC
⏜
故a=5.0. (2分)
②由题意可得,△ACF≌△ABD,
∴CF=BD. (4分)
(2)y 的图象如图所示.(6分)
CD
(3)y 的图象如图所示.(7分)
CF
△DCF为等腰三角形时,线段BD的长度约为3.5 cm或5.0 cm或6.3 cm.(答案不唯一) (10分)
23. 解析 (1)等腰直角三角形;√2. (2分)
详解:由题意可知∠BAB'=60°,AB=AB',
∴△ABB'为等边三角形,∴∠AB'B=60°,
∵∠BAD=90°,∴∠B'AD=30°,
1
∵AD=AB',∴∠AB'D= ×(180°-30°)=75°,
2
∴∠DB'E=180°-60°-75°=45°,
∵DE⊥BB',∴∠DEB'=90°,
∴∠B'DE=45°,∴△DEB'为等腰直角三角形.
连接BD,
∵∠BDC=∠B'DE=45°,
∴∠BDC-∠B'DC=∠B'DE-∠B'DC,即∠BDB'=∠CDE.
CD DE √2 BB' BD
∵ = = ,∴△BDB'∽△CDE,∴ = =√2.
BD DB' 2 CE CD
(2)①两个结论仍成立. (3分)
证明:连接BD,
α
∵AB=AB',∠BAB'=α,∴∠AB'B=90°- ,
2
α
∵∠B'AD=α-90°,AD=AB',∴∠AB'D=135°- ,
2
∴∠EB'D=∠AB'D-∠AB'B=45°.
∵DE⊥BB',∴∠EDB'=∠EB'D=45°,
∴△DEB'是等腰直角三角形, (6分)
DB'
∴ =√2,∵四边形ABCD为正方形,
DEBD BD DB'
∴ =√2,∠BDC=45°,∴ = ,
CD CD DE
∵∠EDB'=∠BDC,∴∠EDB'+∠EDB=∠BDC+∠EDB.
即∠B'DB=∠EDC,∴△B'DB∽△EDC,
BB' BD
∴ = =√2. (9分)
CE CD
②3或1. (11分)
BE
详解:(i)如图a,当CD为边时,B'EDC,∵DE⊥BB',∴此时点A与点E重合,∴B'E=BE,∴ =1;
B'E
图a
图b
BE 3B'E
(ii)如图b,当CD为对角线时,由①知△B'DE为等腰直角三角形,BB'=√2CE,∵四边形B'CED为平行四边形,∴CE=B'D=√2B'E,∴BE=BB'+B'E=3B'E,∴ = =3.
B'E B'E
BE
综上,当以点B',E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时, 的值为3或1.
B'E
