21
南京市2020年初中学业水平考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的)
1.计算3-(-2)的结果是 ( )
A.-5 B.-1 C.1 D.5
2.3的平方根是 ( )
A.9 B. C.- D.±
√3 √3 √3
3.计算(a3)2÷a2的结果是( )
A.a3 B.a4 C.a7 D.a8
4.党的十八大以来,党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置.根据国家统计局发布的数据,2012—2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示.
根据图中提供的信息,下列说法错误的是 ( )
A.2019年年末,农村贫困人口比上年年末减少551万人
B.2012年年末至2019年年末,农村贫困人口累计减少超过9 000万人
C.2012年年末至2019年年末,连续7年每年农村贫困人口减少1 000万人以上
D.为在2020年年末农村贫困人口全部脱贫,今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务
5.关于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论中正确的是 ( )
A.两个正根 B.两个负根
C.一个正根,一个负根 D.无实数根
6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8),则点D的坐标是 ( )
A.(9,2) B.(9,3)
C.(10,2) D.(10,3)
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
7.写出一个负数,使这个数的绝对值小于3: .
1
8.若式子1- 在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
x-1
9.纳秒(ns)是非常小的时间单位,1 ns=10-9s.北斗全球导航系统的授时精度优于20 ns.用科学记数法表示20 ns是 s.
√3
10.计算 的结果是 .
√3+√12
{x+3 y=-1,
11.已知x、y满足方程组 则x+y的值为 .
2x+ y=3,
x x-1
12.方程 = 的解是 .
x-1 x+213.将一次函数y=-2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°,所得到的图象对应的函数表达式是 .
14.如图,在边长为2 cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则△PEF的面积为 cm2.
15.如图,线段AB、BC的垂直平分线l、l 相交于点O.若∠1=39°,则∠AOC= °.
1 2
16.下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是
.
三、解答题(本大题共11小题,共88分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
( 1 ) a2+2a
17.(7分)计算 a-1+ ÷ .
a+1 a+1
18.(7分)解方程x2-2x-3=0.
19.(8分)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:BD=CE.k
20.(8分)已知反比例函数y= 的图象经过点(-2,-1).
x
(1)求k的值;
(2)完成下面的解答.
{2-x>1,①
解不等式组
k
>1.②
x
解:解不等式①,得 .
k
根据函数y= 的图象,得不等式②的解集为 .
x
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分,得不等式组的解集为 .
21.(8分)为了了解某地居民用电量的情况,随机抽取了该地200户居民六月份的用电量(单位:kW·h)进行调查.整理样本数据得到下面的频数分布表.
组别 用电量分组 频数
1 8≤x<93 50
2 93≤x<178 100
3 178≤x<263 34
4 263≤x<348 11
5 348≤x<433 1
6 433≤x<518 1
7 518≤x<603 2
8 603≤x<688 1
根据抽样调查的结果,回答下列问题:
(1)该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第 组内;
(2)估计该地1万户居民六月份的用电量低于178 kW·h的有多少户.22.(8分)甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点中随机选择2个景点游览.
(1)求甲选择的2个景点是A、B的概率;
(2)甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 .
23.(8分)如图,在港口A处的正东方向有两个相距6 km的观测点B、C.一艘轮船从A处出发,沿北偏东26°方向航行至D处,在B、C处分别测得∠ABD=45°、∠C=37°.求轮船航行的距离AD.(参考数据:sin 26°≈0.44,cos 26°≈0.90,tan 26°≈0.49,sin
37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
24.(8分)如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,☉O经过点A、C、D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F.
求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF=EF.
25.(8分)小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第x min时,小丽、小明离B地的距离分别为y m、y m,y 与x之间的函数表达式是y=-180x+2 250,y 与x之间的函数表达式是y=-10x2-100x+2 000.
1 2 1 1 2 2
(1)小丽出发时,小明离A地的距离为 m;
(2)小丽出发至小明到达B地这段时间内,两人何时相距最近?最近距离是多少?AD A'D'
26.(9分)如图,在△ABC和△A'B'C'中,D、D'分别是AB、A'B'上一点, = .
AB A'B'
CD AC AB
(1)当 = = 时,求证△ABC∽△A'B'C'.
C'D' A'C' A'B'
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.
CD AC BC
(2)当 = = 时,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.
C'D' A'C' B'C'
27.(9分)如图①,要在一条笔直的路边l上建一个燃气站,向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置,使铺设管道的路线最短.
图①
(1)如图②,作出点A关于l的对称点A',线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求,即在点C处建燃气站,所得路线ACB是最短的.
为了证明点C的位置即为所求,不妨在直线l上另外任取一点C',连接AC'、BC',证明AC+CB<AC'+C'B.请完成这个证明.
图②
(2)如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区,燃气管道不能穿过该区域.请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由).
(i)生态保护区是正方形区域,位置如图③所示;
(ii)生态保护区是圆形区域,位置如图④所示.图③
图④
21南京市2020年初中学业水平考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6
D D B A C A
1.D 3-(-2)=3+2=5.
2.D ∵(±√3)2=3,∴3的平方根是±√3,故选D.
3.B (a3)2÷a2=a6÷a2=a6-2=a4,
故选B.
4.A A.2019年年末,农村贫困人口比上年年末减少1 660-551=1 109万人,故选项A说法错误;
B.2012年年末至2019年年末,农村贫困人口累计减少9 899-551=9 348万人,超过9 000万人,故选项B说法正确;
C.2012年年末至2019年年末,连续7年每年农村贫困人口减少1 000万人以上,故选项C说法正确;
D.2019年年末农村贫困人口为551万人,所以为在2020年年末农村贫困人口全部脱贫,今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务.故选项D说法正确.
故选A.
5.C 原方程可化为x2+x-2-p2=0,
∵Δ=9+4p2>0,
∴方程有两个不相等的实数根,设两根分别为x,x,
1 2
∵x·x=-2-p2<0,
1 2
∴关于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p为常数)有一个正根,一个负根.
6.A 设☉P与x轴、y轴的切点分别是点F、E,连接PE、PF、PD,延长EP交CD于点G,
则PE⊥OA,PF⊥OB,
∵四边形AOBC是矩形,
∴四边形OBGE、ACGE、PEOF均是矩形,
∵PE=PF,∴矩形PEOF是正方形,
∵A(0,8),PE=PF=PD=OE=5,
∴CG=3,
∵PG⊥BC,
∴DG=3,∴CD=2CG=6,
∴BD=CB-CD=AO-CD=2,
在Rt△PGD中,∠PGD=90°,PD=5,GD=3,
∴PG=4,∴OB=5+4=9,
故D(9,2).
二、填空题
7. 答案 -1(答案不唯一)
解析 绝对值小于3,且为负数的数可能是-2、-1等,答案不唯一.
8. 答案 x≠1
1
解析 若式子1- 在实数范围内有意义,则x-1≠0,
x-1
∴x≠1.
9. 答案 2×10-8
解析 20 ns=20×10-9 s=2×10-8 s,故答案为2×10-8.
1
10. 答案
3
√3 √3 1
解析 原式= = = .
√3+2√3 3√3 3
11. 答案 1
{x+3 y=-1,①
解析
2x+ y=3,②
①×2-②得5y=-5,解得y=-1,
把y=-1代入①,解得x=2,
则x+y=2-1=1.
1
12. 答案 x=
4
解析 方程两边同时乘最简公分母(x-1)(x+2),
去分母,得x2+2x=x2-2x+1,
化简,得4x=1,
1
解得x= ,
4
1
经检验,x= 是分式方程的解.
4
1
13. 答案 y= x+2
2
解析 ∵一次函数y=-2x+4的图象过点(0,4),
∴图象绕原点O逆时针旋转90°后,经过点(-4,0),
∵旋转后的图象与原图象垂直,互相垂直的两条直线的系数乘积为-1,
1
∴所得到的图象对应的函数表达式可设为y= x+b,
2
1
将点(-4,0)代入函数表达式,得到0= ×(-4)+b,
2
解得b=2,
1
∴所得到的图象对应的函数表达式为y= x+2.
214. 答案 2√3
解析 连接BF,BE,过点A作AT⊥BF于T,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴CB∥EF,AB=AF,∠BAF=120°,
∴S =S .
△PEF △BEF
∵AT⊥BF,AB=AF,
∴BT=FT,∠BAT=∠FAT=60°,
∴BT=FT=AB·sin 60°=√3(cm),
∴BF=2BT=2√3(cm),
∵∠AFE=120°,∠AFB=∠ABF=30°,
∴∠BFE=90°,
1 1
∴S =S = EF·BF= ×2×2√3=2√3(cm2).
△PEF △BEF
2 2
15. 答案 78
解析 如图,连接BO并延长,设l 交AB于点D,l 交BC于点E.
1 2
∵线段AB、BC的垂直平分线l、l 相交于点O,
1 2
∴OA=OB=OC,∴∠A=∠OBA,∠C=∠OBC,
∴∠AOP=2∠ABO,∠COP=2∠CBO,
∴∠AOC=∠AOP+∠COP=2(∠ABO+∠CBO)=2∠ABC.
∵∠BDO=∠BEO=90°,
∴∠DOE+∠ABC=360°-∠BDO-∠BEO=180°,
∵∠DOE+∠1=180°,
∴∠ABC=∠1=39°,
∴∠AOC=2∠ABC=78°.
16. 答案 ①②④
解析 ①二次函数y=-(x-m)2+m2+1与函数y=-x2的二次项系数相同,故图象形状相同,正确;
②二次函数y=-(x-m)2+m2+1可化为y=-x2+2mx+1,故该函数的图象一定经过点(0,1),正确;
③图象开口向下,对称轴为直线x=m,则当x>m时,y随x的增大而减小,错误;
④图象的顶点坐标是(m,m2+1),所以该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上,正确.
三、解答题
17. 解析 ( 1 )÷a2+2a
a-1+
a+1 a+1
(a-1)(a+1)+1 a+1
= ·
a+1 a2+2a
a2 a+1
= ·
a+1 a(a+2)a
= .
a+2
18. 解析 移项,得x2-2x=3,
配方,得x2-2x+(-1)2=3+(-1)2,
∴(x-1)2=4,
由此可得x-1=±2,
∴x=3,x=-1.
1 2
19. 证明 ∵∠A=∠A,AC=AB,∠C=∠B,
∴△ACD≌△ABE.
∴AD=AE,
∴AB-AD=AC-AE,即BD=CE.
k k
20. 解析 (1)因为点(-2,-1)在反比例函数y= 的图象上,所以-1= ,解得k=2.
x -2
(2)x<1.
0<x<2.
0<x<1.
21. 解析 (1)2.
50+100
(2) ×10 000=7 500(户).
200
因此,估计该地1万户居民六月份的用电量低于178 kW·h的有7 500户.
22. 解析 (1)甲从A、B、C这3个景点中随机选择2个景点,所有可能出现的结果共有3种,即(A,B)、(A,C)、(B,C),这些结果出现的可能性相等.所有的结果中,满足甲选择的2个景点是A、B(记为事件M)的结果有1种,即(A,B),所以P(M)=
1
.
3
1
(2) .
3
详解:画树状图如下.
3 1
共有9种等可能的情况,其中甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的情况有3种,所以P(甲、乙两人选择的2个景点相同)= = .
9 3
23. 解析 如图,过点D作DH⊥AC,垂足为H.
在Rt△DCH中,∠C=37°,
DH DH
∵tan 37°= ,∴CH= .
CH tan37°
在Rt△DBH中,∠DBH=45°,
DH DH
∵tan 45°= ,∴BH= ,
BH tan45°
DH DH
∵BC=CH-BH,∴ - =6.
tan37° tan45°
∴DH≈18(km).
在Rt△DAH中,∠ADH=26°,DH DH 18
∵cos 26°= ,∴AD= ≈ =20(km).
AD cos26° 0.90
∴轮船航行的距离AD约为20 km.
24. 证明 (1)∵AC=BC,∴∠BAC=∠B,
∵DF∥BC,∴∠ADF=∠B,
又∠BAC=∠CFD,∴∠ADF=∠CFD,
∴BD∥CF,又DF∥BC,
∴四边形DBCF是平行四边形.
(2)如图,连接AE.
∵∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF,∴∠AEF=∠B.
∵四边形AECF是☉O的内接四边形,
∴∠ECF+∠EAF=180°,
∵BD∥CF,∴∠ECF+∠B=180°,
∴∠EAF=∠B,∴∠AEF=∠EAF.∴AF=EF.
25. 解析 (1)250.
详解:当x=0时,y=2 250,y=2 000.
1 2
2 250-2 000=250(m),
因此,小丽出发时,小明离A地的距离为250 m.
(2)设小丽出发第x min时,两人相距s m,则
s=-180x+2 250-(-10x2-100x+2 000),
即s=10x2-80x+250,其中0≤x≤10.
b -80 4ac-b2 4×10×250-(-80)2
因此,当x=- =- =4时,s有最小值 = =90.
2a 2×10 4a 4×10
所以当小丽出发第4 min时,两人相距最近,最近距离是90 m.
CD AC AD
26. 解析 (1) = = ;∠A=∠A'.
C'D' A'C' A'D'
(2)相似.理由如下:如图,过点D、D'分别作DE∥BC、D'E'∥B'C',DE交AC于点E,D'E'交A'C'于点E'.
AD DE AE
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ = = .
AB BC AC
A'D' D'E' A'E'
同理 = = .
A'B' B'C' A'C'
AD A'D' DE D'E' DE BC
又 = ,∴ = .∴ = .
AB A'B' BC B'C' D'E' B'C'
AE A'E' AC-AE A'C'-A'E' EC E'C'
同理 = .∴ = ,即 = .
AC A'C' AC A'C' AC A'C'
EC AC
∴ = ,
E'C' A'C'CD AC BC CD DE EC
又 = = ,∴ = = ,
C'D' A'C' B'C' C'D' D'E' E'C'
∴△DCE∽△D'C'E'.
∴∠CED=∠C'E'D'.
∵DE∥BC,∴∠CED+∠ACB=180°.
同理∠C'E'D'+∠A'C'B'=180°,
∴∠ACB=∠A'C'B'.
AC BC
又 = ,
A'C' B'C'
∴△ABC∽△A'B'C'.
27. 解析 (1)证明:连接A'C'.
∵点A、A'关于直线l对称,点C在l上,
∴CA=CA'.∴AC+CB=A'C+CB=A'B.
同理AC'+C'B=A'C'+C'B.
∵A'B<A'C'+C'B,∴AC+CB<AC'+C'B.
(2)i.
在点C处建燃气站,铺设管道的最短路线是ACDB(其中D是正方形的顶点).
ii.
在点C处建燃气站,铺设管道的最短路线是ACD+ +EB(其中CD、BE都与圆相切).
DE
⏜
