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2020年江苏省镇江市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝ab3
2．如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个
几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（
）
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
4．如图，AB 是半圆的直径，C、D 是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB 等于
（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
5．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等
于（ ）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
6．如图 ，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，
①点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝
x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图 ）经过点E（9，2），则cosB的值等于（
） ②
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7． 的倒数等于 ．
8．使 有意义的x的取值范围是 ．
9．分解因式：9x2﹣1＝ ．
10．2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务．从2012年底到2019年底，我国贫困人口减少
了93480000人，用科学记数法把93480000表示为 ．
11．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为 ．
12．一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中
任意摸出1个球，摸出红球的概率等于 ．
13．圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 ．
14．点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成
了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转 °后能与原来的图案互相
重合．15．根据数值转换机的示意图，输出的值为 ．
16．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度
数为 °．
17．在从小到大排列的五个数x，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平
均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则x的值为 ．
18．如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A B C ，点P、Q分别
1 1 1
是AB、A C 的中点，PQ的最小值等于 ．
1 1
三、解答题（本大题共10小题，共78分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文
字说明）19．（1）计算：4sin60°﹣ +（ ﹣1）0；
（2）化简（x+1）÷（1+ ）．
20.（1）解方程： ＝ +1；
（2）解不等式组：
21.如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝
CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
22.教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达
9小时及以上的比例为19.4%．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本
校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：小时）进行了调查，
将数据整理后绘制成下表：
平均每天的睡 5≤t＜6 6≤t＜7 7≤t＜8 8≤t＜9 9小时及以上
眠时间分组
频数 1 5 m 24 n
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了
22%．
（1）求表格中n的值；
（2）该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的
人数是多少．
23.智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“ ”有刚
毅的含义，符号“ ”有愉快的含义．符号中的“ ”表示“阴”，“ ”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，
每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．
（1）所有这些三行符号共有 种；
（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概
率．
24.如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明
站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测
树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线
上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考
数据： ≈1.41， ≈1.73．）
25.如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣ 的图象交于点A（n，2）
和点B．
（1）n＝ ，k＝ ；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．26.如图， ▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD
长为半径作 O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交 O于点G，
G为 的中⊙点． ⊙
（1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知cos∠ABC＝ ，连接AE，当AE与 O相切时，求AB的长．
⊙
27.【算一算】
如图 ，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C
表示的①数为 ，AC长等于 ；
【找一找】
如图 ，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数 ﹣1、
②
+1，Q是AB的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图 ，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：
尺规③作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测
a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学
生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开
放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有
怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图 ，他将 4 分钟内需要进校的人数 m+4b 记作+
（m+4b），用点A表示；将2分钟内④由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少
的人数8a记作﹣8a，用点B表示．用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+
①（m+2b）的实际意义；
写出a、m的数量关系： ．
②
28.如图 ，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，
a＜0①）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x
轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及 的值；
（2）随着a的变化， 的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图 ，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝
FE，求此时②的二次函数表达式．2020年江苏省镇江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝ab3
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算法则进行计算即可．
【解答】解：a3+a3＝2a3，因此选项A不正确；
（a3）2＝a3×2＝a6，因此选项B正确；
a6÷a2＝a6﹣2＝m4，因此选项C不正确；
（ab）3＝a3b3，因此选项D不正确；
故选：B．
2．如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个
几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看是一个正方形，正方形的右上角是一个小正方形，
故选：A．
3．一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（
）
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
【分析】根据一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到k＞
0，与y轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，该函数过点（0，3），
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
4．如图，AB 是半圆的直径，C、D 是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB 等于
（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
【分析】连接 BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝
16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．
5．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等
于（ ）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
【分析】根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函
数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．
【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故选：C．
6．如图 ，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，
点B的①对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝
x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图 ）经过点E（9，2），则cosB的值等于（
） ②
A． B． C． D．
【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象 可得当x
＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图 所示，②可求BD＝
7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解． ①
【解答】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ＝x，
由图 可得当x＝9时，y＝2，
此时②点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图 所示，
①∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD＝ BD＝ ，AC⊥BD，
∴cosB＝ ＝ ＝ ，
故选：D．
二．填空题（共12小题）
7． 的倒数等于 ．
【分析】根据倒数的意义求解即可．
【解答】解：∵ × ＝1，
∴ 的倒数是 ，
故答案为： ．
8．使 有意义的x的取值范围是 x ≥ 2 ．
【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
【解答】解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
9．分解因式：9x2﹣1＝ （ 3 x + 1 ）（ 3 x ﹣ 1 ） ．
【分析】符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：9x2﹣1，
＝（3x）2﹣12，＝（3x+1）（3x﹣1）．
10．2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务．从2012年底到2019年底，我国贫困人口减少
了93480000人，用科学记数法把93480000表示为 9.348×1 0 7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值是易错点，由于93480000有8位，所以可以确定n＝8﹣1＝7．
【解答】解：93480000＝9.348×107．
故答案为：9.348×107．
11．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为 x ＝ 0 ， x ＝ 2 ．
1 2
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x ＝0，x ＝2．
1 2
12．一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中
任意摸出1个球，摸出红球的概率等于 ．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可得．
【解答】解：∵袋子中共有5+1＝6个小球，其中红球有5个，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于 ，
故答案为： ．
13．圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 3 0 ．
【分析】利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积． π
【解答】解：圆锥侧面积＝ ×2 ×5×6＝30 ．
π π
故答案为30 ．
14．点O是正五π边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成
了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转 72 °后能与原来的图案互相
重合．【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角．
【解答】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，
∠AOE＝ ＝72°．
故答案为：72．
15．根据数值转换机的示意图，输出的值为 ．
【分析】利用代入法和负整数指数幂的计算方法进行计算即可．
【解答】解：当x＝﹣3时，31+x＝3﹣2＝ ，
故答案为： ．
16．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度
数为 13 5 °．
【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2+∠BCP＝45°＝
∠1+∠BCP，由三角形内角和定理可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
17．在从小到大排列的五个数x，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平
均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则x的值为 1 ．
【分析】原来五个数的中位数是6，如果再加入一个数，变成了偶数个数，则中位数是
中间两位数的平均数，由此可知加入的一个数是6，再根据平均数的公式得到关于x的
方程，解方程即可求解．
【解答】解：从小到大排列的五个数x，3，6，8，12的中位数是6，
∵再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等，
∴加入的一个数是6，
∵这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等，
∴ （x+3+6+8+12）＝ （x+3+6+6+8+12），
解得x＝1．
故答案为：1．
18．如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A B C ，点P、Q分别
1 1 1
是AB、A C 的中点，PQ的最小值等于 ．
1 1
【分析】取AC的中点M，A B 的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，根据平移的性质
1 1
和三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：取AC的中点M，A B 的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，
1 1
∵将△ABC平移5个单位长度得到△A B C ，
1 1 1
∴B C ＝BC＝3，PN＝5，
1 1
∵点P、Q分别是AB、A C 的中点，
1 1
∴NQ＝ B C ＝ ，
1 1
∴5﹣ ≤PQ≤5+ ，
即 ≤PQ≤ ，
∴PQ的最小值等于 ，
故答案为： ．
三．解答题
19．（1）计算：4sin60°﹣ +（ ﹣1）0；
（2）化简（x+1）÷（1+ ）．
【分析】（1）先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后
计算加减可得；
（2）先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
【解答】解：（1）原式＝4× ﹣2 +1
＝2 ﹣2 +1
＝1；
（2）原式＝（x+1）÷（ + ）＝（x+1）÷
＝（x+1）•
＝x．
20.（1）解方程： ＝ +1；
（2）解不等式组：
【考点】B3：解分式方程；CB：解一元一次不等式组．
【专题】522：分式方程及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；66：运算能力．
【分析】（1）解分式方程的步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为
1，检验；
（2）先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，然后根据是否存在公共部
分求解即可．
【解答】解：（1） ＝ +1，
2x＝1+x+3，
2x﹣x＝1+3，
x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
∴此方程的解是x＝4；
（2） ，
4x﹣x＞﹣2﹣7，
①3x＞﹣9，
x＞﹣3；
3x﹣6＜4+x，
②3x﹣x＜4+6，
2x＜10，
x＜5，∴不等式组的解集是﹣3＜x＜5．
21.如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝
CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】551：线段、角、相交线与平行线；553：图形的全等；67：推理能力．
【分析】（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；
（2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°．
【解答】证明：（1）在△BEF和△CDA中，
，
∴△BEF≌△CDA（SAS），
∴∠D＝∠2；
（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，
∴∠D＝∠2＝78°，
∵EF∥AC，
∴∠2＝∠BAC＝78°．
22.教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达
9小时及以上的比例为19.4%．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本
校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：小时）进行了调查，
将数据整理后绘制成下表：
平均每天的睡 5≤t＜6 6≤t＜7 7≤t＜8 8≤t＜9 9小时及以上
眠时间分组
频数 1 5 m 24 n该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了
22%．
（1）求表格中n的值；
（2）该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的
人数是多少．
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W2：加权平均数．
【专题】542：统计的应用；65：数据分析观念．
【分析】（1）根据频率＝ 求解可得；
（2）先根据频数的和是50及n的值求出m的值，再用总人数乘以样本中平均每天的睡
眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）n＝50×22%＝11；
（2）m＝50﹣1﹣5﹣24﹣11＝9，
所以估计该校平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是400× ＝72（人）．
23.智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“ ”有刚
毅的含义，符号“ ”有愉快的含义．符号中的“ ”表示“阴”，“ ”表
示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，
每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．
（1）所有这些三行符号共有 8 种；
（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概
率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【专题】543：概率及其应用；67：推理能力．
【分析】（1）用列举法举出所有等可能的结果数即可；
（2）根据（1）列举的结果数和概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）共有8种等可能的情况数，分别是：阴，阴，阴；阴，阳，阴；阴，
阴，阳；阳，阴，阴；阳，阳，阴；阳，阴，阳；阴，阳，阳；阳、阳、阳；
故答案为：8；（2）根据第（1）问一个阴、两个阳的共有3种，
则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是 ．
24.如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明
站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测
树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线
上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考
数据： ≈1.41， ≈1.73．）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】12：应用题；55E：解直角三角形及其应用；66：运算能力；67：推理能力．
【分析】延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要
求出HN就可以，在Rt△BNF中，设BN＝NH＝x，则根据tan∠BFN＝ 就可以求出x
的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长．
【解答】解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，
∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，
则BN＝NH，设BN＝NH＝x，
∵HF＝6，∠BFN＝30°，
∴tan∠BFN＝ ＝ ，
即tan30°＝ ，
解得x＝8.19，
根据题意可知：
DM＝MH＝MN+NH，
∵MN＝AC＝10，
则DM＝10+8.19＝18.19，
∴CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.19+1.6＝19.79≈19.8（m）．
答：建筑物CD的高度约为19.8m．
25.如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣ 的图象交于点A（n，2）
和点B．
（1）n＝ ﹣ 4 ，k＝ ﹣ ；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用；556：矩形 菱形 正方
形；55D：图形的相似；66：运算能力；67：推理能力．
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比
例函数解析式求得k；（2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，
此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可；
（3）在x轴上找到点P ，P ，使AP ⊥P B，AP ⊥BP ，则点P在P 的左边，在P 的
1 2 1 1 2 2 1 2
右边就符合要求了．
【解答】解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y＝﹣ 中，得n＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k＝﹣ ，
故答案为：﹣4；﹣ ；
（2）过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝E，CE＝b+2，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ACD∽△CBE，
∴ ，即 ，
解得，b＝2 ，或b＝﹣2 （舍），
∴C（0，2 ）；
（3）如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，在x轴上原点的两旁取两点P ，P ，使得OP ＝OP ＝OA＝OB，
1 2 1 2
∴ ，
∴P （﹣2 ，0），P （2 ，0），
1 2
∵OP ＝OP ＝OA＝OB，
1 2
∴四边形AP BP 为矩形，
1 2
∴AP ⊥P B，AP ⊥BP ，
1 1 2 2
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴P点必在P 的左边或P 的右边，
1 2
∴m＜﹣2 或m＞2 ．
26.如图， ▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD
长为半径作 O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交 O于点G，
G为 的中⊙点． ⊙
（1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知cos∠ABC＝ ，连接AE，当AE与 O相切时，求AB的长．
⊙
【考点】L5：平行四边形的性质；LA：菱形的判定与性质；M2：垂径定理；M5：圆周
角定理；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．【专题】11：计算题；14：证明题；31：数形结合；555：多边形与平行四边形；556：
矩形 菱形 正方形；55A：与圆有关的位置关系；55E：解直角三角形及其应用；66：
运算能力；67：推理能力．
【分析】（1）先由G为 的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出∠MOG＝
∠MDN，再由平行四边形的性质得出AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，进而判定四边形
ABEO是平行四边形，然后证明AB＝AO，则可得结论；
（2）过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AB＝
AO＝OE＝x，则由cos∠ABC＝ ，可用含x的式子分别表示出PA、OP及OQ，由勾股
定理得关于x的方程，解得x的值即可．
【解答】解：（1）证明：∵G为 的中点，
∴∠MOG＝∠MDN．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，
∴∠MOG+∠A＝180°，
∴AB∥OE，
∴四边形ABEO是平行四边形．
∵BO平分∠ABE，
∴∠ABO＝∠OBE，
又∵∠OBE＝∠AOB，
∴∠ABO＝∠AOB，
∴AB＝AO，
∴四边形ABEO为菱形；
（2）如图，过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设
AE交OB于点F，
则∠PAO＝∠ABC，设AB＝AO＝OE＝x，则
∵cos∠ABC＝ ，
∴cos∠PAO＝ ，
∴ ＝ ，
∴PA＝ x，
∴OP＝OQ＝ x
当AE与 O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F为切点，
⊙
∴由勾股定理得： + ＝82，
解得：x＝2 ．
∴AB的长为2 ．
27.【算一算】
如图 ，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C
表示的①数为 5 ，AC长等于 8 ；
【找一找】
如图 ，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数 ﹣1、
②
+1，Q是AB的中点，则点 N 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图 ，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：
尺规③作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测
a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学
生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开
放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有
怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图 ，他将 4 分钟内需要进校的人数 m+4b 记作+
④（m+4b），用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少
的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+
①（m+2b）的实际意义；
写出a、m的数量关系： m ＝ 4 a ．
②
【考点】29：实数与数轴；9A：二元一次方程组的应用；N3：作图—复杂作图．
【专题】12：应用题；13：作图题；521：一次方程（组）及应用；55G：尺规作图；
64：几何直观；66：运算能力；67：推理能力．
【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC
可求得AC的长以及点C表示的数；
（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝
2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；
（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线
的作法作图即可；
（4） 根据每分钟进校人数为 b，每个通道每分钟进入人数为 a，列方程组
①
，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分
钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
解 中的方程组，即可得到m＝4a．
②【解答①】解：（1）【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以点C表示的数为5，AC长等于8．
故答案为：5，8；
（2）【找一找】：记原点为O，
∵AB＝ +1﹣（ ﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝ +1﹣1＝ ，
∴N为原点．
故答案为：N．
（3）【画一画】：记原点为O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数
为：m＝4a．
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
①作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求．
+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．
②故答案为：m＝4a．
28.如图 ，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，
a＜0①）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x
轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及 的值；
（2）随着a的变化， 的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图 ，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝
FE，求此时②的二次函数表达式．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题；65：数据分析观念．
【分析】（1）证明△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，则 ， ，求出
AC＝ ，BC＝ ，即可求解；
（2）点D（1，1﹣4a），N（4，1+5a），则ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的结论得：AC＝ ，BC＝ ，即可求解；
（3）利用△FHE∽△DCE，求出F（ ﹣ ， ﹣ a），即可求解．
【解答】解：（1）分别过点M、N作ME⊥CD于点E，NF⊥DC于点F，
∵ME∥FN∥x轴，
∴△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，
∴ ， ，
∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+c，
将M（﹣1，1）代入上式并解得：c＝4，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，
则点D（1，5），N（4，﹣4），
则ME＝2，DE＝4，DC＝5，FN＝3，DF＝9，
∴ ，解得：AC＝ ，BC＝ ，
∴ ＝ ；
（2）不变，理由：
∵y＝ax2﹣2ax+c过点M（﹣1，1），则a+2a+c＝1，
解得：c＝1﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a），
∴点D（1，1﹣4a），N（4，1+5a），
∴ME＝2，DE＝﹣4a，
由（1）的结论得：AC＝ ，BC＝ ，∴ ＝ ；
（3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，则△FHE∽△DCE，
∵FB＝FE，FH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BC＝2BE，
则CE＝6HE，
∵CD＝1﹣4a，
∴FH＝ ，
∵BC＝ ，
∴CH＝ × ＝ ，
∴F（ ﹣ ， ﹣ a），
将点F的坐标代入y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a）＝a（x+1）（x﹣3）+1得：
﹣ a＝a（ ﹣ +1）（ ﹣ ﹣3）+1，
解得：a＝﹣ 或﹣ ，
故y＝﹣ x2+ x+ 或y＝﹣ x2+ x+ ．
