文档文本内容
2020 年江苏省南通市中考数学试卷
一、选择题（共10 小题）.
1．（3 分）计算
，结果正确的是
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）今年6 月13 日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首
位，其中自然遗产总面积约
．将68000 用科学记数法表示为
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）下列运算，结果正确的是
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）以原点为中心，将点
按逆时针方向旋转
，得到的点
所在的象限为
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．（3 分）如图，已知
，
，
，则
的度数是
A．
B．
C．
D．
6．（3 分）一组数据2，4，6，
，3，9 的众数是3，则这组数据的中位数是
A．3
B．3.5
C．4
D．4.5
7．（3 分）下列条件中，能判定
是菱形的是
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：
，则这个几何体的侧面积为
A．
B．
C．
D．
9．
（3 分）如图①，为矩形
的边
上一点，点
从点
出发沿折线
运动到
点
停止，点
从点
出发沿
运动到点
停止，它们的运动速度都是
．现
，
两点同时出发，设运动时间为
，
的面积为
，若
与
的对应关系如图②所
示，则矩形
的面积是
A．
B．
C．
D．
10．
（3 分）如图，在
中，
，
，
，是
的中点，直线经
过点
，
，
，垂足分别为
，
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8 小题，第11～12 题每小题3 分，第13～18 题每小题3 分，共30 分）
11．（3 分）分解因式：
．
12．（3 分）已知
的半径为
，弦
的长为
，则圆心
到
的距离为
．
13．（4 分）若
，且
为整数，则
．
14．（4 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，
和
的顶点都在
网格线的交点上．设
的周长为
，
的周长为
，则
的值等于 ．
15．（4 分）1275 年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田
积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864 平方步，
宽比长少12 步，问宽和长各几步．若设长为
步，则可列方程为 ．
16．（4 分）如图，测角仪
竖直放在距建筑物
底部
的位置，在
处测得建筑物顶端
的仰角为
．若测角仪的高度是
，则建筑物
的高度约为
．（结果保留小数
点后一位，参考数据：
，
，
17．（4 分）若
，是方程
的两个实数根，则代数式
的值等于
．
18．（4 分）将双曲线
向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，得到的新双曲
线与直线
相交于两点，其中一个点的横坐标为
，另一个点的纵坐标为
，
则
．
三、解答题（本大题共8 小题，共90 分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说
明）
19．（10 分）计算：
（1）
；
（2）
．
20．（11 分）（1）如图①，点
在
上，点
在
上，
，
．求证：
．
（2）如图②，
为
上一点，按以下步骤作图：
①连接
；
②以点
为圆心，
长为半径作弧，交
于点
；
③在射线
上截取
；
④连接
．
若
，求
的半径．
21．（12 分）如图，直线
与过点
的直线
交于点
，与
轴交于点
．
（1）求直线
的解析式；
（2）点
在直线
上，
轴，交直线
于点
，若
，求点
的坐标．
22．
（10 分）为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分
别抽样调查了100 名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个
等级：
表示“优秀”，
表示“良好”，
表示“合格”，
表示“不合格”．第一小
组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以
他们随机调查了100 名八年级学生．
第二小组随机调查了全校三个年级中的100 名学生，但只收集到90 名学生的有效问卷调查
表．
两个小组的调查结果如图的图表所示：
第二小组统计表
等级
人数
百分比
17
38
28
7
合计
90
若该校共有1000 名学生，试根据以上信息解答下列问题：
（1）第 小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情
况达到合格以上（含合格）的共约 人；
（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．
23．（9 分）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘
坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．
请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
24．（12 分）矩形
中，
，
．将矩形折叠，使点
落在点
处，折痕为
．
（1）如图①，若点
恰好在边
上，连接
，求
的值；
（2）如图②，若
是
的中点，
的延长线交
于点
，求
的长．
25．（13 分）已知抛物线
经过
，
，
三点，对称轴
是直线
．关于
的方程
有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若
，试比较
与
的大小；
（3）若
，
两点在直线
的两侧，且
，求
的取值范围．
26．（13 分）【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
（1）如图①，对余四边形
中，
，
，
，连接
．若
，求
的值；
（2）如图②，凸四边形
中，
，
，当
时，判断四边形
是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点
，
，
，四边形
是对余四边形，点
在
对余线
上，且位于
内部，
．设
，点
的纵坐标为，请
直接写出
关于的函数解析式．
参考答案
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3 分）计算
，结果正确的是
A．
B．
C．
D．
解：原式
．
故选：
．
2．（3 分）今年6 月13 日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首
位，其中自然遗产总面积约
．将68000 用科学记数法表示为
A．
B．
C．
D．
解：
．
故选：
．
3．（3 分）下列运算，结果正确的是
A．
B．
C．
D．
解：
．
与
不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
．3 与
不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
．
，此选项错误；
．
，此选项计算正确；
故选：
．
4．（3 分）以原点为中心，将点
按逆时针方向旋转
，得到的点
所在的象限为
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解：如图，
点
按逆时针方向旋转
，
得点
所在的象限为第二象限．
故选：
．
5．（3 分）如图，已知
，
，
，则
的度数是
A．
B．
C．
D．
解：过点
作
，则
，如图所示．
，
，
．
又
，
．
故选：
．
6．（3 分）一组数据2，4，6，
，3，9 的众数是3，则这组数据的中位数是
A．3
B．3.5
C．4
D．4.5
解：
这组数据2，4，6，
，3，9 的众数是3，
，
从小到大排列此数据为：2，3，3，4，6，9，
处于中间位置的两个数是3，4，
这组数据的中位数是
．
故选：
．
7．（3 分）下列条件中，能判定
是菱形的是
A．
B．
C．
D．
解：
四边形
是平行四边形，
当
时，四边形
是菱形；
故选：
．
8．（3 分）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：
，则这个几何体的侧面积为
A．
B．
C．
D．
解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积
．
故选：
．
9．
（3 分）如图①，为矩形
的边
上一点，点
从点
出发沿折线
运动到
点
停止，点
从点
出发沿
运动到点
停止，它们的运动速度都是
．现
，
两点同时出发，设运动时间为
，
的面积为
，若
与
的对应关系如图②所
示，则矩形
的面积是
A．
B．
C．
D．
解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点
运动到点
时，
，
，
过点
作
，
由三角形面积公式得：
，
解得
，
由图2 可知当
时，点
与点
重合，
，
矩形的面积为
．
故选：
．
10．
（3 分）如图，在
中，
，
，
，是
的中点，直线经
过点
，
，
，垂足分别为
，
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
解：如图，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
在
中，
，
，
，
，
在
中，
，
，
点
为
中点，
，
在
与
中，
，
，
，
延长
，过点
作
于点
，
可得
，
在
中，
，
当直线
时，最大值为
，
综上所述，
的最大值为
．
故选：
．
二、填空题（本大题共8 小题，第11～12 题每小题3 分，第13～18 题每小题3 分，共30 分）
11．（3 分）分解因式：
．
解：
，
故答案为：
．
12．（3 分）已知
的半径为
，弦
的长为
，则圆心
到
的距离为
12
．
解：如图，作
于
，连接
，
则
，
在
中，
，
所以圆心
到
的距离为
．
故答案为12．
13．（4 分）若
，且
为整数，则
5
．
解：
，
，
，
又
，
，
故答案为：5．
14．（4 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，
和
的顶点都在
网格线的交点上．设
的周长为
，
的周长为
，则
的值等于
．
解：
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
15．（4 分）1275 年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田
积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864 平方步，
宽比长少12 步，问宽和长各几步．若设长为
步，则可列方程为
．
解：
长为
步，宽比长少12 步，
宽为
步．
依题意，得：
．
16．（4 分）如图，测角仪
竖直放在距建筑物
底部
的位置，在
处测得建筑物顶端
的仰角为
．若测角仪的高度是
，则建筑物
的高度约为
7.5
．（结果保留小
数点后一位，参考数据：
，
，
解：如图，过点
作
，垂足为点
，则
，
，
在
中，
，
（米，
（米，
故答案为：7.5．
17．（4 分）若
，是方程
的两个实数根，则代数式
的值等于
2028
．
解：
，
是方程
的两个实数根，
，
，即
，
则原式
，
故答案为：2028．
18．（4 分）将双曲线
向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，得到的新双曲
线与直线
相交于两点，其中一个点的横坐标为
，另一个点的纵坐标为
，
则
．
解：一次函数
的图象过定点
，而点
恰好是原点
向右
平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度得到的，
因此将双曲线
向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，得到的新双曲线与直
线
相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，
平移前，这两个点的坐标为为
，
，
，
，
，
故答案为：
．
三、解答题（本大题共8 小题，共90 分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说
明）
19．（10 分）计算：
（1）
；
（2）
．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（11 分）（1）如图①，点
在
上，点
在
上，
，
．求证：
．
（2）如图②，
为
上一点，按以下步骤作图：
①连接
；
②以点
为圆心，
长为半径作弧，交
于点
；
③在射线
上截取
；
④连接
．
若
，求
的半径．
【解答】（1）证明：在
和
中
，
，
；
（2）解：连接
，如图②，
由作法得
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
在
中，
．
即
的半径为
．
21．（12 分）如图，直线
与过点
的直线
交于点
，与
轴交于点
．
（1）求直线
的解析式；
（2）点
在直线
上，
轴，交直线
于点
，若
，求点
的坐标．
解：（1）在
中，令
，得
，
，
把
代入
得
，
，
设直线
的解析式为
，
，解得
，
直线
的解析式为
；
（2）
，
设
，由
轴，得
，
，
解得
或
，
或
．
22．
（10 分）为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分
别抽样调查了100 名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个
等级：
表示“优秀”，
表示“良好”，
表示“合格”，
表示“不合格”．第一小
组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以
他们随机调查了100 名八年级学生．
第二小组随机调查了全校三个年级中的100 名学生，但只收集到90 名学生的有效问卷调查
表．
两个小组的调查结果如图的图表所示：
第二小组统计表
等级
人数
百分比
17
38
28
7
合计
90
若该校共有1000 名学生，试根据以上信息解答下列问题：
（1）第 二 小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握
情况达到合格以上（含合格）的共约 人；
（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．
解：（1）根据抽样调查的样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较合理；
（人，
故答案为：二，922；
（2）第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情况，
应从全校范围内抽查学生进行调查．；
对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、普遍性
和可操作性．
23．（9 分）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘
坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．
请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
解：（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6 种；
（2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，
则张先生坐到甲车的概率是
；
由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，
则李先生坐到甲车的概率是
；
所以两人坐到甲车的可能性一样．
24．（12 分）矩形
中，
，
．将矩形折叠，使点
落在点
处，折痕为
．
（1）如图①，若点
恰好在边
上，连接
，求
的值；
（2）如图②，若
是
的中点，
的延长线交
于点
，求
的长．
解：（1）如图①中，取
的中点
，连接
．
四边形
是矩形，
，
由翻折可知，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图②中，过点
作
交
于
，交
于
．则四边形
是矩形，设
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
解得
（负值已经舍弃），
，
在
中，
，
，
，
，
，
．
25．（13 分）已知抛物线
经过
，
，
三点，对称轴
是直线
．关于
的方程
有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若
，试比较
与
的大小；
（3）若
，
两点在直线
的两侧，且
，求
的取值范围．
解：（1）
抛物线
经过
，
①，
对称轴是直线
，
②，
关于
的方程
有两个相等的实数根，
△
③，
由①②③可得：
，
抛物线的解析式为
；
（2）
，
，
点
，点
在对称轴直线
的左侧，
抛物线
，
，即
随
的增大而增大，
，
，
；
（3）若点
在对称轴直线
的左侧，点
在对称轴直线
的右侧时，
由题意可得
，
，
若点
在对称轴直线
的左侧，点
在对称轴直线
的右侧时，
由题意可得：
，
不等式组无解，
综上所述：
．
26．（13 分）【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
（1）如图①，对余四边形
中，
，
，
，连接
．若
，求
的值；
（2）如图②，凸四边形
中，
，
，当
时，判断四边形
是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点
，
，
，四边形
是对余四边形，点
在
对余线
上，且位于
内部，
．设
，点
的纵坐标为，请
直接写出
关于的函数解析式．
解：（1）过点
作
于
，过点
作
于
．
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图②中，结论：四边形
是对余四边形．
理由：过点
作
，使得
，连接
．
四边形
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是对余四边形．
（3）如图③中，过点
作
轴于
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是对余四边形，
，
，
，
，
，
，
，
四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，
由（2）可知，
，
，
整理得
，
在
中，
，
，
即
．
