2022 年无锡市初中学业水平考试
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项
中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.)
1
1.(2022江苏无锡,1,3分)- 的倒数是 ( )
5
1 1
A.- B.-5 C. D.5
5 5
2.(2022江苏无锡,2,3分)函数y=√4-x中自变量x的取值范围是( )
A.x>4 B.x<4 C.x≥4 D.x≤4
3.(2022江苏无锡,3,3分)已知一组数据:111,113,115,115,116,这组数据的平
均数和众数分别是 ( )
A.114,115 B.114,114
C.115,114 D.115,115
2 1
4.(2022江苏无锡,4,3分)分式方程 = 的解是 ( )
x-3 x
A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3
5.(2022江苏无锡,5,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以AC所在直线
为轴,把△ABC旋转1周,得到圆锥,则该圆锥的侧面积为( )
A.12π B.15π C.20π D.24π
6.(2022江苏无锡,6,3分)雪花、风车……展示着中心对称的美,利用中心对称,
可以探索并证明图形的性质,请思考在下列图形中,是中心对称图形但不一定是
轴对称图形的为 ( )
A.扇形 B.平行四边形
C.等边三角形 D.矩形
7.(2022江苏无锡,7,3分)如图,AB是圆O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的
切线交AC于点E,∠EAD=25°,则下列结论错误的是 ( )A.AE⊥DE B.AE∥OD
C.DE=OD D.∠BOD=50°
8.(2022江苏无锡,8,3分)下列命题中,是真命题的有 ( )
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形;
②对角线互相垂直的四边形是菱形;
③四边相等的四边形是正方形;
④四边相等的四边形是菱形.
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
m
9.(2022江苏无锡,9,3分)一次函数y=mx+n的图象与反比例函数y= 的图象交
x
于点A、B,其中点A、B的坐标为A( 1 )、B(m,1),则△OAB的面积是
- ,-2m
m
( )
13 7 15
A.3 B. C. D.
4 2 4
10.(2022江苏无锡,10,3分)如图,在▱ABCD中,AD=BD,∠ADC=105°,点E在
ED
AD上,∠EBA=60°,则 的值是( )
CD
2 1 √3 √2
A. B. C. D.
3 2 2 2
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,不需写出解答过程,请把答
案直接填写在答题卡相应的位置上.)
11.(2022江苏无锡,11,3分)分解因式2a2-4a+2= .
12.(2022江苏无锡,12,3分)高速公路便捷了物流和出行,构建了我们更好的生
活,交通运输部的数据显示,截至去年底,我国高速公路通车里程161 000公里,
稳居世界第一.161 000这个数据用科学记数法可表示为 .
{3x+2y=12,
13.(2022江苏无锡,13,3分)二元一次方程组 的解为 .
2x- y=1
14.(2022江苏无锡,14,3分)请写出一个函数的表达式,使其图象分别与x轴的
负半轴、y轴的正半轴相交: .15.(2022江苏无锡,15,3分)请写出命题“如果a>b,那么b-a<0”的逆命题:
.
16.(2022江苏无锡,16,3分)如图,正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点,
HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G,则BG= .
17.(2022江苏无锡,17,3分)把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位
长度,再向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个
公共点,那么m应满足条件: .
18.(2022江苏无锡,18,3分)△ABC是边长为5的等边三角形,△DCE是边长为3
的等边三角形,直线BD与直线AE交于点F.如图,若点D在△ABC内,
∠DBC=20°,则∠BAF= °;现将△DCE绕点C旋转1周,在这个旋转过程
中,线段AF长度的最小值是 .
三、解答题(本大题共10小题,共96分,解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤等.)
19.(2022江苏无锡,19,8分)计算:
(1)| 1|×(- )2-cos 60°;
- √3
2
(2)a(a+2)-(a+b)(a-b)-b(b-3).
20.(2022江苏无锡,20,8分)(1)解方程:x2-2x-5=0;
(2)解不等式组:{2(x+1)>4,
3x≤x+5.21.(2022江苏无锡,21,10分)如图,在▱ABCD中,点O为对角线BD的中点,EF
过点O且分别交AB、DC于点E、F,连接DE、BF.
求证:(1)△DOF≌△BOE;
(2)DE=BF.
22.(2022江苏无锡,22,10分)建国中学有7位学生的生日是10月1日,其中男
生分别记为A,A,A,A,女生分别记为B,B,B.学校准备召开国庆联欢会,计划
1 2 3 4 1 2 3
从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动.
(1)若任意抽取1位学生,且抽取的学生为女生的概率是 ;
(2)若先从男生中任意抽取1位,再从女生中任意抽取1位,求抽得的2位学生中
至少有1位是A或B的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过
1 1
程)
23.(2022江苏无锡,23,10分)育人中学初二年级共有200名学生,2021年秋学期
学校组织初二年级学生参加30秒跳绳训练,开学初和学期末分别对初二年级全
体学生进行了摸底测试和最终测试,两次测试数据如下:
育人中学初二学生30秒
跳绳测试成绩的频数分布表
50< 60< 70<
跳绳个数 x≤5
x x x x>80
(x) 0
≤60 ≤70 ≤80
频数
19 27 72 a 17
(摸底测试)
频数
3 6 59 b c
(最终测试)
(1)表格中a= ;
(2)请把下面的扇形统计图补充完整;(只需标注相应的数据)
(3)请问经过一个学期的训练,该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个
的人数有多少?
24.(2022江苏无锡,24,10分)如图,△ABC为锐角三角形.(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:在AC右上方确定点D,使
∠DAC=∠ACB,且CD⊥AD;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若∠B=60°,AB=2,BC=3,则四边形ABCD的面积为 .
(如需画草图,请使用图2)
图1
图2
25.(2022江苏无锡,25,10分)如图,边长为6的等边三角形ABC内接于☉O,点
D为AC上的动点(点A、C除外),BD的延长线交☉O于点E,连接CE.
(1)求证:△CED∽△BAD;
(2)当DC=2AD时,求CE的长.
26.(2022江苏无锡,26,10分)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有
资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m),另外三面用栅栏围成,中间再
用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形,已知栅栏的总长度为24 m,设较小矩
形的宽为x m(如图).
(1)若矩形养殖场的总面积为36 m2,求此时x的值;
(2)当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少?
27.(2022江苏无锡,27,10分)如图,已知四边形ABCD为矩形,AB=2√2,BC=4,点
E在BC上,CE=AE,将△ABC沿AC翻折到△AFC,连接EF.
(1)求EF的长;
(2)求sin∠CEF的值.1
28.(2022江苏无锡,28,10分)已知二次函数y=- x2+bx+c图象的对称轴与x轴
4
交于点A(1,0),图象与y轴交于点B(0,3),C、D为该二次函数图象上的两个动
点(点C在点D的左侧),且∠CAD=90°.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)若点C与点B重合,求tan∠CDA的值;
(3)点C是否存在其他的位置,使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等?若存
在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.2022年无锡市初中学业水平考试
1
1.B - 的倒数是-5,故选B.
5
2.D 根据被开方数大于或等于0,可得4-x≥0,解得x≤4.故选D.
111+113+115+115+116
3.A 这组数据的平均数= =114,这组数据中115出现的次数最多,
5
故众数为115,故选A.
4.D 方程两边同乘x(x-3),得2x=x-3,解得x=-3,经检验,x=-3是原分式方程的根,故选D.
5.C 因为AC=3,BC=4,所以AB=5.以AC所在直线为轴,把△ABC旋转1周,得到圆锥,则该圆锥
的母线为AB,半径为BC.该圆锥的侧面积为π·4·5=20π,故选C.
6.B 中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转180度,如果能与图形本身重合,我们就说这个图
形是中心对称图形,首先排除选项A,C;轴对称图形是将一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的
部分能够互相重合,矩形既是中心对称图形也是轴对称图形,故选B.
7.C ∵ OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵ 弦 AD 平 分
∠ BAC,∴∠OAD=∠DAE,∴∠ODA=∠DAE,∴AE∥OD, 选 项 B 正 确 ;∵DE 是 ☉ O 的 切 线 ,
∴OD⊥DE,∵AE∥OD,∴AE⊥DE, 选 项 A 正 确 ;
∵∠EAD=25°,∴∠OAD=25°,∵AE∥OD,∴∠BOD=∠BAE=∠EAD+∠OAD=50°,选项D正确,故选C.
8.B 对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形,①正确;对角线
互相垂直的四边形不一定是菱形,②错误;四边相等的四边形是菱形,④正确,③错误,故选B.
1
9.D 因为点A、B在反比例函数的图象上,所以- ×(-2m)=m×1,解得m=2,所以点A的坐标为
m
( 1 ),点B的坐标为(2,1),将B(2,1)代入y=2x+n,得n=-3.设一次函数y=2x-3的图象与y
- ,-4
2
1 1 1
轴的交点为C,则点C的坐标为(0,-3),所以OC=3.△OAB的面积=S +S = ×3× + ×3×2=
△OAC △OBC
2 2 2
15
.故选D.
4
10.D 过点B作BF⊥AD,垂足为F.在▱ABCD中,CD=AB,CD∥AB,
∴∠ADC+∠A=180°.∵∠ADC=105°,∴∠A=75°.
1 1
∵AD=BD,∴∠A=∠ABD=75°,∴∠ADB=180°-75°×2=30°,∴BF= BD= AD.
2 2
设BF=x,则AD=BD=2x.∵∠ADB=30°,BF=x,∴DF=√3x.
∵∠ABD=75°,∠EBA=60°,∴∠DBE=15°,
∴∠BEA=∠DBE+∠ADB=45°.
∴EF=BF=x,∴DE=DF-EF=√3x-x=(√3-1)x.
∵AD=2x,DF=√3x,∴AF=AD-DF=2x-√3x=(2-√3)x.
在Rt△ABF中,AB=
√BF2+AF2
=
√x2+[(2-√3)x]
2=(
√6
-
√2
)x.
∴ED= (√3-1)x = 1 =√2,故选D.
CD (√6-√2)x √2 2一题多解
1
过点B作BG⊥CD,∵BC=BD,∴DG=CG= CD,∠DBG=∠CBG=15°.
2
延长BE,过点D作DH⊥BE于点H.∵∠AEB=45°,
∴∠DEH=45°,∴△DEH 为 等 腰 直 角 三 角 形 ,∴ED=√2
DH.∵∠DBG=∠DBE=15°,∠BGD=∠H=90°,BD=BD,
1 √2
∴△BDG≌△BDH,∴DG=DH,∴ CD= ED,
2 2
ED √2
∴ = ,故选D.
CD 2
11.答案 2(a-1)2
解析 2a2-4a+2=2(a2-2a+1)=2(a-1)2.
12.答案 1.61×105
解析 161 000=1.61×105.
{x=2
13.答案
y=3
{3x+2y=12①,
解析 ①+②×2得7x=14,x=2.把x=2代入②得y=3,∴二元一次方程组的解为
2x- y=1②,
{x=2,
y=3.
14.答案 y=x+2(答案不唯一)
解析 当函数是一次函数时,设函数表达式是y=kx+b(k≠0),令其图象与y轴的正半轴上、x轴的
{ b=2, {k=1,
负半轴上的交点分别为(0,2)、(-2,0),∴ 解得 即y=x+2.(答案不唯一)
-2k+b=0, b=2,
15.答案 如果b-a<0,那么a>b
解析 逆命题就是将原命题的题设(条件)和结论互换,命题“如果a>b,那么b-a<0”的逆命题是
“如果b-a<0,那么a>b”.
16.答案 1
解析 连接 AG,EG,因为 HG 垂直平分 AE,所以 AG=EG.∵四边形 ABCD 是正方形,
1
∴AB=BC=CD=8,∠B=∠C=90°,∴AB2+BG2=AG2=EG2=CE2+CG2.∵ 点 E 是 CD 的 中 点 ,∴CE=
2
CD=4,∴82+BG2=(8-BG)2+42,解得BG=1.17.答案 m>3
解析 y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4,把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平
移3个单位长度,平移后所得抛物线的解析式为y=(x+2-3)2+m-4+1=(x-1)2+m-3.如果平移后所得
抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m-3>0,即m>3.
易错警示
平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,a>0,则顶点纵坐标大于0;平移后所得抛
物线与x轴有且只有一个公共点,则顶点纵坐标等于0.一定注意条件中坐标轴与x轴的区别.
18.答案 80;4-√3
解析 ∵△ABC和△DCE都是等边三角形,
∴AC=BC,DC=EC,∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°,
∴∠DCB =∠ECA,∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠EAC=∠DBC.
∵∠DBC=20°,∴∠EAC=20°,
∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°.
设BF与AC相交于点H,如图:
∵△ACE≌△BCD,
∴AE=BD,∠EAC=∠DBC,
∵∠AFB=∠ACB=60°,∴A、B、C、F四个点在同一个圆上.
易知点D在以C为圆心,3为半径的圆上,∴当BF是圆C的切线,即CD⊥BF时,∠FBC最大,所以
∠EAC最大,∠BAF最大,同时∠FBA最小,因为AB的长度不变,所以此时线段AF的长度有最小
值.
∵△ACE≌△BCD,∴∠AEC=∠BDC=90°.
∵CD=CE,CF=CF,∴Rt△CDF≌Rt△CEF,
∴DF=EF,∠DCF=∠ECF=30°,∴CD=√3DF.∵CD=3,∴DF=√3=EF.
在Rt△BCD中,BC=5,CD=3,∴BD= =4,即AE=4,∴AF=AE-FE=4- .
√52-32 √3
解题关键
根据∠AFB=∠ACB=60°,可推出A、B、C、F四个点在同一个圆上,当BF是圆C的切线,即
CD⊥BF时,∠FBC最大,则∠BAF最大,∠FBA最小,此时线段AF的长度有最小值,据此求解即
可.
19.解析 (1)| 1|×(- )2-cos 60°
- √3
2
1 1
= ×3- =1.
2 2
(2)a(a+2)-(a+b)(a-b)-b(b-3)
=a2+2a-(a2-b2)-(b2-3b)
=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b.
20.解析 (1)x2-2x-5=0,
∴x2-2x=5,
∴x2-2x+1=5+1,
∴(x-1)2=6,
∴x-1=±√6,
∴x=1±√6,
∴x=1+√6,x=1-√6.
1 2
(2){2(x+1)>4①,
3x≤x+5②,
解不等式①得,x>1,
5
解不等式②得,x≤ ,
2
5
∴不等式组的解集为1<x≤ .
2
21.证明 (1)在▱ABCD中,AB∥CD,
∴∠ABD=∠BDC.
∵O为BD的中点,∴OD=OB.
又∵∠DOF=∠BOE,∴△DOF≌△BOE(ASA).
(2)∵△DOF≌△BOE,∴OE=OF.
∵OB=OD,OE=OF,
∴四边形DEBF为平行四边形,
∴DE=BF.22.解析 (1)从7位学生中抽取学生参与联欢会,这7位学生被抽到的可能性相同,其中女生3位,
3
所以任意抽取1位学生,且抽取的学生为女生的概率是 .
7
(2)画树状图如图.
先从男生中任意抽取一位,再从女生中任意抽取一位,共有12种情况,它们发生的可能性相同,抽
6 1
得的2位学生中至少有1位是A 或B 的情况有6种,故所求概率为 = .
1 1
12 2
23.解析 (1)a=200-19-27-72-17=65.
(2)x>80所占百分比为1-41%-29.5%-3%-1.5%=25%.
(3)c=200×25%=50.
24.解析 (1)如图,
∴点D为所求点.
(2)过点A作AE垂直于BC,垂足为E,所以∠AEB=90°.
∵∠B=60°,∴∠BAE=90°-60°=30°,
1
∵AB=2,∴BE= AB=1,CE=BC-BE=2,
2
∴AE= = = ,
√AB2-BE2 √22-12 √3
∵∠DAC=∠ACB,∴AD∥BC,∴∠D=∠ECD=90°,
∴四边形AECD是矩形,∴CE=AD=2,
1 1 5√3
∴四边形ABCD的面积= (AD+BC)·AE= ×(2+3)×√3= .
2 2 2
25. 解 析 (1) 证 明 :∵ 在 同 圆 或 等 圆 中 , 同 弧 或 等 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ,
∴∠BAC=∠BEC,∠ABE=∠ACE,
∴△CED∽△BAD.
(2)∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC=6,
∠ACB=∠BAC=60°.
∵∠BAC=∠BEC=60°,∴∠ACB=∠BEC.∵∠CBD=∠CBO,∴△BCD∽△BEC,
BD BC
∴ = ,∴BC2=BD·BE,
BC BE
∴BC2=BD·(BD+DE)=BD2+BD·DE.
∵△CED∽△BAD,
AD BD AB
∴ = = ,
DE CD CE
∴BD·DE=AD·CD.
∵AC=6,DC=2AD,
∴DC=4,AD=2,
∴BD·DE=AD·CD=8,
∴62=BD2+8,∴BD=2√7.
BD AB 2√7 6
∵ = ,∴ = ,
CD CE 4 CE
12√7
∴CE= .
7
26.解析 (1)如图,
∵BC=x,矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍,∴CD=2x,
1
∴BD=3x,∴AB=CF=DE= (24-BD)=8-x.
3
由矩形养殖场的总面积为36 m2得3x(8-x)=36,
解得x=2,x=6(不合题意,舍去),
1 2
所以此时x的值为2.
(2)设矩形养殖场的总面积为S m2,则S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48,
10 10 10
-3<0,当x=4时,3x=12>10,不合题意,舍去,∵0<3x≤10,∴0<x≤ ,∴当x= 时,S =3× ×
3 3 最大值 3
( 10)=140,∴当x=10时,矩形养殖场的点面积最大,最大值为140.
8-
3 3 3 3
27.解析 (1)∵AE=CE,∴∠ACB=∠CAE.
∵∠B=90°,∴∠CAB+∠ACB=90°.
由翻折可得∠CAF=∠CAB,
∴∠CAF+∠ACB=90°,
∴∠CAF+∠CAE=∠EAF=90°,
在Rt△ABE中,AE2=BE2+AB2,
∴(4-BE)2=BE2+(2√2)2,
解得BE=1,∴AE=CE=3.
∵∠EAF=90°,AF=AB=2√2,
∴EF2=AE2+AF2=32+(2√2)2,∴EF=√17.
(2)过点F作FG⊥CB于点G,
∵FG⊥BC,∴∠FGC=∠FGE=90°,∴△FCG和△FGE为直角三角形.
∴FG2=CF2-CG2=EF2-EG2,
∴42-(3-EG)2=(√17)2-EG2,
解得EG=5,∴FG2=42-( 5) 2,
3-
3 3
8√2
8√2 FG 8√34
∴FG= ,∴sin∠CEF= = 3 = .
3 EF 51
√17
28.解析 (1)∵抛物线与y轴交于点B(0,3),
∴c=3.
∵对称轴与x轴交于点A(1,0),
b
∴x=- ( 1)=1,
2× -
4
1
∴b= ,
2
1 1
∴y=- x2+ x+3.
4 2
(2)过点D作DE⊥x轴,垂足为点E.
∵∠CAD=90°,∴∠DAE+∠OAC=90°.
∵∠OAC+∠OCA=90°,∴∠DAE=∠OCA.
∵∠AOC=∠DEA=90°,
OA OC
∴△OAC∽△EDA,∴ = ,
DE AE
1 3
∴ = ,即AE=3DE,
DE AE
设AE=m,则点D的坐标为( m).
m+1,
3
∵点D在抛物线上,
1 1 m
∴- (m+1)2+ (m+1)+3= ,
4 2 3
13
解得m=3,m=- (舍去),
1 2
3∴AE=3,DE=1,∴AD= = .
√32+12 √10
∵OA=1,OC=3,∴AC= = ,
√32+12 √10
AC
∴tan∠CDA= =1.
AD
(3)存在.
如图,
∵抛物线是轴对称图形,对称轴是直线x=1,
∴图中两个三角形若关于直线x=1对称,则y轴左侧点C与(2)中点D关于直线x=1对称.
∵点D的坐标为(4,1),∴y轴左侧点C的坐标为(-2,1).
如图,当点C、D关于对称轴x=1对称时,∠CAD=90°,AC=AD,此时三角形ACD为等腰直角三角
形.过点E作AE⊥CD,设AE=DE=n,则点D的坐标为(1+n,n).
1 1 1 1
将(1+n,n)代入y=- x2+ x+3,得n=- (1+n)2+ (1+n)+3,
4 2 4 2
解得n=-2±√17(n=-2-√17舍去),
此时点C的坐标为(3-√17,√17-2).
易知当点C、D分别位于C'、D'位置时,也符合题意.
此时点C'的坐标为(-1-√17,-2-√17).
综上,点C的坐标为(-2,1),(3-√17,√17-2),(-1-√17,-2-√17).
一题多解(3) 当 点 C 、 D 在 x 轴 上 方 时 , 设 点 C 的 坐 标
(a,b'),∵AC=AD,∠CAD=90°,
∴易得点D的坐标为(1+b',1-a).
将(a,b')(1+b',1-a)代入抛物线得
1 1
{ b'=- a2+ a+3①,
4 2
1 1
1-a=- (1+b') 2+ (1+b')+3②,
4 2
1 9
由②得a= b'2- ③,
4 4
将①代入③得
a= 1( - 1 a2+ 1 a+3 ) 2 - 9 ,
4 4 2 4
∴a3-4a2-20a-16=0,
∴a3-4a2-12a-8a-16=0,
∴(a+2)(a2-6a)-8(a+2)=0,
∴(a+2)(a2-6a-8)=0,
∴a=-2或a2-6a-8=0,
∴a=-2或a=3±√17,
∴点C的坐标为(-2,1)或C(3+√17,-√17-2)(舍)或C(-√17+3,√17-2).
同理当点C、D在x轴下方时,易得点C的坐标为(-1-√17,-2-√17).
综上,点C的坐标为(-2,1),(3-√17,√17-2),(-1-√17,-2-√17).
