宁波市2022 年初中学业水平考试
一、选择题(每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
目要求)
1.(2022浙江宁波,1,4分)-2 022的相反数是 ( )
1
A.2 022 B.-
2 022
1
C.-2 022 D.
2 022
2.(2022浙江宁波,2,4分)下列计算正确的是 ( )
A.a3+a=a4 B.a6÷a2=a3
C. =a5 D.a3·a=a4
(a2
)
3
3.(2022浙江宁波,3,4分)据国家医保局最新消息,全国统一的医保信息平台已
全面建成,在全国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线,为1 360 000 000参
保人提供医保服务,医保信息化、标准化取得里程碑式突破.数1 360 000 000用
科学记数法表示为 ( )
A.1.36×107 B.13.6×108
C.1.36×109 D.0.136×1010
4.(2022浙江宁波,4,4分)如图所示的几何体是由一个球体和一个圆柱组成的,
它的俯视图是 ( )
A
BC
D
5.(2022浙江宁波,5,4分)开学前,根据学校防疫要求,小宁同学连续14天进行
了体温测量,结果统计如下表:
体温
36.236.336.536.636.8
(℃)
天数
3 3 4 2 2
(天)
这14天中,小宁体温的众数和中位数分别为 ( )
A.36.5 ℃,36.4 ℃ B.36.5 ℃,36.5 ℃
C.36.8 ℃,36.4 ℃ D.36.8 ℃,36.5 ℃
6.(2022浙江宁波,6,4分)已知圆锥的底面半径为4 cm,母线长为6 cm,则圆锥
的侧面积为( )
A.36π cm2 B.24π cm2
C.16π cm2 D.12π cm2
7.(2022浙江宁波,7,4分)如图,在Rt△ABC中,D为斜边AC的中点,E为BD上
一点,F为CE的中点.若AE=AD,DF=2,则BD的长为( )
A.2√2 B.3 C.2√3 D.4
8.(2022浙江宁波,8,4分)我国古代数学名著《九章算术》中记载:“粟米之法:
粟率五十;粝米三十.今有米在十斗桶中,不知其数.满中添粟而舂之,得米七斗.问
3
故米几何?”意思为50斗谷子能出30斗米,即出米率为 .今有米在容量为10斗
5
的桶中,但不知道数量是多少.再向桶中加满谷子,再舂成米,共得米7斗.问原来
有米多少斗?如果设原来有米x斗,向桶中加谷子y斗,那么可列方程组为 ( )
{x+ y=10 {x+ y=10
A. B.
3 3
x+ y=7 x+ y=7
5 5
{
x+ y=7
{
x+ y=7
C. D.
5 5
x+ y=10 x+ y=10
3 39.(2022浙江宁波,9,4分)点A(m-1,y),B(m,y)都在二次函数y=(x-1)2+n的
1 2
图象上.若y<y,则m的取值范围为 ( )
1 2
3 3
A.m>2 B.m> C.m<1 D. <m<2
2 2
10.(2022浙江宁波,10,4分)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片
按如图所示的方式不重叠地放置在矩形ABCD内,其中矩形纸片和正方形纸片的
周长相等.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( )
A.正方形纸片的面积
B.四边形EFGH的面积
C.△BEF的面积
D.△AEH的面积
二、填空题(每小题5分,共30分)
11.(2022浙江宁波,11,5分)请写出一个大于2的无理数: .
12.(2022浙江宁波,12,5分)分解因式:x2-2x+1= .
13.(2022浙江宁波,13,5分)一个不透明的袋子里装有5个红球和6个白球,它
们除颜色外其余都相同,从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 .
1
14.(2022浙江宁波,14,5分)定义一种新运算:对于任意的非零实数a,b,ab=
a
1 2x+1
+ .若(x+1)x= ,则x的值为 .
b x
15.(2022浙江宁波,15,5分)如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,点O在BC上,以
OB为半径的圆与AC相切于点A,D是BC边上的动点,当△ACD为直角三角形时,
AD的长为 .
16.(2022浙江宁波,16,5分)如图,四边形OABC为矩形,点A在第二象限,点A
6√2
关于OB的对称点为点D,点B,D都在函数y= (x>0)的图象上,BE⊥x轴于点
xEF
E,若DC的延长线交x轴于点F,当矩形OABC的面积为9√2时, 的值为
OE
,点F的坐标为 .
三、解答题(本大题有8小题,共80分)
17.(2022浙江宁波,17,8分)
(1)计算:(x+1)(x-1)+x(2-x);
{4x-3>9,
(2)解不等式组:
2+x≥0.
18.(2022浙江宁波,18,8分)图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网
格,每个小等边三角形的顶点称为格点,线段AB的端点均在格点上,分别按要求
画出图形.
(1)在图1中画出等腰三角形ABC,且点C在格点上;(画出一个即可)
(2)在图2中画出以AB为边的菱形ABDE,且点D,E均在格点上.
图1 图2
2 k
19.(2022浙江宁波,19,8分)如图,正比例函数y=- x的图象与反比例函数y=
3 x
(k≠0)的图象都经过点A(a,2).
(1)求点A的坐标和反比例函数的表达式;
(2)若点P(m,n)在该反比例函数的图象上,且它到y轴距离小于3,请根据图象
直接写出n的取值范围.
20.(2022浙江宁波,20,10分)小聪、小明参加了100米跑的5期集训,每期集训
结束时进行测试.根据他们集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图.1~5期每期的集训时间统计图
图1
1~5期每期小聪、小明测试成绩统计图
图2
根据图中信息,解答下列问题:
(1)这5期的集训共有多少天?
(2)哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多?进步了多少秒?
(3)根据统计数据,结合体育运动的实际,从集训时间和测试成绩这两方面,简要
说说你的想法.
21.(2022浙江宁波,21,10分)每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣
传日”,为了提升全民防灾减灾意识,某消防大队进行了消防演习.如图1,架在消
防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20 m),且可绕点B转动,其底部B离地面
的距离BC为2 m,当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时,底部B到EF的距离
BD为9 m.
(1)若∠ABD=53°,求此时云梯AB的长;
(2)如图2,若在建筑物底部E的正上方19 m处突发险情,请问在该消防车不移
动位置的前提下,云梯能否伸到险情处?请说明理由.
(参考数据:sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,tan 53°≈1.3)
图1 图222.(2022浙江宁波,22,10分)为了落实劳动教育,某学校邀请农科院专家指导学
生进行小番茄的种植,经过试验,其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数
x(2≤x≤8,且x为整数)构成一种函数关系.每平方米种植2株时,平均单株产量
为4千克;以同样的栽培条件,每平方米种植的株数每增加1株,单株产量减少
0.5千克.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)每平方米种植多少株时,能获得最大的产量?最大产量为多少千克?
23.(2022浙江宁波,23,12分)
【基础巩固】
(1)如图1,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,DE∥BC,BF=CF,AF交
DE于点G,求证:DG=EG;
【尝试应用】
DE
(2)如图2,在(1)的条件下,连接CD,CG,若CG⊥DE,CD=6,AE=3,求 的值;
BC
【拓展提高】
(3)如图3,在▱ABCD中,∠ADC=45°,AC与BD交于点O,E为AO上一点,
EG∥BD交AD于点G,EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10,
求BF的长.
图1 图2
图3
24.(2022浙江宁波,24,14分)如图1,☉O为锐角三角形ABC的外接圆,点D在
上,AD交BC于点E,点F在AE上,满足∠AFB-∠BFD=∠ACB,FG∥AC交BC
B´C
于点G,BE=FG,连接BD,DG.设∠ACB=α.
(1)用含α的代数式表示∠BFD;
(2)求证:△BDE≌△FDG;
(3)如图2,AD为☉O的直径.
①当 的长为2时,求 的长;
A´B A´C
②当OF∶OE=4∶11时,求cos α的值.图1 图2
宁波市2022 年初中学业水平考试
1.A 由相反数的定义可知只有符号不同的两个数叫做互为相反数,故选A.
2.D a3与a不是同类项,不能合并,故A错误.同底数幂相除,底数不变,指数相减,a6÷a2=a6-2=a4,
故B错误.幂的乘方,底数不变,指数相乘,(a2)3=a2×3=a6,故C错误.a3·a=a4,故D正确.故选D.
3.C 1 360 000 000=1.36×109,故选C.
4.C 俯视图为从上往下看到的图形,故选C.
5.B 众数为数据中出现次数最多的数,由题表可知众数为36.5 ℃.将一组数据按大小顺序排序后,
位于中间位置的数叫做这组数据的中位数,当数据为奇数个时,中位数为处于最中间位置的数,当
数据为偶数个时,中位数为处于中间位置两数的平均数.由题表可知中位数为36.5 ℃,故选B.
6.B 由题意得圆锥的底面半径r=4 cm,母线长l=6 cm,所以圆锥的侧面积S=πrl=π×4×6=24π
cm2.故选B.
7.D ∵D是AC的中点,F是CE的中点,
DF=2,∴AE=2DF=4,∵AE=AD,∴AD=4.∵∠ABC=90°,D是斜边AC的中点,∴BD=AD=4.故选
D.
3
8.A 由题意可知,桶中原有的米+加入的谷子=10斗,即x+y=10;1斗谷子能出 斗米,桶中原有
5
3
的米+加入的谷子舂成的米=7斗,即x+ y=7.故选A.
5
9.B 二次函数y=(x-1)2+n的图象开口向上,对称轴为直线x=1.∵y<y,∴|m-1-1|<|m-1|,即|
1 2
3
m-2|<|m-1|.当m≥2时,m-2<m-1,始终成立.当1<m<2时,2-m<m-1,则 <m<2.当m≤1时,
2
3
2-m<1-m不成立.综上所述,m> .故选B.
2
方法归纳
二次函数比较函数值大小时,可结合图象开口方向判断,利用点到对称轴的距离进行比较,
注意表示距离时,应加绝对值.
10.C 设矩形纸片的长为a,宽为b,则其周长为2a+2b,
∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等,
2a+2b 1
∴正方形纸片的边长为 = (a+b).
4 21 1
∴EH=FG=a- (a+b)= (a-b),
2 2
1 1
EF=HG= (a+b)-b= (a-b).
2 2
∴EH=HG=FG=EF.又∵∠FGH=90°,
1
∴四边形EFGH是正方形,且边长为 (a-b).
2
∴S =S +S +S +S +S
阴影 正方形EFGH △EHA △EFB △FGC △GHD
=[1 ] 2 +1·1(a-b)·b+1·1(a-b)·1(a+b)+1·1(a-b)·b+1·1(a-b)·1(a+b)=1(a2-b2).
(a-b)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∵S =[1 ] 2 =1(a+b)2,
正方形纸片 (a+b)
2 4
S =[1 ] 2 =1(a-b)2,
四边形EFGH (a-b)
2 4
1 1 1
S = · (a-b)· (a+b)
△BEF
2 2 2
1 1 1
= (a2-b2)= · (a2-b2),
8 4 2
1 1 1
S = · (a-b)·b= (ab-b2),
△AEH
2 2 4
1
∴S = S .
△BEF 阴影
4
∴若知道题图中阴影部分的面积,则S 一定能求出来,故选C.
△BEF
解题关键
先证明四边形EFGH是正方形,将阴影部分的面积表示出来,再分别表示出选项中各图形的
面积,就可以发现只有△BEF的面积和阴影部分的面积存在倍分关系,因此若知道题图中阴影部
分的面积就一定能求出△BEF的面积.
11.答案 π(答案不唯一)
12.答案 (x-1)2
解析 x2-2x+1=(x-1)2.
5
13.答案
11
红球的数量 5
解析 摸到红球的概率= = .
球的总数 11
1
14.答案 -
21 1
解析 由ab= + 得,
a b
1 1 x+x+1 2x+1
(x+1)x= + = = ,
x+1 x x(x+1) x(x+1)
2x+1
∵(x+1)x= ,
x
2x+1 2x+1
∴ = ,
x x(x+1)
∴(2x+1)(x+1)=2x+1,
∴(2x+1)(x+1-1)=0,
1
解得x=- ,x=0,
1 2
2
1
经检验,x=- 是原方程的解,x=0是原方程的增根.
2
1
∴x的值为- .
2
3 6
15.答案 或
2 5
解析 如图,连接OA.
∵AC与☉O相切,
∴∠OAC=90°.
设OA=OB=r,则OC=4-r,
在Rt△OAC中,OA2+AC2=OC2,
3
∴r2+22=(4-r)2,解得r= ,
2
3 5
∴OA= ,∴OC= .
2 2
∵△ADC是直角三角形,
3
∴①当D与O重合时,记为D,∠DAC=90°,此时AD=OA= ;
1 1 1
2
②当∠ADC=90°时,将D记为D,△AOD∽△COA,
2 2
3 5
AO AD AO OC
∴ = 2,即 = ,即 2 =2,
CO AC AD AC
2 AD 2
2
6
∴AD= .
2
5
3 6
综上所述,当△ACD为直角三角形时,AD的长为 或 .
2 5解后反思
△ADC是直角三角形,但没有明确直角顶点,故应按直角顶点进行分类讨论.直角三角形中
常涉及的考向有勾股定理,子母型相似,锐角三角函数,通过互余证角相,等等.
16.答案 1;(3√3 )
,0
2 2
解析 如图,连接OD,BF,
∵四边形ABCO为矩形,且面积为9√2,
1 9√2
∴S =S = S = .
△ABO △BOC 2 矩形ABCO 2
又∵点A关于直线OB的对称点为点D,
∴S =S ,∴S =S ,
△OBD △OBA △OBC △OBD
∵△OBD与△OBC的面积相等且底边均为OB,
∴点D到OB的距离等于点C到OB的距离,
∴OB∥DF,
9√2
∴S =S = ,
△BOF △BOC
2
6√2
∵点B在函数y= 的图象上,BE⊥x轴,
x
1
∴S
△BOE
= ×6√2=3√2,
2
9√2 3√2
∴S =S -S = -3√2= ,
△BEF △BOF △BOE
2 2
3√2
EF S 1
∴ = △BEF= 2 = .
OE S 2
△BOE 3√2
设E的坐标为(a,0)(a>0),则F的坐标为(3 ),B的坐标为( 6√2).
a,0 a,
2 a
6√2
∴直线OB的解析式为y= x,
a2
又∵OB∥DF,
6√2 9√2
∴直线DF的解析式为y= x- ,
a2 a6√2
{ y= ,
由
x
得
6√2
=
6√2
x-
9√2,
6√2 9√2 x a2 a
y= x- ,
a2 a
整理得2x2-3ax-2a2=0,
∴(2x+a)(x-2a)=0,
a
∴x=- (舍去),x=2a,
1 2
2
∴点D的坐标为( 3√2),
2a,
a
在Rt△ODB中,由勾股定理得OD2+BD2=OB2,
2 2
∴(2a)2+(3√2)+(2a-a)2+(3√2 6√2)
-
a a a
=a2+(6√2)
2,
a
整理得a2=3,∴a=√3,a=-√3(舍去),
1 2
∴点F的坐标为(3√3 ).
,0
2
思路分析
连接OD,BF,由矩形OABC的面积及对称关系可以推出S =S ,从而得到OB∥DF,利
△OBC △OBD
6√2 S EF
用反比例函数y= 及S =9√2,可以计算出S 和S ,由
△BEF
= ,从而计算出
x 矩形OABC △BOE △BEF S OE
△BOE
EF 1
= .设E点的坐标为(a,0)(a>0),从而可以得到点B,F的坐标,然后求出直线OB及直线DF
OE 2
6√2 6√2 9√2
的解析式,联立y= 与y= x- 可求得D的坐标(用含a的式子表示),最后在
x a2 a
Rt△ODB中,由勾股定理建立方程,即可求出a的值,从而求出F的坐标.
17.解析 (1)原式=x2-1+2x-x2=2x-1.
{4x-3>9①,
(2)
2+x≥0②,
解不等式①,得x>3,
解不等式②,得x≥-2,
所以原不等式组的解集是x>3.
18.解析 (1)如图所示.答案不唯一.(2)如图所示.
2
19.解析 (1)把A(a,2)代入y=- x,
3
2
得2=- a,解得a=-3.∴A(-3,2).
3
k k
把A(-3,2)代入y= ,得2= ,
x -3
解得k=-6.
6
∴反比例函数的表达式为y=- .
x
(2)由题意可知n的取值范围为n>2或n<-2.
20.解析 (1)4+7+10+14+20=55(天).
答:这5期的集训共有55天.
(2)11.72-11.52=0.2(秒).
答:第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多,进步了0.2秒.
(3)个人测试成绩与很多因素有关,如集训时间不是越长越好,集训时间太长,可能会造成劳累,导
致成绩下降;集训的时间为10天或14天时,成绩最好等.(言之有理即可)
21.解析 (1)在Rt△ABD中,∠ABD=53°,BD=9 m,
BD 9 9
∴AB= = ≈ =15(m).
cos∠ABD cos53° 0.6
答:此时云梯AB的长为15 m.
(2)云梯能够伸到险情处.
理由如下:∵AE=19 m,BC=2 m,
∴AD=19-2=17 m.
在Rt△ABD中,BD=9 m,
∴AB= = = (m).
√AD2+BD2 √172+92 √370
∵√370<20,
∴在该消防车不移动位置的前提下,云梯能够伸到险情处.
22.解析 (1)由题意得y=4-0.5(x-2),
∴y=-0.5x+5(2≤x≤8,且x为整数).
(注:x的取值范围对考生不作要求)
(2)设每平方米小番茄产量为w千克,
w=x(-0.5x+5)=-0.5x2+5x=-0.5(x-5)2+12.5.∴当x=5时,w取得最大值,为12.5.
答:每平方米种植5株时,能获得最大的产量,最大产量为12.5千克.
23.解析 (1)证明:∵DE∥BC,
∴△ADG∽△ABF,△AEG∽△ACF,
DG AG EG AG DG EG
∴ = , = ,∴ = .
BF AF CF AF BF CF
∵BF=CF,∴DG=EG.
(2)由(1)得DG=EG,
∵CG⊥DE,∴CE=CD=6.
∵AE=3,∴AC=AE+CE=9.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.
DE AE 1
∴ = = .
BC AC 3
(3)如图,延长GE交AB于点M,连接FM,过点M作MN⊥BC,垂足为N.
在▱ABCD中,BO=DO,∠ABC=∠ADC=45°.
∵EG∥BD,∴由(1)易得ME=GE,
∵EF⊥EG,∴FM=FG=10,∠EFM=∠EFG.
∵∠EGF=40°,∴∠EFG=50°.
∵FG平分∠EFC,∴∠EFG=∠CFG=50°,
∴∠BFM=180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°.
∴在Rt△FMN中,MN=FM·sin 30°=5,
FN=FM·cos 30°=5√3.
∵∠MBN=45°,MN⊥BN,
∴BN=MN=5,
∴BF=BN+FN=5+5√3.
24.解析 (1)∠AFB-∠BFD=∠ACB=α①,
∠AFB+∠BFD=180°②,
②-①,得2∠BFD=180°-α,
α
∴∠BFD=90°- .
2
α
(2)证明:由(1)得∠BFD=90°- ,
2
∵∠ADB=∠ACB=α,
α
∴∠FBD=180°-∠FDB-∠BFD=90°- =∠BFD,
2
∴DB=DF,
∵FG∥AC,∴∠CAD=∠DFG.
∵∠CAD=∠DBE,∴∠DFG=∠DBE.
∵BE=FG,∴△BDE≌△FDG(SAS).
(3)①∵△BDE≌△FDG,∴∠FDG=∠BDE=α,DE=DG,
1 α
∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α,∠DGE= (180°-∠EDG)=90°- .
2 2
3α
∴在△BDG中,∠DBG=180°-∠BDG-∠DGB=90°- .
2
∵AD为☉O的直径,∴∠ABD=90°.
3α
∴∠ABC=∠ABD-∠DBG= .
2
∴ 与 所对圆心角的度数之比为3∶2.
A´C A´B
∴ 与 的长度之比为3∶2,
A´C A´B
∵ 的长为2,∴ 的长为3.
A´B A´C
②如图,连接BO,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB=α,
∴∠BOF=∠OBD+∠ODB=2α,
∵∠BDG=2α,∴∠BOF=∠BDG.
∵△BDE≌△FDG,∴BD=FD,
α
∴∠DBF=∠BFD=90°- ,
2
3α
∴∠OBF=∠DBF-∠DBO=90°- =∠DBG,
2
∴∠BGD=∠BFO,
∴△BDG∽△BOF,
设△BDG与△BOF的相似比为k,
DG BD
∴ = =k.
OF BO
OF 4
∵ = ,
OE 11
∴设OF=4x(x>0),则OE=11x,DE=DG=4kx,
∴OB=OD=OE+DE=11x+4kx,
∴BD=DF=15x+4kx,
BD 15x+4kx 15+4k
∴ = = ,
BO 11x+4kx 11+4k
15+4k
由 =k得4k2+7k-15=0,
11+4k
5
解得k= ,k=-3(舍去),
1 2
4
∴OD=11x+4kx=16x,BD=15x+4kx=20x,
∴AD=2OD=32x,
BD 20x 5
在Rt△ABD中,cos∠ADB= = = ,
AD 32x 85
∴cos α= .
8
