2015 年宁波市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
( b 4ac-b2 )
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为 - , .
2a 4a
第Ⅰ卷(选择题,共48分)
一、选择题(每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1
1.- 的绝对值为( )
3
1 1
A. B.3 C.- D.-3
3 3
2.下列计算正确的是( )
A.(a2)3=a5B.2a-a=2 C.(2a)2=4a D.a·a3=a4
3.2015年中国高端装备制造业销售收入将超6万亿元,其中6万亿元用科学记数法可表示为(
)
A.0.6×1013 元 B.60×1011 元 C.6×1012 元 D.6×1013 元
4.在端午节到来之前,学校食堂推荐了A,B,C三家粽子专卖店,对全校师生爱吃哪家店的粽子
做调查,以决定最终向哪家店采购.下面的统计量中最值得关注的是( )
A.方差 B.平均数 C.中位数 D.众数
5.如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体,则它的俯视图是( )
6.如图,直线a∥b,直线c分别与a,b相交,∠1=50°,则∠2的度数为( )
A.150° B.130° C.100° D.50°
7.如图,▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,则添加的
条件不能为( )
A.BE=DF B.BF=DE C.AE=CF D.∠1=∠2
8.如图,☉O为△ABC的外接圆,∠A=72°,则∠BCO的度数为( )A.15° B.18° C.20° D.28°
9.如图,用一个半径为30 cm,面积为300π cm2的扇形铁皮,制作一个无底的圆锥(不计损耗),
则圆锥的底面半径r为( )
A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.5π cm
10.如图,将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC边上的A 处,称为第1次操
1
作,折痕DE到BC的距离记为h;还原纸片后,再将△ADE沿着过AD中点D 的直线折叠,使点
1 1
A落在DE边上的A 处,称为第2次操作,折痕DE 到BC的距离记为h;按上述方法不断操
2 1 1 2
作下去……,经过第2 015次操作后得到的折痕D E 到BC的距离记为h .若h=1,则
2 014 2 014 2 015 1
h 的值为( )
2 015
1 1 1 1
A. B. C.1- D.2-
22 015 22 014 22 015 22 014
11.二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方,在6<x<7这一段位于x
轴的上方,则a的值为( )
A.1 B.-1C.2 D.-2
12.如图,小明家的住房平面图呈长方形,被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图
形.若只知道原住房平面图长方形的周长,则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为(
)
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
第Ⅱ卷(非选择题,共102分)
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.实数8的立方根是 .
14.分解因式:x2-9= .
15.命题“对角线相等的四边形是矩形”是 命题.(填“真”或“假”)
16.如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼的C处测得旗杆
底端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30°,若旗杆与教学楼的距离为9 m,则旗杆AB的高度是 m.(结果保留根号)
17.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的☉O与BC边相切于点E,则☉O的半径
为 .
a b
18.如图,已知点A,C在反比例函数y= (a>0)的图象上,点B,D在反比例函数y= (b<0)的图象
x x
上,AB∥CD∥x轴,AB,CD在x轴的两侧,AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5,则a-b的值是
.
三、解答题(本大题有8小题,共78分)
{1+x>-2,
19.(本题6分)解一元一次不等式组 2x-1 并把解集在数轴上表示出来.
≤1,
3
20.(本题8分)一个不透明的布袋里装有2个白球,1个黑球和若干个红球,它们除颜色外其余1
都相同.从中任意摸出1个球,是白球的概率为 .
2
(1)布袋里红球有多少个?
(2)先从布袋中摸出1个球后不放回,再摸出1个球,请用列表或画树状图等方法求出两次摸到
的球都是白球的概率.
21.(本题8分)某校积极开展“阳光体育”活动,共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动
项目.为了解学生最喜爱哪一种项目,随机抽取了部分学生进行调查,并绘制了如下的条形统
计图和扇形统计图(部分信息未给出).
(1)求本次被调查的学生人数;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有1 200名学生,请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少.
22.(本题10分)宁波火车站北广场将于2015年底投入使用,计划在广场内种植A,B两种花木
共6 600棵,若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵.
(1)A,B两种花木的数量分别是多少棵?
(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木,每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵,
应分别安排多少人种植A花木和B花木,才能确保同时完成各自的任务?23.(本题10分)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.
(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;
5
(2)若该抛物线的对称轴为直线x= .
2
①求该抛物线的函数解析式;
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?
24.(本题10分)在边长为1的小正方形组成的方格纸中,若多边形的各顶点都在方格纸的格点
(横竖格子线的交错点)上,这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a,边界
上的格点数为b,则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb-1,其中m,n为常数.
(1)在下面的方格纸中各画出一个面积为 6的格点多边形,依次为三角形、平行四边形(非菱
形)、菱形;
(2)利用(1)中的格点多边形确定m,n的值.25.(本题12分)如图1,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线
OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA·OB=OP2,我们就把∠APB叫做
∠MON的智慧角.
(1)如图2,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射
线OM,ON交于A,B两点,且∠APB=135°.求证:∠APB是∠MON的智慧角.
(2)如图1,已知∠MON=α(0°<α<90°),OP=2,若∠APB是∠MON的智慧角,连结AB,用含α的式
子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积.
3
(3)如图3,C是函数y= (x>0)图象上的一个动点,过C的直线CD分别交x轴和y轴于A,B两
x
点,且满足BC=2CA,请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.
26.(本题14分)如图,在平面直角坐标系中,点M是第一象限内一点,过M的直线分别交x轴,y
轴的正半轴于A,B两点,且M是AB的中点.以OM为直径的☉P分别交x轴,y轴于C,D两点,交直线AB于点E(位于点M右下方),连结DE交OM于点K.
(1)若点M的坐标为(3,4),
①求A,B两点的坐标;
②求ME的长.
OK
(2)若 =3,求∠OBA的度数.
MK
OK
(3)设tan∠OBA=x(0<x<1), =y,直接写出y关于x的函数解析式.
MK答案全解全析：
一、选择题
1
1.A 数轴上某个数对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.在数轴上,表示- 的点到原
3
1 1 1
点的距离是 ,所以- 的绝对值是 ,故选A.
3 3 3
2.D A.(a2)3=a2×3=a6≠a5,A选项错误;
B.2a-a=(2-1)a=a≠2,B选项错误;
C.(2a)2=22·a2=4a2≠4a,C选项错误;
D.a·a3=a1+3=a4,D选项正确.
故选D.
3.C 6万亿元=6 000 000 000 000=6×1012 元.故选C.
4.D 最值得学校食堂关注的应该是爱吃哪家专卖店的粽子的人数最多,由于众数是一组数
据中出现次数最多的数,故最值得学校食堂关注的应该是众数.故选D.
5.A 根据俯视图的定义可知选A.
6.B 如图,
∵a∥b,∴∠1=∠3.
∵∠1=50°,∴∠3=50°,∴∠2=130°.故选B.
7.C ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF.
若添加BE=DF,则根据SAS可判定△ABE≌△CDF;
若添加BF=DE,易得BE=DF,则根据SAS可判定△ABE≌△CDF;
若添加AE=CF,则为SSA,不可判定△ABE≌△CDF;
若添加∠1=∠2,则根据ASA可判定△ABE≌△CDF.
故选C.
8.B 如图,连结OB,
∵∠A和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角,∴∠BOC=2∠A.
∵∠A=72°,∴∠BOC=144°.
∵OB=OC,∴∠CBO=∠BCO.
180°-144°
∴∠BCO= =18°.故选B.
2
9.B ∵扇形的半径为30 cm,面积为300π cm2,300π·360°
∴扇形的圆心角的度数为 =120°.
π·302
120·π·30
∴扇形的弧长为 =20π(cm).
180
∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长,
∴2πr=20π,∴r=10 cm.
故选B.
10.D 根据题意得DE是△ABC的中位线,D E 是△ADE的中位线,D E 是△AD E 的中位线,
1 1 2 2 1 1
……
1 1
∴h=1+ =2- ,
2 2 21
1 1 1
h=1+ + =2- ,
3 2 22 22
1 1 1 1
h=1+ + + =2- ,
4 2 22 23 23
……
1 1 1 1
h =1+ + +…+ =2- .
2 015 2 22 22 014 22 014
故选D.
评析 本题为探索规律题,主要考查折叠的性质及三角形中位线的性质等.
11.A ∵二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方,在6<x<7这一段
位于x轴的上方,
5 13
∴当 x= 时,二次函数 y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象位于 x 轴的下方;当 x= 时,二次函数
2 2
y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象位于x轴的上方,
{ a (5 -4 ) 2 -4<0, {a< 16 ,
2 9 16 16
∴ ⇒ ⇒ <a< .
a (13 -4 ) 2 -4>0 a> 16 25 9
2 25
结合各选项知a的值为1.故选A.
12.A 如图,设原住房平面图长方形的周长为 2l,①的长和宽分别为a,b,②③的边长分别为
c,d.
{
a=c+d,(i)
根据题意,得 c=b+d,(ii)
a+b+2c=l,(iii)
(i)-(ii),得a-c=c-b⇒a+b=2c,
1
将a+b=2c代入(iii),得4c=l⇒2c= l(定值),
21 1
将2c= l代入a+b=2c,得a+b= l⇒2(a+b)=l(定值),
2 2
而由已列方程组得不到d,
∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②.
故选A.
二、填空题
13.答案 2
解析 根据立方根的定义,求数a的立方根,也就是求一个数x,使得x3=a.
∵23=8,∴8的立方根是2.
14.答案 (x-3)(x+3)
解析 x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
15.答案 假
解析 对角线相等的平行四边形是矩形,而对角线相等的四边形也可能是等腰梯形,故命题
“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.
16.答案 9+3√3
AD
解析 在Rt△ACD中,∵tan∠ACD= ,
DC
√3
∴AD=DC·tan∠ACD=9·tan 30°=9× =3√3(m).
3
BD
在Rt△BCD中,∵tan∠BCD= ,
DC
∴BD=DC·tan∠BCD=9·tan 45°=9×1=9(m).
∴AB=AD+BD=(3√3+9)m.
25
17.答案
4
解析 连结EO,并延长交AD于点H,连结AO.
∵四边形ABCD是矩形,☉O与BC边相切于点E,
∴EH⊥BC,∵AB∥BC,∴EH⊥AD.根据垂径定理,得AH=DH.
∴ AABH==86,,AHDE==81.2,∵
设☉O的半径为r,则AO=r,OH=8-r.
25
在Rt△OAH中,由勾股定理得(8-r)2+62=r2,解得r= .
4
25
∴☉O的半径为 .
4
18.答案 6
解析 采用特称值法,取点C的横坐标为1,a
∵点C在反比例函数y= (a>0)的图象上,
x
∴点C的坐标为(1,a).
∵CD∥x轴,C、D在y轴的两侧,CD=2,
∴点D的横坐标为-1.
b
∵点D在反比例函数y= (b<0)的图象上,
x
∴点D的坐标为(-1,-b).
∵AB∥CD∥x轴,AB与CD的距离为5,
∴点A的纵坐标为-b-5.
a
∵点A在反比例函数y= (a>0)的图象上,
x
∴点A的坐标为( a ).
- ,-b-5
b+5
∵AB∥x轴,A、B在y轴的两侧,AB=3,
a 3b+15-a
∴点B的横坐标为- +3= .
b+5 b+5
b
∵点B在反比例函数y= (b<0)的图象上,
x
∴点B的坐标为(3b+15-a b2+5b ).
,
b+5 3b+15-a
{
a=-b,
∴
⇒-b-5=b2+5b.
b2+5b
-b-5= 4b+15
3b+15-a
∵b+5≠0,∴-4b-15=b⇒b=-3,∴a=3.
∴a-b=6.
三、解答题
{1+x>-2,①
19.解析
2x-1
≤1,②
3
由①得x>-3,由②得x≤2.(4分)
∴原不等式组的解集为-3<x≤2.(5分)
(6分)
1
20.解析 (1)由题意得,2÷ =4(个).
2
∴布袋里共有4个球.
∵4-2-1=1,∴布袋里有1个红球.(4分)
(2)2个白球记为白1,白2.画树状图如下:
(6分)
由图可知,共有12种等可能情况,两次都摸到的球都是白球的情况有2种,
1
∴任意摸出2个球刚好都是白球的概率是 .(8分)
6
21.解析 (1)10÷25%=40(人).
答:本次被调查的学生人数为40.(2分)
(2)40×30%=12(人),40-10-15-12=3(人).
补全条形统计图:
(6分)
(3)1 200×(15 12)=90(人).
-
40 40
答:估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多90人.(8分)
22.解析 (1)设B花木的数量是x棵,则A花木的数量是(2x-600)棵,
根据题意得x+(2x-600)=6 600,(2分)
解得x=2 400,2x-600=4 200.
答:A花木的数量是4 200棵,B花木的数量是2 400棵.(5分)
4 200 2 400
(2)设安排y人种植A花木,则安排(26-y)人种植B花木,根据题意得 = ,解
60 y 40(26- y)
得y=14.(8分)
经检验,y=14是原方程的根,且符合题意.
26-y=12.
答:安排14人种植A花木,12人种植B花木,才能确保同时完成各自的任务.(10分)
23.解析 (1)证明:∵y=(x-m)2-(x-m)=(x-m)(x-m-1),(2分)
∴令y=0,得x=m,x =m+1.
1 2
∵m≠m+1,
∴抛物线与x轴一定有两个公共点(m,0),(m+1,0).(4分)
(2)①∵y=(x-m)(x-m-1)=x2-(2m+1)x+m(m+1),
-(2m+1) 5
∴抛物线的对称轴为直线x=- = ,解得m=2,(6分)
2 2
∴抛物线的函数解析式为y=x2-5x+6.(8分)②y=x2-5x+6=( 5) 2-1,
x-
2 4
1
∴该抛物线沿y轴向上平移 个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.(10分)
4
24.解析 (1)
(6分)
(2)三角形:a=4,b=6,S=6;
平行四边形:a=3,b=8,S=6;
菱形:a=5,b=4,S=6.
1
任选两组数据代入S=ma+nb-1,解得m=1,n= .(10分)
2
25.解析 (1)证明:∵∠MON=90°,P是∠MON的平分线上一点,
1
∴∠AOP=∠BOP= ∠MON=45°.
2
∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°,
∴∠OAP+∠APO=135°.
∵∠APB=135°,∴∠APO+∠OPB=135°,
∴∠OAP=∠OPB,∴△AOP∽△POB,(2分)
OA OP
∴ = ,∴OP2=OA·OB,
OP OB
∴∠APB是∠MON的智慧角.(3分)
(2)∵∠APB是∠MON的智慧角,
OA OP
∴OA·OB=OP2,∴ = .
OP OB
∵P为∠MON的平分线上一点,∠MON=α,
1
∴∠AOP=∠BOP= α.
2
∴△AOP∽△POB,∴∠OAP=∠OPB,
1
∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°- α,
2
1
即∠APB=180°- α.(5分)
2
过A作AG⊥OB于G,1 1 1
∴S = OB·AG= OB·OAsin α= OP2·sin α.
△AOB
2 2 2
∵OP=2,∴S =2sin α.(7分)
△AOB
(3)设点C(a,b),则ab=3,
过点C作CH⊥OA,垂足为点H,
i)当点B在y轴的正半轴上时,
当点A在x轴的负半轴上时,BC=2CA不可能;
当点A在x轴的正半轴上时,
CA 1
∴ BC==2CA, ,∵
AB 3
∵CH∥OB,∴△ACH∽△ABO,
CH AH CA 1 3a
∴ = = = ,∴OB=3b,OA= .
OB OA AB 3 2
3a 9ab 27
∴OA·OB= ·3b= = .
2 2 2
∵∠APB是∠AOB的智慧角,
√27 3√6
∴OP=√OA·OB= = ,
2 2
∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,
∴点P的坐标为(3√3 3√3).(10分)
,
2 2
ii)当点B在y轴的负半轴上时,
∴ BACB==2CCAA.,∵
∵∠AOB=∠AHC=90°,
又∵∠BAO=∠CAH,∴△ACH≌△ABO,
1
∴OB=CH=b,OA=AH= a,
21 3
∴OA·OB= a·b= .
2 2
∵∠APB是∠AOB的智慧角,
√3 √6
∴OP=√OA·OB= = ,
2 2
∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,
∴点P的坐标为(√3 √3).
,-
2 2
综上,点P的坐标为(3√3 3√3)或(√3 √3).(12分)
, ,-
2 2 2 2
评析 本题是阅读理解型新定义问题,考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和
性质、锐角三角函数定义、反比例函数的性质、曲线上点的坐标与方程的关系等知识,以及
分类讨论思想的应用.
26.解析 (1)①连结DM,MC,∵OM为直径,
∴∠MDO=∠MCO=90°.
∵∠AOB=90°,∴MD∥OA,MC∥OB.
∵M是AB的中点,∴D是OB的中点,C是OA的中点.
∴ MOB(3=,24M),∵C=8,OA=2MD=6,
∴B(0,8),A(6,0).(3分)
②在Rt△AOB中,OA=6,OB=8,∴AB=10.
1
∵M是AB的中点,∴BM= AB=5.
2
∵∠BOM=∠BED,又∵∠OBM=∠EBD,
BM BO
∴△OBM∽△EBD,∴ = .
BD BE
BO·BD 8×4
∴BE= = =6.4,
BM 5
∵ME=BE-BM,
∴ME=6.4-5=1.4.(6分)
OK
(2)连结DP,∵ =3,∴OK=3MK,OM=4MK,
MK
∴PK=MK.∵OP=PM,BD=DO,
∴DP为△BOM的中位线,∴DP∥BM.
∴∠PDK=∠MEK.又∵∠PKD=∠MKE,PK=MK,∴△DPK≌△EMK,∴DK=KE.
PK
∵OM为直径,∴OM⊥DE,∴cos∠DPK= .
PD
1
∵DP=PM=2PK,∴cos∠DPK= .
2
∴∠DPK=60°,∠DOM=30°.
∵在Rt△AOB中,M为AB的中点,
∴BM=MO,∴∠OBA=∠DOM,∴∠OBA=30°.(10分)
2
(3)y关于x的函数解析式为y= (0<x<1).(14分)
1-x2
下列解答过程仅供参考:连结OE,
∵OM为直径,∴∠MEO=90°.
设BE=1,则在Rt△OBE中,
OE=BE·tan∠OBA=x.
设BM=OM=m,∴ME=BE-BM=1-m.
∴在Rt△OME中,(1-m)2+x2=m2,
1+x2
∴m= ,
2
1-x2 1 1 1+x2
∴ME=1-m= ,DP= BM= m= .
2 2 2 4
1+x2
PK DP 4 1+x2
又易知△DPK∽△EMK,∴ = = = ,
KM ME 1-x2 2(1-x2)
2
∴MP=PK+MK= PK +1=1+x2+2(1-x2)= 3-x2 .
MK MK MK 2(1-x2) 2(1-x2)
∵P为MO的中点,
∴OM=2MP=3-x2
.
MK MK 1-x2
∴y=OK =OM-MK=(3-x2)-(1-x2)= 2 .
MK MK 1-x2 1-x2
2
∴y关于x的函数解析式为y= (0<x<1).
1-x2
