2016 年杭州市初中毕业升学文化考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.√9=( )
A.2 B.3 C.4 D .5
2.如图,已知直线a∥b∥c,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C;直线n分别交直线a,b,c于点
AB 1 DE
D,E,F.若 = ,则 =( )
BC 2 EF
1 1 2
A. B. C. D.1
3 2 3
3.下列选项中,如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )
4.下图是某市2016年四月份每日的最低气温(℃)的统计图,则在四月份每日的最低气温这组
数据中,中位数和众数分别是( )
A.14 ℃,14 ℃ B.15 ℃,15 ℃
C.14 ℃,15 ℃ D.15 ℃,14 ℃
5.下列各式的变形中,正确的是( )A.x2·x3=x6 B. =|x|
√x2
C.(
x2-
1)÷x=x-1D.x2-x+1=(
x-
1) 2+1
x 2 4
6.已知甲煤场有煤518吨,乙煤场有煤106吨,为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍,需要从甲
煤场运煤到乙煤场.设从甲煤场运x吨煤到乙煤场,则可列方程为( )
A.518=2(106+x) B.518-x=2×106
C.518-x=2(106+x)D.518+x=2(106-x)
k 1
7.设函数y= (k≠0,x>0)的图象如图所示.若z= ,则z关于x的函数图象可能为( )
x y
8.如图,已知AC是☉O的直径,点B在圆周上(不与A,C重合),点D在AC的延长线上,连接BD
交☉O于点E.若∠AOB=3∠ADB,则( )
A.DE=EB B.√2DE=EB
C.√3DE=DO D.DE=OB
9.已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m<n),过锐角顶点把该纸片剪成两个
三角形.若这两个三角形都为等腰三角形,则( )
A.m2+2mn+n2=0 B.m2-2mn+n2=0
C.m2+2mn-n2=0 D.m2-2mn-n2=0
10.设a,b是实数,定义关于@的一种运算如下:a@b=(a+b)2-(a-b)2,则下列结论:
①若a@b=0,则a=0或b=0;
②a@(b+c)=a@b+a@c;
③不存在实数a,b,满足a@b=a2+5b2;
④设a,b是矩形的长和宽,若该矩形的周长固定,则当a=b时,a@b的值最大.
其中正确的是( )
A.②③④ B.①③④C .①②④ D.①②③第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分.
11.tan 60°= .
12.已知一包糖果共有五种颜色(糖果仅有颜色差别),下图是这包糖果颜色分布百分比的统计
图.在这包糖果中任取一粒糖果,则取出的糖果的颜色为绿色或棕色的概率是 .
13.若整式x2+ky2(k为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分解,则k的值可以是
(写出一个即可).
14.在菱形ABCD中,∠A=30°,在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形
BDE,则∠EBC的度数为 .
15.在平面直角坐标系中,已知A(2,3),B(0,1),C(3,1).若线段AC与BD互相平分,则点D关于坐标
原点的对称点的坐标为 .
2 {x- y=3-n,
16.已知关于x的方程 =m的解满足 (0<n<3).若y>1,则m的取值范围是
x x+2y=5n
.
三、解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分6分)
计算6÷( 1 1).
- +
2 3
方方同学的计算过程如下:原式=6÷( 1)+6÷1
-
2 3
=-12+18
=6.
请你判断方方的计算过程是否正确,若不正确,请你写出正确的计算过程.
18.(本小题满分8分)
某汽车厂去年每个季度汽车销售数量(辆)占当季汽车产量(辆)百分比的统计图如图所示.根据
统计图回答下列问题:
(1)若第一季度的汽车销售数量为2 100辆,求该季度的汽车产量;
(2)圆圆同学说:“因为第二,第三这两个季度汽车销售数量占当季汽车产量的百分比从75%
降为50%,所以第二季度的汽车产量一定高于第三季度的汽车产量.”你觉得圆圆说得对吗?
为什么?19.(本小题满分8分)
如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B.射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,
AD DF
且 = .
AC CG
(1)求证:△ADF∽△ACG;
AD 1 AF
(2)若 = ,求 的值.
AC 2 FG
20.(本小题满分10分)
把一个足球垂直于水平地面向上踢,时间为t(秒)时该足球距离地面的高度 h(米)适用公式
h=20t-5t2(0≤t≤4).
(1)当t=3时,求足球距离地面的高度;
(2)当足球距离地面的高度为10米时,求t的值;
(3)若存在实数t 和t (t ≠t ),当t=t 或t 时,足球距离地面的高度都为m(米),求m的取值范围.
1 2 1 2 1 221.(本小题满分10分)
如图,已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DC上,点A,D,G在同一条直线
上,且AD=3,DE=1.连接AC,CG,AE,并延长AE交CG于点H.
(1)求sin∠EAC的值;
(2)求线段AH的长.
22.(本小题满分12分)
已知函数y =ax2+bx,y =ax+b(ab≠0).在同一平面直角坐标系中:
1 2
(1)若函数y 的图象过点(-1,0),函数y 的图象过点(1,2),求a,b的值;
1 2
(2)若函数y 的图象经过y 的图象的顶点.
2 1
①求证:2a+b=0;
3
②当1<x< 时,比较y 与y 的大小.
1 2
2
23.(本小题满分12分)
在线段AB的同侧作射线AM和BN,若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN,AM于点
E,F,AE和BF交于点P.如图,点点同学发现当射线AM,BN交于点C,且∠ACB=60°时,有以下两
个结论:①∠APB=120°;②AF+BE=AB.
那么,当AM∥BN时:
(1)点点发现的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请求出∠APB的度数,写出线段
AF,BE,AB长度之间的等量关系,并给予证明;
(2)设点Q为线段AE上一点,QB=5.若AF+BE=16,四边形ABEF的面积为32√3,求AQ的长.答案全解全析：
一、选择题
1.B √9=3.故选B.
评析 本题主要考查算术平方根的概念,直接计算出√9=3,注意区分平方根与算术平方根.
AB DE AB 1 DE 1
2.B ∵a∥b∥c,∴ = ,又∵ = ,∴ = ,故选B.
BC EF BC 2 EF 2
评析 本题考查平行线分线段成比例,关键是找准对应线段.
3.A 题图是横放着的一个圆柱体,它的主视图是一个长方形,俯视图也是一个与主视图全等
的长方形,它的左视图是一个圆形(不带圆心),故选A.
评析 本题考查了简单几何体的三视图的概念和画法,属于容易题.
4.A 这列数据从小到大排列是5个12 ℃,2个13 ℃,12个14 ℃,3个15 ℃,4个16 ℃,2个
17 ℃,2个18 ℃,共有30个数据,中位数是第15,16个数据的平均数,所以中位数是14 ℃.众
数是出现次数最多的数据,所以众数是14 ℃,故选A.
评析 本题考查了统计中的“中位数”和“众数”,易错点是将频数当作数据运用,属中等难
度题.
5.B A.x2·x3=x5;B.
√x2
=|x|;C.(
x2-
1)÷x=x- 1 ;D.x2-x+1=(
x-
1) 2 +3.故选B.
x x2 2 4
评析 本题涉及的知识点有同底数幂的乘法,整式、分式的运算和二次根式的性质等.
6.C 首先表示出甲、乙煤场变化后煤的吨数,再找到等量关系:甲煤场现有煤吨数=乙煤场现
有煤吨数×2,所以列方程为518-x=2(106+x),故选C.
评析 本题考查列一元一次方程解应用题,关键是找准等量关系,可以列表来分析数量关系.
1
k 1 1
7.D ∵y= (k≠0,x>0),∴z= =k = x(k≠0,x>0),
x y k
x
又由题图可知k>0, ∴选D.
8.D 连接OE,∠AOB=∠ADB+∠B=3∠ADB,
∴∠B=2∠ADB,∵OE=OB,
∴∠OEB=∠B=2∠ADB=∠ADB+∠EOC,∴∠ADB=∠EOC,∴DE=EO,∴DE=OB.故选D.
9.C 根据题意画图,如图.在 Rt△ABC 中,n>m 且△ABE 和△AEC 均为等腰三角形,
∴AB=BE=m,则 AE=EC=n-m,根据勾股定理可得 AE=√2AB,即 n-m=√2m,两边平方整理
得,m2+2mn-n2=0,故选C.
评析 本题是直角三角形与等腰三角形性质的综合应用,涉及勾股定理和等式变形、等腰直
角三角形的三边特殊性,关键是画出草图,挖掘题意和条件.
10.C ①a@b=(a+b)2-(a-b)2=4ab=0,则a=0或b=0,∴①正确.
②左边:a@(b+c)=(a+b+c)2-(a-b-c)2=2a(2b+2c)=4a(b+c),
右边:a@b+a@c=(a+b)2-(a-b)2+(a+c)2-(a-c)2=4ab+4ac=4a(b+c),左边=右边,∴②正确.
③a@b=(a+b)2-(a-b)2=4ab,
若a2+5b2=4ab,则a2-4ab+4b2+b2=0,
∴(a-2b)2+b2=0,∴a=2b=0,∴当a=0,b=0时,等式成立.
∴③不正确.
④∵a,b 是矩形的长和宽,若矩形的周长固定,即 a+b 的值固定,则当 a=b 时,ab 最大,
∴a@b=4ab最大,故④正确.
评析 根据题意,把各选项进行推导和计算得出结果,即可作出判断.
二、填空题
11.答案 √3
解析 tan 60°=√3.
评析 考查特殊角的三角函数值,属于容易题.
1
12.答案
2
解析 棕色糖果的百分比为1-20%-15%-30%-15%=20%.∴任取一粒糖果,颜色为绿色或棕
1
色的概率为20%+30%=50%= .
2
评析 本题考查概率的简单问题.属于容易题.
13.答案 -1(答案不唯一)
解析 若x2+ky2能在有理数范围内因式分解,则利用平方差公式分解因式,因此k为负数,且k
1
的绝对值是某自然数或分数的平方数,如- ,-1,-4,-9等.
4
评析 本题考查因式分解的概念和简单的因式分解,关键是确定k的符号和发现用平方差公
式分解因式,属于中档题.
14.答案 45°或105°
解析 根据题意,知点E所在位置有2种可能,在DB的左边或右边,如图.
∵在菱形ABCD中,∠A=30°,∴∠ADC=∠ABC=150°,BD平分∠ADC,∠ABC,
∴∠ADB=∠ABD=∠CDB=∠CBD=75°,
又∵以DB为底边的等腰三角形DBE的顶角∠DEB=120°,
∴∠EDB=∠EBD=30°,∴∠EBC=75°-30°=45°或∠EBC=30°+75°=105°.评析 本题考查菱形的有关性质和等腰三角形的性质,以及分类讨论思想.
15.答案 (-5,-3)
解析 由线段AC与BD互相平分,可得四边形ABCD为平行四边形,D的坐标为(5,3),再求出
点D关于原点O的对称点的坐标为(-5,-3).
2 2
16.答案 <m<
5 3
{x- y=3-n, { x=n+2,
解析 由 得
x+2y=5n y=2n-1,
又∵y>1且0<n<3,∴2n-1>1,∴1<n<3.
∴3<n+2<5,
2 2 2
即3<x<5,即3< <5,∴ <m< .
m 5 3
评析 本题涉及不等式及含参方程,关键是分别用含n的式子表示出x,y,再结合y与n的取
2
值范围,以及x与m之间的关系式 =m,即可推导出m的取值范围.
x
三、解答题
17.解析 方方同学的计算过程错误.
正确的计算过程如下:
原式=6÷( 3 2)=6÷( 1)=6×(-6)=-36.
- + -
6 6 6
评析 本题考查计算的顺序与运算律,属容易题.
18.解析 (1)2 100÷0.7=3 000(辆),所以第一季度的产量为3 000辆.
(2)圆圆的说法不对.
因为百分比仅能够表示所要考察的数据在总量中所占的比例,并不能反映总量的大小.
评析 本题涉及折线统计图,主要是找准数量关系,另外,理解“百分比”的意义.
19.解析 (1)证明:因为∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,
AD DF
所以∠ADF=∠C,又因为 = ,
AC CG
所以△ADF∽△ACG.
AD AF
(2)因为△ADF∽△ACG,所以 = ,
AC AG
AD 1 AF 1
又因为 = ,所以 = ,
AC 2 AG 2
AF
所以 =1.
FG
20.解析 (1)当t=3时,h=20t-5t2=20×3-5×9=15,
所以,此时足球离地面的高度为15米.
(2)由题意知h=10,所以20t-5t2=10,
即t2-4t+2=0,解得t=2+√2或t=2-√2.
所以,经过(2+√2)或(2-√2)秒时,足球距离地面的高度为10米.
(3)因为m≥0,由题意得t 和t 是方程20t-5t2=m的两个不相等的实数根,所以b2-4ac=202-
1 2
20m>0,所以m<20.
所以m的取值范围是0≤m<20.评析 本题考查二次函数的简单应用,代入公式求代数式的值,解一元二次方程等.
21.解析 (1)由题意知EC=2,AE=√10.
过点E作EM⊥AC于点M,
所以∠EMC=90°,易知∠ACD=45°,所以△EMC是等腰直角三角形,
所以EM=√2,
EM √5
所以sin∠EAC= = .
AE 5
(2)在△GDC与△EDA中,
{
DG=DE,
∠GDC=∠EDA,所以△GDC≌△EDA,所以∠GCD=∠EAD,
DC=DA,
又因为∠HEC=∠DEA,所以∠EHC=∠EDA=90°,
所以AH⊥GC.
1 1
因为S = ·AG·DC= ·GC·AH,
△AGC
2 2
1 1
所以 ×4×3= ×√10·AH,
2 2
6√10
所以AH= .
5
评析 本题是正方形与三角形的综合题.涉及等腰直角三角形和三角函数,全等三角形的判定
与性质,以及利用等积法求线段的长度.
{a-b=0, {a=1,
22.解析 (1)由题意,得 解得
a+b=2, b=1,
所以a=1,b=1.
(2)①证明:因为函数y 的图象的顶点坐标为( b -b2 ),
1 - ,
2a 4a
所以a( b )+b=-b2,即b=-b2,
-
2a 4a 2a
因为ab≠0,所以-b=2a,
所以2a+b=0.
②因为b=-2a,所以y =ax(x-2),y =a(x-2),
1 2
所以y -y =a(x-2)(x-1).
1 2
3
因为1<x< ,所以x-2<0,x-1>0,所以(x-2)(x-1)<0.
2
所以当a>0时,a(x-2)(x-1)<0,即y <y ,
1 2
当a<0时,a(x-2)(x-1)>0,即y >y .
1 2
23.解析 (1)原结论不成立,新结论:∠APB=90°;AF=BE=AB(或AF+BE=2AB等).
理由如下:如图.
因为AM∥BN,所以∠MAB+∠NBA=180°,
因为AE,BF分别平分∠MAB,∠NBA,
1 1
所以∠EAB= ∠MAB,∠FBA= ∠NBA,
2 21
所以∠EAB+∠FBA= (∠MAB+∠NBA)=90°,
2
所以∠APB=90°.
如图,因为AE平分∠MAB,
所以∠MAE=∠BAE.
因为AM∥BN,所以∠MAE=∠BEA,
所以∠BAE=∠BEA,
所以AB=BE.同理,AF=AB,
所以AF=BE=AB(或AF+BE=2AB).
(2)过点F作FG⊥AB于点G,
因为AF=BE,AF∥BE,
所以四边形ABEF为平行四边形,由(1)知AF=AB,
所以四边形ABEF为菱形.
又AF+BE=16,
所以AB=AF=BE=8.
由32√3=8FG,得FG=4√3,
又因为AF=8,所以∠FAG=60°,
当点G在线段AB上时,∠FAB=60°,
当点G在线段BA的延长线上时,∠FAB=120°.
①如图,当∠FAB=60°时,∠PAB=30°,
所以PB=4,PA=4√3,
因为BQ=5,∠BPA=90°,
所以PQ=3,所以AQ=4√3-3或AQ=4√3+3.
②如图,当∠FAB=120°时,∠PAB=60°,∠FBG=30°,
所以PB=4√3,
因为PB=4√3>5,则线段AE上不存在符合条件的点Q,
所以当∠FAB=60°时,AQ=4√3-3或4√3+3.
评析 本题是角平分线,平行线,菱形的判定和性质及勾股定理的综合应用.
第(1)问,利用角平分线的性质,平行线的性质易得∠APB=90°,AF=BE=AB.第(2)问,利用第(1)问结论得出四边形ABEF为菱形,由AF+BE=16,得AF=AB=BE=8,根据面积
为32√3得高为4√3,进而利用勾股定理对∠FAB的大小进行讨论,画出图形,求出PQ的长,再
确定AQ的长即可.
