2015 年杭州市各类高中招生文化考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、仔细选一选(本题有10个小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.统计显示,2013年底杭州市各类高中在校学生人数约是 11.4万人,将11.4万用科学记数法
表示应为( )
A.11.4×104 B.1.14×104
C.1.14×105 D.0.114×106
2.下列计算正确的是( )
A.23+26=29 B.23-26=2-3
C.26×23=29 D.26÷23=22
3.下列图形是中心对称图形的是( )
4.下列各式的变形中,正确的是( )
1 1-x
A.(-x-y)(-x+y)=x2-y2 B. -x=
x x
1
C.x2-4x+3=(x-2)2+1 D.x÷(x2+x)= +1
x
5.圆内接四边形ABCD中,已知∠A=70°,则∠C=( )
A.20° B.30° C.70° D.110°
6.若k<√90<k+1(k是整数),则k=( )
A.6 B.7 C.8 D.9
7.某村原有林地108公顷,旱地54公顷,为保护环境,需把一部分旱地改造为林地,使旱地面积
占林地面积的20%,设把x公顷旱地改为林地,则可列方程( )
A.54-x=20%×108 B.54-x=20%(108+x)
C.54+x=20%×162 D.108-x=20%(54+x)
8.如图是某地2 月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图(当AQI不大于
100时称空气质量为“优良”),由图可得下列说法:①18日的PM2.5浓度最低;②这六天中
PM2.5浓度的中位数是112 μg/m3;③这六天中有4天空气质量为“优良”;④空气质量指数
AQI与PM2.5浓度有关,其中正确的说法是( )A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
9.如图,已知点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点,连结任意两点均可得到一条线段,
在连结两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为√3的线段的概率为( )
1 2 2 5
A. B. C. D.
4 5 3 9
10.设二次函数y=a(x-x )(x-x )(a≠0,x≠x)的图象与一次函数y=dx+e(d≠0)的图象交于点(x,0),
1 1 2 1 2 2 1
若函数y=y+y 的图象与x轴仅有一个交点,则( )
1 2
A.a(x -x)=d B.a(x -x)=d
1 2 2 1
C.a(x -x)2=d D.a(x +x)2=d
1 2 1 2
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分)
11.数据1,2,3,5,5的众数是 ,平均数是 .
12.分解因式:m3n-4mn= .
13.函数y=x2+2x+1,当y=0时,x= ;当1<x<2时,y随x的增大而 (填写“增
大”或“减小”).
14.如图,点A,C,F,B在同一直线上,CD平分∠ECB,FG∥CD.若∠ECA为α度,则∠GFB为
度(用关于α的代数式表示).
2
15.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设点P(1,t)在反比例函数y= 的图象上,过点P作直线
x
k
l与x轴平行,点Q在直线 l上,满足 QP=OP,若反比例函数 y= 的图象经过点 Q,则k=
x
.
16.如图,在四边形纸片ABCD中,AB=BC,AD=CD,∠A=∠C=90°,∠B=150°.将纸片先沿直线BD
对折,再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪,剪开后的图形打开铺平.若铺平后的
图形中有一个是面积为2的平行四边形,则CD= .三、全面答一答(本题有7个小题,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.(本小题满分6分)
杭州市推行垃圾分类已经多年,但在厨余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾.如图
是杭州市某一天收到的厨余垃圾的统计图.
(1)试求出m的值;
(2)杭州市那天共收到厨余垃圾约200吨,请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数.
18.(本小题满分8分)
如 图 , 在 △ ABC 中 , 已 知 AB=AC,AD 平 分 ∠ BAC, 点 M,N 分 别 在 AB,AC 边
上,AM=2MB,AN=2NC.求证:DM=DN.19.(本小题满分8分)
如图1,☉O的半径为r(r>0),若点P'在射线OP上,满足OP'·OP=r2,则称点P'是点P关于☉O的
“反演点”.如图2,☉O的半径为4,点B在☉O上,∠BOA=60°,OA=8,若点A',B'分别是点A,B
关于☉O的反演点,求A'B'的长.
图1
图2
20.(本小题满分10分)
设函数y=(x-1)[(k-1)x+(k-3)](k是常数).
(1) 当k取1和2时的函数y 和y 的图象如图所示,请你在同一直角坐标系中画出当k取0
1 2
时函数的图象;
(2)根据图象,写出你发现的一条结论;
(3)将函数y 的图象向左平移4个单位,再向下平移2个单位,得到函数y 的图象,求函数y 的
2 3 3最小值.
21.(本小题满分10分)
“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些
三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度.
(1) 用记号(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位
长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三角形;
(2)用直尺和圆规作出三边满足a<b<c的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).
22.(本小题满分12分)
如图,在△ABC中(BC>AC),∠ACB=90°,点D在AB边上,DE⊥AC于点E.
AD 1
(1)若 = ,AE=2,求EC的长;
DB 3
(2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F,C,G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相
等,FG交CD于点P.问:线段CP可能是△CFG的高线还是中线?或两者都有可能?请说明理由.23.(本小题满分12分)
方成同学看到一则材料:甲开汽车,乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地.设乙行
驶的时间为t(h),甲乙两人之间的距离为y(km),y与t的函数关系如图1所示.
方成思考后发现了图1的部分正确信息:乙先出发1 h;甲出发0.5小时与乙相遇;…….
请你帮助方成同学解决以下问题:
(1)分别求出线段BC,CD所在直线的函数表达式;
(2)当20<y<30时,求t的取值范围;
(3)分别求出甲,乙行驶的路程S ,S 与时间t的函数表达式,并在图2所给的直角坐标系中分
甲 乙
别画出它们的图象;
4
(4)丙骑摩托车与乙同时出发,从N地沿同一条公路匀速前往M地.若丙经过 h与乙相遇.问
3
丙出发后多少时间与甲相遇?
图1
图2答案全解全析：
一、仔细选一选
1.C 11.4万=114 000=1.14×105.故选C.
2.C 根据有理数的运算法则逐一计算作出判断.
23+26=8+64=72≠29,所以选项A错误;23-26=8-64=-56≠2-3,所以选项B错误;26×23=26+3=29,所以选
项C正确;26÷23=23≠22,所以选项D错误.故选C.
3.A 根据中心对称图形的概念知,中心对称图形绕对称中心旋转180度后能与原图形重合.
故选A.
1 1-x2 1-x
4.A (-x-y)(-x+y)=(x+y)(x-y)=x2-y2,选项 A正确; -x= ≠ ,选项 B错误;x2-4x+3=x2-
x x x
x 1 1
4x+4-1=(x-2)2-1≠(x-2)2+1,选项C错误;x÷(x2+x)= = ≠ +1,选项D错误.故选A.
x2+x x+1 x
5.D ∵在圆内接四边形ABCD中,∠A=70°,
∴根据圆内接四边形对角互补这一性质,得∠C=110°.故选D.
6.D ∵81<90<100⇒√81<√90<√100⇒9<√90<10,∴k=9.故选D.
7.B 根据题意知,把x公顷旱地改为林地后,旱地面积变为(54-x)公顷,林地面积变为(108+x)
公顷,且旱地面积占林地面积的20%,则可列方程54-x=20%(108+x).故选B.
8.C 根据题中两个折线统计图对各说法作出判断:①18日的PM2.5浓度最低,说法正确;②这
六天中PM2.5浓度数据按从小到大排列为:25,66,67,92,144,158,中位数是第3,4个数的平均数,
67+92
为 =79.5 μg/m3,说法错误;③这六天中有4天空气质量为“优良”,说法正确;④空气
2
质量指数AQI与PM2.5浓度有关,说法正确.∴正确的说法是①③④.
故选C.
9.B6
如图,∵连结正六边形任意两个顶点可得15条线段,其中6条线段长度为√3,∴所求概率为
15
2
= .故选B.
5
10.B ∵一次函数 y=dx+e(d≠0)的图象经过点(x,0),∴0=dx +e⇒e=-dx .∴y =dx-dx =d(x-
2 1 1 1 2 1
x).∴y=y +y=a(x-x )·(x-x)+d(x-x )=(x-x )[a(x-x )+d].又∵二次函数 y=a(x-x )(x-x )(a≠0,x≠x)
1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2
的图象与一次函数y=dx+e(d≠0)的图象交于点(x,0),函数y=y+y 的图象与x轴仅有一个交
2 1 1 2
点,∴函数 y=y+y 是二次函数,且它的顶点在 x 轴上,即 y=y+y=a(x-x )2.∴(x-x )[a(x-
1 2 1 2 1 1
x)+d]=a(x-x )2⇒a(x-x )+d=a(x-x ).整理得a(x -x)=d.故选B.
2 1 2 1 2 1
二、认真填一填
16
11.答案 5;
5
解析 众数是在一组数据中,出现次数最多的数据.这组数据中5出现两次,出现的次数最多,
故这组数据的众数是5.平均数是指在一组数据中,所有数据之和再除以数据的个数.故这组数
1+2+3+5+5 16
据的平均数是 = .
5 5
12.答案 mn(m+2)(m-2)
解析 m3n-4mn=mn(m2-4)=mn(m+2)(m-2).
13.答案 -1;增大
解析 函数y=x2+2x+1,当y=0时,x2+2x+1=0,解得x=-1.易知二次函数的图象开口向上,对称轴
是x=-1,∴在对称轴右侧y随x的增大而增大.∴当1<x<2时,y随x的增大而增大.
α
14.答案 90-
2
解析 ∵∠ECA=α 度,∴∠ECB=(180-α)度.∵CD 平分∠ECB,∴∠DCB=1∠ECB=( α)
90-
2 2
度.∵FG∥CD,
∴∠GFB=∠DCB=( α)度.
90-
2
15.答案 2+2√5或2-2√5
2 2
解析 ∵点P(1,t)在反比例函数y= 的图象上,∴t= =2.∴P(1,2).∴OP=√5.∵过点P作直线l与
x 1
k
x轴平行,点Q在直线l上,满足QP=OP,∴Q点坐标为(1+√5,2)或(1-√5,2).∵反比例函数y= 的
x
图象经过点 Q,∴当 Q 点坐标为(1+√5,2)时,k=(1+√5)×2=2+2√5;当 Q 点坐标为(1-√5,2)
时,k=(1-√5)×2=2-2√5.16.答案 2√3+4或2+√3
解析 ∵四边形纸片ABCD中,∠A=∠C=90°,∠B=150°,∴∠D=30°.根据题意对折、裁剪、铺
平后有两种情况得到平行四边形:如图1,剪痕BM、BN,过点N作NH⊥BM于点H,易证四边
1 1
形BMDN为菱形,且∠MBN=∠D=30.设BN=DN=x,则NH= x.根据题意,得x· x=2⇒x=2(负值
2 2
舍去),∴BN=DN=2,NH=1.易证四边形 BHNC 是矩形,∴BC=NH=1.∴在 Rt△BCN 中,CN=√3
.∴CD=2+√3.
图1
如图2,剪痕AE、CE,过点B作BH⊥CE于点H,易证四边形BAEC是菱形,且∠BCH=30°.设
1 1
BC=CE=x,则BH= x.根据题意,得x· x=2⇒x=2(负值舍去),∴BC=CE=2,BH=1.∴在Rt△BCH
2 2
CD BC CD 2
中 ,CH=√3,∴EH=2-√3. 易 证 △ BCD∽△EHB,∴ = , 即 = .∴CD=2
HB EH 1 2-√3
(2+√3)
=4+2√3.
(2-√3)(2+√3)
综上所述,CD=2+√3或4+2√3.
图2
评析 本题主要考查剪纸问题,多边形内角和定理,轴对称的性质,菱形、矩形的判定和性质,
含30度角的直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,分类思想和方程思想的应用.
三、全面答一答
17.解析 (1)m=100-(22.39+0.9+7.55+0.15)=69.01.
(2)其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数约等于200×0.9%=1.8(吨).
2 2
18.证明 因为AM=2MB,所以AM= AB,同理AN= AC,
3 3
又因为AB=AC,所以AM=AN.
因为AD平分∠BAC,所以∠MAD=∠NAD.
{
AM=AN,
在△AMD和△AND中, ∠MAD=∠NAD,
AD=AD,
所以△AMD≌△AND,所以DM=DN.
19.解析 因为OA'·OA=16,且OA=8,所以OA'=2.同理可知,OB'=4,即B点的反演点B'与B重
合,设OA交☉O于点M,连结B'M,因为∠BOA=60°,OM=OB',所以△OB'M为正三角形,又因为
点A'为OM 的中点,所以A'B'⊥OM,根据勾股定理,得OB'2=OA'2+A'B'2,即16=4+A'B'2,解得A'B'=2√3.
20.解析 (1)当k=0时,y=-(x-1)(x+3),所画函数图象如图.
(2)①图象都经过点(1,0)和点(-1,4);
②图象总交x轴于点(1,0);
③k取0和2时的函数图象关于点(0,2)中心对称;
④函数y=(x-1)[(k-1)x+(k-3)]的图象都经过点(1,0)和(-1,4);等等.(其他正确结论也行)
(3)平移后的函数y 的表达式为y=(x+3)2-2,所以当x=-3时,函数y 的最小值等于-2.
3 3 3
21.解析 (1)共九种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4).
(2)只有a=2,b=3,c=4的一个三角形.如图的△ABC即为满足条件的三角形.
22.解析 (1)因为∠ACB=90°,DE⊥AC,所以DE∥BC,
AD AE
所以 = .
DB EC
AD 1 2 1
因为 = ,AE=2,所以 = ,
DB 3 EC 3
解得EC=6.
(2)①若∠CFG =∠ECD.
1
此时线段CP 为Rt△CFG 的FG 边上的中线.
1 1 1
证明:因为∠CFG =∠ECD,
1
所以∠CFG =∠FCP ,
1 1
又因为∠CFG +∠CGF=90°,∠FCP +∠PCG=90°,
1 1 1 1 1
所以∠CGF=∠PCG.
1 1 1
所以CP=G P.
1 1 1
又因为∠CFG =∠FCP ,
1 1
所以CP=FP ,
1 1
所以CP=FP =G P,
1 1 1 1
所以线段CP 为Rt△CFG 的FG 边上的中线.
1 1 1
②若∠CFG =∠EDC.
2
此时线段CP 为Rt△CFG 的FG 边上的高线.
2 2 2
证明:因为DE⊥AC,
所以∠DEC=90°,
所以∠EDC+∠ECD=90°,
因为∠CFG =∠EDC,
2所以∠ECD+∠CFG =∠ECD+∠EDC=90°,
2
所以CP⊥FG ,
2 2
即CP 为Rt△CFG 的FG 边上的高线.
2 2 2
③当CD为∠ACB的平分线时,CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线 .
评析 本题主要考查了平行线分线段成比例的性质;直角三角形两锐角的关系;等腰三角形的
判定;分类思想的应用,有一定的难度.尤其分类讨论比较容易遗漏.
23.解析 (1)直线BC的函数表达式为y=40t-60;
直线CD的函数表达式为y=-20t+80.
(2)OA的函数表达式为y=20t(0≤t≤1),
所以点A的纵坐标为20.
当20<y<30时,
即20<40t-60<30或20<-20t+80<30,
9 5
解得2<t< 或 <t<3.
4 2
(3)S =60t-60( 7);
甲 1≤t≤
3
S =20t(0≤t≤4).
乙
所画图象如图.
4 80
(4)当t= 时,S = .丙距M地的路程S 与时间t的函数表达式为S =-40t+80(0≤t≤2).
3 乙 3 丙 丙
7
S =-40t+80与S =60t-60的图象交点的横坐标为 ,
丙 甲 5
7
所以丙出发 h与甲相遇.
5评析 应用待定系数法求线段BC,CD所在直线的函数表达式是函数中比较常见的题目,求
出点A的纵坐标,确定适用的函数,解不等式组求解.本题主要体现了函数与方程、函数与不
等式和数形结合的重要思想.
