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2015 年镇江市初中毕业升学考试
数学试题（含答案全解全析）
一、填空题(本大题共有12小题,每小题2分,共计24分)
1
1. 的倒数是 .
3
2.计算:m2·m3= .
3.已知一个数的绝对值是4,则这个数是 .
4.化简:(1-x)2+2x= .
x+1
5.当x= 时,分式 的值为0.
x-2
6.如图,将等边△OAB绕点O按逆时针方向旋转150°,得到△OA'B'(点A'、B'分别是点A、B的
对应点),则∠1= °.
1
7.数轴上实数b的对应点的位置如图所示,比较大小: b+1 0(用“<”或“>”填空).
2
8.如图,在▱ABCD中,E为AD的中点,BE、CD的延长线相交于点F.若△DEF的面积为1,则
▱ABCD的面积等于 .
9.关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根,则实数a的取值范围是 .
10.如图,AB是☉O的直径,OA=1,AC是☉O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD=
√2-1,则∠ACD= °.
1
11.写一个你喜欢的实数m的值 ,使得事件“对于二次函数y= x2-(m-1)x+3,当x<-3
2
时,y随x的增大而减小”成为随机事件.
12.如图,△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等的等腰三角形,AB=AC=3 cm,BC=2 cm.将
△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△DB C ,连结AC 、BD.如果四边形ABD C 是矩形,
1 1 1 1 1 1 1
那么平移的距离为 cm.二、选择题(本大题共有5小题,每小题3分,共计15分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一
项符合题目要求)
13.230 000用科学记数法表示应为( )
A.0.23×105 B.23×104 C.2.3×105 D.2.3×106
14.由五个小正方体搭成的一个几何体如图所示,它的俯视图是( )
15.计算-3(x-2y)+4(x-2y)的结果是( )
A.x-2y B.x+2y C.-x-2y D.-x+2y
16.有4万个不小于70的两位数,从中随机抽取3 000个数据,统计如下:
数据x 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99
个数 800 1 300 900
平均数 78.1 85 91.9
请根据表格中的信息,估计这4万个数据的平均数约为( )
A.92.16 B.85.23 C.84.73 D.77.97
17.如图,坐标原点 O 为矩形 ABCD 的对称中心,顶点 A 的坐标为(1,t),AB∥x 轴,矩形
A'B'C'D'与矩形ABCD是位似图形,点O为位似中心,点A'、B'分别是点A、B的对应点,
A'B' {mnx+ y=2n+1,
=k.已知关于x,y的二元一次方程组 (m,n是实数)无解.在以m,n为
AB 3x+ y=4
坐标(记为(m,n))的所有的点中,若有且只有一个点落在矩形A'B'C'D'的边上,则k·t的值等于(
)
3 4 3
A. B.1 C. D.
4 3 2三、解答题(本大题共有11小题,共计81分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤)
18.(本小题满分8分)
(1)计算: -(1 ) 0 -2 sin 60°;(2)化简:( 1 )·a2-1.
√16 -π √3 1+
3 a-1 2a
19.(本小题满分10分)
3+x 1 { 3x-1≥x+1,
(1)解方程: = ;(2)解不等式组:
4-x 2 2(2x-1)<5x+1.
20.(本小题满分6分)
某商场统计了今年1~5月A、B两种品牌冰箱的销售情况,并将获得的数据绘制成折线统计
图.
(1)分别求该商场这段时间内A、B两种品牌冰箱月销售量的中位数和方差;
(2)根据计算结果,比较该商场1~5月这两种品牌冰箱月销售量的稳定性.
21.(本小题满分6分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别延长OA、OC到点E、F,使AE=CF,依
次连结B、F、D、E各点.
(1)求证:△BAE≌△BCF;
(2)若∠ABC=50°,则当∠EBA= °时,四边形BFDE是正方形.
22.(本小题满分7分)
活动1:
在一只不透明的口袋中装有标号为1,2,3的3个小球,这些球除标号外都相同,充分搅匀.甲、
乙、丙三名同学按丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球(不放回),摸到1号球胜出.计
算甲胜出的概率.
(注:丙→甲→乙表示丙第一个摸球,甲第二个摸球,乙最后一个摸球)
活动2:
在一只不透明的口袋中装有标号为1,2,3,4的4个小球,这些球除标号外都相同,充分搅匀.请
你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序: → → ,他们按这个顺
序从袋中各摸出一个球(不放回),摸到1号球胜出.则第一个摸球的同学胜出的概率等于
,最后一个摸球的同学胜出的概率等于 .
猜想:
在一只不透明的口袋中装有标号为1,2,3,…,n(n为正整数)的n个小球,这些球除标号外都相同,
充分搅匀.甲、乙、丙三名同学从袋中各摸出一个球(不放回),摸到1号球胜出.
猜想:这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系.
你还能得到什么活动经验?(写出一个即可)
23.(本小题满分6分)
图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.(1)如图2,AE是☉O的直径,用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留
作图痕迹);
(2)在(1)的前提下,连结OD.已知OA=5,若扇形OAD(∠AOD<180°)是一个圆锥的侧面,则这个
圆锥底面圆的半径等于 .
24.(本小题满分6分)
某海域有A、B两个港口,B港口在A港口北偏西30°的方向上,距A港口60海里.有一艘船
从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处.求该船
与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).
25.(本小题满分6分)
k
如图,点M(-3,m)是一次函数y=x+1与反比例函数y= (k≠0)的图象的一个交点.
x
(1)求反比例函数表达式;
(2)点P是x轴正半轴上的一个动点,设OP=a(a≠2),过点P作垂直于x轴的直线,分别交一次函
数、反比例函数的图象于点A、B,过OP的中点Q作x轴的垂线,交反比例函数的图象于点
C,△ABC'与△ABC关于直线AB对称.
①当a=4时,求△ABC'的面积;
②当a的值为 时,△AMC与△AMC'的面积相等.26.(本小题满分7分)
某兴趣小组开展课外活动.如图,A、B两地相距12米,小明从点A出发沿AB方向匀速前进,2
秒后到达点D,此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD,继续按原速行走2秒到达点F,此时他
在同一灯光下的影子仍落在其身后,并测得这个影长为1.2米,然后他将速度提高到原来的
1.5倍,再行走2秒到达点H,此时他(GH)在同一灯光下的影长为BH(点C、E、G在一条直线
上).
(1)请在图中画出光源O点的位置,并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM(不写画法);
(2)求小明原来的速度.27.(本小题满分9分)
【发现】
如果∠ACB=∠ADB=90°,那么点D在经过A、B、C三点的圆上(如图1).
【思考】
如图2,如果∠ACB=∠ADB=α(α≠90°)(点C、D在AB的同侧),那么点D还在经过A、B、C三
点的圆上吗?
请证明点D也不在☉O内.
【应用】
利用【发现】与【思考】中的结论解决问题:
在四边形ABCD中,AD∥BC,∠CAD=90°,点E在边AB上,CE⊥DE.
(1)作∠ADF=∠AED,交CA的延长线于点F(如图4).求证:DF为Rt△ACD的外接圆的切线;
2
(2)如图5,点G在BC的延长线上,∠BGE=∠BAC.已知sin∠AED= ,AD=1,求DG的长.
5
图4 图528.(本小题满分10分)
如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(0,3),且当x=1时,y有最小值2.
(1)求a、b、c的值;
(2)设二次函数y=k(2x+2)-(ax2+bx+c)(k为实数),它的图象的顶点为D.
①当k=1时,求二次函数y=k(2x+2)-(ax2+bx+c)的图象与x轴的交点坐标;
②请在二次函数y=ax2+bx+c与y=k(2x+2)-(ax2+bx+c)的图象上各找出一个点M、N,不论k取
何值,这两个点始终关于x轴对称.直接写出点M、N的坐标(点M在点N的上方);
3
③过点M的一次函数y=- x+t的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于另一个点P,当k为
4
何值时,点D在∠NMP的平分线上?
④当k取-2,-1,0,1,2时,通过计算,得到对应的抛物线y=k(2x+2)-(ax2+bx+c)的顶点分别为(-1,-
6),(0,-5),(1,-2),(2,3),(3,10).请问:顶点的横、纵坐标是变量吗?纵坐标是如何随横坐标的变化
而变化的?
答案全解全析：
一、填空题
1.答案 3
1
解析 1÷ =3.
3
2.答案 m5
解析 m2·m3=m2+3=m5.
3.答案 ±4
解析 正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,所以绝对值是4的数为±4.4.答案 x2+1
解析 原式=1-2x+x2+2x=x2+1.
5.答案 -1
{x+1=0, {x=-1,
解析 由题意得 解得 所以x=-1.
x-2≠0, x≠2,
6.答案 150
解 析 由 题 意 得 ∠ A'OB'=60°,∠AOA'=150°, 所 以 ∠ 1=360°-∠AOA'-∠A'OB'=360°-150°-
60°=150°.
7.答案 >
1 1 1 1 1
解析 由题图知-20.
2 2 2 2 2
8.答案 4
解析 在▱ABCD 中,AB∥DC,AE=DE,AD∥BC,易证△AEB≌△DEF,△FED∽△FBC,所以
S
△AEB
=S
△DEF
=1,FD=1FC,S
△DEF
=(1) 2=1,所以S
△CBF
=4,所以S
▱ABCD
=4.
2 S 2 4
△CBF
9.答案 a>0
解析 一元二次方程x2+a=0没有实数根,则Δ=0-4a<0,∴a>0.
10.答案 112.5
解析 连结OC,因为DC是☉O的切线,所以OC⊥CD.因为OC=OB=OA=1,OD=OB+BD=√2,
1
所以 DC=√OD2-OC2=1,所以 OC=CD,所以∠COD=45°,所以∠ACO= ∠COD=22.5°,所以
2
∠ACD=22.5°+90°=112.5°.
11.答案 答案不唯一,满足m<-2的任意实数均可
b 1
解析 二次函数图象的对称轴为x=- =m-1,当m-1<-3,即m<-2时,“对于二次函数y= x2-
2a 2
(m-1)x+3,当x<-3时,y随x的增大而减小”为随机事件.
12.答案 7
解析 作AE⊥BC于点E,则BE=EC=1 cm.
设平移的距离为 x cm,在 Rt△ABE 中,AE= = =2 cm,当四边形
√AB2-BE2 √32-12 √2
1
ABD
1
C
1
为矩形时,∠BAC
1
=90°,在 Rt△ABC
1
中,AC
1
=√BC
1
2-AB2=√(x+2)2-32 cm,
2
1 1 1
AB·AC
1
= AE·BC
1
, 所 以 ×3×√(x+2)2-32= ×2√2·(x+2), 整 理 得 x2+4x-77=0, 解 得
2 2 2
x=7,x=-11(舍去),所以平移的距离为7 cm.
1 2
评析 本题是在平移中构造矩形,综合考查了矩形的性质,等腰三角形的性质,以及勾股定理
和解方程,属中档题.
二、选择题
13.C 把一个大于10的数写成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是比原数整数位数少1的数,所以
a=2.3,n=5,故230 000用科学记数法表示为2.3×105,故选C.
14.D 根据原几何体的特点知,其俯视图有4个小正方形且有4列,选项D符合.故选D.
15.A 原式=-3x+6y+4x-8y=x-2y.故选A.16.B 这3 000个数据的平均数
78.1×800+85×1 300+91.9×900
x= =85.23,
3 000
所以这4万个数据的平均数约为85.23.故选B.
{mnx+ y=2n+1, 3
17.D 因为方程组 无解,所以mn=3,且n≠ ,
3x+ y=4 2
3 3
那么以实数m,n为坐标的点在反比例函数y= 的图象上,且y≠ .矩形A'B'C'D'与矩形ABCD
x 2
的位似比为k,因为A(1,t),所以A'点的坐标为(k,kt),C'点的坐标为(-k,-kt),当矩形A'B'C'D'与函
数y=3的图象有交点时,则交点至少有两个,分别是A'(k,kt),C'(-k,-kt),当kt=3时,A'( 3),C'
2,
x 2 2
( 3),又n≠3,所以A'( 3)不在函数y=3的图象上,有且只有C'( 3)在函数y=
-2,- 2, -2,-
2 2 2 x 2
3 3
的图象上,即当kt= 时,有且只有一个点在矩形A'B'C'D'的边上.
x 2
评析 本题以平面直角坐标系中的位似和方程组的解的存在性为背景,考查了反比例函数的
图象与性质,解题关键是运用中心对称的性质.本题属难题.
三、解答题
√3
18.解析 (1)原式=4-1-2√3× (3分,每步1分)
2
=0.(4分)
(2)原式=(a-1 1 )·(a+1)(a-1)(2分)
+
a-1 a-1 2a
a (a+1)(a-1)
= · (3分)
a-1 2a
a+1
= .(4分)
2
19.解析 (1)去分母,得6+2x=4-x,(2分)
2
解得x=- ,(4分)
3
2
经检验,x=- 是原方程的解.(5分)
3
(2)由3x-1≥x+1,得3x-x≥2,得x≥1,(2分)
由2(2x-1)<5x+1,得4x-2<5x+1,-x<3,得x>-3,(4分)
则该不等式组的解集为x≥1.(5分)
20.解析 (1)月销售量中位数:A品牌15,(1分)
B品牌15;(2分)
月销售量方差:A品牌2,(3分)
B品牌10.4.(4分)
(2)A品牌冰箱的月销售量更稳定.(6分)
21.解析 (1)在菱形ABCD中,BA=BC,(1分)
∴∠BAC=∠BCA,(2分)
∴∠BAE=∠BCF.(3分)
在△BAE与△BCF中,
{
BA=BC,
∠BAE=∠BCF,
AE=CF,
∴△BAE≌△BCF(SAS).(4分)
(用其他方法证明,相应给分)
(2)∠EBA=20°.(6分)
1
22.解析 活动1:P(甲胜出)= .
3
(2分,直接写出答案也给2分)
活动2:答案不唯一,任意安排甲、乙、丙三人顺序均得分.(3分)
1 1
; .(5分)
4 4
1
猜想:P(甲胜出)=P(乙胜出)=P(丙胜出)= .(6分)
n
答案不唯一,如:抽签是公平的,与顺序无关.(7分)
23.解析 (1)正八边形ABCDEFGH即为所求.
(4分)
15
(2) .(6分)
8
24.解析 ∵∠BAE=30°,BF∥AE,
∴∠ABF=30°.(1分)∵∠FBC=75°,∴∠ABC=45°.(2分)
∵∠CAE=45°,∴∠BAC=75°.(3分)
∴∠C=60°.
过点A作AD⊥BC,垂足为D,(4分)
在Rt△ADB中,∠ABD=45°,AB=60海里,则BD=AD=30√2海里.
在Rt△ADC中,∠C=60°,AD=30√2 海里,则CD=10√6 海里.
∴BC=(30√2+10√6)海里.
答:略.(6分)
(用其他方法解答,相应给分)
25.解析 (1)将(-3,m)代入y=x+1,得m=-2,(1分)
k
将(-3,-2)代入y= (k≠0),得k=6,
x
6
则反比例函数表达式为y= .(2分)
x
(2)①连结CC'交AB于点D,
则AB垂直平分CC'.
当a=4时,A(4,5),B(4,1.5),
则AB=3.5.(3分)
∵Q为OP的中点,
∴Q(2,0),
∴C(2,3),则D(4,3),即CD=2.
可以求得S =3.5,
△ABC
则S =3.5.(4分)
△ABC'
②a=3.(6分)
26.解析 (1)如图,点O为光源,(1分)FM为影长.(2分)
(2)∵点C、E、G在一条直线上,CG∥AB,
∴△OCE∽△OAM,△OEG∽△OMB,
CE OE EG OE
∴ = , = .
AM OM MB OM
CE EG
则 = .(4分)
AM MB
设小明原来的速度为v米/秒,
2v 3v
则 = ,(5分)
4v-1.2 12-4v+1.2
解得v=1.5,
经检验,v=1.5是方程的根.
答:小明原来的速度为1.5米/秒.(7分)
(列出其他比例线段,正确建立方程或方程组,没有解出具体答案相应给分)
27.解析 【思考】
如图,假设点D在☉O内.
延长AD交☉O于点E,连结BE,则∠AEB=∠ACB.
又由∠ADB是△BDE的一个外角,得∠ADB>∠AEB,
因此∠ADB>∠ACB,这与条件∠ACB=∠ADB矛盾.
所以点D不在☉O内.
点D既不在☉O外,也不在☉O内,故点D在☉O上.(3分)
【应用】
(1)如图,取CD的中点O,则点O为Rt△ACD的外心.
∵∠DAC=∠DEC=90°,
∴点E在Rt△ACD的外接圆☉O上,
∴∠ACD=∠AED.(4分)
(用其他方法证明,相应给分)
∵∠FDA=∠AED,∴∠ACD=∠FDA.
∵∠DAC=90°,∴∠ACD+∠ADC=90°,
∴∠FDA+∠ADC=90°,∴OD⊥DF,
∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线.(6分)
(2)∵∠BGE=∠BAC,∴点G在过C、A、E三点的圆上.(7分)
又过点C、A、E三点的圆是Rt△ACD的外接圆,即☉O,
∴点G在☉O上.
∵CD是直径,∴∠DGC=90°.∵AD∥BC,∴∠ADG=90°.
∵∠DAC=90°,
∴四边形ACGD为矩形,∴DG=AC.(8分)
(用其他方法证明,相应给分)
2 2
∵sin∠AED= ,∠ACD=∠AED,∴sin∠ACD= .
5 5
2
在Rt△ACD中,AD=1,sin∠ACD= ,
5
5 √21 √21
则CD= ,AC= ,∴DG= .(9分)
2 2 2
28.解析 (1)由题意知y=a(x-1)2+2,将(0,3)代入,得a=1,则y=(x-1)2+2,即y=x2-2x+3,
∴a=1,b=-2,c=3.(2分)
(2)①当k=1时,y=-x2+4x-1.
令y=0,则-x2+4x-1=0,x=2±√3,
∴所求交点坐标为(2+√3,0),(2-√3,0).(3分)
②M(-1,6),N(-1,-6).(4分)
3 21
③y=- x+t的图象经过M(-1,6),得t= ,
4 4
3 21
∴y=- x+ ,则A(7,0).设MN与x轴的交点为E,
4 4
∵MN⊥x轴,∴E点的横坐标为-1,∴AE=8.
又∵ME=6,∴MA=10.
解法一:如图,设MD交AE于点B,作BC⊥AM于点C,
∵MD平分∠NMP,MN⊥x轴,∴BC=BE,
设BC=x,则AB=8-x,
显然△ABC∽△AME,BC ME
∴ = ,
AB MA
x 3
∴ = ,
8-x 5
则x=3,得点B(2,0).
∴直线MD的函数表达式为y=-2x+4.(6分)
解法二:作AC⊥x轴交MD于点C,
则AC∥MN,
∴∠ACM=∠NMC.
∵MD平分∠NMP,
∴∠AMC=∠NMC,
∴∠ACM=∠AMC.
则AM=AC=10,点C(7,-10).
∵M(-1,6),
∴直线MD的函数表达式为y=-2x+4.(6分)
(用其他方法解出结果,相应给分)
函数y=k(2x+2)-(x2-2x+3)图象的顶点D(k+1,k2+4k-2),(7分)
将其代入y=-2x+4,得k=-3±√13,
∴ kk+=1-3>--√11,∵3舍去,
∴k=-3+√13.(8分)
④是.当顶点的横坐标大于-1时,顶点的纵坐标随横坐标的增大而增大,顶点的横坐标小于-1
时,顶点的纵坐标随横坐标的增大而减小.(10分)
(答案不完整相应给分)
